Ţintă: Stăpânirea tehnicii de sinteză a filtrelor liniare (low-pass, high-pass și band-pass) pe baza aproximărilor maxim-flat și Chebyshev.
Scurte informații teoretice: Această muncă necesită capacitatea de analiză Tipuri variate circuite liniare și găsiți principalele lor caracteristici (coeficientul de transfer al frecvenței, funcția de transfer și polii săi); cunoașterea principiilor sintezei filtrelor liniare trece-jos pe baza aproximărilor maxim-plat și Chebyshev și a principiilor de tranziție de la circuitele de filtru trece-jos cunoscute la circuitele de filtru trece-înalt și filtre trece-bandă.
Filtrele trece-jos sunt concepute pentru a transmite cu o atenuare minimă a oscilațiilor ale căror frecvențe nu depășesc o anumită frecvență de tăiere, care se numește frecvența de tăiere, în timp ce oscilațiile cu frecvențe mai mari decât frecvența de tăiere ar trebui atenuate semnificativ.
Proprietăți ale funcției de transfer a unui cvadripol :
Polii funcției de transfer a cvadripolului trebuie să fie situați în semiplanul stâng al frecvenței complexe p. Ele pot fi reale sau pot forma perechi conjugate complexe.
Numărul de poli ai funcției de transfer trebuie să depășească întotdeauna numărul de zerouri.
Spre deosebire de poli, zerourile funcției de transfer pot fi situate în orice semiplan, adică pe întregul plan al frecvenței complexe p.
Etapele sintezei filtrului :
Formularea cerințelor tehnice pentru caracteristicile filtrelor în funcție de lățimea de bandă dată. În acest caz, nu sunt impuse restricții asupra structurii filtrului. Această abordare se numește sinteza conform unui raspuns in frecventa dat. De regulă, caracteristica ideală nu este realizabilă în practică.
Aproximarea unei caracteristici ideale folosind o astfel de funcție care poate aparține unui circuit realizabil fizic.
Implementarea functiei aproximate selectate si obtinerea schema circuitului se filtrează cu valorile elementelor sale constitutive.
Cele mai răspândite sunt două tipuri de aproximare: maxim-plat și Chebyshev.
Aproximație maxim-plat se bazează pe utilizarea funcției coeficientului de transfer al puterii de frecvență dată ca:
Unde 
este frecvența normalizată adimensională.
Se numește un filtru al cărui răspuns în frecvență satisface o astfel de funcție filtru cu răspuns plat maxim sau filtru Butterworth.
Procedura de sinteză începe cu determinarea polilor funcției de transfer a filtrului, pentru care este necesar să mergem la frecvența complexă normalizată. R nși determinați polii funcției de câștig de putere a filtrului de frecvență:
;
În cazul general, rădăcinile acestei ecuații pot fi determinate folosind formula Moivre (calculând rădăcinile n puterea de la un număr complex). În acest caz, este necesar să se țină cont de valoarea fazei numărului complex z= - 1 (=).
Când găsiți rădăcinile acestei ecuații pentru orice ordine a filtrului n trebuie făcute următoarele general
regularitate:
toți polii sunt situați la aceeași distanță unghiulară unul de celălalt și această distanță este întotdeauna egală cu 
; Dacă n este impar, atunci primul pol este întotdeauna 1 dacă n este par, apoi primul pol 
.
Folosind proprietatea de simetrie de cadran a locației polilor funcției coeficientului de transfer al puterii de frecvență și condițiile de stabilitate și fezabilitate fizică a cvadripolilor, pentru funcția de transfer a filtrului este necesar să se selecteze numai acei poli care sunt localizați. în semiplanul stâng al frecvenței complexe și scrieți pentru ei reprezentare cu poli zero funcție de transfer.
Filtrele electrice sunt rețele cu patru terminale care, cu o atenuare neglijabilă ∆A, transmit oscilații în anumite domenii de frecvență f 0 ... f 1 (benzi de trecere) și practic nu transmit oscilații în alte intervale f 2 ... f 3 (stop sau benzi de non-transmisie).
Orez. 2.1.1. Filtru trece jos (LPF). Orez. 2.1.2. Filtru trece-înalt (HPF).
Există multe tipuri diferite de implementări de filtre electrice: filtre LC pasive (circuitele conțin elemente inductive și capacitive), filtre RC pasive (circuitele conțin elemente rezistive și capacitive), filtre active (circuitele conțin amplificatoare operaționale, elemente rezistive și capacitive), ghid de undă, filtre digitale și altele. Printre toate tipurile de filtre, filtrele LC ocupă o poziție specială, deoarece sunt utilizate pe scară largă în echipamentele de telecomunicații în diverse game de frecvență. Există o tehnică de sinteză bine stabilită pentru filtrele de acest tip, iar sinteza altor tipuri de filtre utilizează în mare măsură acest lucru.
metodologie. Prin urmare, în termen de hârtie accentul se pune pe sinteză
Orez. 2.1.3. Filtru trece banda (PF). filtre LC pasive.
Sarcina sintezei filtrul electric este de a defini un circuit de filtru cu un număr minim posibil de elemente, raspuns in frecventa care ar satisface dat cerinte tehnice. Adesea se impun cerințe privind caracteristica de atenuare de funcționare. În figurile 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, cerințele de atenuare de funcționare sunt date de nivelurile atenuării maxime admisibile în banda de trecere A și nivelurile atenuării minime admisibile în banda de oprire As. Sarcina sintezei este împărțită în două etape: problema de aproximare cerințe pentru atenuarea operațională de către o funcție implementată fizic și sarcina de implementare funcția de aproximare găsită printr-un circuit electric.
Soluția problemei de aproximare constă în găsirea unei astfel de funcție de ordin minim posibil, care, în primul rând, satisface cerințele tehnice specificate pentru răspunsul în frecvență al filtrului și, în al doilea rând, satisface condițiile de fezabilitate fizică.
Soluția la problema implementării este de a determina circuit electric, al cărui răspuns în frecvență coincide cu funcția găsită ca urmare a rezolvării problemei de aproximare.
2.1. BAZE PENTRU SINTEZA FILTRELOR DUPA PARAMETRILOR DE FUNCTIONARE.
Să luăm în considerare câteva relații care caracterizează condițiile de transfer de energie printr-un filtru electric. De regulă, un filtru electric este utilizat în condițiile în care dispozitivele sunt conectate din partea bornelor sale de intrare, care pot fi reprezentate în circuitul echivalent ca o rețea activă cu două terminale cu parametrii E(jω), R1 și dispozitivele prezentate. pe circuitul echivalent sunt conectate din partea bornelor de ieșire rezistența rezistivă R2. Circuitul de pornire a filtrului electric este prezentat în Figura 2.2.1.
Figura 2.2.2 prezintă o diagramă în care, în loc de filtru și rezistență R2, o rezistență de sarcină este conectată la un generator echivalent (cu parametrii E(jω), R1), a cărui valoare este egală cu rezistența generatorului. R1. După cum știți, generatorul furnizează putere maximă unei sarcini rezistive dacă rezistența de sarcină este egală cu rezistența la pierderea internă a generatorului R1.
Trecerea unui semnal printr-o rețea cu patru terminale este caracterizată de o funcție de transfer funcțională T(jω). Lucru Funcția de transmisie vă permite să comparați puterea S 0 (jω) furnizată de generator cu sarcina R1 (consecventă cu parametrii proprii), cu puterea S 2 (jω) furnizată sarcinii R2 după trecerea prin filtru:
Argumentul funcției de transfer de lucru arg(T(jω)) caracterizează relația de fază dintre fem. E(jω) și tensiunea de ieșire U 2 (jω). Se numește constanta de transfer a fazei de lucru (notat cu litera greacă „beta”):
Când energia este transmisă printr-o rețea cu patru terminale, modificările puterii, tensiunii și curentului în valoare absolută sunt caracterizate de modulul funcției de transfer de lucru. Când se evaluează proprietățile selective ale filtrelor electrice, se utilizează o măsură care este determinată de o funcție logaritmică. Această măsură este atenuarea de lucru (notată cu litera greacă „alfa”), care este legată de modulul funcției de transfer de lucru prin rapoarte:
, (Np); sau (2.2)
, (dB). (2,3)
Când se utilizează formula (2.2), atenuarea de funcționare este exprimată în neperi, iar când se utilizează formula (2.3), în decibeli.
Valoarea se numește constanta de transmisie de lucru a cvadripolului (notat cu litera greacă „gamma”). Funcția de transfer de lucru poate fi reprezentată folosind atenuarea de lucru și faza de lucru ca:
În cazul în care rezistența de pierdere internă a generatorului R1 și rezistența de sarcină R2 sunt rezistive, puterile S 0 (jω) și S 2 (jω) sunt active. Este convenabil să se caracterizeze trecerea puterii prin filtru folosind coeficientul de transfer al puterii, definit ca raportul dintre puterea maximă P max primită de la generator de o sarcină potrivită cu acesta, și puterea P2 care intră în sarcina R2:
O rețea reactivă cu patru terminale nu consumă putere activă. Atunci puterea activă P 1 dată de generator este egală cu puterea P 2 consumată de sarcină:
Să exprimăm valoarea modulului curentului de intrare: , și să o înlocuim în (2.5).
Folosind transformări algebrice, reprezentăm (2.5) sub forma:
Reprezentăm numărătorul părții drepte a ecuației sub forma:
Partea stângă a ecuației (2.6) este reciproca raportului de transfer de putere:
Următoarea expresie este coeficientul de reflexie a puterii de la bornele de intrare ale unui cvadripol:
Coeficientul de reflexie (tensiune sau curent) de la bornele de intrare ale rețelei cu patru terminale, egal cu
caracterizează potrivirea impedanței de intrare a filtrului cu rezistența R1.
O rețea pasivă cu patru terminale nu poate oferi un câștig de putere, adică.
Prin urmare, pentru astfel de circuite, este recomandabil să folosiți funcția auxiliară definită de expresia:
Să reprezentăm atenuarea de lucru într-o formă diferită, mai convenabilă pentru rezolvarea problemei sintezei filtrului:
În mod evident, natura dependenței de frecvență a atenuării de lucru este asociată cu dependența de frecvență a funcției, numită funcție de filtrare: zerourile și polii funcției de filtrare coincid cu zerourile și polii atenuării.
Pe baza formulelor (2.7) și (2.9), este posibil să se reprezinte coeficientul de reflexie al puterii de la bornele de intrare ale cvadripolului:
Să trecem la scrierea imaginilor operatorului după Laplace, ținând cont de faptul că p = jω și, de asemenea, că pătratul modulului unei valori complexe este exprimat, de exemplu, . Expresia (2.10) sub formă de operator are forma
Expresiile operatorului , , sunt funcții raționale ale variabilei complexe „p” și, prin urmare, pot fi scrise ca
unde , , - sunt polinoame, de exemplu:
Din formula (2.11), ținând cont de (2.12), putem obține relația dintre polinoame:
În etapa de rezolvare a problemei de aproximare se determină expresia funcției de filtrare, adică se determină polinoamele h(p), w(p); din ecuația (2.13) se poate găsi polinomul v(p).
Dacă expresia (2.8) este prezentată sub formă de operator, atunci funcția impedanței de intrare a filtrului poate fi obținută sub formă de operator:
Condițiile de realizare fizică sunt următoarele:
1. v(p) - trebuie să fie un polinom Hurwitz, adică rădăcinile lui sunt situate în jumătatea stângă a planului variabilei complexe p=α+j Ω (cerința pentru stabilitatea lanțului);
2. w(p) - trebuie să fie polinom par sau impar (pentru LPF w(p) - par, astfel încât să nu existe pol de atenuare la ω=0; pentru HPF w(p) - impar);
3. h(p) este orice polinom cu coeficienți reali.
2.2. REGULAMENT PRIVIND REZISTENTA SI FRECVENTA.
Valorile numerice ale parametrilor elementelor L, C, R și frecvențele de tăiere ale filtrelor reale pot lua, în funcție de specificații, diverse valori. Utilizarea simultană a unor cantități mici și mari în calcule duce la o eroare semnificativă de calcul.
Se știe că natura dependențelor de frecvență ale filtrului nu depinde de valorile absolute ale coeficienților funcțiilor care descriu aceste dependențe, ci este determinată doar de rapoartele acestora. Valorile coeficienților sunt determinate de valorile parametrilor L, C, R ai filtrelor. Prin urmare, normalizarea (modificarea de același număr de ori) a coeficienților funcțiilor duce la normalizarea valorilor parametrilor elementelor de filtrare. Astfel, în loc de valorile absolute ale rezistențelor elementelor filtrante, acestea sunt luate valori relative, raportat la rezistența de sarcină R2 (sau R1).
În plus, dacă valorile frecvenței sunt normalizate în raport cu frecvența de tăiere a lățimii de bandă (această valoare este cel mai des utilizată), atunci aceasta va restrânge și mai mult răspândirea valorilor utilizate în calcule și va crește acuratețea calculele. Valorile normalizate ale frecvenței sunt scrise sub formă și sunt cantități adimensionale, iar valoarea normalizată a frecvenței de tăiere a lățimii de bandă.
De exemplu, luați în considerare rezistența elementelor conectate în serie L, C, R:
Rezistenta nominala: .
Să introducem valorile frecvenței normalizate în ultima expresie: unde parametrii normalizați sunt: .
Valorile adevărate (denormalizate) ale parametrilor elementului sunt determinate de:
Prin modificarea valorilor f 1 și R2, este posibil să se obțină noi circuite de dispozitive care funcționează în alte game de frecvență și sub alte sarcini din circuitul original. Introducerea normalizării a făcut posibilă crearea cataloagelor de filtre, ceea ce în multe cazuri reduce problema dificilă a sintezei filtrelor la lucrul cu tabele.
2.3. CONSTRUCȚIE DE SCHEME DUALE.
Cantitățile duale, după cum se știe, sunt rezistența și conductibilitatea. Pentru fiecare circuit al unui filtru electric, poate fi găsit un circuit dublu cu acesta. În acest caz, rezistența de intrare a primului circuit va fi egală cu conductivitatea de intrare a celui de-al doilea, înmulțită cu coeficientul. Este important de reținut că funcția de transfer de lucru T(p) pentru ambele scheme va fi aceeași. Un exemplu de construire a unui circuit dual este prezentat în Figura 2.3.
Astfel de transformări se dovedesc adesea a fi convenabile, deoarece fac posibilă reducerea numărului de elemente inductive. După cum știți, inductoarele, în comparație cu condensatoarele, sunt elemente voluminoase și de calitate scăzută.
Se determină parametrii normalizați ai elementelor circuitului dual (când =1):
2.4. APROXIMAREA CARACTERISTICILOR DE FRECVENTA.
Figurile 2.1.1 - 2.1.3 prezintă graficele funcțiilor de atenuare de lucru ale filtrului trece-jos (LPF), filtrul trece-înalt (HPF), filtrul trece-bandă (BPF). Aceleași grafice arată nivelurile de atenuare necesare. În banda de trecere f 0 ... f 1 este setată valoarea maximă admisă a atenuării (așa-numita denivelare de atenuare) ΔА; în banda de oprire f 2 …f 3 este setată valoarea minimă admisă de atenuare A S; în regiunea de tranziție a frecvențelor f 1 ... f 2 nu sunt impuse cerințe de atenuare.
Înainte de a continua cu rezolvarea problemei de aproximare, caracteristicile necesare ale atenuării de funcționare în frecvență sunt normalizate, de exemplu, pentru filtrul trece jos și filtrul trece înalt:
Funcția de aproximare dorită trebuie să îndeplinească condițiile de fezabilitate fizică și să reproducă suficient de exact dependența de frecvență necesară a atenuării de funcționare. Există diverse criterii de estimare a erorii de aproximare, pe care se bazează diferite tipuri de aproximare. În problemele de aproximare a caracteristicilor amplitudine-frecvență se folosesc cel mai des criteriile de optimitate ale lui Taylor și Chebyshev.
2.4.1. Aproximarea după criteriul Taylor.
În cazul aplicării criteriului Taylor, funcția de aproximare dorită are următoarea formă (valoare normalizată):
unde este pătratul modulului funcției de filtrare;
– ordinea polinomului (ia o valoare întreagă);
ε este coeficientul de neuniformitate. Valoarea acestuia este legată de valoarea ∆A - denivelarea de atenuare în banda de trecere (Fig. 2.4). Deoarece la frecvența de tăiere a benzii de trecere Ω 1 =1, prin urmare
Filtrele cu dependențe de frecvență de atenuare (2.16) se numesc filtre cu caracteristici de atenuare extrem de plate, sau filtre cu Caracteristicile Butterworth, care a fost primul care a folosit aproximarea după criteriul Taylor în rezolvarea problemei sintezei filtrelor.
Ordinea funcției de aproximare este determinată cu condiția ca la frecvența de tăiere a benzii de oprire Ω 2, atenuarea de funcționare să depășească valoarea minimă admisă:
Unde . (2,19)
Deoarece ordinea polinomului trebuie să fie un număr întreg, valoarea rezultată
Fig.2.4. rotunjite la cea mai apropiată mai mare
valoare intreaga.
Expresia (2.18) poate fi reprezentată sub formă de operator folosind transformarea jΩ→ :
Să găsim rădăcinile polinomului: , de unde
K = 1, 2, … , NB (2,20)
Rădăcinile iau valori complexe conjugate și sunt situate pe un cerc de rază. Pentru a forma polinomul Hurwitz, este necesar să folosiți numai acele rădăcini care sunt situate în jumătatea stângă plan complex:
Figura 2.5 prezintă un exemplu de plasare în plan complex a rădăcinilor unui polinom de ordinul 9 cu componentă reală negativă. Pătrat modul
Orez. 2.5. funcția de filtrare, conform (2.16), este egală cu:
Polinom cu coeficienți reali; este un polinom de ordin par. Astfel, sunt îndeplinite condițiile de realizare fizică.
2.4.2. Aproximare după criteriul Cebyshev.
Când se utilizează polinoame de putere Ω 2 N B pentru aproximarea Taylor, se obține o bună aproximare a funcției ideale în apropierea punctului Ω=0, dar pentru a asigura o abruptitate suficientă a funcției de aproximare pentru Ω>1, este necesar să se mărească ordinul a polinomului (și, în consecință, ordinea schemei).
Cea mai bună abruptă în regiunea frecvenței de tranziție poate fi obținută dacă, ca una aproximativă, alegem nu o funcție monotonă (Fig. 2.4), ci o funcție care oscilează în intervalul de valori 0 ... ΔА în banda de trecere la 0<Ω<1 (рис. 2.7).
Cea mai bună aproximare după criteriul Cebyshev este oferită de utilizarea polinoamelor Chebyshev P N (x) (Fig. 2.6). În intervalul -1< x < 1 отклонения аппроксимирующих функций от нулевого уровня равны ±1 и чередуются по знаку.
În intervalul -1< x < 1 полином Чебышёва порядка N описывается выражением
P N (x) = cos(N arccos(x)), (2.21)
pentru N=1 P 1 (x) = cos(arccos(x)) = x,
pentru N=2 P 2 (x) = cos(2 arccos(x)) = 2 cos 2 (arccos(x)) – 1 = 2 x 2 – 1,
pentru N≥3, polinomul P N (x) poate fi calculat folosind formula recurentă
P N +1 (x) = 2 x P N (x) - P N -1 (x).
Pentru x > 1, valorile polinoamelor Chebyshev cresc monoton și sunt descrise de expresia
P N (x) = ch(N Arch(x)). (2,22)
Funcția de atenuare de lucru (Fig. 2.7) este descrisă prin expresie
unde ε este coeficientul de neuniformitate determinat prin formula (2.17);
Modulul funcției filtru pătrat;
P N (Ω) este un polinom Chebyshev de ordinul N.
Atenuarea de funcționare în banda de oprire trebuie să depășească valoarea A S:
Înlocuind expresia (2.22) pentru valorile frecvențelor benzii de oprire în această inegalitate, o rezolvăm cu valoarea N = NЧ - ordinul polinomului Cebyshev:
Ordinea polinomului trebuie să fie un număr întreg, astfel încât valoarea rezultată trebuie rotunjită în sus la următoarea valoare întreagă mai mare.
Pătrat al modulului funcției de transfer de lucru (valoare normalizată)
Deoarece zerourile de atenuare (sunt rădăcinile polinomului Hurwitz) sunt situate în banda de trecere, expresia (2.21) pentru frecvențele benzii de trecere trebuie înlocuită în această expresie.
Expresia (2.25) poate fi reprezentată sub formă de operator folosind transformarea jΩ→ :
Rădăcinile polinomului sunt determinate de formula:
K = 1, 2, … , NЧ, (2,26)
Rădăcinile conjugate complexe în planul complex sunt situate pe o elipsă. Polinomul Hurwitz este format numai din rădăcini cu o componentă reală negativă:
Modulul funcției de filtru pătrat; prin urmare, găsim polinomul folosind formula recursivă:
Este un polinom cu coeficienți reali; este un polinom de grad par. Sunt îndeplinite condițiile de realizare fizică.
2.5. IMPLEMENTAREA FUNCȚIILOR APROXIMATIVE PRIN CIRCUIT ELECTRIC.
Una dintre metodele de rezolvare a problemei de implementare se bazează pe expansiunea continuă a fracției a funcției de rezistență de intrare
Procedura de descompunere este descrisă în literatură: , . Expansiunea continuă a fracției poate fi explicată pe scurt după cum urmează.
Funcția este un raport de polinoame. În primul rând, polinomul numărătorului este împărțit la polinomul numitorului; apoi polinomul care a fost divizor devine divizibil, iar restul rezultat devine divizor și așa mai departe. Coeficientii obtinuti prin impartire formeaza o fractiune continuata. Pentru circuitul din Figura 2.8, fracția continuă are forma (pentru =1):
Dacă este necesar, puteți de la primit
schemele merg la dual.
2.6. METODA DE CONVERSIE A VARIABILEI DE FRECVENȚĂ.
Metoda de conversie a variabilei de frecvență este utilizată pentru sinteza HPF și PF. Transformarea se aplică numai frecvențelor normalizate Ω.
2.6.1. sinteza HPF. Comparând caracteristicile LPF și HPF din figurile 2.9 și 2.10, puteți vedea că acestea sunt reciproc inverse. Aceasta înseamnă că dacă schimbăm variabila frecvență
în exprimarea caracteristicii filtrului trece-jos, atunci se va obţine caracteristica trece-înaltă. De exemplu, pentru un filtru cu o caracteristică Butterworth
Folosirea acestei transformări echivalează cu înlocuirea elementelor capacitive cu elemente inductive și invers:
Acesta este
Acesta este .
Pentru a sintetiza un filtru trece-înalt folosind metoda de transformare a variabilei de frecvență, trebuie să faceți următoarele.
Orez. 2.9. LPF cu Fig. 2.10. HPF cu normalizat
caracteristică. caracteristică.
1. Normalizați variabila frecvență .
2. Aplicați formula (2.27) pentru a transforma variabila de frecvență
Cerințele de atenuare de funcționare recalculate sunt cerințele de atenuare de funcționare ale așa-numitului prototip LPF.
3. Sintetizați prototipul LPF.
4. Aplicați formula (2.27) pentru a trece de la prototipul LPF la HPF necesar.
5. Efectuați denormalizarea parametrilor elementelor HPF sintetizate.
2.6.2. Sinteza PF. Figura 2.1.3. este prezentată caracteristica simetrică a atenuării de funcționare a filtrului trece-bandă. Acesta este numele caracteristicii, geometric simetric față de frecvența medie.
Pentru a sintetiza PF folosind metoda de transformare a variabilei de frecvență, trebuie să faceți următoarele.
1. Pentru a trece de la caracteristica simetrică necesară a PF la caracteristica normalizată a prototipului LPF (și a utiliza tehnica de sinteză deja cunoscută), este necesară înlocuirea variabilei de frecvență (Figura 2.11)
2.7. FILTRE ACTIVE.
Filtrele active se caracterizează prin absența inductoarelor, deoarece proprietățile elementelor inductive pot fi reproduse folosind circuite active care conțin elemente active (amplificatoare operaționale), rezistențe și condensatori. Astfel de scheme sunt desemnate: scheme ARC. Dezavantajele inductoarelor sunt factor de calitate scăzut (pierderi mari), dimensiuni mari, cost de producție ridicat.
2.7.1. Fundamentele teoriei filtrelor ARC. Pentru o rețea liniară cu patru terminale (inclusiv un filtru ARC liniar), raportul dintre tensiunea de intrare și de ieșire (sub formă de operator) este exprimat prin funcția de transfer de tensiune:
unde w(p) este un polinom par (K p 0 pentru LPF) sau impar (pentru HPF),
v(p) este un polinom Hurwitz de ordinul N.
Pentru LPF, funcția de transfer (valoarea normalizată) poate fi reprezentată ca un produs al factorilor
unde K \u003d H U (0) \u003d K2 1 K2 2 ... ... K2 (N / 2) - valoarea funcției H U (p) (pentru un filtru de ordin par) atunci când se transmite o tensiune constantă ( adică la f \u003d 0 sau, sub formă de operator, la p=0);
factorii din numitor sunt formați din produsul rădăcinilor conjugate complexe
în cazul unui filtru de ordin impar, există un factor format folosind rădăcina polinomului Hurwitz cu valoare reală .
Fiecare factor de funcție de transfer poate fi implementat cu un filtru trece-jos activ (ARC) de ordinul al doilea sau din primul. Și întreaga funcție de transfer dată H U (p) este o conexiune în cascadă a unor astfel de rețele cu patru terminale (Figura 2.13).
Un dispozitiv activ cu patru terminale bazat pe un amplificator operațional are o proprietate foarte utilă - impedanța sa de intrare este mult mai mare decât impedanța sa de ieșire. Conectarea la o rețea cu patru terminale ca o sarcină de rezistență foarte mare (acest mod de funcționare este aproape de modul inactiv) nu afectează caracteristicile rețelei cu patru terminale în sine.
H U (p) = H1 U (p) H2 U (p) ... Hk U (p)
De exemplu, un filtru trece-jos activ de ordinul 5 poate fi implementat printr-un circuit care este o conexiune în cascadă a doi cvadripoli de ordinul doi și un cvadripol de ordinul întâi (Fig. 2.14), iar un filtru trece-jos de ordinul 4 constă a unei conexiuni în cascadă a doi cvadripoli de ordinul doi. Quadripolii cu un factor de calitate mai mare sunt conectați mai întâi la calea de transmisie a semnalului; dispozitivul cu patru terminale de ordinul întâi (cu cel mai scăzut factor de calitate și cea mai mică pantă a răspunsului în frecvență) este conectat ultimul.
2.7.2. Sinteza filtrului ARC produs folosind funcția de transfer de tensiune (2.29). Normalizarea frecvenței se realizează relativ la frecvența de tăiere f c . La frecvența de tăiere, valoarea funcției de transfer de tensiune este mai mică decât Hmax maxim cu un factor de 3, iar valoarea atenuării este de 3 dB
Orez. 2.14. Filtru trece jos de ordinul 5 ARC.
Normalizarea caracteristicilor de frecvență se face relativ la f c . Dacă rezolvăm ecuațiile (2.16) și (2.23) în raport cu frecvența de tăiere, atunci obținem expresiile
Pentru LPF cu caracteristica Butterworth;
Cu o caracteristică a lui Cebyshev.
În funcție de tipul de caracteristică a filtrului - Butterworth sau Chebyshev - ordinea funcției de aproximare este determinată de formulele (2.19) sau (2.26).
Rădăcinile polinomului Hurwitz sunt determinate prin formulele (2.20) sau (2.26). Funcția de transfer de tensiune pentru un cvadripol de ordinul doi poate fi formată folosind o pereche de rădăcini conjugate complexe și, în plus, poate fi exprimată în termeni de parametrii elementelor circuitului (Fig. 2.14). Analiza circuitului și derivarea expresiei (2.31) nu sunt date. Expresia (2.32) pentru cvadripolul de ordinul întâi este scrisă într-un mod similar.
Deoarece valoarea rezistenței de sarcină nu afectează caracteristicile filtrului activ, denormalizarea se realizează pe baza următoarelor. În primul rând, sunt selectate valori acceptabile ale rezistențelor rezistive (10 ... 30 kOhm). Apoi se determină valorile reale ale parametrilor de capacitate; pentru aceasta, f c este folosit în expresia (2.15).
Teoria generală a sintezei circuitelor electrice liniare nu este inclusă în sarcina cursului „Circuite și semnale radio”.
Acest capitol discută doar câteva întrebări specifice, specifice pentru sinteza circuitelor radio:
sinteza cvadripolilor activi sub forma unei conexiuni în cascadă a legăturilor elementare neinteracționate (decuplate) de ordinul întâi sau al doilea;
construirea de circuite selective care nu contin inductori (circuite integrate);
elemente de sinteză a circuitelor discrete (digitale) și relația dintre răspunsul în frecvență și răspunsul de fază al filtrelor digitale.
Sinteza circuitelor analogice din acest capitol se realizează numai în domeniul frecvenței, adică în funcție de o funcție de transfer dată; pentru circuitele digitale, sinteza este, de asemenea, luată în considerare pentru un răspuns la impuls dat (pe scurt).
Se știe că funcția de transfer a unui cvadripol liniar este determinată în mod unic de zerourile și polii săi pe planul - (circuite analogice) sau pe planul z (circuite digitale). Prin urmare, expresia „sinteză printr-o funcție de transfer dată” este echivalentă cu expresia „sinteză prin zerouri și poli date ai funcției de transfer”. Teoria existentă a sintezei cvadripolului ia în considerare circuitele a căror funcție de transfer are un număr finit de zerouri și poli, cu alte cuvinte, circuite formate dintr-un număr finit de legături cu parametrii concentrați. Materialul prezentat mai jos este axat pe cvadripoli cu un număr mic de legături, care sunt tipice pentru filtrele de trecere joasă, filtrele de trecere înaltă, filtrele de barieră etc., care sunt utilizate pe scară largă în dispozitivele electronice.
Cursul numărul 15.
Proiectarea (sinteza) filtrelor digitale liniare.
Proiectarea (sinteza) unui filtru digital este înțeleasă ca alegerea unor astfel de coeficienți ai funcției de sistem (transfer), în care caracteristicile filtrului rezultat satisfac cerințele specificate. Strict vorbind, sarcina de proiectare include și alegerea unei structuri de filtru adecvate (vezi Lectura 14), ținând cont de precizia finită a calculelor. Acest lucru este valabil mai ales atunci când se implementează filtre sub formă hardware (sub formă de LSI specializate sau procesoare de semnal digital). Prin urmare, în general, proiectarea unui filtru digital constă din următorii pași:
- Rezolvarea unei probleme de aproximare pentru a determina coeficienții de filtru și o funcție de sistem care îndeplinește cerințe specifice.
- Alegerea schemei de construcție a filtrului, adică transformarea unei funcții de sistem într-o diagramă bloc specifică a filtrului.
- Evaluarea efectelor de cuantizare, adică a efectelor asociate cu acuratețea finită a reprezentării numerelor în sisteme digitale cu o adâncime finită de biți.
- Verificarea prin metode de simulare dacă filtrul rezultat îndeplinește cerințele specificate.
Metodele de sintetizare a filtrelor digitale pot fi clasificate în funcție de diferite criterii:
- după tipul de filtru:
- metode de sintetizare a filtrelor cu răspuns la impuls finit;
- metode de sintetizare a filtrelor cu răspuns la impuls infinit;
- prin prezența unui prototip analogic:
- metode de sinteză folosind un prototip analog;
- metode de sinteză directă (fără utilizarea unui prototip analogic).
În practică, filtrele FIR sunt adesea preferate din următoarele motive. În primul rând, filtrele FIR oferă capacitatea de a calcula cu precizie semnalul de ieșire cu intrare limitată peste convoluție care nu necesită trunchierea răspunsului la impuls. În al doilea rând, filtrele cu un răspuns la impuls finit pot avea un răspuns de fază strict liniar în banda de trecere, ceea ce vă permite să proiectați filtre cu un răspuns de amplitudine care nu distorsionează semnalele de intrare. În al treilea rând, filtrele FIR sunt întotdeauna stabile și, odată cu introducerea unei întârzieri finite adecvate, sunt realizabile fizic. În plus, filtrele FIR pot fi implementate nu numai în scheme nerecursive, ci și folosind forme recursive.
Rețineți dezavantajele filtrelor FIR:
- Pentru a aproxima filtrele ale căror răspunsuri în frecvență au limite ascuțite, este necesar un răspuns la impuls cu un număr mare de eșantioane. Prin urmare, atunci când utilizați convoluția convențională, este necesar să efectuați o cantitate mare de calcule. Doar dezvoltarea metodelor de convoluție rapidă bazate pe algoritmul FFT de înaltă performanță a permis filtrelor FIR să concureze cu succes cu filtrele IIR care au tăieturi ascuțite în răspunsul în frecvență.
- Întârzierea filtrelor FIR cu un răspuns de fază liniară nu este întotdeauna egală cu un număr întreg de intervale de eșantionare. În unele aplicații, această întârziere multiplă poate fi problematică.
Una dintre opțiunile de proiectare a filtrelor digitale este asociată cu o anumită secvență de eșantioane de răspuns la impuls, care sunt utilizate pentru a obține și analiza răspunsul în frecvență al acestuia (câștig în frecvență).
Obținem condiția în care filtrul nerecursiv are un răspuns de fază strict liniar. Funcția de sistem a unui astfel de filtru are forma:
, (15.1)
unde coeficienții filtrului sunt mostre de răspuns la impuls. Transformarea Fourier a este răspunsul în frecvență al filtrului, periodic în frecvență cu o perioadă. O reprezentăm pentru o succesiune reală sub forma: Obținem condițiile în care răspunsul la impuls al filtrului va asigura liniaritatea strictă a răspunsului său de fază. Aceasta din urmă înseamnă că caracteristica de fază ar trebui să arate astfel:
(15.2)
unde este întârzierea constantă de fază exprimată în termeni de număr de intervale de eșantionare. Scriem răspunsul în frecvență sub forma:
(15.3)
Echivalând părțile reale și imaginare, obținem:
, (15.4)
. (15.5)
Unde:
. (15.6)
Există două soluții posibile pentru ecuația (15.6). Unul (când) nu prezintă interes, celălalt corespunde cazului. Înmulțind încrucișat termenii ecuației (15.6), obținem:
(15.7)
Deoarece ecuația (15.7) are forma unei serii Fourier, soluția ecuației trebuie să îndeplinească următoarele condiții:
, (15.8)
și (15,9)
Din condiția (15.8) rezultă că pentru fiecare există o singură întârziere de fază, sub care se poate obține liniaritatea strictă a caracteristicii fazei filtrului. Din (15.9) rezultă că pentru unul dat care satisface condiția (15.8), răspunsul la impuls trebuie să aibă o simetrie bine definită.
Este oportun să se ia în considerare utilizarea condițiilor (15.8) și (15.9) separat pentru cazurile par și impar. Dacă un număr impar, atunci un număr întreg, adică întârzierea filtrului este egală cu un număr întreg de intervale de eșantionare. În acest caz, centrul de simetrie cade pe referință. Dacă este un număr par, atunci este un număr fracționar, iar întârzierea filtrului este egală cu un număr non-întreg de intervale de eșantionare. De exemplu, pentru că obținem, iar centrul de simetrie al răspunsului la impuls se află la mijloc între două citiri.
Valorile coeficienților de răspuns la impuls sunt utilizate pentru a calcula răspunsul în frecvență al filtrelor FIR. Se poate demonstra că pentru un răspuns de impuls simetric cu un număr impar de eșantioane, expresia pentru o funcție reală care ia valori pozitive și negative este:
, (15.10)
Unde
Cel mai adesea, atunci când se proiectează un filtru FIR, se începe de la răspunsul în frecvență necesar (sau dorit) și apoi se calculează coeficienții filtrului. Există mai multe metode pentru a calcula astfel de filtre:metoda de proiectare cu ferestre, metoda de eșantionare în frecvență, metoda de calcul a filtrului optim (după Cebyshev).Luați în considerare ideea de design cu ferestre folosind filtrul trece-jos FIR ca exemplu.
În primul rând, este setat răspunsul în frecvență dorit al filtrului proiectat. De exemplu, să luăm un răspuns de frecvență continuu ideal al unui filtru trece-jos cu un câștig egal cu unitatea la frecvențe joase și egal cu zero la frecvențe care depășesc unele frecvența de tăiere . O reprezentare discretă a unui filtru trece-jos ideal este o caracteristică periodică, care poate fi stabilită de eșantioane pe un interval de periodicitate egal cu frecvența de eșantionare. Determinarea coeficienților filtrului trece-jos folosind metode DFT inversă (fie analitic, fie folosind un program DFT invers) produce o secvență de eșantioane de răspuns la impuls care este infinită în ambele direcții, care are forma unei funcții clasice.
Pentru a obține un filtru nerecursiv implementabil de o anumită ordine, această secvență este trunchiată, un fragment central de lungimea necesară este selectat din ea. Trunchierea simplă a probelor de răspuns la impuls este în concordanță cu utilizareafereastră dreptunghiulară, dat de o funcție specială Datorită trunchierii eșantioanelor, răspunsul în frecvență dat inițial este distorsionat, deoarece este o convoluție în domeniul frecvenței a răspunsului în frecvență discretă și DFT a funcției ferestre:
, (15.11)
unde DFT Ca urmare, se produce ondularea în banda de trecere a răspunsului în frecvență din cauza lobilor laterali.
Pentru a atenua efectele de mai sus și, mai ales, pentru a reduce nivelul lobilor din banda de oprire, răspunsul la impuls trunchiat este înmulțit cu o funcție de greutate (fereastră) care scade treptat spre margini. Astfel, metoda de proiectare a filtrelor FIR cu ferestre este o metodă de reducere a golurilor ferestrelor prin utilizarea ferestrelor nedreptunghiulare. În acest caz, funcția de greutate (fereastra) trebuie să aibă următoarele proprietăți:
- lățimea lobului principal al răspunsului în frecvență al ferestrei care conține cât mai mult posibil din energia totală ar trebui să fie mică;
- energia din lobii laterali ai răspunsului în frecvență a ferestrei ar trebui să scadă rapid pe măsură ce k se apropie.
Ferestrele Hamming, Kaiser, Blackman, Chebyshev etc. sunt folosite ca funcții de greutate.
Se încarcă...