Operatori de proiectare. Operatori liniari în spațiul euclidian Găsiți matricea operatorului de proiecție pe plan

Matrice operator liniar

Fie un operator liniar, iar spațiile sunt ambele cu dimensiuni finite și .

Să stabilim baze arbitrare: in si V .

Să stabilim sarcina: pentru un vector arbitrar, calculați coordonatele vectorului în bază.

Prin introducerea unei matrice de vectori rând formată din imagini ale vectorilor de bază, obținem:

Rețineți că ultima egalitate din acest lanț are loc tocmai datorită liniarității operatorului.

Să extindem sistemul de vectori în funcție de baza:

unde a treia coloană a matricei este coloana de coordonate vectoriale din bază.

În sfârșit vom avea:

Asa de, pentru a calcula coloana de coordonate vectoriale în baza selectată a celui de-al doilea spațiu, este suficient să înmulțim coloana de coordonate vectoriale din baza selectată a primului spațiu din stânga cu o matrice formată din coloane de coordonate ale imaginilor a vectorilor de bază ai primului spațiu în baza celui de-al doilea spațiu.

Matricea se numește matricea unui operator liniar într-o pereche dată de baze.

Suntem de acord să notăm matricea unui operator liniar cu aceeași literă ca și operatorul însuși, dar fără cursive. Uneori vom folosi următoarea notație: , omițând adesea referirile la baze (dacă acest lucru nu dăunează preciziei).

Pentru o transformare liniară (adică când ) putem vorbi despre a lui matrice în această bază.

Ca exemplu, luați în considerare matricea operatorului de proiecție din exemplul din paragraful 1.7 (considerând-o o transformare a spațiului vectorilor geometrici). Ca bază, alegem baza obișnuită.

În consecință, matricea operatorului de proiecție pe plan în bază are forma:

Rețineți că dacă am considera operatorul de proiecție ca o mapare în , înțelegând de către acesta din urmă spațiul tuturor vectorilor geometrici aflați în plan, atunci, luând baza ca bază, am obține următoarea matrice:

Considerând o matrice arbitrară de dimensiune ca un operator liniar care mapează un spațiu aritmetic într-un spațiu aritmetic și alegând o bază canonică în fiecare dintre aceste spații, obținem că matricea unui operator liniar dat dintr-o astfel de pereche de baze este însăși matricea care definește acest operator - adică, în acest caz, matricea și operatorul liniar sunt unul și același (la fel ca atunci când alegeți o bază canonică într-un spațiu vectorial aritmetic, vectorul și coloana coordonatelor sale din această bază pot fi identificat). Dar ar fi o greșeală gravă să identificăm vector ca atareȘi operator liniar ca astfel de cu reprezentarea lor într-una sau alta bază (sub formă de coloană sau matrice). Atât vectorul cât și operatorul liniar sunt obiecte geometrice, invariante, determinată independent de orice bază. Deci, atunci când, de exemplu, desenăm un vector geometric ca segment direcționat, atunci acesta este definit complet invariant, adică. când îl desenăm, nu ne pasă de baze, sisteme de coordonate etc. și putem opera cu el pur geometric. Un alt lucru este că pentru confort din această operație, pentru comoditatea calculelor cu vectori, construim un anumit aparat algebric, introducând sisteme de coordonate, baze și tehnica asociată pur algebrică a calculelor cu vectori. Figurat vorbind, un vector, ca un obiect geometric „gol”, „se îmbracă” în diferite reprezentări de coordonate, în funcție de alegerea bazei. Dar o persoană poate îmbrăca cea mai variată rochie, ceea ce nu-i schimbă esența ca persoană, dar este și adevărat că nu orice rochie este potrivită pentru o situație dată (nu poți merge la plajă într-un frac de concert) , și nici nu gol peste tot vei face o plimbare. Deci, nu orice bază este potrivită pentru rezolvarea acestei probleme, la fel cum o soluție pur geometrică se poate dovedi prea complicată. Vom vedea în cursul nostru cum să rezolvăm o astfel de problemă aparent pur geometrică precum clasificarea suprafețelor de ordinul doi, se construiește o teorie algebrică destul de complexă și frumoasă.

Înțelegerea diferenței dintre un obiect geometric și reprezentarea lui într-o anumită bază formează baza pentru percepția algebrei liniare. Și un obiect geometric nu trebuie să fie un vector geometric. Deci, dacă specificăm un vector aritmetic , atunci poate fi identificat cu coloana coordonatelor sale din baza canonică , pentru (vezi primul semestru):

Dar să introducem o altă bază în , constând din vectori și (verificați că aceasta este într-adevăr o bază!) și, folosind matricea de tranziție, recalculam coordonatele vectorului nostru:

Avem o coloană complet diferită, dar reprezintă același vector aritmetic într-o bază diferită.

Ceea ce s-a spus despre vectori se aplică și operatorilor liniari. Ce este pentru un vector reprezentarea sa în coordonate, ce este pentru un operator liniar matricea sa.

Deci (o vom spune din nou), este necesar să se facă distincția clară între obiectele invariante, geometrice, în sine, ce sunt un vector și un operator liniar și reprezentarea lor într-una sau alta bază (vorbim, desigur, despre spații liniare cu dimensiuni finite).

Să ne ocupăm acum de problema transformării matricei unui operator liniar la trecerea de la o pereche de baze la alta.

Lăsa - o nouă pereche de baze în și, respectiv.

Apoi (indicând matricea operatorului într-o pereche de baze „hașurate”) obținem:

Dar în alt fel,

de unde, datorită unicității expansiunii vectorului în bază

Pentru o transformare liniară, formula ia o formă mai simplă:

Se numesc matrici și conectate prin această relație asemănătoare.

Este ușor de observat că determinanții unor astfel de matrici coincid.

Să introducem acum conceptul rangul operatorului liniar.

Prin definiție, acesta este un număr egal cu dimensiunea imaginii unui operator dat:

Să demonstrăm următoarea afirmație importantă:

Afirmația 1. 10 Rangul unui operator liniar coincide cu rangul matricei sale, indiferent de alegerea bazelor.

Dovada. În primul rând, observăm că imaginea unui operator liniar este intervalul liniar al sistemului, unde este baza în spațiu.

Într-adevăr,

oricare ar fi numerele, aceasta înseamnă că este intervalul liniar specificat.

Dimensiunea învelișului liniar, după cum știm (vezi secțiunea 1.2), coincide cu rangul sistemului corespunzător de vectori.

Am demonstrat anterior (Secțiunea 1.3) că dacă un sistem de vectori este descompus pe o anumită bază sub forma

apoi, cu condiția ca sistemul să fie independent, coloanele matricei sunt liniar independente. O afirmație mai puternică poate fi, de asemenea, dovedită (omitem această dovadă): rangul sistemului este egal cu rangul matricei, Mai mult, acest rezultat nu depinde de alegerea bazei, deoarece înmulțirea unei matrice cu o matrice de tranziție nesingulară nu îi schimbă rangul.

Deoarece

Deoarece, evident, rangurile matricelor similare coincid, acest rezultat nu depinde de alegerea unei baze specifice.

Afirmația a fost dovedită.

Pentru liniar transformare a unui spațiu liniar finit-dimensional putem introduce conceptul determinant al acestui lucru transformare ca determinant al matricei sale într-o bază fixă arbitrar, deoarece matricele de transformare liniară în baze diferite sunt similare și, prin urmare, au aceiași determinanți.

Folosind conceptul de matrice a unui operator liniar, demonstrăm următoarea relație importantă: pentru orice transformare liniară a unui spațiu liniar -dimensional

Să alegem o bază arbitrară în spațiu. Atunci nucleul este format din acei și numai acei vectori ale căror coloane de coordonate sunt soluții ale sistemului omogen

și anume, un vector dacă și numai dacă coloana este o soluție a sistemului (1).

Cu alte cuvinte, există un izomorfism al nucleului în spațiul de soluție al sistemului (1). În consecință, dimensiunile acestor spații coincid. Dar dimensiunea spațiului de soluții al sistemului (1) este egală, după cum știm deja, , unde este rangul matricei . Dar doar am dovedit asta

Fie operatorul liniar A acţionează în spaţiul euclidian E n şi transformă acest spaţiu în sine.

Să vă prezentăm definiție: operator A* să-l numim conjugatul operatorului A, dacă pentru oricare doi vectori X y din E n se satisface egalitatea produselor scalare de forma:

(Axe,y) = (x,A*y)

Mai mult definiție: un operator liniar se numește autoadjunct dacă este egal cu operatorul său adjunct, adică egalitatea este valabilă:

(Axe,y) = (x, da)

sau, în special ( Ax,x) = (x,Ax).

Operatorul auto-adjunct are anumite proprietăți. Să menționăm câteva dintre ele:

Valorile proprii ale unui operator auto-adjunct sunt reale (fără dovezi);

Vectorii proprii ai unui operator auto-adjunct sunt ortogonali. Într-adevăr, dacă x 1Și x 2 sunt vectori proprii, iar  1 și  2 sunt valorile lor proprii, atunci: Axul 1 =  1 X; Axul 2 =  2 X; (Ax 1,x 2) = (x 1, Ax 2), sau  1 ( x 1, x 2) =  2 (x 1, x 2). Deoarece  1 și  2 sunt diferite, atunci de aici ( x 1, x 2) = 0, ceea ce trebuia demonstrat.

În spațiul euclidian există o bază ortonormală a vectorilor proprii ai operatorului auto-adjunct A. Adică, matricea unui operator auto-adjunct poate fi întotdeauna redusă la o formă diagonală într-o bază ortonormală compusă din vectori proprii ai operatorului auto-adjunct.

O alta definiție: să numim un operator auto-adjunct care acționează în spațiul euclidian simetric operator Să considerăm matricea unui operator simetric. Să demonstrăm afirmația: Pentru ca un operator să fie simetric, este necesar și suficient ca matricea sa în bază ortonormală să fie simetrică.

Lăsa A– operator simetric, adică:

(Axe,y) = (x, da)

Dacă A este matricea operatorului A și XȘi y– niște vectori, apoi scriem:

coordonate XȘi yîntr-o bază ortonormală

Apoi: ( X y) = X T Y = Y T X și avem ( Axe,y) = (AX) T Y = X T A T Y

(x, da) = X T (AY) = X T AY,

acestea. X T A T Y = X T AY. Pentru matrice de coloană arbitrară X,Y, această egalitate este posibilă numai atunci când A T = A, ceea ce înseamnă că matricea A este simetrică.

Să ne uităm la câteva exemple de operatori liniari

Operator proiecta. Să fie necesar să se găsească matricea unui operator liniar care proiectează spațiu tridimensional pe axa de coordonate e 1 în bază e 1 , e 2 , e 3 . Matricea operatorului liniar este o matrice ale cărei coloane trebuie să conțină imagini ale vectorilor de bază e 1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0), e 3 = (0,0,1). Aceste imagini există evident: Ae 1 = (1,0,0)

Ae 2 = (0,0,0)

Ae 3 = (0,0,0)

Prin urmare, în bază e 1 , e 2 , e 3 matricea operatorului liniar dorit va avea forma:

Să găsim nucleul acestui operator. Conform definiției, un nucleu este un set de vectori X, pentru care AX = 0. Or

Adică, nucleul operatorului este un set de vectori care se află în plan e 1 , e 2 . Dimensiunea nucleului este n – rangA = 2.

Setul de imagini ale acestui operator este, evident, un set de vectori coliniari e 1 . Dimensiunea spațiului imaginii este egală cu rangul operatorului liniar și este egală cu 1 , care este mai mică decât dimensiunea spațiului preimagine. Adică operatorul A- degenerat. Matricea A este de asemenea singulară.

Alt exemplu: găsiți matricea unui operator liniar care operează în spațiul V 3 (baza i, j, k) transformare liniară– simetrie față de origine.

Avem: Ai = -i

Adică matricea necesară

Luați în considerare o transformare liniară - simetrie fata de plan y = X.

Aj = i(1,0,0)

Ak = k (0,0,1)

Matricea operatorului va fi:

Un alt exemplu este matricea deja familiară care conectează coordonatele unui vector la rotirea axelor de coordonate. Să numim operatorul care rotește axele de coordonate operator de rotație. Să presupunem că ne rotim printr-un unghi :

Ai’ = cos i+ păcat j

Aj’ = -sin i+cos j

Matricea operatorului de rotație:

Ai ‘ Aj ‘

Să ne amintim formulele de transformare a coordonatelor unui punct la schimbarea bazei - înlocuirea coordonatelor în plan la schimbarea bazei:

E Aceste formule pot fi luate în considerare în două moduri. Anterior, am considerat aceste formule astfel încât punctul să stea nemișcat, sistemul de coordonate să se rotească. Dar se poate considera și că sistemul de coordonate rămâne același, dar punctul se deplasează din poziția M * în poziția M. Coordonatele punctului M și M * sunt definite în același sistem de coordonate.

ÎN Tot ceea ce s-a spus ne permite să abordăm următoarea problemă pe care trebuie să o rezolve programatorii care se ocupă de grafică pe un computer. Să fie necesar să se rotească o anumită figură plată (de exemplu, un triunghi) pe ecranul unui computer în raport cu punctul O’ cu coordonatele (a, b) printr-un anumit unghi . Rotația coordonatelor este descrisă de formulele:

Transferul paralel oferă următoarele relații:

Pentru a rezolva o astfel de problemă se folosește de obicei o tehnică artificială: se introduc așa-numitele coordonate „omogene” ale unui punct din planul XOY: (x, y, 1). Atunci matricea care efectuează transfer paralel se poate scrie:

Într-adevăr:

Și matricea de rotație:

Problema luată în considerare poate fi rezolvată în trei pași:

Primul pas: transfer paralel la vectorul A(-a, -b) pentru a alinia centrul de rotație cu originea coordonatelor:

Pasul 2: rotire cu unghi :

Al treilea pas: transfer paralel la vectorul A(a, b) pentru a readuce centrul de rotație în poziția anterioară:

Transformarea liniară dorită sub formă de matrice va arăta astfel:

(**)

1. Operatori de proiecție și idempotenți de inel

Fie spațiul vectorial V egal cu suma directă a subspațiilor W și L: . Prin definiția unei sume directe, aceasta înseamnă că fiecare vector vV poate fi reprezentat în mod unic ca v=w+l, wW. ll.

Definiția 1. Dacă, astfel încât v=w+l, atunci maparea care asociază fiecare vector vV cu componenta (proiecția) wW se numește proiectorul spațiului V pe spațiul W. Se mai numește și operator de proiecție, sau operator de proiecție.

Evident, dacă wW, atunci (w)=w. Rezultă că are următoarea proprietate remarcabilă 2 =P.

Definiția 2. Un element e al inelului K se numește idempotent (adică similar cu unul) dacă e 2 =e.

În inelul numerelor întregi există doar doi idempotenți: 1 și 0. Situația este diferită în inelul matricelor. De exemplu, matricele sunt idempotente. Matricele operatorilor de proiecție sunt, de asemenea, idempotente. Operatorii lor corespunzători se numesc operatori idempotenți.

Să considerăm acum suma directă a n subspații ale spațiului V:

Atunci, similar în cazul unei sume directe a două subspații, putem obține n operatori de proiecție, ..., . Au proprietatea ==0 pentru ij.

Definiția 3. Idempotenții e i și e j (ij) se numesc ortogonali dacă e i e j = e j e i =0. Prin urmare, și sunt idempotenți ortogonali.

Din faptul că IV=V şi din regula adunării operatorilor liniari rezultă că

Această descompunere se numește descompunerea unității într-o sumă de idempotenți.

Definiția 4. Un idempotent e se numește minim dacă nu poate fi reprezentat ca o sumă de idempotenți, alții decât e și 0.

2. Descompunerea reprezentării canonice

Definiția 5. Descompunerea canonică a unei reprezentări T(g) este descompunerea ei de forma T(g)=n 1 T 1 (g)+ n 2 T 2 (g)+…+ n t T t (g), în care echivalent ireductibil reprezentările Ti (g ) sunt combinate împreună, iar n i este multiplicitatea de apariție a reprezentării ireductibile Ti (g) în expansiunea T(g).

Teorema 1. Descompunerea canonică a unei reprezentări este definită folosind un operator de proiecție al formei

I=1, 2, …, t, (31)

unde |G| - ordinea grupei G; m i - grade de reprezentări Ti (g), unde i=1, 2, …, t; i (g), i=1, 2, …, t - caractere ale reprezentărilor ireductibile T i (g). În acest caz, m i este determinat de formula

3. Operatori de proiecție asociați cu matrici de reprezentări ireductibile ale grupurilor

Folosind formulele (31), se poate obține doar descompunerea canonică a reprezentării. În cazul general, este necesar să folosim matrici de reprezentări ireductibile, care ne permit să construim operatorii de proiecție corespunzători.

Teorema 2. Fie elementele matriceale ale reprezentării ireductibile T r (g) a grupului G. Un operator de forma

este un operator de proiecție și se numește operator Wigner. În expresia (33), m r este dimensiunea reprezentării T r (g).

4. Descompunerea unei reprezentări într-o sumă directă de reprezentări ireductibile folosind operatorul Wigner

Să notăm cu M modulul asociat reprezentării T. Fie reprezentărilor ireductibile T 1, T 2, ..., T t din descompunerea canonică a reprezentării după metoda descrisă mai devreme (vezi § 4) corespunde submodule ireductibile M 1, M 2, ..., M t . Descompunerea modulului de tip M

se numeşte descompunerea canonică a modulului M. Să notăm niMi=Li, astfel încât

Notăm submodule ireductibile ale modulelor L i

; i=1, 2, …, t. (36)

Trebuie să găsim aceste module.

Să presupunem că problema este rezolvată. În consecință, în fiecare dintre modulele M i (s) (s=1, 2, …, n i) se găsește o bază ortonormală în care operatorul este reprezentat de matricea Ti (g) a reprezentării ireductibile a lui T obținută ca un rezultat al acţiunii (după regula de la § 3 ) operator de a baza după formula

J=1, 2, …, m i . (37)

În această expresie, putem presupune că m i este dimensiunea reprezentării ireductibile Ti (i=1, 2, …, t), și sunt elementele bazei cu număr g din submodulul ireductibil M i . Să plasăm acum elementele bazei L i pentru i fix după cum urmează:

În dreapta în expresia (38) sunt bazele modulului M i (1) , M i (2) , …, . Dacă i se schimbă de la 1 la t, atunci obținem baza dorită a întregului modul M, format din m 1 n 1 + m 2 n 2 +…+ m t n t elemente.

Să luăm acum în considerare operatorul

acţionând în modulul M (j este fix). Conform teoremei 2, este operatorul de proiecție. Prin urmare, acest operator lasă neschimbate toate elementele de bază (s=1, 2, ..., n i) situate în j-a coloană expresia (38) și transformă toți ceilalți vectori de bază la zero. Să notăm cu M ij spațiul vectorial acoperit de sistemul ortogonal de vectori din a j-a coloană a expresiei (38). Apoi putem spune care este operatorul de proiecție pe spațiul M ij . Operatorul este cunoscut, deoarece sunt cunoscute elementele diagonale ale matricelor de reprezentari ireductibile ale grupurilor, precum si operatorul T(g).

Acum ne putem rezolva problema.

Să alegem n i vectori de bază arbitrari în M: și să acționăm asupra lor cu operatorul de proiecție. Vectorii rezultați se află în spațiul M ij și sunt independenți liniar. Ele nu sunt neapărat ortogonale și normalizate. Să ortonormalizăm sistemul de vectori rezultat după regula de la § 2. Notăm sistemul rezultat de vectori e ij (s) în conformitate cu notația adoptată în ipoteza că problema a fost rezolvată. După cum sa menționat deja, aici j este fix și s=1, 2, ..., n i. Să notăm e dacă (s) (f=1, 2, …, j-1, j+1, …, m i), elementele rămase ale bazei modulului M i de dimensiunea n i m i. Să notăm cu următorul operator:

Din relațiile de ortogonalitate pentru matrice de reprezentări ireductibile rezultă că acest operator face posibilă obținerea e ig-urilor folosind formula

I=1, 2, …, t. (41)

Toate cele de mai sus pot fi exprimate sub forma următorului algoritm.

Pentru a găsi baza unui modul M din elemente care se transformă conform reprezentărilor ireductibile T i cuprinse în reprezentarea T asociată cu modulul M este necesar:

Folosind formula (32), găsiți dimensiunile subspațiilor M ij corespunzătoare componentei j a reprezentării ireductibile T i .

Găsiți toate subspațiile M ij folosind operatorul de proiecție (39).

În fiecare subspațiu M ij, alegeți o bază ortonormală arbitrară.

Folosind formula (41), găsiți toate elementele bazei care se transformă peste componentele rămase ale reprezentării ireductibile T i.

Vectorii Bra- și ket-Dirac sunt remarcabili prin faptul că pot fi folosiți pentru a scrie Tipuri variate lucrări.

Produsul unui vector bra și al unui vector ket se numește produs scalar sau produs interior. În esență, acesta este un produs matrice standard conform regulii „rând cu coloană”. Rezultatul este un număr complex.

Produsul unui vector-ket de un alt vector-ket dă nu un număr, ci un alt vector-ket. Este reprezentat și ca un vector coloană, dar cu numărul de componente egal cu produsul dimensiunilor vectorilor originali. Un astfel de produs se numește produs tensor sau produs Kronecker.

În mod similar pentru produsul a doi vectori bra. Obținem un vector rând mare.

Ultima opțiune este de a înmulți vectorul ket cu vectorul bra. Adică, trebuie să înmulțiți coloana cu rândul. Un astfel de produs se mai numește și tensor sau produs exterior. Rezultatul este o matrice, adică un operator.

Să ne uităm la un exemplu de utilizare a unor astfel de operatori.

Să luăm un operator Hermitian arbitrar A. Conform postulatelor, îi corespunde o cantitate observabilă. Vectorii proprii ai operatorului Hermitian formează baza. Cel mai general vector de stare poate fi extins pe această bază. Adică, reprezentați-l ca o sumă de vectori de bază cu anumiți coeficienți complexi. Acest fapt este cunoscut sub numele de principiul suprapunerii. Să rescriem expresia folosind semnul sumei.

Dar coeficienții în expansiunea unui vector în cei de bază sunt amplitudini de probabilitate, adică produsul scalar al vectorului de stare cu vectorul de bază corespunzător. Să scriem această amplitudine în dreapta vectorului. Expresia de sub semnul sumei poate fi considerată ca înmulțirea vectorului ket cu un număr complex - amplitudinea probabilității. Pe de altă parte, poate fi considerat ca produsul matricei obținute prin înmulțirea vectorului-ket cu vectorul-bra și a vectorului-ket original. Vectorul ket poate fi scos din semnul sumei din afara parantezei. La dreapta și la stânga semnului egal va fi același vector psi. Aceasta înseamnă că întreaga sumă nu face nimic vectorului și, în consecință, este egală cu matricea de identitate.

Această formulă în sine este foarte utilă atunci când se manipulează expresii cu produse ale vectorilor bra și ket. La urma urmei, o unitate poate fi introdusă oriunde în lucrare.

Să vedem care sunt matricele care sunt incluse în sumă și sunt obținute prin produsul tensor al vectorului de bază ket cu conjugatul său hermitian. Din nou, pentru claritate, să desenăm o analogie cu vectorii obișnuiți din spațiul tridimensional.

Să alegem vectori de bază unitare ex ey și ez care coincid în direcția cu axele de coordonate. Produsul tensor al vectorului ex și conjugatul acestuia va fi reprezentat de următoarea matrice. Să luăm un vector arbitrar v. Ce se întâmplă când această matrice este înmulțită cu un vector? Această matrice pur și simplu a scos la zero toate componentele vectorului, cu excepția x. Rezultatul este un vector direcționat de-a lungul axei x, adică o proiecție a vectorului original pe vectorul de bază ex. Se pare că matricea noastră nu este altceva decât un operator de proiecție.

Cei doi operatori de proiecție rămași pe vectorii de bază ey și ez sunt reprezentați de matrici similare și îndeplinesc o funcție similară - resetează toate componentele vectoriale cu excepția uneia la zero.

Ce se întâmplă la însumarea operatorilor de proiecție? De exemplu, să adăugăm operatorii Px și Py. O astfel de matrice va reseta doar componenta z a vectorului. Vectorul final va fi întotdeauna în plan x-y. Adică avem un operator de proiecție pe planul x-y.

Acum este clar de ce suma tuturor operatorilor de proiecție pe vectorii de bază este egală cu matricea de identitate. În exemplul nostru, vom obține o proiecție a unui vector tridimensional pe spațiul tridimensional însuși. Matricea de identitate este în esență un proiector al vectorului pe sine.

Se pare că specificarea operatorului de proiecție este echivalentă cu specificarea unui subspațiu al spațiului original. În cazul spațiului euclidian tridimensional luat în considerare, acesta poate fi o linie unidimensională definită de un singur vector sau un plan bidimensional definit de o pereche de vectori.

Revenind la mecanica cuantică cu vectorii săi de stare în spațiul Hilbert, putem spune că operatorii de proiecție definesc un subspațiu și proiectează un vector de stare în acel subspațiu Hilbert.

Să prezentăm principalele proprietăți ale operatorilor de proiecție.

Aplicațiile succesive ale aceluiași operator de proiecție sunt echivalente cu un operator de proiecție. De obicei, această proprietate este scrisă ca P 2 =P. Într-adevăr, dacă primul operator a proiectat un vector într-un subspațiu, atunci al doilea operator nu va face nimic cu el. Vectorul va fi deja în acest subspațiu.
Operatorii de proiecție sunt operatori hermitieni, în mecanica cuantică ei corespund unor mărimi observabile.
Valorile proprii ale operatorilor de proiecție de orice dimensiune sunt doar numerele unu și zero. Indiferent dacă vectorul este în subspațiu sau nu. Din cauza acestei naturi binare, mărimea observabilă descrisă de operatorul de proiecție poate fi formulată sub forma unei întrebări, al cărei răspuns este „da” sau „nu”. De exemplu, spinul primului electron în starea singlet este îndreptat în sus de-a lungul axei z? Această întrebare poate fi asociată cu un operator de proiecție. Mecanica cuantică vă permite să calculați probabilitățile pentru un răspuns „da” și pentru un răspuns „nu”.

Pe viitor vom vorbi mai mult despre operatorii de proiecție.