Успехи в изучении электромагнетизма в XIX веке привели к бурному развитию промышленности и техники, особенно это касается средств связи. Прокладывая линии телеграфа на большие расстояния, инженеры столкнулись с рядом необъяснимых явлений, которые побудили ученых к исследованиям. Так, в 50-х годах британский физик Уильям Томсон (лорд Кельвин) занялся вопросом о трансатлантической телеграфии. Учитывая неудачи первых практиков, он теоретически исследовал вопрос о распространении электрических импульсов вдоль кабеля. При этом Кельвин получил ряд важных выводов, которые в дальнейшем позволили осуществить телеграфирование через океан. Также в 1853 году британский физик выводит условия существования колебательного электрического разряда. Эти условия легли в основу всего учения об электрических колебаниях. На этом уроке и на других уроках данной главы мы рассмотрим некоторые основы теории электрических колебаний Томсона.
Периодические или почти периодические изменения заряда, тока и напряжения в цепи называются электромагнитными колебаниями . Также можно дать еще одно определение.
Электромагнитными колебаниями называются периодические изменения напряженности электрического поля (E ) и магнитной индукции (B ).
Для возбуждения электромагнитных колебаний необходимо иметь колебательную систему. Простейшая колебательная система, в которой могут поддерживаться свободные электромагнитные колебания, называется колебательным контуром .
На рисунке 1 представлен простейший колебательный контур - это электрическая цепь, которая состоит из конденсатора и проводящей катушки, подсоединенной к обкладкам конденсатора.
Рис. 1. Колебательный контур
В таком колебательном контуре могут протекать свободные электромагнитные колебания.
Свободными называются колебания, которые осуществляются за счет запасов энергии, накопленной самой колебательной системой, без привлечения энергии извне.
Рассмотрим колебательный контур, изображенный на рисунке 2. Он состоит из: катушки с индуктивностью L , конденсатора с емкостью C , лампочки (для контроля наличия тока в цепи), ключа и источника тока.При помощи ключа конденсатор может быть подключен либо к источнику тока, либо к катушке. В начальный момент времени (конденсатор не подключен к источнику тока) напряжение между его обкладками равно 0.
Рис. 2. Колебательный контур
Заряжаем конденсатор путем замыкания его на источник постоянного тока.
При переключении конденсатора на катушку лампочка на короткое время загорается, то есть конденсатор быстро разряжается.
Рис. 3. График зависимости напряжения между обкладками конденсатора от времени при разрядке
На рисунке 3 изображен график зависимости напряжения между обкладками конденсатора от времени. На этом графике показан интервал времени с момента переключения конденсатора на катушку до момента, когда напряжение на конденсаторе равно нулю. Видно, что напряжение изменялось периодически, то есть в цепи протекали колебания.
Следовательно, в колебательном контуре протекают свободные затухающие электромагнитные колебания.
В начальный момент времени (перед тем как замкнули конденсатор на катушку) вся энергия была сосредоточена в электрическом поле конденсатора (см. Рис. 4 а).
При замыкании конденсатора на катушку он начнет разряжаться. Ток разряда конденсатора, проходя по виткам катушки, создает магнитное поле. Это означает, что происходит изменение магнитного потока, охватывающего катушку, и в ней возникает ЭДС самоиндукции, которая препятствует мгновенному разряду конденсатора, следовательно, ток разряда нарастает постепенно. С ростом тока разряда убывает электрическое поле в конденсаторе, но возрастает магнитное поле катушки (см. Рис. 4 б).
В момент, когда поле конденсатора исчезнет (конденсатор разрядится), магнитное поле катушки будет максимальным (см. Рис. 4 в).
Далее магнитное поле будет ослабевать и в цепи появится ток самоиндукции, который будет препятствовать убыванию магнитного поля, следовательно, этот ток самоиндукции будет направлен так же, как и ток разряда конденсатора. Это приведет к перезарядке конденсатора. То есть, на той обкладке, где вначале был знак плюс, появится минус, и наоборот. Направление вектора напряженности электрического поля в конденсаторе также поменяется на противоположное (см. Рис. 4 г).
Ток в цепи будет ослабевать за счет возрастания электрического поля в конденсаторе и полностью исчезнет, когда поле в конденсаторе достигнет максимального значения (см. Рис. 4 д).
Рис. 4. Процессы, происходящие за один период колебаний
Когда электрическое поле конденсатора исчезнет, магнитное поле вновь достигнет своего максимума (см. Рис. 4 ж).
Начнется заряд конденсатора за счет тока индукции. По мере заряда ток будет ослабевать, а вместе с ним и магнитное поле (см. Рис. 4 з).
Когда конденсатор зарядится, ток в цепи и магнитное поле исчезнут. Система вернется в исходное состояние (см. Рис. 4 е).
Таким образом, мы рассмотрели процессы, происходящие за один период колебаний.
Значение энергии, сосредоточенной в электрическом поле конденсатора, в начальный момент времени вычисляется по формуле:
, где
Заряд конденсатора; C - электроемкость конденсатора.
Через четверть периода вся энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки, которая определяется по формуле:
где L - индуктивность катушки, I - сила тока.
Для произвольного момента времени сумма энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки является постоянной величиной (если пренебрегать затуханием):
Согласно закону сохранения энергии, полная энергия контура остается постоянной, следовательно, производная от постоянной величины по времени будет равна нулю:
Вычисляя производные по времени, получим:
Учтем, что мгновенное значение тока - это первая производная заряда по времени:
Следовательно:
Если мгновенное значение тока - это первая производная заряда по времени, то производная тока по времени будет второй производной заряда по времени:
Следовательно:
Мы получили дифференциальное уравнение, решением которого будет гармоническая функция (заряд гармонически зависит от времени):
Циклическая частота колебаний, которая определяется значениями электроемкости конденсатора и индуктивности катушки:
Поэтому колебание заряда, а значит, тока и напряжения в цепи, будут гармоническими.
Так как период колебаний связан с циклической частотой обратной зависимостью, то период равен:
Данное выражение называется формулой Томсона .
Список литературы
- Мякишев Г.Я. Физика: Учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений. - М.: Просвещение, 2010.
- Касьянов В.А. Физика. 11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - М.: Дрофа, 2005.
- Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., Физика 11. - М.: Мнемозина
- Lms.licbb.spb.ru ().
- Home-task.com ().
- Sch130.ru ().
- Youtube.com ().
Домашнее задание
- Что называют электромагнитными колебаниями?
- Вопросы в конце параграфа 28, 30 (2) - Мякишев Г.Я. Физика 11 (см. список рекомендованной литературы) ().
- Как осуществляется превращение энергии в контуре?
Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания могут быть различными по физической природе (механическими, электромагнитными, гравитационными), но описываются они одинаковыми по структуре уравнениями.
Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания , при которых колеблющаяся величина изменяется по гармоническому закону, т. е. по закону синуса или косинуса.
Колебания бывают свободными и вынужденными . Свободные колебания разделяют на незатухающие (собственные) и затухающие .
Свободные незатухающие, или собственные, колебания – это такие колебания, которые совершаются за счет энергии, сообщенной колебательной системе в начальный момент времени, при отсутствии дальнейшего внешнего воздействия на систему.
Дифференциальное уравнение собственных электрических гармонических колебаний контура (рис. 4.1)
где – электрический заряд конденсатора; – циклическая (круговая) частота свободных незатухающих колебаний, (здесь – индуктивность контура; – электрическая емкость контура).
Уравнение электрических гармонических колебаний:
где – амплитуда заряда конденсатора; – начальная фаза.
Сила тока в колебательном контуре
где – амплитуда силы тока, .
Рис. 4.1. Идеальный колебательный контур
Период колебаний – время одного полного колебания. За это время фаза колебаний получает приращение .
Частота колебаний – число колебаний, совершаемых за единицу времени,
Формулы, связывающие период, частоту и циклическую частоту:
Период свободных незатухающих колебаний в электромагнитном колебательном контуре определяется формулой Томсона
Амплитуда результирующего колебания заряда, возникающего в двух разных контурах и складываемого на одной нагрузке, (складываемые колебания одного направления и одинаковой частоты)
где и – амплитуды двух колебаний; и – начальные фазы двух колебаний.
Начальная фаза результирующего колебания заряда, участвующего в двух колебаниях одного направления и одинаковой частоты,
Уравнение биений, т. е. негармонических колебаний, возникающих при наложении гармонических колебаний, частоты которых достаточно близки:
где – амплитуда биений; – частота биений, .
Уравнение траектории движения заряда , участвующего в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты:
Свободные затухающие колебания – это такие колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени вследствие потерь энергии колебательной системой. В электрическом колебательном контуре энергия расходуется на джоулево тепло и на электромагнитное излучение.
Дифференциальное уравнение затухающих электрических колебаний в контуре, имеющем электрическое сопротивление :
где – коэффициент затухания, (здесь – индуктивность контура).
Уравнение затухающих колебаний в случае слабого затухания () (рис. 4.2):
где – амплитуда затухающих колебаний заряда конденсатора; – начальная амплитуда колебаний; – циклическая частота затухающих колебаний, .
Рис. 4.2. Изменение заряда во времени при слабых затухающих колебаниях
Время релаксации – это промежуток времени , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в раз:
Время релаксации связано с коэффициентом затухания соотношением
Логарифмический декремент затухания колебаний
где – период затухающих колебаний.
Формула, связывающая логарифмический декремент колебаний с коэффициентом затухания и периодом затухающих колебаний:
Вынужденные колебания – это такие колебания, которые совершаются при наличии внешнего периодически изменяющегося воздействия.
Дифференциальное уравнение вынужденных электрических колебаний в контуре, имеющем электрическое сопротивление , при наличии вынуждающей ЭДС , изменяющейся по гармоническому закону , где – амплитудное значение ЭДС, а – циклическая частота изменения ЭДС (рис. 4.3):
где – коэффициент затухания, ; – индуктивность контура.
Рис. 4.3. Контур для наблюдения вынужденных электрических колебаний
Уравнение установившихся вынужденных электрических колебаний:
где – разность фаз колебаний заряда конденсатора и вынуждающей ЭДС источника тока.
Амплитуда установившихся вынужденных колебаний заряда конденсатора
Разность фаз колебаний заряда конденсатора и вынуждающей ЭДС источника тока
Амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения между циклическими частотами вынуждающего воздействия и собственных колебаний . Резонансная частота и резонансная амплитуда.
Цепь, которая состоит из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C, включенных последовательно, называют колебательным контуром.2. Почему сохраняется полная энергия электромагнитного поля в колебательном контуре?
Потому что она не расходуется на нагревание (R ≈ 0).3. Объясните, почему в контуре возникают гармонические незатухающие колебания заряда и силы тока.
В начальный момент t = 0 между обкладками конденсатора образуется электрическое поле. В момент времени t = T/4 сила тока в контуре убывает, уменьшается магнитный поток в катушке. Конденсатор начинает перезаряжаться, и между его обкладок возникает электрическое поле, которое стремится уменьшить ток. В момент времени t = T/2 ток равен 0. Заряд на обкладках равен первоначальному по модулю, но противоположен по направлению. Потом все процессы начнут протекать в обратную сторону, и в момент t = T система вернется в первоначальное состояние. Далее цикл будет повторяться. В контуре при отсутствии потерь на нагревание проводов совершаются гармонические незатухающие колебания заряда на обкладках конденсатора и силы тока в катушках индуктивности.4. По какому закону изменяют со временем заряд на конденсаторе и силу тока в катушке индуктивности?
По закону Ома для колебательного контура.
5. Как зависит период собственных колебаний в колебательном контуре от величины электроемкости конденсатора и индуктивности катушки?
– электрическая цепь, состоящая из последовательно соединённых конденсатора с ёмкостью , катушки с индуктивностью и электрического сопротивления .
Идеальный колебательный контур — цепь, состоящая только из катушки индуктивности (не имеющей собственного сопротивления) и конденсатора ( -контур). Тогда в такой системе поддерживаются незатухающие электромагнитные колебания силы тока в цепи, напряжения на конденсаторе и заряда конденсатора. Давайте разберём контур и подумаем, откуда возникают колебания. Пусть изначально заряженный конденсатор помещён в описываемую нами цепь.
Рис. 1. Колебательный контур
В начальный момент времени весь заряд сосредоточен на конденсаторе, на катушке тока нет (рис. 1.1). Т.к. на обкладках конденсатора внешнего поля тоже нет, то электроны с обкладок начинают «уходить» в цепь (заряд на конденсаторе начинает уменьшаться). При этом (за счёт освобождённых электронов) возрастает ток в цепи. Направление тока, в данном случае, от плюса к минусу (впрочем, как и всегда), и конденсатор представляет собой источник переменного тока для данной системы. Однако при росте тока на катушке, вследствие , возникает обратный индукционный ток (). Направление индукционного тока, согласно правилу Ленца, должно нивелировать (уменьшать) рост основного тока. Когда заряд конденсатора станет равным нулю (весь заряд стечёт), сила индукционного тока в катушке станет максимальной (рис. 1.2).
Однако текущий заряд в цепи пропасть не может (закон сохранения заряда), тогда этот заряд, ушедший с одной обкладки через цепь, оказался на другой обкладке. Таким образом, происходит перезарядка конденсатора в обратную сторону (рис. 1.3). Индукционный ток на катушке уменьшается до нуля, т.к. изменение магнитного потока также стремится к нулю.
При полной зарядке конденсатора электроны начинают двигаться в обратную сторону, т.е. происходит разрядка конденсатора в обратную сторону и возникает ток, доходящий до своего максимума при полной разрядке конденсатора (рис. 1.4).
Дальнейшая обратная зарядка конденсатора приводит в систему в положение на рисунке 1.1. Такое поведение системы повторяется сколь угодно долго. Таким образом, мы получаем колебание различных параметров системы: тока в катушке, заряд на конденсаторе, напряжение на конденсаторе. В случае идеальности контура и проводов (отсутствие собственного сопротивления), эти колебания — .
Для математического описания этих параметров этой системы (в первую очередь, периода электромагнитных колебаний) вводится рассчитанная до нас формула Томсона :
Неидеальным контуром является всё тот же идеальный контур, который мы рассмотрели, с одним небольшим включением: с наличием сопротивления ( -контур). Данное сопротивление может быть как сопротивлением катушки (она не идеальна), так и сопротивлением проводящих проводов. Общая логика возникновения колебаний в неидеальном контуре аналогична той, что и в идеальном. Отличие только в самих колебаниях. В случае наличия сопротивления, часть энергии будет рассеиваться в окружающую среду — сопротивление будет нагреваться, тогда энергия колебательного контура будет уменьшаться и сами колебания станут затухающими .
Для работы с контурами в школе используется только общая энергетическая логика. В данном случае, считаем, что полная энергия системы в начале сосредоточена на и/или , и описывается:
Для идеального контура полная энергия системы остаётся постоянной.
Основным устройством, определяющим рабочую частоту любого генератора переменного тока, является колебательный контур. Колебательный контур (рис.1) состоит из катушки индуктивности L (рассмотрим идеальный случай, когда катушка не обладает омическим сопротивлением) и конденсатора C и называется замкнутым. Характеристикой катушки является индуктивность, она обозначается L и измеряется в Генри (Гн), конденсатор характеризуют емкостью C , которую измеряют в фарадах (Ф).
Пусть в начальный момент времени конденсатор заряжен так (рис.1), что на одной из его обкладок имеется заряд +Q 0 , а на другой - заряд -Q 0 . При этом между пластинами конденсатора образуется электрическое поле, обладающее энергией
где - амплитудное (максимальное) напряжение или разность потенциалов на обкладках конденсатора.
После замыкания контура конденсатор начинает разряжаться и по цепи пойдет электрический ток (рис.2), величина которого увеличивается от нуля до максимального значения . Так как в цепи протекает переменный по величине ток, то в катушке индуцируется ЭДС самоиндукции, которая препятствует разрядке конденсатора. Поэтому процесс разрядки конденсатора происходит не мгновенно, а постепенно. В каждый момент времени разность потенциалов на обкладках конденсатора
(где - заряд конденсатора в данный момент времени) равна разности потенциалов на катушке, т.е. равна ЭДС самоиндукции
| Рис.1 | Рис.2 |
Когда конденсатор полностью разрядится и , сила тока в катушке достигнет максимального значения (рис.3). Индукция магнитного поля катушки в этот момент также максимальна, а энергия магнитного поля будет равна
Затем сила тока начинает уменьшаться, а заряд будет накапливаться на пластинах конденсатора (рис.4). Когда сила тока уменьшится до нуля, заряд конденсатора достигнет максимального значения Q 0 , но обкладка, прежде заряженная положительно, теперь будет заряжена отрицательно (рис. 5). Затем конденсатор вновь начинает разряжаться, причем ток в цепи потечет в противоположном направлении.
Так процесс перетекания заряда с одной обкладки конденсатора на другую через катушку индуктивности повторяется снова и снова. Говорят, что в контуре происходят электромагнитные колебания . Этот процесс связан не только с колебаниями величины заряда и напряжения на конденсаторе, силы тока в катушке, но и перекачкой энергии из электрического поля в магнитное и обратно.
| Рис.3 | Рис.4 |
Перезарядка конденсатора до максимального напряжения произойдет только в том случае, когда в колебательном контуре нет потерь энергии. Такой контур называется идеальным.
В реальных контурах имеют место следующие потери энергии:
1) тепловые потери, т.к. R ¹ 0;
2) потери в диэлектрике конденсатора;
3) гистерезисные потери в сердечнике катушке;
4) потери на излучение и др. Если пренебречь этими потерями энергии, то можно написать, что , т.е.
Колебания, происходящие в идеальном колебательном контуре, в котором выполняется это условие, называются свободными , или собственными , колебаниями контура.
В этом случае напряжение U (и заряд Q ) на конденсаторе изменяется по гармоническому закону:
где n - собственная частота колебательного контура, w 0 = 2pn - собственная (круговая) частота колебательного контура. Частота электромагнитных колебаний в контуре определяется как
Период T - время, в течение которого совершается одно полное колебание напряжения на конденсаторе и тока в контуре, определяется формулой Томсона
Сила тока в контуре также изменяется по гармоническому закону, но отстает от напряжения по фазе на . Поэтому зависимость силы тока в цепи от времени будет иметь вид
На рис.6 представлены графики изменения напряжения U на конденсаторе и тока I в катушке для идеального колебательного контура.
В реальном контуре энергия с каждым колебанием будет убывать. Амплитуды напряжения на конденсаторе и тока в контуре будут убывать, такие колебания называются затухающими. В задающих генераторах их применять нельзя, т.к. прибор будет работать в лучшем случае в импульсном режиме.
| Рис.5 | Рис.6 |
Для получения незатухающих колебаний необходимо компенсировать потери энергии при самых разнообразных рабочих частотах приборов, в том числе и применяемых в медицине.
Загрузка...