Jedným z najdôležitejších konceptov teórie pravdepodobnosti je koncept náhodná premenná.

Náhodný volal hodnotu, ktorý v dôsledku testov nadobúda určité možné hodnoty, ktoré nie sú vopred známe a závisia od náhodných príčin, ktoré nemožno vopred vziať do úvahy.

Náhodné premenné sa označujú veľkými písmenami latinskej abecedy X, Y, Z atď. alebo veľké písmená latinskej abecedy so správnym dolným indexom a hodnoty, ktoré môžu nadobudnúť náhodné premenné- zodpovedajúce malé písmená latinskej abecedy X, r, z atď.

Pojem náhodná premenná úzko súvisí s pojmom náhodná udalosť. Spojenie s náhodnou udalosťou spočíva v tom, že prijatie určitej číselnej hodnoty náhodnou premennou je náhodná udalosť charakterizovaná pravdepodobnosťou .

V praxi existujú dva hlavné typy náhodných premenných:

1. Diskrétne náhodné premenné;

2. Spojité náhodné premenné.

Náhodná premenná je numerická funkcia náhodných udalostí.

Napríklad náhodná premenná je počet bodov, ktoré padli pri hode kockou, alebo výška náhodne vybraného z študijná skupinaštudent.

Diskrétne náhodné premenné sa nazývajú náhodné premenné, ktoré majú len vzdialené od seba hodnoty, ktoré je možné vopred spočítať.

distribučný zákon(distribučná funkcia a distribučný rad alebo hustota pravdepodobnosti) úplne opisujú správanie náhodnej premennej. Ale v mnohých problémoch stačí poznať niektoré číselné charakteristiky skúmanej veličiny (napríklad jej priemernú hodnotu a prípadnú odchýlku od nej), aby sme mohli odpovedať na položenú otázku. Zvážte hlavné numerické charakteristiky diskrétnych náhodných premenných.

Zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej sa nazýva akýkoľvek pomer , vytvorenie vzťahu medzi možnými hodnotami náhodnej premennej a ich zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami .

Zákon rozdelenia náhodnej premennej možno znázorniť ako tabuľky:

Súčet pravdepodobností všetkých možných hodnôt náhodnej premennej sa rovná jednej, t.j.

Distribučný zákon môže byť zastúpený graficky: na vodorovnej osi sú vynesené možné hodnoty náhodnej premennej a na zvislej osi pravdepodobnosti týchto hodnôt; získané body sú spojené segmentmi. Zostrojená lomená čiara je tzv distribučný polygón.

Príklad. Lovec so 4 nábojmi strieľa do hry až do vyčerpania prvého zásahu alebo všetkých nábojov. Pravdepodobnosť zásahu prvým výstrelom je 0,7, s každým ďalším výstrelom klesá o 0,1. Zostavte zákon o rozdelení počtu nábojov spotrebovaných poľovníkom.

Riešenie. Keďže lovec, ktorý má 4 kolá, môže urobiť štyri výstrely, potom náhodná hodnota X- počet nábojov spotrebovaných lovcom môže nadobudnúť hodnoty 1, 2, 3, 4. Aby sme našli zodpovedajúce pravdepodobnosti, uvádzame udalosti:

- „udrieť ja- ohm výstrel“, ;

- "Chýbať ja- th shot“ a udalosti a sú párovo nezávislé.

Podľa stavu problému máme:

,

Pomocou vety o násobení pre nezávislé udalosti a vety o sčítaní pre nekompatibilné udalosti nájdeme:

(poľovník zasiahol cieľ prvým výstrelom);

(poľovník zasiahol cieľ z druhého výstrelu);

(poľovník zasiahol cieľ z tretieho výstrelu);

(poľovník zasiahol cieľ zo štvrtého výstrelu alebo minul všetky štyrikrát).

Overenie: - správne.

Teda zákon rozdelenia náhodnej premennej X vyzerá ako:

Príklad. Pracovník obsluhuje tri stroje. Pravdepodobnosť, že do jednej hodiny nebude prvý stroj vyžadovať nastavenie, je 0,9, druhý je 0,8, tretí je 0,7. Vypracujte zákon o distribúcii počtu strojov, ktoré budú vyžadovať úpravu do hodiny.

Riešenie. Náhodná hodnota X- počet strojov, ktoré budú vyžadovať úpravu do hodiny, môže nadobudnúť hodnoty 0,1, 2, 3. Aby sme našli zodpovedajúce pravdepodobnosti, uvádzame udalosti:

- “i- stroj bude vyžadovať nastavenie do hodiny”, ;

- “i- stroj nebude vyžadovať nastavenie do jednej hodiny“, .

Podľa stavu problému máme:

, .

Úloha 5.

podmienka: Zariadenie je možné zostaviť z dielov Vysoká kvalita a diely bežnej kvality. 40% zariadení je zostavených z kvalitných dielov.

Pre kvalitné zariadenie je jeho spoľahlivosť v časovom intervale t 0,95, pre bežné zariadenia je spoľahlivosť 0,7. Zariadenie bolo testované na čas t a fungovalo bezchybne.

Nájdite pravdepodobnosť, že je zostavený z vysoko kvalitných dielov.

Riešenie: H 1 - zariadenie je zostavené z vysoko kvalitných dielov,

H 2 - zariadenie je zostavené z dielov bežnej kvality.

Pravdepodobnosť týchto hypotéz pred skúsenosťou:

V dôsledku experimentu bola pozorovaná udalosť A - zariadenie pracovalo bezchybne po dobu t.

Podmienené pravdepodobnosti tejto udalosti podľa hypotéz H1 a H2 sú:

Po experimente zistíme pravdepodobnosť hypotézy H 1:

odmocnina pravdepodobnosti stredná kvadráta rozptyl matematický

Matematické štatistiky

Cvičenie 1.

podmienka: Zostavte zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej X, vypočítať matematické očakávanie, rozptyl a smerodajnú odchýlku náhodnej premennej.

Poľovník strieľa na zver, kým nezasiahne, ale nemôže vystreliť viac ako tri rany. Pravdepodobnosť zásahu každého výstrelu je 0,6. Zostavte zákon rozdelenia náhodnej premennej X - počtu výstrelov strelca. Vypočítajte matematické očakávanie, rozptyl a smerodajnú odchýlku náhodnej premennej.

Riešenie: Pravdepodobnosť, že počet nezdarov je 0, je 0,6

• - pravdepodobnosť, že počet netrafení sa rovná 1, sa rovná 0,4 0,6 = 0,24 (v prvom netrafí, v druhom zasiahne)
• - pravdepodobnosť, že počet netrafení je 2 sa rovná 0,4 0,4 ​​0,6 = 0,096 (netrafil v prvých dvoch, trafil v treťom)
• - pravdepodobnosť, že počet netrafení je 3 sa rovná 0,4 0,4 ​​0,4 ​​= 0,064 (netrafil v prvých troch)

Matematické očakávanie je 0 0,6+1 0,24+2 0,096+3 0,064 = 0,624

M(x*x) = 0,24 + 0,384 + 0,576 = 1,2

D(x)=1,2-0,389376=0,810624

Úloha 2.

podmienka: Náhodná hodnota X daný distribučnou funkciou F(X).