Lineárna funkcia komplexnej premennej z je funkciou tvaru, kde a a 6 sú dané komplexné čísla a a Ф 0. Lineárna funkcia je definovaná pre všetky hodnoty nezávislej premennej r, je jednohodnotová a , keďže aj inverzná funkcia je jednohodnotová, je univalentná v celej rovine z. Lineárna funkcia je analytická v celej komplexnej rovine, a preto je jej derivácia konformná s mapovaním, ktoré vykonáva v celej rovine. Funkcia lineárneho zlomku je funkciou tvaru – dané komplexné čísla a funkcia lineárneho zlomku je definovaná pre všetky hodnoty nezávislej premennej zy okrem z = -|, je jednohodnotová a keďže je inverzná funkcia Elementárne funkcie komplexnej premennej Zlomkovo-racionálne funkcie Mocninná funkcia Exponenciálna funkcia Logaritmická funkcia Goniometrické a hyperbolické funkcie sú jednohodnotové, univalentné v celej komplexnej rovine, okrem bodu z = - V tejto oblasti je funkcia (3) analytická a jeho derivát je preto v súlade s jeho mapovaním. Rozšírme funkciu (3) v bode z = - \, pričom t) = oo, a bod v nekonečne w = oo dáme do súladu s bodom z(oo) = Potom bude lineárna zlomková funkcia univalentná. v rozšírenej komplexnej rovine z. Príklad 1. Uvažujme lineárno-zlomkovú funkciu Z rovnosti vyplýva, že moduly komplexných čísel r a u súvisia vzťahom a tieto čísla samotné sú umiestnené na lúčoch vychádzajúcich z bodu O a symetrických podľa reálnej osi. Najmä body jednotkovej kružnice |z| = 1 prejdite na body jednotkovej kružnice N = 1. V tomto prípade je konjugované číslo priradené komplexnému číslu (obr. 11). Všimnite si tiež, že funkcia r0 = -g mapuje bod v nekonečne r - oo na nulu r0 - 0. 2.2. Mocninná funkcia Mocninná funkcia, kde n je prirodzené číslo, je analytická v celej komplexnej rovine; jeho derivácia = nzn~] pre η > 1 je nenulová vo všetkých bodoch okrem z = 0. Zápisom w a z vo vzorci (4) v exponenciálnom tvare dostaneme, že Zo vzorca (5) je zrejmé, že komplexné čísla Z \ a z2 také, že kde k je celé číslo, prejdite do jedného bodu w. Pre n > 1 teda nie je zobrazenie (4) v rovine z univalentné. Najjednoduchším príkladom domény, v ktorej je zobrazenie ri = zn univalentné, je sektor, kde a je akékoľvek reálne číslo. V oblasti (7) je mapovanie (4) konformné. - je viachodnotový, pretože pre každé komplexné číslo z = r1v Φ 0 možno označiť n rôznych komplexných čísel, takže ich n-tá mocnosť sa rovná z: Všimnite si, že polynóm stupňa n komplexnej premennej z je funkcia, kde sú dané komplexné čísla, ao Ф 0. Polynóm ľubovoľného stupňa je analytická funkcia na celej komplexnej rovine. 2.3. Zlomkovo-racionálna funkcia Zlomkovo-racionálna funkcia je funkciou tvaru kde) sú polynómy komplexnej premennej z. Zlomková racionálna funkcia je analytická v celej rovine, s výnimkou tých bodov, kde menovateľ Q(z) zaniká. Príklad 3. Žukovského funkcia je analytická v celej rovine z, okrem bodu z = 0. Zistime podmienky na oblasti komplexnej roviny, za ktorých bude Žukovského funkcia uvažovaná v tejto oblasti univalentná. M Nech sa body Z) a zj prenesú funkciou (8) do jedného bodu. Potom pre , dostaneme, že Preto pre univalenciu Žukovského funkcie je potrebné a postačujúce, aby bola splnená podmienka Príkladom oblasti, ktorá spĺňa podmienku univalencie (9) je vonkajšok kruhu |z| > 1. Keďže derivácia Žukovského funkcie Elementárne funkcie komplexnej premennej Zlomkovo-racionálne funkcie Mocninná funkcia Exponenciálna funkcia Logaritmická funkcia Goniometrické a hyperbolické funkcie sú všade nenulové okrem bodov, potom mapovanie oblasti uskutočnené touto funkciou bude konformný (obr. 13). Všimnite si, že vnútro jednotky disku |I je tiež doménou univalencie funkcie Žukovského. Ryža. 13 2.4. Exponenciálna funkcia Exponenciálnu funkciu ez definujeme pre ľubovoľné komplexné číslo z = x + y nasledujúcim vzťahom: Pre x = 0 získame Eulerov vzorec: Popíšme hlavné vlastnosti exponenciálnej funkcie: 1. Pre reálne z túto definíciu zodpovedá bežnému. Toto je možné overiť priamo nastavením y = 0 vo vzorci (10). . Nech 4. Funkcia ez je periodická s imaginárnou hlavnou periódou 2xi. Skutočne, pre akékoľvek celé číslo k Na druhej strane, ak potom z definície (10) vyplýva, že Odkiaľ vyplýva, že alebo kde n je celé číslo. Pás neobsahuje ani jeden pár bodov súvisiacich vzťahom (12), takže zo štúdie vyplýva, že mapa w = e" je v páse univalentná (obr. 14). Keďže ide o deriváciu, je táto mapa konformná. Poznámka niv. Funkcia rg je univalentná v ľubovoľnom páse 2.5 Logaritmická funkcia Z rovnice, kde je daná neznáma, dostaneme Preto je funkcia inverzná k funkcii definovaná pre ľubovoľnú a je reprezentovaná vzorcom kde Táto viachodnotová funkcia sa nazýva logaritmická a označuje sa nasledovne označujeme Potom pre Ln z získame vzorec 2.6 Goniometrické a hyperbolické funkcie Z Eulerovho vzorca (11) pre reálne y dostaneme Od Definujeme goniometrické funkcie sin z a cos z pre ľubovoľné komplexné číslo z pomocou nasledujúcich vzorcov: Sínus a kosínus komplexného argumentu majú zaujímavé vlastnosti Uvádzame hlavné: Funkcie sinz a cos z: 1) pre reálne x z -x sa zhodujú s obvyklými sínusmi a kosínusmi; 2) sú analytické v celej komplexnej rovine; 3) dodržujte obvyklé diferenciačné vzorce: 4) sú periodické s periódou 2n; 5) sin z - nepárna funkcia, a cos z - párne; 6) sú zachované obvyklé goniometrické vzťahy. Všetky uvedené vlastnosti sa dajú ľahko získať zo vzorcov (15). Funkcie tgz a ctgz v komplexnej oblasti sú definované vzorcami a hyperbolické funkcie sú definované vzorcami "Hyperbolické funkcie úzko súvisia s goniometrickými funkciami. Tento vzťah je vyjadrený nasledujúcimi rovnosťami: Sínus a kosínus komplexu argument má ešte jednu dôležitú vlastnosť: v komplexnej rovine | \ vziať ľubovoľne veľký klad Pomocou vlastností 6 a vzorcov (18) dostaneme, že Elementárne funkcie komplexnej premennej Zlomkové racionálne funkcie Mocninná funkcia Exponenciálna funkcia Logaritmická funkcia Goniometrické a hyperbolické funkcie Odkiaľ Predpokladáme , máme príklad 4. Je ľahké skontrolovať, že -4 Skutočne,
, strana 611 Základné funkcie komplexnej premennej
Spomeňte si na definíciu komplexného exponentu - . Potom
Rozšírenie série Maclaurin. Polomer konvergencie tohto radu je +∞, čo znamená, že komplexný exponent je analytický v celej komplexnej rovine a
(exp z)"=exp z; exp 0=1. (2)
Prvá rovnosť tu vyplýva napríklad z vety o členení mocninového radu po členoch.
11.1 Goniometrické a hyperbolické funkcie
Sínus komplexnej premennej nazývaná funkcia
Kosínus komplexnej premennej existuje funkcia
Hyperbolický sínus komplexnej premennej je definovaná takto:
Hyperbolický kosínus komplexnej premennej-- je funkcia
Všimli sme si niektoré vlastnosti novozavedených funkcií.
A. Ak x∈ ℝ , potom cos x, sin x, ch x, sh x∈ ℝ .
B. Medzi goniometrickými a hyperbolickými funkciami existuje nasledujúca súvislosť:
cos iz=ch z; sin iz=ish z, ch iz=cos z; shiz=isinz.
B. Základné goniometrické a hyperbolické identity:
cos2z+sin2z=1; ch2z-sh2z=1.
Dôkaz základnej hyperbolickej identity.
Hlavná trigonometrická identita vyplýva z onónskej hyperbolickej identity, keď sa berie do úvahy spojenie medzi trigonometrickými a hyperbolickými funkciami (pozri vlastnosť B)
G Vzorce na sčítanie:
najmä
D. Na výpočet derivácií goniometrických a hyperbolických funkcií by sa mala použiť veta o diferenciácii mocninového radu po členoch. Dostaneme:
(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=shz; (shz)"=chz.
E. Funkcie cos z, ch z sú párne, kým funkcie sin z, sh z sú nepárne.
G. (periodicita) Funkcia e z je periodická s periódou 2π i. Funkcie cos z, sin z sú periodické s periódou 2π a funkcie ch z, sh z sú periodické s periódou 2πi. navyše
Aplikovaním súčtových vzorcov dostaneme
Z. Rozklad na reálne a imaginárne časti:
Ak jednohodnotová analytická funkcia f(z) bijektívne mapuje doménu D na doménu G, potom sa D nazýva doména univalencie.
A. Doména D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .
Dôkaz. Zo vzťahu (5) vyplýva, že zobrazenie exp:D k → ℂ je injektívne. Nech w je ľubovoľné nenulové komplexné číslo. Potom riešenie rovníc e x =|w| a e iy =w/|w| s reálnymi premennými x a y (y vyberieme z polovičného intervalu )
Načítava...