Krížová korelačná funkcia (VKF) rôzne signály(cross-correlation function, CCF) popisuje stupeň podobnosti tvaru dvoch signálov a ich vzájomnú relatívnu polohu pozdĺž súradnice (nezávislá premenná). Zovšeobecnením vzorca (6.1.1) autokorelačnej funkcie na dva rôzne signály s(t) a u(t) dostaneme nasledujúci skalárny súčin signálov:
B su () =s(t) u(t+) dt. (6.2.1)
Vzájomná korelácia signálov charakterizuje určitú koreláciu javov a fyzikálnych procesov zobrazovaných týmito signálmi a môže slúžiť ako miera „stability“ tohto vzťahu, keď sú signály spracovávané oddelene v rôznych zariadeniach. Pre signály s konečnou energiou je CCF tiež konečný, zatiaľ čo:
|B su ()| ||s(t)||||u(t)||,
čo vyplýva z Cauchyho-Bunyakovského nerovnosti a nezávislosti signálových noriem od posunu súradníc.
Pri zmene premennej t = t- vo vzorci (6.2.1) dostaneme:
B su () = 
s(t-) u(t) dt = 
u(t) s(t-) dt = B us (-).
Z toho vyplýva, že podmienka parity nie je splnená pre VKF, B su () B su (-) a nevyžaduje sa, aby hodnoty VKF mali maximum pri = 0.
Ryža. 6.2.1. Signály a VKF.
To možno jasne vidieť na obr. 6.2.1, kde sú dané dva rovnaké signály so stredmi v bodoch 0.5 a 1.5. Výpočet podľa vzorca (6.2.1) s postupným zvyšovaním hodnôt znamená postupné posuny signálu s2(t) doľava pozdĺž časovej osi (pre každú hodnotu s1(t) sú hodnoty z s2(t+) sa berú pre násobenie integrandov). Keď =0, signály sú ortogonálne a hodnota B 12 ()=0. Maximum B 12 () bude pozorované, keď sa signál s2(t) posunie doľava o hodnotu =1, pri ktorej sa signály s1(t) a s2(t+) úplne zhodujú.Rovnaké hodnoty CCF podľa vzorcov (6.2.1) a (6.2.1") sú pozorované pri rovnakej vzájomnej polohe signálov: keď je signál u(t) posunutý o interval voči s(t) vpravo pozdĺž osi y a signál s(t) vzhľadom na signál u(t) vľavo, t.j. B su () = B us (-
Ryža. 6.2.2. Vzájomné kovariančné funkcie signálov.
Na obr. 6.2.2 ukazuje príklady VKF pre pravouhlý signál s(t) a dva identické trojuholníkové signály u(t) a v(t). Všetky signály majú rovnakú dobu trvania T, pričom signál v(t) je posunutý dopredu o interval T/2.Signály s(t) au(t) sú z hľadiska časovej polohy rovnaké a oblasť „prekrytia“ signálu je maximálna pri =0, čo je pevne dané funkciou B su . Funkcia B su je zároveň ostro asymetrická, keďže pri asymetrickom tvare signálu u(t) pre symetrický tvar s(t) (vzhľadom na stred signálov) sa oblasť „prekrývania“ signálu mení rôzne v závislosti na smere posunu (znamienko s nárastom hodnoty od nuly). Keď sa počiatočná poloha signálu u(t) posunie doľava pozdĺž osi y (pred signál s(t) - signál v(t)), tvar VKF zostane nezmenený a posunie sa doprava o rovnaký posun. hodnota - funkcia B sv na obr. 6.2.2. Ak sú výrazy funkcií v (6.2.1) zamenené, potom novou funkciou B vs bude funkcia B sv, ktorá je zrkadlová vzhľadom na =0.
S prihliadnutím na tieto vlastnosti sa celkový CCF počíta spravidla oddelene pre kladné a záporné oneskorenia:
B su () = 
s(t) u(t+) dt. B us () = 
u(t) s(t+) dt. (6.2.1")
Krížová korelácia zašumených signálov . Pre dva zašumené signály u(t) = s1(t) + q1(t) a v(t) = s2(t) + q2(t), použitím metódy odvodenia vzorcov (6.1.13) s nahradením a kópiu signálu s(t) do signálu s2(t), je ľahké odvodiť vzorec krížovej korelácie v nasledujúcom tvare:
B uv () = B s1s2 () + B s1q2 () + B q1s2 () + B q1q2 (). (6.2.2)
Posledné tri členy na pravej strane (6.2.2) klesajú na nulu, keď rastie. Pre veľké intervaly nastavenia signálu možno výraz zapísať v nasledujúcom tvare:
B uv () = B s 1 s 2 () + 
+
+
.
(6.2.3)
Pri nulových priemerných hodnotách šumu a štatistickej nezávislosti od signálov prebieha nasledovné:
B uv () → B s 1 s 2 ().
VKF diskrétne signály. Všetky vlastnosti VKF analógové signály sú platné aj pre VCF diskrétnych signálov, pričom vlastnosti diskrétnych signálov opísané vyššie pre diskrétne ACF sú platné aj pre ne (vzorce 6.1.9-6.1.12). Konkrétne pri t = const =1 pre signály x(k) a y(k) s počtom vzoriek K:
B xy (n) = 
x k y k-n . (6.2.4)
Pri normalizácii v jednotkách výkonu:
B xy (n) = 
x k y k-n 
.
(6.2.5)
Odhad periodických signálov v šume . Šumový signál môže byť vyhodnotený na krížovú koreláciu s "referenčným" signálom pokusom a omylom, s funkciou krížovej korelácie nastavenou na maximálnu hodnotu.
Pre signál u(k)=s(k)+q(k) so štatistickou nezávislosťou od šumu a 
→ 0, funkcia krížovej korelácie (6.2.2) so šablónou signálu p(k) pre q2(k)=0 má tvar:
B up (k) = Bsp (k) + Bqp (k) = Bsp (k) + 
.
A odvtedy 
→ 0, keď sa N zvyšuje, potom B hore (k) → B sp (k). Je zrejmé, že funkcia B up (k) bude mať maximum, keď p(k) = s(k). Zmenou tvaru šablóny p(k) a maximalizáciou funkcie B up (k) môžeme získať odhad s(k) v tvare optimálneho tvaru p(k).
Funkcia koeficientov vzájomnej korelácie (VKF) je kvantitatívny ukazovateľ miery podobnosti signálov s(t) a u(t). Podobne ako funkcia autokorelačných koeficientov sa počíta cez centrované hodnoty funkcií (na výpočet vzájomnej kovariancie stačí centrovať len jednu z funkcií) a normalizuje sa na súčin hodnôt štandardov funkcií s(t) a v(t):
su () = C su ()/ s v . (6.2.6)
Interval zmeny hodnôt korelačných koeficientov pri posunoch sa môže meniť od –1 (úplná inverzná korelácia) do 1 (úplná podobnosť alebo stopercentná korelácia). Pri posunoch , pri ktorých sú pozorované nulové hodnoty su (), sú signály navzájom nezávislé (nekorelované). Koeficient vzájomnej korelácie vám umožňuje zistiť prítomnosť spojenia medzi signálmi bez ohľadu na fyzikálne vlastnosti signálov a ich veľkosť.
Pri výpočte CCF zašumených diskrétnych signálov obmedzenej dĺžky pomocou vzorca (6.2.4) existuje pravdepodobnosť výskytu hodnôt su (n)| > 1.
Pre periodické signály sa koncept CCF zvyčajne nepoužíva, s výnimkou signálov s rovnakou periódou, napríklad vstupných a výstupných signálov pri štúdiu charakteristík systémov.
V teórii komunikácie sa pri štúdiu využíva teória korelácie náhodné procesy, čo vám umožní vytvoriť spojenie medzi koreláciou a spektrálne vlastnosti náhodné signály. Problém často vzniká pri detekcii jedného prenášaného signálu v inom alebo pri interferencii. Pre spoľahlivú detekciu signálov a metód sa používa korelácie na základe korelačnej teórie. V praxi sa ukazuje ako užitočné analyzovať charakteristiky, ktoré poskytujú predstavu o rýchlosti zmeny v čase, ako aj o trvaní signálu bez jeho rozkladu na harmonické zložky.
Nechajte signál kopírovať u(t - m) posunutý vzhľadom na svoj originál u(t) za časový interval t.Na kvantifikáciu miery rozdielu (spojenosti) signálu u(t) a jeho posunutá kópia u(t - t) použitie autokorelačná funkcia(AKF). ACF ukazuje mieru podobnosti medzi signálom a jeho posunutou kópiou – čím väčšia je hodnota ACF, tým silnejšia je táto podobnosť.
Pre deterministický signál konečného trvania (konečný signál), analytický zápis ACF je integrálom formy
Vzorec (2.56) ukazuje, že pri absencii posunu kópie vzhľadom na signál (m = 0) je ACF pozitívny, maximálny a rovný energii signálu:
Takáto energia [J] sa uvoľní na rezistore s odporom 1 Ohm, ak je na jeho svorky pripojené určité napätie u(t)[IN].
Jednou z najdôležitejších vlastností ACF je jeho parita: IN( t) = IN(- T). Ak totiž vo výraze (2.56) zmeníme premennú x = t - t, potom 
Preto integrál (2.56) môže byť reprezentovaný v inej forme:
Pre periodický signál s periódou Г, ktorého energia je nekonečne veľká (keďže signál existuje nekonečne dlho), je výpočet ACF podľa vzorca (2.56) neprijateľný. V tomto prípade určite ACF za obdobie:
Príklad 2.3
Určme ACF pravouhlého impulzu, ktorý má amplitúdu E a trvanie t a (obr. 2.24).
Riešenie
Je vhodné vypočítať ACF pre impulz graficky. Takáto konštrukcia je znázornená na obr. 2,24, a - g, kde sú dané, respektíve počiatočné hybnosti u(t)= u t jeho kópia posunutá o m m m (?) = u(t- t) = m t a ich súčin u(f)u(t- t) = uu v Zvážte grafický výpočet integrálu (2.56). Práca u(t)u(t- m) sa nerovná nule v časovom intervale, keď dôjde k prekrytiu ktorejkoľvek časti signálu a jeho kópie. Ako vyplýva z obr. 2.24 sa tento interval rovná x - m, ak je časový posun kópie menší ako trvanie impulzu. V takýchto prípadoch je pre hybnosť ACF definovaný ako IN( t) = E 2 ( t a - |t|) s časovým posunom kópie na aktuálny čas |t| B(0) = = E 2 ta \u003d E (pozri obr. 2.24, G).
Ryža. 2.24.
A - pulz; 6 - kopírovať; V - produkt signálu a kópie; G - ACF
Často sa zavádza číselný parameter vhodný na analýzu a porovnávanie signálov - korelačný interval tk, analyticky a graficky sa rovná šírke základne ACF. Pre tento príklad je korelačný interval t k = 2m u.
Príklad 2.4
Definujte ACF harmonického (kosínusového) signálu u(t) == t/m cos(co? + a).
Ryža. 2.25.
A - harmonický signál; b - ACF harmonického signálu
Riešenie
Pomocou vzorca (2.57) a označovania V p ( t) = IN( t), nájdeme
Z tohto vzorca vyplýva, že ACF harmonického signálu je tiež harmonická funkcia (obr. 2.25, b) a má rozmer moci (B 2). Všimnite si ďalšiu veľmi dôležitú skutočnosť, že vypočítaný ACF nezávisí od počiatočnej fázy harmonického signálu (parameter
Z analýzy vyplýva dôležitý záver: ACF takmer akéhokoľvek signálu nezávisí od jeho fázového spektra. Preto signály, ktorých amplitúdové spektrá sa úplne zhodujú, ale ktorých fázové spektrá sa líšia, budú mať rovnaký ACF. Ďalšia poznámka je, že pôvodný signál nie je možné obnoviť z ACF (opäť kvôli strate informácií o fáze).
Vzťah medzi ACF a energetickým spektrom signálu. Nechajte impulz signalizovať u(t) má spektrálnu hustotu 5(co). ACF definujeme pomocou vzorca (2.56) písaním a (C) vo forme inverznej Fourierovej transformácie (2.30):
Zavedením novej premennej x = t - m, z posledného vzorca získame tu integrál
je funkčný komplex konjugát spektrálnej hustoty signálu
Berúc do úvahy vzťah (2.59), vzorec (2.58) má tvar 
Funkcia
volal energetické spektrum (spektrálna energetická hustota) signálu, zobrazujúci rozloženie energie na frekvencii. Rozmer energetického spektra signálu zodpovedá hodnote IP/co) - [(V 2 -s)/Hz].
Ak vezmeme do úvahy vzťah (2.60), nakoniec dostaneme výraz pre ACF:
Takže ACF signálu je inverzná transformácia Fourier z jeho energetického spektra. Priama Fourierova transformácia z ACF
takže, priama Fourierova transformácia (2.62) ACF určuje energetické spektrum, A inverzná Fourierova transformácia energetického spektra(2.61) - ACF deterministického signálu. Tieto výsledky sú dôležité z dvoch dôvodov. Po prvé, na základe rozloženia energie pozdĺž spektra je možné vyhodnotiť korelačné vlastnosti signálov - čím širšie je energetické spektrum signálu, tým menší je korelačný interval. V súlade s tým, čím väčší je interval korelácie signálu, tým kratšie je jeho energetické spektrum. Po druhé, vzťahy (2.61) a (2.62) umožňujú experimentálne určiť jednu z funkcií z hodnoty druhej. Často je vhodnejšie najprv získať ACF a potom vypočítať energetické spektrum pomocou priamej Fourierovej transformácie. Táto technika je široko používaná pri analýze vlastností signálov v reálnom čase, t.j. žiadne časové oneskorenie pri jeho spracovaní.
Krížová korelačná funkcia dvoch signálov. Ak potrebujete vyhodnotiť mieru prepojenia medzi signálmi x(t) A u 2 (t), potom použite krížovej korelačnej funkcie(VKF)
Pre m = 0 sa VKF rovná tzv vzájomná energia dvoch signálov
Hodnota VCF sa nezmení, ak namiesto oneskorenia druhého signálu u 2 (t) uvažujme jeho postup o prvý signál m, (?), preto
ACF je špeciálny prípad VKF, ak sú signály rovnaké, t.j. uy(t) = u2(t) = u(t). Na rozdiel od ACF, CCF dvoch signálov B12 (m) nie je párne a nie je nevyhnutne maximálne pri m = 0, t.j. pri absencii časového posunu signálov.
Z fyzikálneho hľadiska korelačná funkcia charakterizuje vzťah alebo vzájomnú závislosť dvoch okamžitých hodnôt jednej alebo dvoch rôzne signály občas a . V prvom prípade sa korelačná funkcia často nazýva autokorelácia a v druhom prípade krížová korelácia. Korelačné funkcie deterministických procesov závisia len od .
Ak sú signály a dané, korelačné funkcie sú určené nasledujúcimi výrazmi:
- funkcia vzájomnej korelácie; (2,66)
- funkcia autokorelácie. (2,67)
Ak a sú dva periodické signály s rovnakou periódou T, potom je zrejmé, že ich korelačná funkcia je periodická aj s bodkou T a preto môže byť rozšírený do Fourierovho radu.
Ak totiž vo výraze (2.66) rozšírime signál do Fourierovho radu, potom dostaneme
(2.68)
kde a sú komplexné amplitúdy n harmonická zo signálov, a teda je to komplexný konjugovaný koeficient. Koeficienty expanzie funkcie vzájomnej korelácie možno nájsť ako koeficienty Fourierovho radu
. (2.69)
Frekvenčné rozšírenie autokorelačnej funkcie možno ľahko získať zo vzorcov (2.68) a (2.69) nastavením 
, Potom
. (2.70)
A keďže a teda,
, (2.71)
potom je autokorelačná funkcia párna a preto
. (2.72)
Parita autokorelačnej funkcie umožňuje jej rozšírenie do trigonometrického Fourierovho radu z hľadiska kosínusov
V konkrétnom prípade pre , dostaneme:
.
Autokorelačná funkcia at je teda celkový priemerný výkon periodického signálu rovný súčtu priemerných výkonov všetkých harmonických.
Frekvenčné znázornenie impulzných signálov
V predchádzajúcej úvahe sa predpokladalo, že signály sú spojité, avšak pri automatickom spracovaní informácií sa často používajú aj impulzné signály, ako aj konverzia spojitých signálov na impulzné. To si vyžaduje zváženie otázok frekvenčnej reprezentácie impulzných signálov.
Uvažujme model na prevod spojitého signálu do pulznej formy, znázornený na obr. 2.6a.
|
Na vstup impulzného modulátora nech prichádza spojitý signál (obr. 2.6b). Impulzný modulátor generuje sekvenciu jednotlivých impulzov (obr. 2.6c) s periódou T a trvanie pulzu t a . Matematický model takejto sekvencie impulzov možno opísať ako funkciu:
(2.74)
Kde k- číslo impulzu v poradí.
Výstupný signál impulzného modulátora (obr. 2.6d) môže byť reprezentovaný ako:
.
V praxi je žiaduce mať frekvenčné znázornenie sledu impulzov. Na tento účel môže byť funkcia ako periodická reprezentovaná ako Fourierova séria:
, (2.75)
- koeficienty spektrálnej expanzie vo Fourierovom rade; (2,76)
frekvencia opakovania pulzu;
n je harmonické číslo.
Dosadením vzťahu (2.74) do výrazu (2.76) zistíme:
.
Nahradením (2,76) za (2,74) dostaneme:
(2.78)
Transformujeme teda rozdiel sínusov
. (2.79)
Uveďme označenie fázy n harmonická
. (2.81)
Sekvencia jednotlivých impulzov teda obsahuje spolu s konštantnou zložkou nekonečný počet harmonických s klesajúcou amplitúdou. Amplitúda k harmonická je určená z výrazu:
Pri digitálnom spracovaní signálu sa vykonáva časové vzorkovanie (kvantizácia), to znamená konverzia spojitého signálu na sekvenciu krátkych impulzov. Ako je uvedené vyššie, každá sekvencia impulzov má pomerne zložité spektrum, takže vzniká prirodzená otázka, ako ovplyvňuje proces vzorkovania času frekvenčné spektrum pôvodný nepretržitý signál.
Ak chcete preskúmať tento problém, zvážte matematický model proces časovej diskretizácie znázornený na obrázku 2.7a.
Impulzný modulátor (PM) je reprezentovaný ako nosný modulátor vo forme ideálnej sekvencie veľmi krátkych impulzov (sekvencií d-funkcie), ktorých doba opakovania sa rovná T(obr. 2.7b).
Na vstup impulzného modulátora sa privádza spojitý signál (obr. 2.7c) a na výstupe sa vytvára impulzný signál (obr. 2.7d).
| |
Potom ideálny sekvenčný model d-funkcie možno opísať nasledujúcim výrazom
Spolu so spektrálnym prístupom k popisu signálov sa v praxi často ukazuje ako nevyhnutná charakteristika, ktorá by poskytla predstavu o niektorých vlastnostiach signálu, najmä o rýchlosti zmeny v čase, ako aj o trvanie signálu bez jeho rozkladu na harmonické zložky.
Ako taká časová charakteristika je široko používaná korelácia signálna funkcia.
Pre deterministický signál s(t) s konečnou dobou trvania je korelačná funkcia určená nasledujúcim výrazom:
kde τ je časový posun signálu.
Táto kapitola sa zaoberá signálmi, ktoré sú skutočnými funkciami času, a komplexný konjugovaný zápis možno vynechať:
.
(1.78)
Z výrazu (1.78) je vidieť, že B s (t) charakterizuje stupeň spojenia (korelácie) signálu s ( t ) s jej kópiou posunutou o m pozdĺž časovej osi. Je jasné, že funkcia B s ( t ) dosahuje maximum pri τ = 0, pretože každý signál je plne korelovaný sám so sebou. V čom
,
(1.79)
tj maximálna hodnota korelačnej funkcie sa rovná energii signálu.
Keď sa τ zvyšuje, funkcia IN 8 (τ) klesá (nie nevyhnutne monotónne) as relatívnym posunom signálov s(t) A s(t+ τ) zmizne na čas presahujúci trvanie signálu.
Zo všeobecnej definície korelačnej funkcie je zrejmé, že nezáleží na tom, či sa signál posunie doprava alebo doľava vzhľadom na jeho kópiu o hodnotu τ. Preto výraz (1.78) možno zovšeobecniť takto:
.
(1.78)
To je ekvivalentné povedať to B s (τ) je dokonca funkciuτ.
Pre periodický signál, ktorého energia je nekonečne veľká, je definícia korelačnej funkcie pomocou výrazov (1.129) alebo (1.129") neprijateľná. V tomto prípade sa používa nasledujúca definícia:
Touto definíciou nadobúda korelačná funkcia rozmer moci, a B
Sne p(0) sa rovná stredný výkon periodický signál. Vzhľadom na periodicitu signálov (
t
)
priemerovanie produktu 
alebo
pozdĺž nekonečnej línie T
by sa mala zhodovať s priemerovaním za obdobie T 1 . Preto výraz (1.79) možno nahradiť výrazom
Integrály zahrnuté v tomto výraze nie sú nič iné ako korelačná funkcia signálu na intervale T 1 . Označuje to cez B sTl (τ ), dostávame sa ku vzťahu
Je tiež zrejmé, že periodický signál s( t
) zodpovedá periodickej korelačnej funkcii B s pruh (τ).
Funkčné obdobie B s pruh (τ)
sa zhoduje s obdobím T
1
pôvodný signál (
t
).
Napríklad pre najjednoduchšie (harmonické) kmitanie 
korelačnej funkcie
Keď τ=0 
je priemerný výkon harmonického kmitania s amplitúdou A
0
.
Je dôležité poznamenať, že korelačná funkcia 
nezávisí od počiatočnej fázy kmitania 
.
Odhadnúť stupeň spojenia medzi dvoma rôznymi signálmi s 1 ( t ) a s 2 ( t ) používa sa vzájomná korelačná funkcia, ktorá je určená všeobecným výrazom
Pre reálne funkcie s 1 (t) a s 2 (t)
Vyššie uvedená korelačná funkcia IN
s
(τ) je špeciálny prípad funkcie 
keď je 1 (
t
)
=s 2 (
t
).
Na rozdiel od 
funkcia vzájomnej korelácie nie je nevyhnutne rovnomerná vzhľadom na τ. Okrem toho funkcia vzájomnej korelácie nieNevyhnutne dosahuje maximum pri τ = 0.
Korelačné funkcie signálov sa používajú na integrálne kvantitatívne odhady tvaru signálov a miery ich vzájomnej podobnosti.
Autokorelačné funkcie (ACF) signálov (korelačná funkcia, CF). Pri použití na deterministické signály s konečnou energiou je ACF kvantitatívna integrálna charakteristika tvaru signálu a je integrálom súčinu dvoch kópií signálu s(t), vzájomne posunutých o čas t:
Bs(t) = s(t) s(t+t) dt. (2.4.1)
Ako z tohto výrazu vyplýva, ACF je skalárny súčin signálu a jeho kópie vo funkčnej závislosti od premennej hodnoty posunu t. V súlade s tým má ACF fyzický rozmer energie a pri t = 0 sa hodnota ACF priamo rovná energii signálu a je maximálne možné (kosínus uhla interakcie signálu so sebou samým je rovný 1):
Bs(0) = s(t)2dt = Es.
Funkcia ACF je nepretržitá a rovnomerná. To je ľahké overiť zmenou premennej t = t-t vo výraze (2.4.1):
Bs(t) = s(t) s(t-t) dt = s(t-t) s(t) dt = Bs (-t).
Pri danej parite sa grafické znázornenie ACF zvyčajne robí len pre kladné hodnoty t. Znamienko +t vo výraze (2.4.1) znamená, že keď sa hodnoty t zvyšujú od nuly, kópia signálu s(t+t) sa posúva doľava pozdĺž osi t. V praxi sú signály zvyčajne nastavené aj na interval kladných hodnôt argumentov od 0-T, čo umožňuje v prípade potreby predĺžiť interval o nulové hodnoty. matematické operácie. V rámci týchto limitov výpočtov je vhodnejšie posunúť kópiu signálu doľava pozdĺž osi argumentu, t.j. aplikácia vo výraze (2.4.1) funkcie s(t-t):
Bs(t) = s(t) s(t-t) dt. (2,4,1")
Keď sa hodnota posunu t zvyšuje pre konečné signály, časové prekrytie signálu s jeho kópiou sa znižuje, a teda kosínus interakčného uhla a skalárny produkt ako celok majú tendenciu k nule:
Príklad. Na intervale (0, T) je určený obdĺžnikový impulz s hodnotou amplitúdy rovnou A. Vypočítajte autokorelačnú funkciu impulzu.
Pri posunutí kópie impulzu pozdĺž osi t doprava pri 0≤t≤T sa signály prekrývajú v intervale od t do T. Bodový súčin:
B s (t) \u003d A 2 dt \u003d A 2 (T-t).
Pri posunutí kópie impulzu doľava s -T≤t<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-t. Скалярное произведение:
Bs(t) = A2dt = A2(T+t).
Pre |t| > T signál a jeho kópia nemajú priesečníky a skalárny súčin signálov je rovný nule (signál a jeho posunutá kópia sa stanú ortogonálnymi).
Ak zhrnieme výpočty, môžeme napísať:
B s (t) = 
.
V prípade periodických signálov sa ACF vypočítava za jednu periódu T, pričom sa spriemeruje skalárny súčin a jeho posunutá kópia v rámci tohto obdobia:
B s (t) \u003d (1 / T) s (t) s (t-t) dt.
Pri t=0 sa hodnota ACF v tomto prípade rovná nie energii, ale priemernému výkonu signálov v intervale T. ACF periodických signálov je tiež periodická funkcia s rovnakou periódou T. , pre signál s(t) = A cos(w 0 t+j 0) pri T=2p/w 0 máme:
B s (t) \u003d A cos (w 0 t + j 0) A cos (w 0 (t-t) + j 0) \u003d (A 2 /2) cos (w 0 t).
Všimnite si, že získaný výsledok nezávisí od počiatočnej fázy harmonického signálu, ktorá je typická pre akékoľvek periodické signály a je jednou z vlastností CF.
Pre signály zadané v určitom intervale sa výpočet ACF vykonáva aj s normalizáciou na dĺžku intervalu:
Bs(t) = s(t) s(t+t) dt. (2.4.2)
V limite pre neperiodické signály s meraním ACF na intervale T:
Bs (t) = 
. (2.4.2")
Autokoreláciu signálu možno odhadnúť aj pomocou autokorelačného koeficientu, ktorý sa vypočíta podľa vzorca (na základe centrovaných signálov):
r s (t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2.
Krížová korelačná funkcia (CCF) signály (cross-correlation function, CCF) ukazujú stupeň podobnosti posunutých inštancií dvoch rôznych signálov a ich relatívnu polohu pozdĺž súradnice (nezávislá premenná), pre ktorú sa používa rovnaký vzorec (2.4.1). pre ACF, ale pod integrálom je súčin dvoch rôznych signálov, z ktorých jeden je posunutý o čas t:
B12(t) = s1 (t) s2 (t + t) dt. (2.4.3)
Pri zmene premennej t = t-t vo vzorci (2.4.3) dostaneme:
B 12 (t) \u003d s 1 (t-t) s 2 (t) dt \u003d s 2 (t) s 1 (t-t) dt \u003d B 21 (-t)
Z toho vyplýva, že podmienka parity nie je pre VKF splnená a hodnoty VKF nemusia mať maximum pri t = 0. To je jasne vidieť na obr. 2.4.1, kde sú dané dva rovnaké signály so stredmi v bodoch 0.5 a 1.5. Výpočet podľa vzorca (2.4.3) s postupným zvyšovaním hodnôt t znamená postupné posuny signálu s2(t) doľava pozdĺž časovej osi (pre každú hodnotu s1(t) sú hodnoty s2(t+t) sa berú ako násobenie integrandov).
Načítava...