Na povrchu.

Lokálne vlastnosti krivočiarych súradníc

Pri zvažovaní krivočiarych súradníc v tejto časti budeme predpokladať, že uvažujeme trojrozmerný priestor (n = 3) vybavený karteziánskymi súradnicami x , y , z . Prípad ostatných rozmerov sa líši len počtom súradníc.

V prípade euklidovského priestoru bude mať metrický tenzor, nazývaný aj druhá mocnina oblúkového diferenciálu, v týchto súradniciach tvar zodpovedajúci matici identity:

$dS^2\; =\; \backslash mathbf(dx)^2\; +\; \backslash mathbf(dy)^2\; +\; \backslash mathbf(dz)^2.$

Všeobecný prípad

Nechaj $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$- nejaké krivočiare súradnice, ktoré budeme považovať za dané hladké funkcie x , y , z . Aby mal tri vlastnosti $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$ slúžili ako súradnice v nejakej oblasti vesmíru, je potrebná existencia inverzného mapovania:

$\backslash left\backslash (\backslash začiatok(matica)\; x\; =\; \backslash varphi\_1\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right);\backslash \backslash \; y=\; \backslash varphi\_2\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right)\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash varphi\_3\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right),\backslash end(matica)\backslash right.$

Kde $\backslash varphi\_1,\backslash ;\; \backslash varphi\_2,\backslash ;\; \backslash varphi\_3$- funkcie definované v nejakej doméne množín $\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right)$ súradnice.

Lokálna báza a tenzorová analýza

V tenzorovom počte je možné zaviesť lokálne bázové vektory: $\backslash mathbf(R\_j)=\backslash frac(d\backslash mathbf\; r)(dy^j)=\; \backslash frac(dx^i)(dy^j)\; \backslash mathbf\; e\_i=Q^i\_j\; \backslash mathbf\; e\_i$, Kde $\backslash mathbf\; e\_i$- orty karteziánskeho súradnicového systému, $Q^i\_j$ je jakobiánska matica, $x^i$ súradnice v karteziánskom systéme, $y^i$- zadanie krivočiarych súradníc.
Nie je ťažké vidieť, že krivočiare súradnice sa vo všeobecnosti líšia bod od bodu.
Označme vzorce pre spojenie medzi krivočiarymi a karteziánskymi súradnicami:
$\backslash mathbf\; R\_i=Q^j\_i\; \backslash mathbf\; e\_j$
$\backslash mathbf\; e\_i=P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$ Kde $P^j\_i\; Q^i\_j=E$, kde E je matica identity.
Súčin dvoch lokálnych bázových vektorov tvorí metrickú maticu:
$\backslash mathbf\; R\_i\; \backslash mathbf\; R\_j\; =\; Q^n\_i\; Q^m\_j\; d\_(nm)\; =\; g\_(ij)$
$\backslash mathbf\; R^i\; \backslash mathbf\; R^j\; =\; P^i\_n\; P^j\_m\; d^(nm)=g^(ij)$
$g\_(ij)\; g^(jk)=g^(jk)\; g\_(ij)\; =d\_i^k$, Kde $d\_(ij),\; d^(ij),\; d^i\_j$ kontravariantný, kovariantný a zmiešaný Kroneckerov symbol
Teda ľubovoľné tenzorové pole $\backslash mathbf\; T$ poradia n možno rozšíriť na báze lokálnej polyády:
$\backslash mathbf\; T=\; T^(i\_1\; ...\; i\_n)\; \backslash mathbf\; e\_i\; \backslash otimes\; ...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; e\_n\; =T^(i\_1\; ...i\_n)\; P^(j\_1)\_(i\_1)\; ...\; P^\; (j\_n)\_(i\_n)\; \backslash mathbf\; R\_(j\_1)\; \backslash otimes...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; R\_(j\_n)$
Napríklad v prípade tenzorového poľa prvého stupňa (vektora):
$\backslash mathbf\; v=v^i\; \backslash mathbf\; e\_i=v^i\; P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$

Ortogonálne krivočiare súradnice

V euklidovskom priestore je použitie ortogonálnych krivočiarych súradníc mimoriadne dôležité, pretože vzorce týkajúce sa dĺžky a uhlov vyzerajú jednoduchšie v ortogonálnych súradniciach ako vo všeobecnom prípade. Je to spôsobené tým, že metrická matica v systémoch s ortonormálnym základom bude diagonálna, čo výrazne zjednoduší výpočty.
Príkladom takýchto systémov je sférický systém v $\backslash mathbb(R)^2$

Lame koeficienty

Oblúkový diferenciál zapíšeme v krivočiarych súradniciach vo forme (pomocou Einsteinovho sčítacieho pravidla):

$dS^2\; =\; \backslash left(\backslash frac(\backslash čiastočné\; \backslash varphi\_1)(\backslash čiastočné\; q\_i)\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash right)^2\; +$

\left(\frac(\čiastočné \varphi_2)(\čiastočné q_i)\mathbf(dq)_i \vpravo)^2 + \left(\frac(\čiastočné \varphi_3)(\čiastočné q_i)\mathbf(dq)_i \right)^2, ~i=1,2,3

Berúc do úvahy ortogonalitu súradnicových systémov ( $\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf(dq)\_j\; =\; 0$ pri $ja\; \backslash ne\; j$) tento výraz možno prepísať ako

$dS^2\; =\; H\_1^2dq\_1^2\; +\; H\_2^2dq\_2^2\; +\; H\_3^2dq\_3^2,$

$H\_i\; =\; \backslash sqrt(\backslash vľavo(\backslash frac(\backslash čiastočné\; \backslash varphi\_1)(\backslash čiastočné\; q\_i)\backslash vpravo)^2\; +\; \backslash ľavé(\backslash frac(\backslash čiastočné\; \backslash varphi\_2)(\backslash čiastočné\; q\_i)\backslash vpravo)^2\; +\; \backslash \; left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_3)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2);\backslash \; i=1,\backslash ;2,\backslash ;3$

Pozitívne hodnoty $Ahoj\backslash$, v závislosti od bodu v priestore, sa nazývajú Lame koeficienty alebo mierkové faktory. Lameho koeficienty ukazujú, koľko jednotiek dĺžky je obsiahnutých v jednotke súradníc daného bodu a používajú sa na transformáciu vektorov pri prechode z jedného súradnicového systému do druhého.

Riemannov metrický tenzor zapísaný v súradniciach $(q\_i)$, je diagonálna matica, na ktorej uhlopriečke sú druhé mocniny Lameho koeficientov:

Príklady

polárne súradnice ( n=2)

Polárne súradnice v rovine zahŕňajú vzdialenosť r od pólu (počiatok) a smer (uhol) φ.

Spojenie polárnych súradníc s karteziánskymi:

$\backslash left\backslash (\backslash začiatok(matica)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\backslash koniec\; (matica)\backslash vpravo.$

Lame koeficienty:

$\backslash begin(matica)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r.\; \backslash end(matica)$

Diferenciál oblúka:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2.$

Na začiatku nie je funkcia φ definovaná. Ak sa súradnica φ nepovažuje za číslo, ale za uhol (bod na jednotkovej kružnici), potom polárne súradnice tvoria súradnicový systém v oblasti získanej z celej roviny odstránením počiatočného bodu. Ak napriek tomu považujeme φ za číslo, potom v určenej oblasti bude viachodnotové a konštrukcia súradnicového systému striktne v matematickom zmysle je možná len v jednoducho spojenej oblasti, ktorá nezahŕňa počiatok, napr. , v lietadle bez lúča.

Cylindrické súradnice ( n=3)

Cylindrické súradnice sú triviálnym zovšeobecnením polárnych súradníc na prípad trojrozmerného priestoru pridaním tretej súradnice z . Vzťah cylindrických súradníc s karteziánskymi:

$\backslash left\backslash (\backslash začiatok(matica)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\; \backslash \backslash \; z\; =\; z.\; \backslash end(matica)\backslash vpravo.$

Lame koeficienty:

$\backslash begin(matica)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r;\; \backslash \backslash \; H\_z\; =\; 1.\; \backslash end(matica)$

Diferenciál oblúka:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2\; +\; dz^2.$

Sférické súradnice ( n=3)

Sférické súradnice súvisia so súradnicami zemepisnej šírky a dĺžky na jednotkovej sfére. Spojenie sférických súradníc s karteziánskymi:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matica)\; x\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash sin(\backslash varphi);\; \backslash \backslash \; z\; =\; r\backslash cos\; (\backslash theta).\backslash koniec\; (matica)\backslash vpravo.$

Lame koeficienty:

$\backslash begin(matica)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash theta\; =\; r;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r\backslash sin(\backslash theta).\; \backslash end(matica)$

Diferenciál oblúka:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash theta^2\; +\; r^2\backslash sin^2(\backslash theta)d\backslash varphi^2.$

Sférické súradnice, podobne ako cylindrické súradnice, nefungujú na osi z (x=0, y=0), pretože tam nie je definovaná súradnica φ.

Rôzne exotické súradnice v lietadle ( n=2) a ich zovšeobecnenia

Napíšte recenziu na článok "Krivočiary súradnicový systém"

Literatúra

• Korn G., Korn T. Príručka matematiky (pre vedcov a inžinierov). - M .: Nauka, 1974. - 832 s.

Názov súradníc Typy súradnicových systémov 2D súradnice 3D súradnice $n$-rozmerné súradnice Fyzické súradnice Súvisiace definície

Výňatok charakterizujúci krivočiary súradnicový systém

"Ak by na nás mohol zaútočiť, urobil by to dnes," povedal.
"Takže si myslíš, že je bezmocný," povedal Langeron.
„Veľa, ak má 40 000 vojakov,“ odpovedal Weyrother s úsmevom doktora, ktorému chce doktor upozorniť na liek.
"V takom prípade ide na smrť a čaká na náš útok," povedal Lanzheron s tenkým, ironickým úsmevom a pozrel sa späť na najbližšieho Miloradoviča, aby to potvrdil.
Ale Miloradovič očividne v tej chvíli najmenej myslel na to, o čom sa generáli hádali.
- Ma foi, [Bože,] - povedal, - zajtra všetko uvidíme na bojisku.
Weyrother sa znova zachichotal s tým úsmevom, ktorý hovoril, že je pre neho smiešne a zvláštne stretnúť sa s námietkami ruských generálov a dokázať to, čím si bol istý nielen on sám, ale čím si boli istí cisári.
"Nepriateľ uhasil požiare a v jeho tábore je nepretržitý hluk," povedal. - Čo to znamená? „Buď sa odsťahuje, čo je jediná vec, ktorej by sme sa mali báť, alebo zmení polohu (zasmial sa). Ale aj keby zaujal pozíciu v Tyuras, ušetrí nám len veľa problémov a príkazy do najmenších detailov zostávajú rovnaké.
"Akým spôsobom? .." povedal princ Andrei, ktorý dlho čakal na príležitosť vyjadriť svoje pochybnosti.
Kutuzov sa prebudil, ťažko si odkašlal a poobzeral sa po generáloch.
"Páni, dispozícia na zajtrajšok, ani dnes (pretože je už prvá hodina), sa nedá zmeniť," povedal. „Počuli ste ju a my všetci splníme svoju povinnosť. A pred bitkou nie je nič dôležitejšie... (odmlčal sa), ako sa dobre vyspať.
Predstieral, že vstal. Generáli sa uklonili a odišli do dôchodku. Bolo po polnoci. Princ Andrew odišiel.

Vojenská rada, na ktorej princ Andrei nevyjadril svoj názor, ako dúfal, v ňom zanechala nejasný a znepokojujúci dojem. Kto mal pravdu: Dolgorukov s Weyrotherom alebo Kutuzov s Langeronom a ďalšími, ktorí neschvaľovali plán útoku, nevedel. „Bolo však skutočne nemožné, aby Kutuzov priamo vyjadril svoje myšlienky panovníkovi? Nedá sa to urobiť inak? Naozaj je potrebné kvôli súdnym a osobným úvahám riskovať desaťtisíce a môj, môj život? myslel si.
"Áno, je veľmi pravdepodobné, že ťa zajtra zabijú," pomyslel si. A zrazu, pri tejto myšlienke na smrť, sa v jeho predstavách vynoril celý rad spomienok, tých najvzdialenejších a najúprimnejších; spomenul si na poslednú rozlúčku s otcom a manželkou; spomenul si na prvé dni svojej lásky k nej! Spomenul si na jej tehotenstvo, ľutoval ju aj seba a nervózne zmäkčený a rozrušený opustil chatrč, v ktorej stál s Nesvitským, a začal chodiť pred dom.
Noc bola hmlistá a cez hmlu záhadne presvitalo mesačné svetlo. „Áno, zajtra, zajtra! myslel si. „Zajtra sa možno pre mňa všetko skončí, všetky tieto spomienky už nebudú existovať, všetky tieto spomienky už pre mňa nebudú mať žiadny význam. Zajtra, možno, možno aj zajtra, to predvídam, po prvýkrát budem musieť konečne ukázať všetko, čo dokážem. A predstavoval si bitku, jej prehru, sústredenie bitky do jedného bodu a zmätok všetkých veliacich osôb. A teraz sa mu konečne zjaví ten šťastný okamih, ten Toulon, na ktorý tak dlho čakal. Pevne a jasne hovorí svoj názor Kutuzovovi, Weyrotherovi a cisárom. Každý žasne nad správnosťou jeho predstáv, ale nikto sa to nezaväzuje naplniť, a tak vezme pluk, divíziu, vysloví podmienku, že nikto nesmie zasahovať do jeho rozkazov a vedie svoju divíziu k rozhodujúcemu bodu a sám. vyhráva. A čo smrť a utrpenie? hovorí iný hlas. Ale princ Andrei na tento hlas neodpovedá a pokračuje vo svojich úspechoch. Usporiadanie ďalšej bitky robí on sám. Má hodnosť armádneho dôstojníka pod Kutuzovom, ale všetko robí sám. Ďalšiu bitku vyhráva on sám. Kutuzov je nahradený, je menovaný ... No a potom? iný hlas hovorí znova a potom, ak nie ste predtým desaťkrát zranení, zabití alebo oklamaní; no a čo potom? „No, a potom,“ odpovedá si princ Andrei, „neviem, čo bude ďalej, nechcem a nemôžem vedieť: ale ak chcem toto, chcem slávu, chcem byť slávni ľudia Chcem byť nimi milovaný, potom nie je moja chyba, že toto chcem, že toto chcem sám, pre toto sám žijem. Áno, pre túto! Nikdy to nikomu nepoviem, ale môj bože! čo mám robiť, ak nemilujem nič iné ako slávu, ľudskú lásku. Smrť, rany, strata rodiny, nič ma nedesí. A bez ohľadu na to, akí milí a drahí sú mi mnohí ľudia - môj otec, sestra, manželka - ľudia, ktorí sú mi najdrahší - ale bez ohľadu na to, aké hrozné a neprirodzené sa to zdá, teraz ich všetkých dám na chvíľu slávy, triumfu. nad ľuďmi, z lásky k sebe ľuďom, ktorých nepoznám a nepoznám, z lásky k týmto ľuďom, “pomyslel si a počúval rozhovor na Kutuzovovom dvore. Na dvore Kutuzova bolo počuť hlasy baliacich sa poriadnikov; Jeden hlas, pravdepodobne kočiš, dráždil starého kuchára Kutuzovského, ktorého poznal knieža Andrej a volal sa Sýkorka, povedal: "Sýkorka a sýkorka?"
"No," odpovedal starý muž.
"Titus, choď mlátiť," povedal vtipkár.
"Pach, do pekla s nimi," bolo počuť hlas pokrytý smiechom batmanov a sluhov.
"A predsa milujem a vážim si len víťazstvo nad nimi všetkými, vážim si túto tajomnú moc a slávu, ktorá sa tu nado mnou preháňa v tejto hmle!"

Rostov bol tej noci s čatou v reťazi obrancov pred Bagrationovým oddelením. Jeho husári sa rozpŕchli po dvojiciach v reťaziach; on sám jazdil po tejto reťazi a snažil sa prekonať spánok, ktorý ho neodolateľne klesal. Za ním bolo vidieť obrovskú rozlohu ohňov našej armády, ktoré nezreteľne horia v hmle; pred ním bola hmlistá tma. Bez ohľadu na to, ako veľmi sa Rostov díval do tejto hmlistej diaľky, nič nevidel: zošedla, potom akoby niečo sčernelo; potom blikali ako svetlá, kde by mal byť nepriateľ; potom si pomyslel, že sa mu to lesklo len v očiach. Mal zavreté oči a teraz sa v jeho predstavách objavili spomienky panovníka, potom Denisova, potom Moskvy a znova rýchlo otvoril oči a zatvoril pred sebou, niekedy videl hlavu a uši koňa, na ktorom sedel. vbehli do nich čierne postavy husárov, keď bol na šesť krokov, a v diaľke tá istá hmlistá tma. "Z čoho? Je veľmi možné, pomyslel si Rostov, že panovník po stretnutí so mnou dá rozkaz, ako by to urobil každému dôstojníkovi: povie: „Choď, zisti, čo tam je“. Veľa rozprávali, ako celkom náhodou spoznal nejakého dôstojníka takýmto spôsobom a priblížil ho k sebe. Čo keby ma k nemu priviedol bližšie! Ach, ako by som ho chránil, ako by som mu povedal celú pravdu, ako by som odhalil jeho podvodníkov, “a Rostov, aby si živo predstavil svoju lásku a oddanosť k panovníkovi, si predstavil nemeckého nepriateľa alebo podvodníka, ktorého užil nielen zabil, ale porazil po lícach v očiach panovníka. Zrazu Rostov prebudil vzdialený výkrik. Trhol sebou a otvoril oči.
"Kde som? Áno, v reťazci: slogan a heslo sú ťahadlo, Olmutz. Aká škoda, že naša letka bude zajtra v zálohe... pomyslel si. - Poprosím do práce. Toto môže byť jediná šanca vidieť suveréna. Áno, nie je to dlho pred zmenou. Znova pôjdem okolo a keď sa vrátim, pôjdem za generálom a spýtam sa ho." Prebral sa v sedle a dotkol sa koňa, aby ešte raz obišiel svojich husárov. Myslel si, že je svetlejšie. Na ľavej strane bolo vidieť mierny, osvetlený svah a protiľahlý čierny kopec, ktorý sa zdal strmý, ako stena. Na tomto kopci bola biela škvrna, ktorej Rostov nijako nerozumel: bola to čistinka v lese osvetlená mesiacom, alebo zvyšný sneh, alebo biele domy? Dokonca sa mu zdalo, že nad týmto bielym bodom sa niečo pohlo. „Sneh musí byť škvrna; tá škvrna nie je taká, pomyslel si Rostov. "Tu nešúchaš..."

Na akomkoľvek povrchu môžete vytvoriť súradnicový systém tak, že polohu bodu na ňom znova zadefinujete pomocou dvoch čísel. Aby sme to dosiahli, nejakým spôsobom pokryjeme celú plochu dvoma rodinami čiar tak, že každým jej bodom (možno až na malý počet výnimiek) prechádza jedna, a to iba jedna čiara z každej rodiny. Teraz je už len potrebné opatriť línie každej rodiny číselnými značkami podľa nejakého pevného pravidla, ktoré umožňuje nájsť požadovanú rodinnú líniu podľa číselnej značky (obr. 22).

súradnice bodu M plochy slúžia ako čísla u, v, Kde u-- číselná značka prechádzajúcej línie prvej rodiny M, A v-- označenie línií druhej rodiny. Budeme pokračovať v písaní: M(u; v),čísla a v sa nazývajú krivočiare súradnice bodu M. To, čo bolo povedané, bude celkom jasné, ak sa obrátime na príklad do sféry. Môže byť celoplošne pokrytá meridiánmi (prvá rodina); každému z nich zodpovedá číselná značka, a to hodnota zemepisnej dĺžky u(alebo c). Všetky paralely tvoria druhú rodinu; každému z nich zodpovedá číselná značka – zemepisná šírka v(alebo a). Cez každý bod gule (okrem pólov) prechádza len jeden poludník a jedna rovnobežka.

Ako ďalší príklad uvažujme bočnú plochu pravého kruhového valca s výškou H, polomer a(obr. 23). Pre prvú rodinu vezmeme systém jej generátorov, jeden z nich bude braný ako počiatočný. Každej tvoriacej čiare priradíme značku ty rovná dĺžke oblúka na obvode základne medzi počiatočnou tvoriacou čiarou a danou (oblúk budeme počítať napr. proti smeru hodinových ručičiek). Pre druhú rodinu vezmeme systém vodorovných rezov povrchu; číselná značka v budeme uvažovať o výške, v ktorej je rez nakreslený nad základňou. Pri správnom výbere osí x, y, z vo vesmíre budeme mať za akýkoľvek bod M(x; y); z) náš povrch:

(Argumenty pre kosínus a sínus nie sú v stupňoch, ale v radiánoch.) Tieto rovnice možno považovať za parametrické rovnice pre povrch valca.

Úloha 9. Podľa akej krivky by sa mal odrezať kus plechu, aby sa vytvorilo koleno odtokovej rúry, aby po správnom ohnutí vznikol valec s polomerom A, skrátené o rovinu pod uhlom 45° k rovine podstavy?

Riešenie. Použime parametrické rovnice povrchu valca:

Rovinu rezu nakreslíme cez os oh, jej rovnica z=y. Spojením s práve napísanými rovnicami dostaneme rovnicu

priesečníky v krivočiarych súradniciach. Po rozložení povrchu do roviny sú krivočiare súradnice A A v premeniť na karteziánske súradnice.

Takže kus cínu by mal byť načrtnutý zhora pozdĺž sínusoidy

Tu u A v už karteziánske súradnice na rovine (obr. 24).

Ako v prípade gule, tak aj valcového povrchu, ako aj vo všeobecnom prípade špecifikácia povrchu parametrickými rovnicami znamená vytvorenie krivočiareho súradnicového systému na povrchu. Skutočne, výraz pre karteziánske súradnice x, y, zľubovoľný bod M (x; y; z) povrchy prostredníctvom dvoch parametrov ty v(Vo všeobecnosti sa to píše takto: X\u003d c ( u; v), y= c (u;v), z=u (u;v), ts, sh, u - funkcie dvoch argumentov) umožňuje poznať dvojicu čísel ty v, nájsť zodpovedajúce súradnice x, y, z, teda poloha bodu M na povrchu; čísla ty v slúžia ako jeho súradnice. Dať jednému z nich konštantnú hodnotu, napr u=u 0, dostaneme výraz x, y, z cez jeden parameter v, t.j. parametrická rovnica krivky. Toto je súradnicová čiara jednej rodiny, jej rovnica u=u 0 Len ten istý riadok v=v 0 -- súradnicová línia inej rodiny.

vektor súradnicového kartézskeho polomeru

Zodpovedá takémuto vektorovému priestoru. V tomto článku bude prvá definícia považovaná za počiatočnú.

N (\displaystyle n)-rozmerný euklidovský priestor označujeme E n , (\displaystyle \mathbb (E) ^(n),)často sa používa aj zápis (ak je z kontextu zrejmé, že priestor má euklidovskú štruktúru).

Encyklopedický YouTube

1 / 5

✪ 04 - Lineárna algebra. Euklidovský priestor

✪ Neeuklidovská geometria. Časť prvá.

✪ Neeuklidovská geometria. Druhá časť

✪ 01 - Lineárna algebra. Lineárny (vektorový) priestor

✪ 8. Euklidovské priestory

titulky

Formálna definícia

Na definovanie euklidovského priestoru je najjednoduchšie brať ako základný koncept skalárneho produktu. Euklidovský vektorový priestor je definovaný ako konečnorozmerný vektorový priestor nad poľom reálnych čísel, na ktorého vektoroch je daná funkcia skutočnej hodnoty. (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),) s týmito tromi vlastnosťami:

Príklad euklidovského priestoru - súradnicový priestor R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),) pozostávajúce zo všetkých možných n-tic reálnych čísel (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)),) skalárny súčin, v ktorom je určený vzorcom (x, y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Dĺžky a uhly

Skalárny súčin uvedený v euklidovskom priestore je dostatočný na zavedenie geometrických pojmov dĺžky a uhla. Dĺžka vektora u (\displaystyle u) definovaný ako (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u)))) a označené | u | . (\displaystyle |u|.) Pozitívna jednoznačnosť vnútorného súčinu zaručuje, že dĺžka nenulového vektora je nenulová a z bilinearity vyplýva, že | a u | = | a | | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,) to znamená, že dĺžky proporcionálnych vektorov sú úmerné.

Uhol medzi vektormi u (\displaystyle u) A v (\displaystyle v) sa určuje podľa vzorca φ = arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right).) Z kosínusovej vety vyplýva, že pre dvojrozmerný euklidovský priestor ( euklidovská rovina) túto definíciu uhol sa zhoduje s obvyklým. Ortogonálne vektory, ako v trojrozmernom priestore, môžu byť definované ako vektory, ktorých uhol je rovný π 2. (\displaystyle (\frac (\pi )(2)).)

Cauchyho-Bunyakovského-Schwarzova nerovnosť a trojuholníková nerovnosť

Vo vyššie uvedenej definícii uhla zostala jedna medzera: aby arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\vpravo)) bola definovaná, je potrebné, aby nerovnosť | (x, y) | x | | y | | ≤ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.) Táto nerovnosť je skutočne splnená v ľubovoľnom euklidovskom priestore, nazýva sa to  Cauchyho - Bunyakovského - Schwarzova nerovnosť. Z tejto nerovnosti zase vyplýva trojuholníková nerovnosť: | u+v | ⩽ | u | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.) Trojuholníková nerovnosť spolu s vlastnosťami dĺžky uvedenými vyššie znamená, že dĺžka vektora je normou v euklidovskom vektorovom priestore a funkcia d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|) definuje štruktúru metrického priestoru na euklidovskom priestore (táto funkcia sa nazýva euklidovská metrika). Najmä vzdialenosť medzi prvkami (bodmi) x (\displaystyle x) A y (\displaystyle y) súradnicový priestor R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) daný vzorcom d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Algebraické vlastnosti

Ortonormálne bázy

Dvojité priestory a operátori

Akýkoľvek vektor x (\displaystyle x) Euklidovský priestor definuje lineárny funkcionál x ∗ (\displaystyle x^(*)) na tomto priestore, vymedzenom ako x ∗ (y) = (x, y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).) Toto zobrazenie je izomorfizmus medzi euklidovským priestorom a

Pravouhlý priestorový systém karteziánskych súradníc

Transformácie priestorových pravouhlých súradnicových systémov

Transformácie lineárneho zobrazenia

Redukcia všeobecnej kvadratickej formy na kanonickú

Krivočiare súradnice

Všeobecné informácie o krivočiarych súradnicových systémoch

Krivkové súradnice na povrchu

Polárne súradnicové systémy a ich zovšeobecnenia

Priestorový polárny súradnicový systém

Cylindrický súradnicový systém

Sférický súradnicový systém

Polárne súradnice na povrchu

Kapitola 3. SÚRADNOVÉ SYSTÉMY POUŽÍVANÉ V GEODÉZII

Všeobecná klasifikácia súradnicových systémov používaných v geodézii

Zemské geodetické súradnicové systémy

Polárne súradnicové systémy v geodézii

Krivočiare elipsoidné systémy geodetických súradníc

Určenie elipsoidných geodetických súradníc so samostatnou metódou určenia plánovaných a výškových polôh bodov na zemskom povrchu.

Prevod priestorových geodetických polárnych súradníc na elipsoidné geodetické súradnice

Prevod referenčných systémov geodetických súradníc na globálne a naopak

Priestorové pravouhlé súradnicové systémy

Vzťah priestorových pravouhlých súradníc s elipsoidnými geodetickými súradnicami

Prevod priestorových pravouhlých referenčných súradníc na globálne a naopak

Topocentrické súradnicové systémy v geodézii

Vzťah priestorovej topocentrickej horizontálnej geodetickej CS s priestorovými polárnymi sférickými súradnicami

Prevod topocentrických horizontálnych geodetických súradníc na priestorové pravouhlé súradnice X, Y, Z

Systémy plochých pravouhlých súradníc v geodézii

Vzťah rovinných pravouhlých Gaussových–Krügerových súradníc k elipsoidným geodetickým súradniciam

Transformácia Gauss-Krugerových planárnych pravouhlých súradníc z jednej zóny do druhej

Prepočet plochých pravouhlých súradníc bodov miestnych geodetických konštrukcií na iné sústavy plochých pravouhlých súradníc

Kapitola 4

Súradnicové systémy sférickej astronómie

Referenčné systémy v kozmickej geodézii

Hviezdne (nebeské) inerciálne geocentrické rovníkové súradnice

Greenwichský pozemský geocentrický systém priestorových pravouhlých súradníc

Topocentrické súradnicové systémy

Kapitola 5

Systémy štátnych geodetických súradníc na začiatku XXI storočia.

Výstavba štátnej geodetickej siete

BIBLIOGRAFIA

PRÍLOHA 1. RIEŠENIE PRIAMYHO GEODEZICKÉHO PROBLÉMU VO VESMÍRE

PRÍLOHA 2. RIEŠENIE INVERZNÉHO GEODEZICKÉHO PROBLÉMU VO VESMÍRE

PRÍLOHA 3. KONVERZIA GEODETICKÝCH SÚRADNÍC B, L, H NA PRIESTOROVÝ PRAVOUHOLNÍK X, Y, Z

DODATOK 4

PRÍLOHA 5. KONVERZIA PRIESTOROVÝCH PRAVOUHOLNÍKOVÝCH SÚRADNÍC X, Y, Z SK-42 NA SÚRADNICE SYSTÉMU PZ-90

PRÍLOHA 6. PREVOD REFERENČNÉHO SYSTÉMU GEODETICKÝCH SÚRADNÍC B, L, H DO SYSTÉMU GEODETICKÝCH SÚRADNÍC PZ-90 B0, L0, H0

PRÍLOHA 7. KONVERZIA PRIESTOROVÝCH POLÁRNYCH SÚRADNÍC SYSTÉMU S, ZG, A NA TOPOCENTRICKÉ HORIZONTÁLNE GEODETICKÉ SÚRADNICE ХТ, УТ, ZТ

PRÍLOHA 8. KONVERZIA TOPOCENTRICKÝCH HORIZONTÁLNYCH GEODETICKÝCH SÚRADNÍC ХТ, УТ, ZТ NA POLÁRNE PRIESTOROVÉ SÚRADNICE – S, ZГ, A

PRÍLOHA 9. KONVERZIA TOPOCENTRICKÝCH HORIZONTÁLNYCH GEODETICKÝCH SÚRADNÍC XT, UT, ZT NA PRIESTOROVÉ PRAVOUHOLNÍKOVÉ SÚRADNICE X, Y, Z

PRÍLOHA 10. KONVERZIA ELIPSOIDÁLNYCH GEODETICKÝCH SÚRADNÍC B, L NA PLOCHÉ PRAVOUHOLNÍKOVÉ SÚRADNICE GAUSS - KRUGER X, Y

PRÍLOHA 11. KONVERZIA ROVINNÝCH PRAVOUHOLNÍKOVÝCH SÚRADNÍC GAUSS - KRUGER X, Y NA ELIPSOIDÁLNE GEODETICKÉ SÚRADNICE B, L

(a11-A1)(a22-A1)-a12a21 = 0;

λ12-(a11+a22)A1+ (a11a22-a12a21) = 0.

Diskriminant týchto kvadratických rovníc je ³ 0, t.j.

D \u003d (a 11 + a 22) 2 - 4 (a 11a 22 - a 12 a 21) \u003d (a 11 - a 22) 2 + 4a 122 ³ 0.

Volajú sa rovnice (2.56), (2.57). charakteristické rovnice

matice a korene týchto rovníc sú vlastné čísla matice A. Vlastné hodnoty nájdené z (2.57) dosadíme do (2.39), dostaneme

kanonická rovnica.

Je daný kvadratický tvar v tvare: F (x x ) = 5x 2				2x2.

Nájdite kanonickú formu tejto rovnice.

Pretože tu a 11 = 5; a 21 = 2; a 22 = 2, potom charakteristická rovnica (2.56) pre daný kvadratický tvar bude mať tvar

5 - λ 2

2 2 - λ 1

Prirovnanie determinantu tejto maticovej rovnice k nule

(5 – λ)(2 – λ) – 4 = λ2 – 7λ + 6 = 0

a vyriešením tejto kvadratickej rovnice dostaneme λ1 = 6; λ2 = 1.

A potom bude vyzerať kanonická forma tejto kvadratickej formy

F (x 1, x 2) = 6 x 12 + x 22.

2.3. Krivočiare súradnice

2.3.1. Všeobecné informácie o krivočiarych súradnicových systémoch

Trieda krivočiarych súradníc je v porovnaní s triedou priamočiarych súradníc rozsiahla a oveľa rozmanitejšia a z analytického hľadiska je najuniverzálnejšia, pretože rozširuje možnosti metódy priamočiarych súradníc. Použitie krivočiarych súradníc môže niekedy výrazne zjednodušiť riešenie mnohých problémov, najmä problémov, ktoré sa riešia priamo na rotačnej ploche. Takže napríklad pri riešení problému na rotačnej ploche súvisiaceho s nájdením určitej funkcie si v oblasti špecifikácie tejto funkcie na danej ploche môžete zvoliť taký systém krivočiarych súradníc, ktorý vám umožní dotovať túto funkciu nová vlastnosť má byť konštantná v danom súradnicovom systéme, čo nie je vždy možné pri použití priamočiarych súradnicových systémov.

Systém krivočiarych súradníc, daný v niektorej oblasti trojrozmerného euklidovského priestoru, priraďuje každému bodu tohto priestoru usporiadanú trojicu reálnych čísel - φ, λ, r (krivkové súradnice bodu).

Ak sa sústava krivočiarych súradníc nachádza priamo na nejakej ploche (otočnej ploche), tak v tomto prípade má každý bod plochy pridelené dve reálne čísla - φ, λ, ktoré jednoznačne určujú polohu bodu na tejto ploche.

Medzi sústavou krivočiarych súradníc φ, λ, r a priamočiarym kartézskym CS (X, Y, Z) musí existovať matematický vzťah. Skutočne, nech je systém krivočiarych súradníc daný v nejakej oblasti priestoru. Každý bod tohto priestoru zodpovedá jednej trojici krivočiarych súradníc - φ, λ, r. Na druhej strane tomu istému bodu zodpovedá jediná trojica priamočiarych karteziánskych súradníc – X, Y, Z. Potom možno tvrdiť, že v r. všeobecný pohľad

ϕ \u003d ϕ (X, Y, Z);

λ = λ (,); (2,58)

X Y Z

r = r(X, Y, Z).

Medzi týmito SC existuje priamy (2,58) aj inverzný matematický vzťah.

Z rozboru vzorcov (2.58) vyplýva, že pri konštantnej hodnote niektorej z priestorových krivočiarych súradníc φ, λ, r napr.

ϕ \u003d ϕ (X, Y, Z) \u003d konšt.,

A premenné hodnoty ďalších dvoch (λ, r ), dostaneme vo všeobecnosti povrch, ktorý sa nazýva súradnicový. Súradnicové plochy zodpovedajúce rovnakej súradnici sa nepretínajú. Dve súradnicové plochy zodpovedajúce rôznym súradniciam sa však pretínajú a vytvárajú súradnicovú čiaru zodpovedajúcu tretej súradnici.

2.3.2. Krivkové súradnice na povrchu

Pre geodéziu sú najzaujímavejšie povrchové krivočiare súradnice.

Nech je rovnica povrchu funkciou karteziánskych súradníc v

má implicitne podobu
F(X, Y, Z) = 0.

Smerovaním jednotkových vektorov pozdĺž súradnicových osí i, j, l (obr. 2.11) možno zapísať rovnicu povrchu vo vektorovom tvare

r \u003d X i + Y j + Z l. (2,60)

Zavádzame dve nové nezávislé premenné φ a λ také, že funkcie

splniť rovnicu (2,59). Rovnice (2.61) sú parametrické rovnice povrchu.

λ1=konšt

					λ2=konšt
					λ3=konšt
					φ3=konšt
					φ2=konšt
					φ1=konšt

Ryža. 2.11. Curvilinear Surface Coordinary System

Každá dvojica čísel φ a λ zodpovedá určitému (jedinému) bodu na povrchu a tieto premenné môžeme brať ako súradnice bodov na povrchu.

Ak dáme φ rôzne konštantné hodnoty φ = φ1 , φ = φ2 , …, dostaneme rodinu kriviek na povrchu zodpovedajúcich týmto konštantám. Podobne budeme mať dané konštantné hodnoty pre λ

druhá rodina kriviek. Na povrchu tak vzniká sieť súradnicových čiar φ = const a λ = const. Súradnicové čiary vo všeobecnosti

sú zakrivené čiary. Preto sa volajú čísla φ, λ

krivočiare súradnice body na povrchu.

Krivočiare súradnice môžu byť lineárne aj uhlové veličiny. Najjednoduchší príklad systému krivočiarych súradníc, v ktorom jedna súradnica je lineárna veličina a druhá je uhlová veličina, môže slúžiť ako polárne súradnice v rovine.

Voľba krivočiarych súradníc nemusí nevyhnutne predchádzať tvorbe súradnicových čiar. V niektorých prípadoch je účelnejšie vytvoriť sieť súradnicových čiar, ktorá je najvhodnejšia na riešenie určitých problémov na povrchu, a potom zvoliť parametre (súradnice) pre tieto čiary, ktoré by mali pre každú súradnicovú čiaru konštantnú hodnotu.

Dobre definovaná sieť súradnicových čiar tiež zodpovedá určitému systému parametrov, ale pre každú danú rodinu súradnicových čiar je možné zvoliť súbor ďalších parametrov, ktoré sú spojité a jednohodnotové funkcie. daný parameter. Vo všeobecnom prípade môžu mať uhly medzi súradnicami rodiny φ = const a priamkami rodiny λ = const rôzne hodnoty.

Budeme uvažovať len ortogonálne krivočiare súradnicové systémy, v ktorých každá súradnicová priamka φ = const pretína akúkoľvek inú súradnicovú priamku λ= const v pravom uhle.

Pri riešení mnohých úloh na ploche, najmä úloh súvisiacich s výpočtom krivočiarych súradníc bodov povrchu, je potrebné mať k dispozícii diferenciálne rovnice na zmenu krivočiarych súradníc φ a λ v závislosti od zmeny dĺžky S krivky povrchu.

Vzťah medzi diferenciálmi dS , dφ, dλ možno stanoviť zavedením novej premennej α, t.j.

a dS

φ = konšt

λ = konšt

λ+d λ = konšt

kladný smer priamky λ = konšt. na kladný

smer tejto krivky (obr. 2.12). Tento uhol, ako to bolo, určuje smer (orientáciu) čiary

daný bod na povrchu. Potom (bez výstupu):

Ryža. 2.12. Geometria spojenia diferenciálu oblúka krivky na ploche so zmenami (diferenciálmi) krivočiary

súradnice

					∂X		2 ∂ Y 2
E = (rϕ )
						∂ϕ		∂ϕ
G = (						∂X		∂ U 2
						∂λ		∂λ

+ ∂Z2;

∂ϕ

+ ∂Z2. ∂λ

		cosα
		sinα

IN geodézny uhol α zodpovedá geodetickému azimutu: α = A.

2.3.3. Polárne súradnicové systémy a ich zovšeobecnenia

2.3.4. Priestorový polárny súradnicový systém

Ak chcete nastaviť priestorový systém polárnych súradníc, musíte najprv vybrať rovinu (ďalej ju budeme nazývať hlavnou). V tejto rovine je vybraný nejaký bod O

merania

segmentov

priestor teda

pozíciu

akýkoľvek bod v priestore bude

určite

určený

veličiny: r, φ, λ, kde r je

polárny

priama vzdialenosť od pólu

O do bodu Q (obr. 2.13); λ -

polárny uhol je uhol medzi

polárny

Ryža. 2.13. Priestorový systém

ortogonálne

projekcia

polárneho polomeru k hlavnej

polárne súradnice a ich modifikácie

lietadlo

zmeny

(polárny polomer) a jeho

0 ≤ λ < 2π); φ – угол между

vektor

projekcia

OQ0 zapnuté

základné

rovina, považovaná za kladnú (0 ≤ φ ≤ π/2) pre body kladného polpriestoru a zápornú (-π/2 ≤ φ ≤ 0) pre body záporného polpriestoru.

Akýkoľvek priestorový polárny CS je možné jednoducho spojiť (transformovať) s priestorovým karteziánskym pravouhlým CS.

Ak zoberieme mierku a počiatok polárnej sústavy ako mierku a počiatok súradníc v priestorovej pravouhlej sústave, polárnu os OP - ako poloos úsečky OX , priamku OZ vedenú od pólu O kolmice k hlavnej rovine v kladnom smere polárnej sústavy - ako poloos OZ pravouhlého karteziánskeho systému a pre poloos - OS vezmite os, do ktorej prechádza os úsečky, keď je otočená o uhol. π / 2 v kladnom smere v hlavnej rovine polárneho systému, potom z obr. 2.13

Vzorce (2.64) nám umožňujú vyjadriť X, Y, Z pomocou r, φ, λ a naopak

Doteraz, keď sme chceli poznať polohu bodu v rovine alebo v priestore, sme používali karteziánsky súradnicový systém. Takže sme napríklad určili polohu bodu v priestore pomocou troch súradníc. Tieto súradnice boli úsečkou, ordinátou a aplikáciou premenného bodu v priestore. Je však jasné, že určenie úsečky, ordináty a aplikácie bodu nie je jediným spôsobom, ako určiť polohu bodu v priestore. Dá sa to urobiť iným spôsobom, napríklad pomocou krivočiarych súradníc.

Nech podľa nejakého, dobre definovaného pravidla, každý bod M priestor jednoznačne zodpovedá nejakej trojici čísel ( q 1 , q 2 , q 3) a rôzne body zodpovedajú rôznym trojitám čísel. Potom hovoríme, že v priestore je daný súradnicový systém; čísla q 1 , q 2 , q 3, ktoré zodpovedajú bodu M, sa nazývajú súradnice (alebo krivočiare súradnice) tohto bodu.

V závislosti od pravidla, podľa ktorého trojica čísel ( q 1 , q 2 , q 3) je v súlade s bodom v priestore, hovoria o jednom alebo druhom súradnicovom systéme.

Ak chcete poznamenať, že v danom súradnicovom systéme je poloha bodu M určená číslami q 1 , q 2 , q 3, potom je napísaný nasledovne M(q 1 , q 2 , q 3).

Príklad 1. Nech je v priestore vyznačený nejaký pevný bod O(počiatok) a cez ňu sú nakreslené tri vzájomne kolmé osi s mierkou, ktorá je na nich zvolená. (osi Vôl, Oj, Oz). Trojica svojho druhu X, r, z zhodovať sa s bodkou M, takže projekcie jej vektora polomeru OM na náprave Vôl, Oj, Oz budú rovnaké resp X, r, z. Tento spôsob vytvorenia vzťahu medzi trojicami čísel ( X, r, z) a body M nás vedie k známemu karteziánskemu súradnicovému systému.

Je ľahké vidieť, že v prípade karteziánskeho súradnicového systému nielen každá trojica čísel zodpovedá určitému bodu v priestore, ale naopak, každý bod v priestore zodpovedá určitej trojici súradníc.

Príklad 2. Nechajte súradnicové osi opäť nakresliť v priestore Vôl, Oj, Oz prechod cez pevný bod O(pôvod).

Zvážte trojicu čísel r, j, z, Kde r³0; 0 £ j 2 £ p, –¥<z<¥, и поставим в соответствие этой тройке чисел точку M, tak, aby sa jeho aplikácia rovnala z a jeho premietanie do roviny Oxy má polárne súradnice r A j(pozri obrázok 4.1). Je jasné, že tu je každá trojica čísel r, j, z zodpovedá určitému bodu M a naopak, každý bod M odpovedá na určitú trojicu čísel r, j, z. Výnimkou sú body ležiace na osi Oz: v tomto prípade r A z sú jedinečne definované, a roh j je možné priradiť akúkoľvek hodnotu. čísla r, j, z sa nazývajú valcové súradnice bodu M.

Je ľahké vytvoriť vzťah medzi valcovými a karteziánskymi súradnicami:

X = r×cos j; r = r× hriech j; z = z.

A späť ; ; z = z.

Príklad 3. Zavedieme sférický súradnicový systém. Nastavte tri čísla r, q, j charakterizujúce polohu bodu M vo vesmíre takto: r je vzdialenosť od začiatku súradníc k bodu M(dĺžka vektora polomeru), q Oz a polomerový vektor OM(bod zemepisnej šírky M) j je uhol medzi kladným smerom osi Vôl a priemet vektora polomeru do roviny Oxy(zemepisná dĺžka bodu M). (Pozri obrázok 4.2).

Je jasné, že v tomto prípade nielen každý bod M zodpovedá určitej trojici čísel r, q, j, Kde r³ 0, 0 £ q £ p, 0£ j 2 £ p, ale naopak, každá takáto trojica čísel zodpovedá určitému bodu v priestore (opäť s výnimkou bodov os. Oz kde je táto jedinečnosť narušená).

Je ľahké nájsť vzťah medzi sférickými a kartézskymi súradnicami:

X = r hriech q cos j; r = r hriech q hriech j; z = r cos q.

Vráťme sa k ľubovoľnému súradnicovému systému ( Oq 1 , Oq 2 , Oq 3). Budeme predpokladať, že nielen každému bodu v priestore zodpovedá určitá trojica čísel ( q 1 , q 2 , q 3), ale naopak, každá trojica čísel zodpovedá určitému bodu v priestore. Predstavme si pojem súradnicové plochy a súradnicové čiary.

Definícia. Množina bodov, pre ktoré súradnice q 1 je konštantná, nazývaná súradnicová plocha q 1. Súradnicové plochy sú definované podobne q 2 a q 3 (pozri obr. 4.3).

Je zrejmé, že ak má bod M súradnice S 1 , S 2 , S 3, potom sa súradnicové plochy v tomto bode pretínajú q 1 =C 1 ; q 2 =C 2 ; q 3 =C 3 .

Definícia. Množina bodov, pozdĺž ktorých sa menia iba súradnice q 1 (a ďalšie dve súradnice q 2 a q 3 zostávajú konštantné), nazýva sa súradnicová čiara q 1 .

Samozrejme, akákoľvek súradnicová čiara q 1 je priesečník rovín súradníc q 2 a q 3 .

Súradnicové čiary sú definované podobne q 2 a q 3 .

Príklad 1. Súradnicové plochy (pozdĺž súradnice X) v karteziánskom súradnicovom systéme sú všetky roviny X= konšt. (Sú rovnobežné s rovinou Oyz). Súradnicové plochy sú definované podobne súradnicami r A z.

koordinovať X priamka je priamka rovnobežná s osou Vôl. koordinovať r-riadok ( z-line) - priamka rovnobežná s osou OU(osi Oz).

Príklad 2. Súradnicové plochy vo valcovej sústave sú: akákoľvek rovina rovnobežná s rovinou Oxy(súradnicový povrch z= const), povrch kruhového valca, ktorého os smeruje pozdĺž osi Oz(súradnicový povrch r= konšt.) a polrovina ohraničená osou Oz(súradnicový povrch j= const) (pozri obr. 4.4).

Názov cylindrický súradnicový systém sa vysvetľuje skutočnosťou, že medzi jeho súradnicovými plochami sú valcové plochy.

Súradnicové čiary v tomto systéme sú z-line - rovná, rovnobežná s osou Oz; j-line - kruh ležiaci vo vodorovnej rovine so stredom na osi Oz; A r-line - lúč vychádzajúci z ľubovoľného bodu na osi Oz, rovnobežne s rovinou Oxy.

Ryža. 4.5

Keďže medzi súradnicovými plochami sú gule, tento súradnicový systém sa nazýva sférický.

Súradnicové čiary sú: r-čiara - lúč vychádzajúci z východiska, q-line - polkruh so stredom v počiatku, spájajúci dva body na osi Oz; j-čiara - kružnica ležiaca vo vodorovnej rovine so stredom na osi Oz.

Vo všetkých vyššie diskutovaných príkladoch súradnice prechádzajú akýmkoľvek bodom M, sú navzájom ortogonálne. Toto sa nestane v každom súradnicovom systéme. My sa však obmedzujeme na štúdium len takých súradnicových systémov, pre ktoré je to tak; takéto súradnicové systémy sa nazývajú ortogonálne.

Definícia. Súradnicový systém ( Oq 1 , Oq 2 , Oq 3) sa nazýva ortogonálny, ak v každom bode M súradnicové čiary prechádzajúce týmto bodom sa pretínajú v pravom uhle.

Zvážte teraz nejaký bod M a nakreslite jednotkové vektory, ktoré sa v tomto bode dotýkajú zodpovedajúcich súradnicových čiar a smerujú v smere zvyšovania zodpovedajúcej súradnice. Ak tieto vektory tvoria pravú trojicu v každom bode, potom dostaneme pravý súradnicový systém. Napríklad karteziánsky súradnicový systém X, r, z(pri bežnom usporiadaní osí) má pravdu. Tiež pravostranný cylindrický súradnicový systém r, j, z(ale presne s týmto poradím súradníc; ak zmeníte poradie súradníc, pričom napr. r, z, j už nezískame správny systém).

Sférický súradnicový systém je tiež správny (ak nastavíte takéto poradie r, q, j).

Všimnite si, že v karteziánskom súradnicovom systéme nezávisí smer jednotkového vektora od toho, ktorý bod M nakreslíme tento vektor; to isté platí pre vektory. V krivočiarych súradnicových systémoch pozorujeme niečo iné: napríklad vo valcovom súradnicovom systéme vektory v bode M a v nejakom inom bode M 1 už nemusia byť navzájom rovnobežné. To isté platí pre vektor (v rôznych bodoch má, všeobecne povedané, rôzne smery).

Trojica jednotkových ortogonálnych vektorov v krivočiarom súradnicovom systéme teda závisí od polohy bodu M, v ktorom sú tieto vektory uvažované. Trojica jednotkových ortogonálnych vektorov sa nazýva pohyblivý rámec a samotné vektory sa nazývajú jednotkové orty (alebo jednoducho orty).