Typy filtrov Butterworth LPF Chebyshev Type I LPF  Minimálna objednávka filtrov LPF s MOS . Cvičenie: Butterworth hornopriepustný filter Výpočet Butterworthovho filtra

Frekvenčná odozva Butterworthovho filtra je opísaná rovnicou

Vlastnosti Butterworthovho filtra: nelineárna fázová odozva; medzná frekvencia nezávislá od počtu pólov; oscilačný charakter prechodovej odozvy so stupňovitým vstupným signálom. S rastúcim poradím filtra sa zvyšuje oscilačný charakter.

Čebyševov filter

Frekvenčná odozva Čebyševovho filtra je opísaná rovnicou

Kde T n 2 (ω/ω n ) je Čebyševov polynóm n- poradie.

Čebyševov polynóm sa vypočíta podľa rekurzívneho vzorca

Vlastnosti filtra Chebyshev: zvýšená nerovnomernosť PFC; vlnitá charakteristika v priepustnom pásme. Čím vyššie je zvlnenie priepustného pásma filtra, tým ostrejší je rolloff v prechodovej oblasti pre rovnaký rád. Kolísanie prechodného procesu s postupným vstupný signál silnejší ako Butterworthov filter. Faktor kvality pólov Chebyshevovho filtra je vyšší ako u Butterworthovho filtra.

Besselov filter

Frekvenčná odozva Besselovho filtra je opísaná rovnicou

Kde
;B n 2 (ω/ω cp h ) je Besselov polynóm n- poradie.

Besselov polynóm sa vypočíta podľa rekurzívneho vzorca

Vlastnosti Besselovho filtra: pomerne rovnomerná frekvenčná odozva a fázová odozva, aproximovaná Gaussovou funkciou; fázový posun filtra je úmerný frekvencii, t.j. Filter má frekvenčne nezávislé skupinové oneskorenie. Medzná frekvencia sa mení so zmenou počtu pólov filtra. Frekvenčná odozva filtra je zvyčajne plochejšia ako u Butterwortha a Chebysheva. Tento filter je obzvlášť vhodný pre impulzné obvody a fázovo citlivé spracovanie signálu.

Cauerov filter (eliptický filter)

Celkový pohľad na prenosovú funkciu Cauerovho filtra

Vlastnosti Cauerovho filtra: nerovnomerná frekvenčná odozva v priepustnom pásme a v zakázanom pásme; najprudší pokles frekvenčnej odozvy zo všetkých vyššie uvedených filtrov; implementuje požadované prenosové funkcie s menším poradím filtrov ako pri použití filtrov iných typov.

Určenie poradia filtrov

Požadované poradie filtra je určené vzorcami uvedenými nižšie a zaokrúhlené na najbližšie celé číslo. Poradie filtra Butterworth

Poradie Chebyshevovho filtra

Pre Besselov filter neexistuje vzorec na výpočet poradia, namiesto toho sú uvedené tabuľky, ktoré zodpovedajú poradiu filtra s minimálnou nutnou odchýlkou času oneskorenia od jednotky pri danej frekvencii a úrovňou straty v dB).

Pri výpočte poradia Besselovho filtra sa nastavia tieto parametre:

Percentuálna tolerancia pre skupinové oneskorenie pri danej frekvencii ω ω cp h ;

Úroveň útlmu zosilnenia filtra v dB pri frekvencii je možné nastaviť. ω , normalizované vzhľadom na ω cp h .

Na základe týchto údajov sa určí požadované poradie Besselovho filtra.

Schémy dolnopriepustných filtračných kaskád 1. a 2. rádu

Na obr. 12.4, 12.5 sú znázornené typické schémy LPF kaskád.

A) b)

Ryža. 12.4. Butterworth, Chebyshev a Bessel LPF kaskády: A - 1. poradie; b - 2. poradie

A) b)

Ryža. 12.5. Kaskády Cauer LPF: A - 1. poradie; b - 2. poradie

Celkový pohľad na prenosové funkcie LPF Butterworth, Chebyshev a Bessel 1. a 2. rádu

,
.

Celkový pohľad na prenosové funkcie Cauer LPF 1. a 2. rádu

,
.

Kľúčový rozdiel medzi Cauerovým filtrom 2. rádu a zachytávacím filtrom je ten, že v prenosovej funkcii Cauerovho filtra je pomer frekvencie Ω s ≠ 1.

Metóda výpočtu LPF pre Butterworth, Chebyshev a Bessel

Táto technika je založená na koeficientoch uvedených v tabuľkách a je platná pre filtre Butterworth, Chebyshev a Bessel. Spôsob výpočtu Cauerových filtrov je uvedený samostatne. Výpočet LPF Butterworth, Chebyshev a Bessel začína určením ich poradia. Pre všetky filtre sú nastavené parametre minimálneho a maximálneho útlmu a medznej frekvencie. Pre Čebyševove filtre sa dodatočne určuje koeficient nerovnomernosti frekvenčnej odozvy v priepustnom pásme a pre Besselove filtre - skupinový čas meškania. Ďalej sa určí prenosová funkcia filtra, ktorú je možné prevziať z tabuliek, a vypočítajú sa jeho kaskády 1. a 2. rádu, pričom sa dodržuje nasledujúce poradie výpočtu:

V závislosti od poradia a typu filtra sa vyberajú schémy jeho kaskád, pričom filter párneho poradia pozostáva z n/ 2 kaskády 2. rádu a filter nepárneho rádu je z jednej kaskády 1. rádu a ( n– 1) / 2 kaskády 2. rádu;

Na výpočet kaskády 1. rádu:

Hodnota je určená zvoleným typom a poradím filtra b 1 kaskáda 1. rádu;

Znížením obsadenej oblasti sa vyberie kapacita kapacity C a vypočítané R podľa vzorca (môžete si vybrať a R, ale odporúča sa vybrať C z dôvodu presnosti)

;

Počíta sa zisk TO pri U 1 kaskády 1. rádu, ktorá sa určí z pomeru

Kde TO pri U je zisk filtra ako celku; TO pri U 2 , …, TO pri Un– kaskádové zisky 2. rádu;

Na implementáciu zosilnenia TO pri U 1 je potrebné nastaviť odpory na základe nasledujúceho vzťahu

R B = R A ּ (TO pri U1 –1) .

Na výpočet kaskády 2. rádu:

Znížením obsadenej oblasti sa vyberú nominálne hodnoty kapacít C 1 = C 2 = C;

Koeficienty sa vyberajú podľa tabuliek b 1 i A Q pi pre kaskády 2. rádu;

Podľa danej hodnoty kondenzátorov C vypočítajú sa odpory R podľa vzorca

;

Pre zvolený typ filtra musíte nastaviť príslušné zosilnenie TO pri Ui = 3 – (1/Q pi) každého stupňa 2. rádu nastavením odporov na základe nasledujúceho vzťahu

R B = R A ּ (TO pri Ui –1) ;

Pre Besselove filtre vynásobte hodnoty všetkých kapacít požadovaným skupinovým oneskorením.

Frekvenčná odozva Butterworthovho filtra je opísaná rovnicou

Čebyševov filter

Frekvenčná odozva Čebyševovho filtra je opísaná rovnicou

Kde T n 2 (ω/ω n ) je Čebyševov polynóm n- poradie.

Čebyševov polynóm sa vypočíta podľa rekurzívneho vzorca

Vlastnosti filtra Chebyshev: zvýšená nerovnomernosť PFC; vlnitá charakteristika v priepustnom pásme. Čím vyššie je zvlnenie priepustného pásma filtra, tým ostrejší je rolloff v prechodovej oblasti pre rovnaký rád. Prechodné kolísanie so stupňovitým vstupným signálom je väčšie ako pri Butterworthovom filtri. Faktor kvality pólov Chebyshevovho filtra je vyšší ako u Butterworthovho filtra.

Besselov filter

Frekvenčná odozva Besselovho filtra je opísaná rovnicou

Kde
;B n 2 (ω/ω cp h ) je Besselov polynóm n- poradie.

Besselov polynóm sa vypočíta podľa rekurzívneho vzorca

Cauerov filter (eliptický filter)

Celkový pohľad na prenosovú funkciu Cauerovho filtra

Určenie poradia filtrov

Požadované poradie filtra je určené vzorcami uvedenými nižšie a zaokrúhlené na najbližšie celé číslo. Poradie filtra Butterworth

Poradie Chebyshevovho filtra

Pri výpočte poradia Besselovho filtra sa nastavia tieto parametre:

Percentuálna tolerancia pre skupinové oneskorenie pri danej frekvencii ω ω cp h ;

Úroveň útlmu zosilnenia filtra v dB pri frekvencii je možné nastaviť. ω , normalizované vzhľadom na ω cp h .

Na základe týchto údajov sa určí požadované poradie Besselovho filtra.

Schémy dolnopriepustných filtračných kaskád 1. a 2. rádu

Na obr. 12.4, 12.5 sú znázornené typické schémy LPF kaskád.

A) b)

Ryža. 12.4. Butterworth, Chebyshev a Bessel LPF kaskády: A - 1. poradie; b - 2. poradie

A) b)

Ryža. 12.5. Kaskády Cauer LPF: A - 1. poradie; b - 2. poradie

Celkový pohľad na prenosové funkcie LPF Butterworth, Chebyshev a Bessel 1. a 2. rádu

,
.

Celkový pohľad na prenosové funkcie Cauer LPF 1. a 2. rádu

,
.

Kľúčový rozdiel medzi Cauerovým filtrom 2. rádu a zachytávacím filtrom je ten, že v prenosovej funkcii Cauerovho filtra je pomer frekvencie Ω s ≠ 1.

Metóda výpočtu LPF pre Butterworth, Chebyshev a Bessel

Táto technika je založená na koeficientoch uvedených v tabuľkách a je platná pre filtre Butterworth, Chebyshev a Bessel. Spôsob výpočtu Cauerových filtrov je uvedený samostatne. Výpočet LPF Butterworth, Chebyshev a Bessel začína určením ich poradia. Pre všetky filtre sú nastavené parametre minimálneho a maximálneho útlmu a medznej frekvencie. Pre Čebyševove filtre sa dodatočne určuje zvlnenie frekvenčnej odozvy v priepustnom pásme a pre Besselove filtre skupinové oneskorenie. Ďalej sa určí prenosová funkcia filtra, ktorú je možné prevziať z tabuliek, a vypočítajú sa jeho kaskády 1. a 2. rádu, pričom sa dodržuje nasledujúce poradie výpočtu:

Na výpočet kaskády 1. rádu:

Hodnota je určená zvoleným typom a poradím filtra b 1 kaskáda 1. rádu;

Znížením obsadenej oblasti sa vyberie kapacita kapacity C a vypočítané R podľa vzorca (môžete si vybrať a R, ale odporúča sa vybrať C z dôvodu presnosti)

;

Počíta sa zisk TO pri U 1 kaskády 1. rádu, ktorá sa určí z pomeru

Kde TO pri U je zisk filtra ako celku; TO pri U 2 , …, TO pri Un– kaskádové zisky 2. rádu;

Na implementáciu zosilnenia TO pri U 1 je potrebné nastaviť odpory na základe nasledujúceho vzťahu

R B = R A ּ (TO pri U1 –1) .

Na výpočet kaskády 2. rádu:

Znížením obsadenej oblasti sa vyberú nominálne hodnoty kapacít C 1 = C 2 = C;

Koeficienty sa vyberajú podľa tabuliek b 1 i A Q pi pre kaskády 2. rádu;

Podľa danej hodnoty kondenzátorov C vypočítajú sa odpory R podľa vzorca

;

Pre zvolený typ filtra musíte nastaviť príslušné zosilnenie TO pri Ui = 3 – (1/Q pi) každého stupňa 2. rádu nastavením odporov na základe nasledujúceho vzťahu

R B = R A ּ (TO pri Ui –1) ;

Pre Besselove filtre vynásobte hodnoty všetkých kapacít požadovaným skupinovým oneskorením.

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> LPF1)

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> HPF)

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> PF)

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> RF)

Butterworth filter 4 objednávky

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> LPF1)

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> HPF)

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> PF)

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> RF)

Chebyshev filter 3 objednávky

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> LPF1)

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> HPF)

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> PF)

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> RF)

Chebyshev filter 4 objednávky

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> LPF1)

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> HPF)

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> PF)

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> RF)

Besselov filter 3. rádu

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> LPF1)

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> HPF)

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> PF)

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> RF)

4 objednať Besselov filter

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> LPF1)

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> HPF)

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> PF)

KONVERZIA FREKVENČNÝCH VLASTNOSTÍ DF (LPF --> RF)

Analyzujte vplyv chýb v nastavení koeficientov digitálneho dolnopriepustného filtra na frekvenčnú odozvu (zmenou jedného z koeficientov b j). Popíšte povahu zmeny frekvenčnej odozvy. Urobte záver o vplyve zmeny jedného z koeficientov na správanie filtra.

Vplyv chýb pri nastavovaní koeficientov digitálneho dolnopriepustného filtra na frekvenčnú odozvu budeme analyzovať na príklade Besselovho filtra 4. rádu.

Hodnotu odchýlky koeficientov ε volíme rovnú –1,5% tak, aby maximálna odchýlka frekvenčnej odozvy bola cca 10%.

Frekvenčná odozva "ideálneho" filtra a filtrov s upravenými koeficientmi o hodnotu ε je znázornená na obrázku:

A

Z obrázku je vidieť, že najväčší vplyv na frekvenčnú charakteristiku má zmena koeficientov b 1 a b 2 (ich hodnota prevyšuje hodnotu ostatných koeficientov). Použitím zápornej hodnoty ε si všimneme, že kladné koeficienty znižujú amplitúdu v spodnej časti spektra, zatiaľ čo záporné koeficienty ju zvyšujú. Pri kladnej hodnote ε sa všetko deje naopak.

Kvantifikujte koeficienty digitálneho filtra takým počtom binárnych číslic, aby maximálna odchýlka frekvenčnej odozvy od pôvodnej bola asi 10 - 20%. Načrtnite frekvenčnú odozvu a popíšte povahu jej zmeny.

Zmenou počtu číslic zlomkovej časti koeficientov b j všimnite si, že maximálna odchýlka frekvenčnej odozvy od originálu nepresahujúca 20% sa získa pri n≥3.

Typ frekvenčnej odozvy pre rôzne n zobrazené na obrázkoch:

n \u003d 3, maximálna odchýlka frekvenčnej odozvy \u003d 19,7 %

n \u003d 4, maximálna odchýlka frekvenčnej odozvy \u003d 13,2 %

n \u003d 5, maximálna odchýlka frekvenčnej odozvy \u003d 5,8%

n \u003d 6, maximálna odchýlka frekvenčnej odozvy \u003d 1,7 %

Možno teda poznamenať, že zvýšenie bitovej hĺbky počas kvantovania koeficientov filtra vedie k tomu, že frekvenčná odozva filtra sa čoraz viac prikláňa k pôvodnej. Treba však poznamenať, že to komplikuje fyzickú implementáciu filtra.

Kvantovanie pre rôzne n možno vidieť na obrázku:

Plán:

1 Prehľad
- 1.1 Normalizované Butterworthove polynómy
- 1.2 Maximálna hladkosť
- 1.3 Charakteristiky poklesu zapnuté vysoké frekvencie
2 Dizajn filtra
- 2.1 Cauerova topológia
- 2.2 Topológia Sallen-Kay
3 Porovnanie s inými lineárnymi filtrami
4 Príklad

Úvod

Butterworthov filter- jeden z typov elektronických filtrov. Filtre tejto triedy sa od ostatných líšia metódou návrhu. Butterworthov filter je navrhnutý tak, aby jeho frekvenčná odozva bola pri frekvenciách priepustného pásma čo najhladšia.

Takéto filtre prvýkrát opísal britský inžinier Stephen Butterworth vo svojom článku o teórii zosilňovačov filtrov. K teórii filtračných zosilňovačov ), V časopise Bezdrôtový inžinier v roku 1930.

1. Prehľad

Frekvenčná odozva Butterworthovho filtra je pri frekvenciách priepustného pásma čo najhladšia a pri potlačovacích frekvenciách klesá takmer na nulu. Pri zobrazení frekvenčnej odozvy Butterworthovho filtra na logaritmickej fázovej odozve sa amplitúda znižuje smerom k mínus nekonečnu na medzných frekvenciách. V prípade filtra prvého rádu sa frekvenčná odozva znižuje rýchlosťou -6 decibelov na oktávu (-20 decibelov za dekádu) (v skutočnosti sú všetky filtre prvého rádu, bez ohľadu na typ, identické a majú rovnaké frekvenčná odozva). Pre Butterworthov filter druhého rádu je frekvenčná odozva zoslabená o -12 dB na oktávu, pre filter tretieho rádu o -18 dB atď. Frekvenčná odozva Butterworthovho filtra je monotónne klesajúca funkcia frekvencie. Butterworthov filter je jediný filter, ktorý zachováva tvar frekvenčnej odozvy pre vyššie rády (s výnimkou strmšieho rolloffu na cutoff), zatiaľ čo mnoho iných typov filtrov (Besselov filter, Chebyshev filter, eliptický filter) má odlišný tvar. frekvenčnej odozvy v rôznych rádoch.

V porovnaní s Čebyševovými typmi I a II alebo eliptickým filtrom má Butterworthov filter plochejší priebeh, a preto by mal mať väčší poriadok(čo je náročnejšie na implementáciu), aby sa dosiahol požadovaný výkon pri frekvenciách tlmiaceho pásma. Butterworthov filter má však lineárnejšiu fázovú odozvu pri frekvenciách priepustného pásma.

Frekvenčná odozva pre Butterworthove dolnopriepustné filtre rádovo od 1 do 5. Strmosť charakteristiky je 20 n dB/desaťročie, kde n- poradie filtra.

Rovnako ako u všetkých filtrov pri zvažovaní frekvenčné charakteristiky používajú dolnopriepustný filter, z ktorého je ľahké získať hornopriepustný filter, a zaradením niekoľkých takýchto filtrov do série pásmový filter alebo zárezový filter.

Frekvenčnú odozvu Butterworthovho filtra tretieho rádu možno získať z prenosovej funkcie:

Je ľahké vidieť, že pre nekonečné hodnoty sa frekvenčná odozva stáva pravouhlou funkciou a frekvencie pod medznou frekvenciou budú prechádzať so ziskom, zatiaľ čo frekvencie nad medznou frekvenciou budú úplne potlačené. Pre konečné hodnoty bude úpadok charakteristiky jemný.

Pomocou formálnej substitúcie reprezentujeme výraz v tvare:

Póly prenosovej funkcie sú umiestnené na kružnici s polomerom rovnako vzdialených od seba v ľavej polrovine. To znamená, že prenosová funkcia Butterworthovho filtra môže byť určená len určením pólov jeho prenosovej funkcie v ľavej polrovine s-roviny. -tý pól je určený z nasledujúceho výrazu:

Prenosová funkcia môže byť napísaná ako:

Podobné úvahy platia aj pre digitálne Butterworthove filtre, len s tým rozdielom, že pomery nie sú napísané s- lietadlo a pre z-lietadlo.

Menovateľ tejto prenosovej funkcie sa nazýva Butterworthov polynóm.

1.1. Normalizované Butterworthove polynómy

Butterworthove polynómy možno písať v komplexnej forme, ako je uvedené vyššie, ale zvyčajne sa píšu ako pomery s reálnymi koeficientmi (komplexné konjugované páry sa kombinujú pomocou násobenia). Polynómy sú normalizované medznou frekvenciou: . Normalizované Butterworthove polynómy majú teda nasledujúcu kanonickú formu:

, - Párny Nepárny

Nižšie sú uvedené koeficienty Butterworthových polynómov pre prvých osem rádov:

	Polynomické koeficienty
1
2
3
4
5
6
7
8

1.2. Maximálna hladkosť

Ak vezmeme a , derivácia amplitúdovej charakteristiky vzhľadom na frekvenciu bude vyzerať takto:

U všetkých klesá monotónne, pretože zisk je vždy kladný. Frekvenčná odozva Butterworthovho filtra teda nemá žiadne vlnenie. Pri rozširovaní amplitúdovej charakteristiky v sérii dostaneme:

Inými slovami, všetky derivácie amplitúdovo-frekvenčnej charakteristiky vzhľadom na frekvenciu do 2 n-th sú rovné nule, čo znamená "maximálnu hladkosť".

1.3. Rolloff pri vysokých frekvenciách

Po prijatí nájdeme sklon logaritmu frekvenčnej odozvy pri vysokých frekvenciách:

V decibeloch má vysokofrekvenčná asymptota sklon -20 n dB/desaťročie.

2. Dizajn filtra

Existuje množstvo rôznych topológií filtrov, ktoré implementujú lineárne analógové filtre. Tieto schémy sa líšia iba hodnotami prvkov, štruktúra zostáva nezmenená.

2.1. Cauerova topológia

Cauerova topológia využíva pasívne prvky (kapacity a indukčnosti). Butteworthov filter s danou prenosovou funkciou môže byť skonštruovaný vo forme typu 1 Cauer. k-tý prvok filter je daný:

; k je nepárne; k je párne

2.2. Topológia Sallen-Kay

Topológia Sallen-Kay využíva okrem pasívnych prvkov aj aktívne prvky ( operačných zosilňovačov a kontajnery). Každý stupeň Sallen-Kayovho obvodu je súčasťou filtra, matematicky opísaný dvojicou komplexne konjugovaných pólov. Celý filter sa získa zapojením všetkých stupňov do série. Ak narazí na skutočný stĺp, musí byť implementovaný samostatne, zvyčajne vo forme RC reťaze, a musí byť zahrnutý do celkového obvodu.

Prenosová funkcia každá etapa v schéme Sallen-Kay má tvar:

Menovateľ musí byť jedným z faktorov Butterworthovho polynómu. Prijatím dostaneme:

Posledný vzťah dáva dve neznáme, ktoré je možné zvoliť ľubovoľne.

3. Porovnanie s inými lineárnymi filtrami

Obrázok nižšie ukazuje frekvenčnú odozvu Butterworthovho filtra v porovnaní s inými populárnymi lineárnymi filtrami rovnakého (piateho) rádu:

Z obrázku je vidieť, že Butterworthov filter má zo všetkých štyroch najpomalší roll-off, ale má aj najhladšiu frekvenčnú odozvu na frekvenciách priepustného pásma.

4. Príklad

Analógový dolnopriepustný Butterworthov filter (topológia Cauer) s medznou frekvenciou s nasledujúcimi hodnotami prvkov: farad, ohm a henry.

Logaritmický graf hustoty prenosovej funkcie H(s) na rovine komplexných argumentov pre Butterworthov filter tretieho rádu s medznou frekvenciou. Tri póly ležia na kružnici s jednotkovým polomerom v ľavej polrovine.

Zvážte analógový dolnopriepustný Butterworthov filter tretieho rádu s farad, ohm a henry. Označenie impedancia kontajnerov C Ako 1/Cs a impedancia induktorov L Ako Ls, kde je komplexná premenná, a pomocou rovníc na výpočet elektrické obvody, získame nasledujúcu prenosovú funkciu pre takýto filter:

Frekvenčná odozva je daná rovnicou:

a PFC je dané rovnicou:

Skupinové oneskorenie je definované ako mínus derivácia fázy vzhľadom na kruhovú frekvenciu a je mierou fázového skreslenia signálu pri rôznych frekvenciách. Logaritmická frekvenčná odozva takéhoto filtra nemá žiadne zvlnenie ani v priepustnom pásme, ani v pásme potlačenia.

Graf modulu prenosovej funkcie na komplexná rovina jasne označuje tri póly v ľavej polrovine. Prenosová funkcia je úplne určená umiestnením týchto pólov na jednotkovej kružnici symetricky okolo skutočnej osi.

Nahradením každej indukčnosti kapacitou a kapacity indukčnosti získame Butterworthov hornopriepustný filter.

A skupinové oneskorenie Butterworthovho filtra tretieho rádu s medznou frekvenciou

Literatúra

V.A. Lucas Teória automatického riadenia. - M.: Nedra, 1990.
B.H. Krivitsky Príručka teoretické základy rádiovej elektroniky. - M.: Energia, 1977.
Miroslav D. Lutovac Návrh filtra na spracovanie signálu pomocou MATLAB© a Mathematica©. - New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2
Richard W. Daniels Aproximačné metódy pre návrh elektronického filtra. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6
Steven W. Smith Sprievodca vedcom a inžinierom digitálnym spracovaním signálu. -Druhé vydanie. - San Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1
Britton C. Rorabaugh Aproximačné metódy pre návrh elektronického filtra. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7
B. Widrow, S.D. Stearns Adaptívne spracovanie signálu. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0
S. Haykin Teória adaptívneho filtra. - 4. vydanie. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1
Michael L. Honig, David G. Messerschmitt Adaptívne filtre – štruktúry, algoritmy a aplikácie. - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0
J.D. Markel, A.H. Grey, Jr. Lineárna predikcia reči. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1
L.R. Rabiner, R.W. Schafer Digitálne spracovanie rečových signálov. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1
Richard J. Higgins Digitálne spracovanie signálu vo VLSI. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X
A. V. Oppenheim, R. W. Schafer Digitálne spracovanie signálu. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5
L. R. Rabiner, B. Gold Teória a aplikácia digitálneho spracovania signálu. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4
John G. Proakis, Dimitris G. ManolakisÚvod do digitálneho spracovania signálu. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X