Cyklické kódy sa vyznačujú tým, že pri cyklickej permutácii všetkých symbolov kódovej kombinácie daného kódu vzniká ďalšia kódová kombinácia toho istého kódu.
Kombinácia cyklického kódu;
Tiež cyklická kombinácia kódov.
Pri zvažovaní cyklických kódov sú binárne čísla reprezentované ako polynóm, ktorého stupeň ( P - 1), P- dĺžka kombinácie kódov.
Napríklad kombinácia 1001111 ( n= 7) bude reprezentovaný polynómom
S touto reprezentáciou sú operácie s kombináciami kódov zredukované na operácie s polynómami. Tieto operácie sa vykonávajú v súlade s obyčajnou algebrou, okrem toho, že redukcia podobných výrazov sa vykonáva modulo 2.
Detekcia chýb pomocou cyklického kódu je zabezpečená výberom ako povolených kombinácií tých, ktoré sú bezo zvyšku rozdelené nejakým vopred zvoleným polynómom G(X). Ak prijatá kombinácia obsahuje skreslené znaky, potom rozdelenie polynómom G(X) sa vykonáva so zvyškom. Tým sa generuje signál indikujúci chybu. Polynóm G(X)sa nazýva generovanie.
Konštrukcia kombinácií cyklického kódu je možná vynásobením pôvodnej kombinácie A(X) na generujúci polynóm G(X) s redukciou podobných výrazov modulo 2:
- ak najvyšší výkon produktu nepresahuje ( P - 1), potom bude výsledný polynóm predstavovať kombináciu kódov cyklického kódu;
- ak je najvyšší výkon produktu väčší alebo rovný P, potom je súčinový polynóm deliteľný vopred zvoleným polynómom stupňa P a výsledkom násobenia je zvyšok delenia.
Teda všetky polynómy reprezentujúce kombinácie cyklického kódu budú mať stupeň nižšie P.
Ako polynóm, ktorým sa delenie vykonáva, sa často používa polynóm G(X)= +1. Pri takomto vytváraní kombinácií kódov nie je možné vopred určiť polohy informačných a riadiacich symbolov.
Veľkou výhodou cyklických kódov je jednoduchosť konštrukcie kodérov a dekodérov, ktoré svojou štruktúrou predstavujú posuvné registre so spätnou väzbou.
Počet bitov registra je zvolený rovný stupňu generujúceho polynómu.
Spätná väzba sa vykonáva z výstupu registra na niektoré číslice cez sčítačky, ktorých počet je zvolený o jednu menej ako počet nenulových členov generujúceho polynómu. Sčítačky sú inštalované na vstupoch tých bitov registra, ktoré zodpovedajú nenulovým členom generujúceho polynómu.
Obrázok 17 zobrazuje schému kódovacieho registra na konverziu štvorbitovej kombinácie na sedembitovú kombináciu.
Obrázok 17 - Schéma kódovacieho registra
V tabuľke. 4 je znázornené, ako sa posunutím pôvodnej kombinácie 0101 získa cyklická kódová kombinácia 1010011. n= 7, k=4. Kombinácia 0101, kľúč v polohe 1. Počas prvých štyroch cyklov sa register naplní, potom sa kľúč presunie do polohy 2. Spätná väzba je uzavretá. Pôsobením siedmich cyklov posunu sa vytvorí sedembitový cyklický kód.
Tabuľka 4
Vlastnosti cyklického kódu:
1) cyklický kód detekuje všetky jednotlivé chyby, ak generujúci polynóm obsahuje viac ako jeden člen. Ak G(X)=x+ 1, potom kód zistí jednotlivé chyby a všetky nepárne;
2) cyklický kód s G(X)= (x+ 1)G(X) detekuje všetky jednoduché, dvojité a trojité chyby;
3) cyklický kód s generujúcim polynómom G(X) stupne r = n - k detekuje všetky skupinové chyby s trvaním r postavy.
Kontrolné otázky
Cyklické kódy sú tak pomenované, pretože v nich možno niektoré alebo všetky kombinácie kódu získať cyklickým posúvaním jednej alebo viacerých kombinácií kódu. Cyklický posun sa vykonáva sprava doľava, pričom znak úplne vľavo sa zakaždým prenesie na koniec kombinácie. Cyklické kódy prakticky všetky patria k systematickým kódom, v ktorých sú riadiace a informačné bity umiestnené na presne definovaných miestach. Okrem toho kódy patria medzi blokové kódy. Každý blok (jedno písmeno je špeciálny prípad bloku) je kódovaný nezávisle.
Myšlienka konštrukcie cyklických kódov je založená na použití polynómov neredukovateľných v oblasti binárnych čísel. neredukovateľné nazývajú sa polynómy, ktoré nemožno reprezentovať ako súčin polynómov nižších stupňov s koeficientmi z toho istého odboru, rovnako ako prvočísla nemožno reprezentovať ako súčin iných čísel. Inými slovami, ireducibilné polynómy sú deliteľné bezo zvyšku len samy sebou alebo jedným.
Neredukovateľné polynómy v teórii cyklických kódov zohrávajú úlohu generovania polynómov. Ak sa daná kombinácia kódov vynásobí zvoleným ireducibilným polynómom, dostaneme cyklický kód, ktorého korekčné schopnosti určuje neredukovateľný polynóm.
Predpokladajme, že chcete zakódovať jednu z kombinácií štvormiestneho binárneho kódu. Predpokladajme tiež, že táto kombinácia G(x) = x 3 + x 2 + 1® 1011. Bez zdôvodnenia našej voľby berieme z tabuľky ireducibilných polynómov ako generujúci polynóm P(x) = x 3 + x + 1® 1011. Potom vynásobte G(x) do jednočlenu rovnakého stupňa ako generujúci polynóm. Z násobenia polynómu monomom stupňa n stupeň každého člena polynómu sa zvýši o n, čo je ekvivalentné priradeniu n nuly z číslic nižšieho rádu polynómu. Keďže stupeň zvoleného neredukovateľného polynómu je rovný trom, pôvodná informačná kombinácia sa vynásobí monomom troch stupňov
G(x) x n =(x 3 + x 2 + 1) x 3 = x 6 + x 5 + x 3 = 1101000.
Toto sa robí tak, že neskôr na miesto týchto núl by bolo možné zapísať opravné bity.
Hodnota opravných číslic sa zistí z výsledkov delenia G(x) x n na P(x):
x 6 +x 5 +0+x 3 +0+0+0 ½x 3 +x+1
x6 + 0 + x 4 + x 3
x 5 +x 4 +0+0 x 3 +x 2 +x+1+ x 5 +0+x 3 +x 2
x4 + x3 + x2 +0
x 4 + 0 + x 2 + x
x 3 + 0 + x + 0
x 3 + 0 + x + 1
teda
alebo v všeobecný pohľad
Kde Q(x)¾ kvocient a R(x)¾ zvyšok divízie G(x)×xn na P(x).
Keďže v r binárna aritmetika 1 Å 1 \u003d 0, čo znamená -1 \u003d 1, potom pri pridávaní binárnych čísel je možné prenášať pojmy z jednej časti do druhej bez zmeny znamienka (ak je to vhodné), preto je rovnosť tvaru a Å b = 0 možno písať aj ako a = b, A ako a - b = 0. Všetky tri rovnosti v tomto prípade znamenajú, že buď a A b sú 0, alebo a A b sú rovné 1, t.j. majú rovnakú paritu.
Výraz (5.1) teda možno zapísať ako
F(x)=Q(x) P(x)= G(x) x n + R(x),
čo v prípade nášho príkladu dá
F(x)=(x 3 + x 2 + x + 1) (x 3 + x + 1)= (x 3 + x 2 + 1)x 3 + 1,
F(x)= 1111 1011 = 1101000 + 001 = 1101001.
Polynóm 1101001 je požadovaná kombinácia, kde 1101 je informačná časť a 001 sú riadiace znaky. Všimnite si, že požadovanú kombináciu by sme získali ako výsledok vynásobenia jednej z kombinácií úplného štvorciferného binárneho kódu (v tomto prípade 1111) generovaným polynómom, ako aj vynásobením danej kombinácie monomom s rovnakým stupňa ako zvolený tvoriaci polynóm (v našom prípade kombinácia 1101000) bol získaný týmto spôsobom a následne k výslednému súčinu pridaný zvyšok delenia tohto súčinu tvoriacim polynómom (v našom príklade má zvyšok hodnotu formulár 001).
A tu hrajú rozhodujúcu úlohu vlastnosti generujúceho polynómu P(x). Spôsob konštrukcie cyklického kódu je taký, že generátorový polynóm sa podieľa na tvorbe každej kódovej kombinácie, takže akýkoľvek polynóm cyklického kódu je generátorom bezo zvyšku rozdelený. Ale len tie polynómy, ktoré patria do daného kódu, sa delia bezo zvyšku, t.j. generujúci polynóm umožňuje vybrať povolené kombinácie zo všetkých možných. Ak sa pri delení cyklického kódu generovaným polynómom získa zvyšok, potom sa buď vyskytla chyba v kóde, alebo ide o kombináciu nejakého iného kódu (neoprávnená kombinácia). Vo zvyšku sa zistí prítomnosť zakázanej kombinácie, t.j. zistí sa chyba. Zvyšky z delenia polynómov sú identifikátory chýb v cyklických kódoch.
Na druhej strane, zvyšky z delenia jednotky nulami pomocou generujúceho polynómu sa používajú na konštrukciu cyklických kódov.
Pri delení jednotky s nulami generujúcim polynómom treba pamätať na to, že dĺžka zvyšku nesmie byť menšia ako počet riadiacich bitov, preto v prípade nedostatku bitov vo zvyšku je potrebný počet nuly sa pripisujú zvyšku vpravo.
01100 11111+
počnúc ôsmou sa zvyšok bude opakovať.
Zvyšky z delenia sa používajú na konštrukciu generujúcich matíc, ktoré sú vďaka svojej viditeľnosti a výhodnosti pri získavaní derivátových kombinácií široko používané na konštrukciu cyklických kódov. Konštrukcia generujúcej matice je zredukovaná na kompiláciu jedinej transponovanej a dodatočnej matice, ktorej prvky sú zvyškami delenia jednotky nulami generujúcim polynómom. P(x). Pripomeňme, že matica transponovaná identitou je štvorcovú maticu, ktorého všetky prvky sú nulové, okrem prvkov umiestnených diagonálne sprava doľava zhora nadol (v netransponovanej matici je diagonála s jednotkovými prvkami umiestnená zľava doprava zhora nadol). Prvky prídavnej matice sú priradené napravo od matice transponovanej identity. Iba tie zvyšky, ktorých hmotnosť W³d0- 1, kde d0- minimálna kódová vzdialenosť. Dĺžka zvyškov musí byť aspoň počet riadiacich bitov a počet zvyškov sa musí rovnať počtu informačných bitov.
Riadky generujúcej matice sú prvé kombinácie zdrojový kód. Zostávajúce kombinácie kódov sa získajú ako výsledok súčtu modulo 2 všetkých možných kombinácií riadkov generujúcej matice.
Príklad.
Vytvorte kompletnú generujúcu maticu cyklického kódu, ktorá detekuje všetky jednoduché a dvojité chyby pri prenose 10-bitových binárnych kombinácií.
Riešenie.
Podľa tabuľky 5.12 zvoľte najbližšiu hodnotu k ³ 10.
Tabuľka 5.12 - Vzťahy medzi informačnými a kontrolnými symbolmi pre kód s dĺžkou do 16 bitov
| n | k | ρ | n | k | ρ |
Podľa tabuľky bude táto hodnota k = 11, zatiaľ čo r= 4, A
n= 15. Zvolíme tiež vytvárajúci polynóm x 4 + x 3 +1.
Kompletnú maticu generátora vytvoríme z jednotkovej transponovanej matice v kanonickej forme a dodatočnej matice zodpovedajúcej kontrolným číslicam.
Transponovaná matica pre k = 11 vyzerá takto:
Dodatočnú maticu možno zostaviť zvyškom delenia kombinácie vo forme jednotky s nulami (posledný riadok matice transponovanej identity) zvoleným generujúcim polynómom.
Úplná matica generovania bude vyzerať takto:
Vyššie opísaný spôsob konštrukcie generovania matíc nie je jediný. Generujúca matica môže byť skonštruovaná ako výsledok priameho násobenia prvkov matice identity generujúcim polynómom. To je často pohodlnejšie ako hľadanie zvyšku divízie. Výsledné kódy sa nijako nelíšia od kódov zostrojených z generujúcich matíc, v ktorých doplnková matica pozostáva zo zvyškov delenia jednotky nulami generujúcim polynómom.
Generujúca matica môže byť tiež skonštruovaná cyklickým posúvaním kombinácie získanej vynásobením riadku matice identity hodnosti. k na generujúci polynóm.
Chyby v cyklických kódoch sa zisťujú pomocou zvyškov z delenia výslednej kombinácie generujúcim polynómom. Zvyšné časti delenia sú identifikátory chýb, ktoré však priamo neindikujú umiestnenie chyby v cyklickom kóde.
Myšlienka opravy chýb je založená na skutočnosti, že chybná kombinácia sa po určitom počte cyklických posunov „upraví“ na zvyšok tak, že spolu so zvyškom poskytne opravenú kombináciu kódu. Zvyšok v tomto prípade nie je nič iné ako rozdiel medzi skresleným a správne symboly, jednotky vo zvyšku sú presne na miestach skreslených bitov v kombinácii upravenej cyklickými posunmi. Skreslená kombinácia sa upravuje dovtedy, kým sa počet jednotiek vo zvyšku nerovná počtu chýb v kóde. V tomto prípade sa prirodzene počet jednotiek môže rovnať počtu chýb s, opravené týmto kódom (kód opraví 3 chyby a 3 chyby v skreslenej kombinácii), alebo menej s(kód opravuje 3 chyby a v prijatej kombinácii 1 chybu).
Na mieste chyby v kombinácii kódov nezáleží. Ak k³ (n/2), potom po určitom počte posunov budú všetky chyby v zóne „jediného“ pôsobenia generujúceho polynómu, t.j. stačí získať jeden zvyšok, ktorého váha W£s, a to už bude stačiť na opravu skreslenej kombinácie.
Proces opravy chýb je podrobne diskutovaný nižšie pomocou príkladov vytvárania špecifických kódov.
Cyklický kód
Cyklické kódy patria medzi blokové systematické kódy, v ktorých je každá kombinácia kódovaná nezávisle (vo forme bloku) tak, že sa vždy nájde informácia k a kontrolné t znaky.
obliekať sa na určitých miestach. Možnosť detekcie a opravy prakticky akýchkoľvek chýb s relatívne malou redundanciou v porovnaní s inými kódmi, ako aj jednoduchosť obvodovej implementácie kódovacieho a dekódovacieho zariadenia spôsobili, že tieto kódy sa rozšírili. Teória cyklických kódov je založená na teórii grúp a polynomiálnej algebre nad Galoisovým poľom.
Cyklický kód je kód, v ktorom sa poradie distribúcie kombinácií kódov vykonáva takým spôsobom, že pri prechode z akejkoľvek kombinácie do susednej zostáva vzdialenosť Hammingovho kódu zakaždým konštantná.
Cyklické kódy predstavujú celú rodinu kódov na opravu chýb, vrátane Hammingových kódov ako jednej z odrôd, ale vo všeobecnosti poskytujú väčšiu flexibilitu, pokiaľ ide o možnosť implementácie kódov s potrebnou schopnosťou odhaliť a opraviť chyby, ktoré sa vyskytujú pri prenose kombinácií kódov. cez komunikačný kanál. Cyklický kód sa týka systematických blokových (n, k) kódov, v ktorých prvých k bitov je kombináciou primárneho kódu a nasledujúcich (n x k) bitov sú kontrolné bity.
Konštrukcia cyklických kódov je založená na operácii delenia prenášaného kódového slova generujúcim neredukovateľným polynómom stupňa r. Zvyšok delenia sa používa pri vytváraní kontrolných bitov. V tomto prípade operácii delenia predchádza operácia násobenia, ktorá posúva kombináciu k-bitového informačného kódu doľava o r bitov.
Polynóm (polynóm), ktorý možno znázorniť ako súčin polynómov nižších stupňov, sa nazýva redukovateľný (v danom obore), inak je neredukovateľný. Neredukovateľné polynómy hrajú v teórii čísel podobnú úlohu ako prvočísla. Neredukovateľné polynómy P(X) možno zapísať ako desiatkové alebo binárne čísla alebo ako algebraický polynóm.
Proces cyklického kódovania
Cyklické kódovanie je založené na použití ireducibilného polynómu P(X), ktorý sa vo vzťahu k cyklickým kódom nazýva generujúci, generujúci alebo generujúci polynóm (polynóm).
Ako informačné symboly k na konštrukciu cyklických kódov sa berú kombinácie binárneho kódu pre všetky kombinácie. Vo všeobecnom prípade, ak sa daná kombinácia kódov Q(x) vynásobí generujúcim polynómom P(x), dostaneme cyklický kód, ktorý má určité korekčné vlastnosti v závislosti od výberu P(x). Avšak v tomto kóde budú riadiace symboly m umiestnené na rôznych miestach v kódovom slove. Takýto kód nie je systematický, čo sťažuje jeho implementáciu v obvodoch. Situáciu možno výrazne zjednodušiť, ak sa riadiace znaky priradia na konci, teda za informačnými znakmi. Na tento účel sa odporúča použiť nasledujúcu metódu:
Vynásobte kódové slovo G(x), ktoré sa má zakódovať, jednočlenom Xm, ktorý má rovnaký stupeň ako mnohočlen P(x);
Súčin G(x)X m delíme generovaným polynómom P(x m):
kde Q(x) je podiel delenia; R(x) - zvyšok.
Vynásobením výrazu (2.1) Р(х) a prenesením R(x) na druhú časť rovnosti bez opačného znamienka dostaneme:
Takže podľa rovnosti (2.2) môže byť cyklický kód, teda zakódovaná správa F(x), vytvorený dvoma spôsobmi:
Násobenie jednej kódovej kombinácie binárneho kódu pre všetky kombinácie generovaným polynómom P(x);
Vynásobením daného kódového slova G(x) jediným polynómom X m, ktorý má rovnaký stupeň ako generujúci polynóm P(x), s pridaním zvyšku R(x) získaného po delení súčinu G(x)X m číslom generujúci polynóm P( X).
Kódovanie správ
Je potrebné zakódovať kódové slovo 1100, ktoré zodpovedá G(x)=x 3 +x 2 s P(x)=x 3 +x+1.
Vynásobíme G (x) X m, ktorý má tretí stupeň, dostaneme:
Delením súčinu G(x)X m generovaným polynómom P(x m) podľa (2.1) dostaneme:
alebo v binárnom ekvivalente:
Výsledkom je, že dostaneme kvocient Q(x) rovnakého stupňa ako G(x):
Q(x)=x3+x2+x>1110
a zvyšok:
Výsledkom je, že kombinácia binárneho kódu zakódovaná cyklickým kódom podľa (2.2) bude mať tvar:
F(x)=1110 1011=1100010
Keďže každá povolená kódová kombinácia cyklického kódu predstavuje všetky možné súčty generujúceho polynómu G(x), musia byť bezo zvyšku deliteľné P(x). Preto sa kontrola správnosti prijatej kódovej kombinácie redukuje na identifikáciu zvyšku pri jeho delení generovaným polynómom.
Prijatie zvyšku indikuje prítomnosť chyby. Zvyšok delenia v cyklických kódoch hrá úlohu syndrómu.
Napríklad prenášaná kódová kombinácia F(x)=1100010, vytvorená pomocou generujúceho polynómu P(x)=1011. Pod vplyvom rušenia sa kombinácia kódov transformovala na kombináciu F "(x) = 1000010
Prijatú kombináciu vydelíme tvoriacim polynómom
Prítomnosť zvyšku R(x)=001 označuje chybu. Neoznačuje však priamo miesto chyby v kombinácii. Na určenie chyby existuje niekoľko metód založených na analýze syndrómu.
Určme miesto chyby, na to jednotku s ľubovoľným počtom núl vydelíme P(x)=1011.
Vyskytla sa chyba v čísle prvku:
Počet zvyškov -2>4-2=2
To znamená, že chyba je v druhom prvku.
BIELORUSKÁ ŠTÁTNA UNIVERZITA INFORMAČNEJ VEDY A RÁDIOELEKTRONIKY
odbor OZE
abstrakt k téme:
Cyklické kódy. BCH kódy"
MINSK, 2009
Cyklické kódy
Cyklický kód je lineárny blokový (n,k)-kód, ktorý sa vyznačuje vlastnosťou cyklickosti, t.j. posun akéhokoľvek povoleného kódového slova doľava o jeden krok tiež dáva povolené kódové slovo, ktoré patrí do rovnakého kódu a pre ktoré je množina kódových slov reprezentovaná množinou polynómov stupňa (n-1) alebo menej, deliteľné nejakým polynómom g(x) stupňa r = n-k , čo je faktor binomu x n +1.
Polynóm g(x) sa nazýva generujúci.
Ako vyplýva z definície, kódové slová v cyklickom kóde sú reprezentované ako polynómy
kde n je dĺžka kódu; - koeficienty z poľa GF(q).
Ak je kód zostavený cez pole GF(2), potom koeficienty nadobúdajú hodnoty 0 alebo 1 a kód sa nazýva binárny.
Príklad. Ak je kódové slovo cyklického kódu
Napríklad, ak je kód zostavený cez pole GF(q)=GF(2 3), ktoré je rozšírením GF(2) modulo ireducibilného polynómu f(z)=z 3 +z+1, a prvkov tohto poľa majú formulár uvedený v tabuľke 1,
potom koeficienty
prevziať hodnoty prvkov tohto poľa a preto sa samotné zobrazia ako polynómy nasledujúceho tvarukde m je stupeň polynómu, ktorým sa získa rozšírenie poľa GF(2); a i - koeficienty, ktoré nadobúdajú hodnotu prvkov GF(2), t.j. 0 a 1. Takýto kód sa nazýva q-tá.
Dĺžka cyklického kódu sa nazýva primitívny a samotný kód sa nazýva primitívny, ak je jeho dĺžka n=q m -1 na GF(q).
Ak je dĺžka kódu menšia ako dĺžka primitívneho kódu, potom sa kód nazýva skrátený alebo neprimitívny.
Ako vyplýva z definície, spoločnou vlastnosťou kódových slov cyklického kódu je ich deliteľnosť bezo zvyšku nejakým polynómom g(x), nazývaným generátor.
Výsledkom delenia binomu x n +1 polynómom g(x) je testovací polynóm h(x).
Pri dekódovaní cyklických kódov sa používa chybový polynóm e(x) a syndromický polynóm S(x).
Z výrazu sa určí chybový polynóm stupňa najviac (n-1).
kde sú polynómy reprezentujúce prijaté (chybne) a vysielané kódové slová.Nenulové koeficienty v e(x) zaberajú pozície, ktoré zodpovedajú chybám.
Príklad.
Syndrómový polynóm použitý pri dekódovaní cyklického kódu je definovaný ako zvyšok delenia prijatého kódového slova generátorovým polynómom, t.j.
alebo
Syndrómový polynóm preto závisí priamo od chybového polynómu e(x).Toto ustanovenie sa používa pri konštrukcii tabuľky syndrómov používanej v procese dekódovania. Táto tabuľka obsahuje zoznam chybových polynómov a zoznam zodpovedajúcich syndrómov určených z výrazu
(pozri tabuľku 2).V procese dekódovania sa z prijatého kódového slova vypočíta syndróm, následne sa v tabuľke nájde príslušný polynóm e(x), ktorého súčet s prijatým kódovým slovom dáva opravené kódové slovo, t.j.
Uvedené polynómy možno sčítať, násobiť a deliť pomocou známych pravidiel algebry, ale s výsledkom zníženým mod 2, a potom mod x n +1, ak stupeň výsledku presahuje stupeň (n-1).Predpokladajme, že dĺžka kódu je n=7, potom dáme výsledok mod x 7 +1.
Pri konštrukcii a dekódovaní cyklických kódov je v dôsledku delenia polynómov zvyčajne potrebné mať nie kvocient, ale zvyšok z delenia.
Preto sa odporúča jednoduchšia metóda delenia, ktorá nepoužíva polynómy, ale iba ich koeficienty (možnosť 2 v príklade).
Príklad.
Maticové priraďovanie kódov
Cyklický kód môže byť daný generovaním a kontrolou matíc. Na ich zostrojenie stačí poznať generátor g(x) a testovať h(x) polynómy. Pre nesystematický cyklický kód sa matice konštruujú cyklickým posunom generujúcich a kontrolných polynómov, t.j. ich vynásobením x
APri konštrukcii matice H (n,k) je vodiaci koeficient polynómu h(x) umiestnený vpravo.
Príklad. Pre cyklický (7,4) kód s generujúcim polynómom g(x)=x 3 +x+1 majú matice G (n,k) a H (n,k) tvar:
KdePre systematický cyklický kód sa matica G (n,k) určí z výrazu
kde I k je matica identity; R k,r - pravouhlá matica. Riadky matice R k,r sú určené z výrazov alebo kde a i (x) je hodnota i-tého riadku matice I k ; i - číslo riadku matice R k,r .Príklad. Matica G (n,k) pre (7,4)-kód založený na generujúcom polynóme g(x)=x 3 +x+1 sa zostrojí v nasledujúcom poradí
alebo
R 4.3 sa stanoví použitím
pretožePodobným spôsobom sa určuje
Načítava...