Transpozícia matice prostredníctvom tejto online kalkulačky vám nezaberie veľa času, ale rýchlo poskytne výsledok a pomôže vám lepšie pochopiť samotný proces.
Niekedy je pri algebraických výpočtoch potrebné zamieňať riadky a stĺpce matice. Táto operácia sa nazýva maticová transpozícia. Riadky v poradí sa stanú stĺpcami a samotná matica sa transponuje. V týchto výpočtoch existujú určité pravidlá a aby ste im porozumeli a vizuálne sa zoznámili s procesom, použite túto online kalkulačku. Výrazne vám to uľahčí úlohu a pomôže vám lepšie pochopiť teóriu maticovej transpozície. Významnou výhodou tejto kalkulačky je ukážka detailného a detailného riešenia. Jeho použitie teda prispieva k získaniu hlbších a uvedomelejších predstáv o algebraických výpočtoch. Okrem toho si s jeho pomocou môžete kedykoľvek skontrolovať, ako úspešne ste sa s úlohou vyrovnali, manuálnym transponovaním matíc.
Používanie kalkulačky je veľmi jednoduché. Ak chcete nájsť transponovanú maticu online, zadajte veľkosť matice kliknutím na ikony „+“ alebo „-“, kým nezískate požadované hodnoty pre počet stĺpcov a riadkov. Ďalej do polí zadajte požadované čísla. Nižšie je tlačidlo "Vypočítať" - jeho stlačením sa zobrazí hotové riešenie s podrobným dekódovaním algoritmu.
Ak chcete transponovať maticu, musíte napísať riadky matice do stĺpcov.
Ak , potom transponovaná matica
Ak potom
Cvičenie 1. Nájsť
- Determinanty štvorcových matíc.
Pre štvorcové matice sa zavádza číslo, ktoré sa nazýva determinant.
Pre matice druhého rádu (rozmer ) je determinant daný vzorcom:
Napríklad pre maticu je jej determinantom
Príklad . Vypočítajte determinanty matice.
Pre štvorcové matice tretieho rádu (rozmer ) platí pravidlo „trojuholníka“: na obrázku prerušovaná čiara znamená násobenie čísel, cez ktoré prerušovaná čiara prechádza. Prvé tri čísla treba sčítať, ďalšie tri čísla odčítať.
Príklad. Vypočítajte determinant.
Aby sme dali všeobecnú definíciu determinantu, musíme zaviesť pojem vedľajšieho a algebraického doplnku.
Menší maticový prvok sa nazýva determinant získaný vymazaním - toho riadku a - toho stĺpca.
Príklad. Nájdite niekoľko maloletých z matice A.
Algebraické sčítanie prvok sa nazýva číslo.
Ak je teda súčet indexov a párny, potom sa nijako nelíšia. Ak je súčet indexov a nepárny, potom sa líšia iba znamienkom.
Pre predchádzajúci príklad.
maticový determinant je súčet súčinov prvkov nejakého radu
(stĺpec) na ich algebraické sčítania. Zvážte túto definíciu na matici tretieho rádu.
Prvá položka sa nazýva rozšírenie determinantu v prvom riadku, druhá je expanzia v druhom stĺpci a posledná je expanzia v treťom riadku. Celkovo je možné takéto rozšírenia napísať šesťkrát.
Príklad. Vypočítajte determinant podľa pravidla "trojuholníka" a rozšírte ho pozdĺž prvého riadku, potom pozdĺž tretieho stĺpca a potom pozdĺž druhého riadku.
Rozšírme determinant o prvý riadok:
Rozviňme determinant v treťom stĺpci:
Rozšírme determinant o druhý riadok:
Všimnite si, že čím viac núl, tým jednoduchšie výpočty. Napríklad rozbalením cez prvý stĺpec dostaneme
Medzi vlastnosťami determinantov je vlastnosť, ktorá vám umožňuje získať nuly, a to:
Ak k prvkom určitého riadka (stĺpca) pridáme prvky iného riadku (stĺpca) vynásobené nenulovým číslom, tak sa determinant nezmení.
Zoberme si rovnaký determinant a získajme nuly, napríklad v prvom riadku.
Determinanty vyššieho rádu sa vypočítajú rovnakým spôsobom.
Úloha 2. Vypočítajte determinant štvrtého rádu:
1) rozbalenie cez ľubovoľný riadok alebo stĺpec
2) s predchádzajúcim prijatím nuly
Dodatočnú nulu dostaneme napríklad v druhom stĺpci. Za týmto účelom vynásobte prvky druhého riadku -1 a pridajte do štvrtého riadku:
- Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou.
Ukážme si riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou.
Úloha 2. Vyriešte sústavu rovníc.
Musíme vypočítať štyri determinanty. Prvý sa nazýva hlavný a pozostáva z koeficientov pre neznáme:
Všimnite si, že ak , systém nemožno vyriešiť Cramerovou metódou.
Ďalšie tri determinanty sú označené , , a získajú sa nahradením príslušného stĺpca stĺpcom na pravej strane.
nachádzame . Aby sme to dosiahli, zmeníme prvý stĺpec v hlavnom determinante na stĺpec pravých častí:
nachádzame . Aby sme to dosiahli, zmeníme druhý stĺpec v hlavnom determinante na stĺpec pravých častí:
nachádzame . Za týmto účelom zmeníme tretí stĺpec v hlavnom determinante na stĺpec pravých častí:
Riešenie sústavy nájdeme pomocou Cramerových vzorcov: , ,
Teda riešenie systému , ,
Urobme kontrolu, za týmto účelom dosadíme nájdené riešenie do všetkých rovníc sústavy.
- Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou.
Ak štvorcovú maticu determinant sa nerovná nule, existuje inverzná matica taká, že . Matica sa nazýva identita a má formu
Inverzná matica sa nachádza podľa vzorca:
Príklad. Nájdite inverznú maticu k matici
Najprv vypočítame determinant.
Hľadanie algebraických doplnkov:
Inverznú maticu napíšeme:
Ak chcete skontrolovať výpočty, musíte sa uistiť, že .
Nech je daný systém lineárnych rovníc:
Označiť
Potom môže byť systém rovníc zapísaný v maticovom tvare ako , a teda . Výsledný vzorec sa nazýva maticová metóda riešenia systému.
Úloha 3. Vyriešte systém maticovým spôsobom.
Je potrebné vypísať maticu sústavy, nájsť jej inverznú hodnotu a následne vynásobiť stĺpcom pravých častí.
Inverznú maticu sme už našli v predchádzajúcom príklade, takže môžeme nájsť riešenie:
- Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc Gaussovou metódou.
Cramerova metóda a maticová metóda sa používajú iba pre štvorcové systémy (počet rovníc sa rovná počtu neznámych) a determinant sa nesmie rovnať nule. Ak sa počet rovníc nerovná počtu neznámych, alebo sa determinant systému rovná nule, použije sa Gaussova metóda. Gaussovu metódu možno použiť na riešenie akýchkoľvek systémov.
A dosaďte do prvej rovnice:
Úloha 5. Riešte sústavu rovníc pomocou Gaussovej metódy.
Pomocou výslednej matice obnovíme systém:
Nájdeme riešenie:
Pri práci s maticami ich niekedy treba transponovať, teda povedaním jednoduchými slovami, prevrátiť. Dáta môžete samozrejme prepísať aj ručne, Excel však ponúka niekoľko spôsobov, ako to zjednodušiť a zrýchliť. Poďme sa na ne pozrieť podrobne.
Maticová transpozícia je proces výmeny stĺpcov a riadkov. IN program Excel Existujú dve možnosti transpozície: pomocou funkcie TRANSP a s nástrojom špeciálna vložka. Zvážme každú z týchto možností podrobnejšie.
Metóda 1: Operátor TRANSPOSE
Funkcia TRANSP patrí do kategórie operátorov "Referencie a polia". Zvláštnosťou je, že podobne ako ostatné funkcie, ktoré pracujú s poľami, výsledkom vydania nie je obsah bunky, ale celé pole dát. Syntax funkcie je pomerne jednoduchá a vyzerá takto:
TRANSPOSE(pole)
To znamená, že jediným argumentom tohto operátora je odkaz na pole, v našom prípade maticu, ktorá by sa mala previesť.
Pozrime sa, ako možno túto funkciu použiť na príklade s reálnou maticou.
- Vyberieme prázdnu bunku na hárku, ktorá je plánovaná ako ľavá horná bunka transformovanej matice. Ďalej kliknite na ikonu "Vložiť funkciu", ktorý sa nachádza v blízkosti riadku vzorcov.
- Spustenie Funkcionári. Otvorte kategóriu "Referencie a polia" alebo "Úplný abecedný zoznam". Po nájdení mena "TRANSP", vyberte ho a kliknite na tlačidlo OK.
- Spustí sa okno argumentov funkcie TRANSP. Jediný argument tohto operátora zodpovedá poľu "Pole". Musíte zadať súradnice matice, ktorá sa má do nej preklopiť. Ak to chcete urobiť, umiestnite kurzor do poľa a podržte ho ľavé tlačidlo myšou vyberte celý rozsah matice na hárku. Po zobrazení adresy oblasti v okne argumentov kliknite na tlačidlo OK.
- Ako však vidíte, v bunke, ktorá je určená na zobrazenie výsledku, sa zobrazí nesprávna hodnota vo forme chyby "#HODNOTA!". Je to spôsobené zvláštnosťami fungovania operátorov polí. Na opravu tejto chyby vyberieme rozsah buniek, v ktorom sa počet riadkov musí rovnať počtu stĺpcov pôvodnej matice a počet stĺpcov sa musí rovnať počtu riadkov. Táto korešpondencia je veľmi dôležitá pre správne zobrazenie výsledku. V tomto prípade bunka obsahujúca výraz "#HODNOTA!" musí byť ľavá horná bunka poľa, ktoré sa má vybrať, a práve z tejto bunky by sa mal spustiť výberový postup podržaním ľavého tlačidla myši. Po vykonaní výberu umiestnite kurzor do riadka vzorcov hneď za výraz operátora TRANSP, ktorý by sa v ňom mal zobraziť. Potom, aby ste vykonali výpočet, musíte kliknúť nie na tlačidlo Zadajte, ako je zvykom v konvenčných vzorcoch, a vytočte kombináciu Ctrl+Shift+Enter.
- Po týchto akciách sa nám matica zobrazila tak, ako potrebujeme, teda v transponovanej podobe. Ale je tu ďalší problém. Faktom je, že nová matica je teraz pole spojené vzorcom, ktorý sa nedá zmeniť. Ak sa pokúsite vykonať akúkoľvek zmenu obsahu matice, objaví sa chyba. Niektorí používatelia sú s týmto stavom celkom spokojní, pretože sa nechystajú vykonávať zmeny v poli, iní však potrebujú maticu, s ktorou môžu plne pracovať.
Vyriešiť tento problém, vyberte celý transponovaný rozsah. Presunuté na kartu "Domov" kliknite na ikonu "Kopírovať", ktorý sa nachádza na stuhe v skupine "schránka". Namiesto zadanej akcie si po výbere môžete nastaviť štandardnú klávesovú skratku pre kopírovanie ctrl+c.
- Potom bez odstránenia výberu z transponovaného rozsahu naň klikneme kliknite pravým tlačidlom myši myši. V kontextovej ponuke v skupine "Možnosti prilepenia" kliknite na ikonu "hodnoty", ktorý má podobu ikony s obrázkom čísel.
Potom nasleduje vzorec poľa TRANSP sa vymaže a v bunkách zostane iba jedna hodnota, s ktorou môžete pracovať rovnako ako s pôvodnou maticou.
Metóda 2: Maticová transpozícia so špeciálnou pastou
Okrem toho môže byť matica transponovaná jediným prvkom obsahové menu, ktorá nesie názov "Prilepiť špeciálne".
Po týchto akciách zostane na hárku iba transformovaná matica.
Rovnakými dvoma spôsobmi, o ktorých sa hovorilo vyššie, môžete v programe Excel transponovať nielen matice, ale aj plnohodnotné tabuľky. Postup bude takmer identický.
Zistili sme teda, že v programe Excel je možné maticu transponovať, teda preklápať výmenou stĺpcov a riadkov dvoma spôsobmi. Prvá možnosť zahŕňa použitie funkcie TRANSP a druhým je Prilepiť špeciálne nástroje. Vo všeobecnosti sa konečný výsledok, ktorý sa dosiahne pri použití oboch týchto metód, nelíši. Obe metódy fungujú takmer v každej situácii. Takže pri výbere možnosti konverzie vystupujú do popredia osobné preferencie konkrétneho používateľa. To znamená, že ktorá z týchto metód je pre vás osobne vhodnejšia, použite ju.
Matica A -1 sa nazýva inverzná matica vzhľadom na maticu A, ak A * A -1 \u003d E, kde E je matica identity n-tého rádu. Inverzná matica môže existovať len pre štvorcové matice.
Pridelenie služby. S touto službou, online režim možno nájsť algebraické doplnky, transponovanú maticu AT , zjednocovaciu maticu a inverznú maticu. Riešenie sa vykonáva priamo na stránke (online) a je bezplatné. Výsledky výpočtu sú prezentované v správe vo formáte Word a v excelový formát(t.j. je možné skontrolovať riešenie). pozri príklad dizajnu.
Inštrukcia. Ak chcete získať riešenie, musíte zadať rozmer matice. Ďalej v novom dialógovom okne vyplňte maticu A .
Pozri tiež Inverzná matica Jordan-Gaussovou metódou
Algoritmus na nájdenie inverznej matice
- Nájdenie transponovanej matice AT .
- Definícia algebraických sčítaní. Nahraďte každý prvok matice jeho algebraickým doplnkom.
- Zostavenie inverznej matice z algebraických sčítaní: každý prvok výslednej matice je vydelený determinantom pôvodnej matice. Výsledná matica je inverzná k pôvodnej matici.
- Zistite, či je matica štvorcová. Ak nie, potom na to neexistuje inverzná matica.
- Výpočet determinantu matice A . Ak sa nerovná nule, pokračujeme v riešení, inak inverzná matica neexistuje.
- Definícia algebraických sčítaní.
- Vyplnenie zjednocovacej (vzájomnej, adjungovanej) matice C .
- Zostavenie inverznej matice z algebraických sčítaní: každý prvok adjungovanej matice C sa vydelí determinantom pôvodnej matice. Výsledná matica je inverzná k pôvodnej matici.
- Vykonajte kontrolu: vynásobte originál a výsledné matice. Výsledkom by mala byť matica identity.
Príklad č. 1. Maticu zapisujeme v tvare:
| A-1 = |
|
Ďalší algoritmus na nájdenie inverznej matice
Uvádzame ďalšiu schému na nájdenie inverznej matice.- Nájdite determinant danej štvorcovej matice A .
- Ku všetkým prvkom matice A nájdeme algebraické doplnky.
- Algebraické doplnky prvkov riadkov zapisujeme do stĺpcov (transpozícia).
- Každý prvok výslednej matice vydelíme determinantom matice A .
Špeciálny prípad: Inverzná vzhľadom na maticu identity E je matica identity E .
Načítava...