Pojem lineárneho systému a analýza lineárnych systémov. Aplikácia diferenciálnych rovníc. Aplikácia impulzná odozva. Aplikácia frekvenčných charakteristík. Nelineárne bezzotrvačné transformácie náhodných procesov.
Detekcia a odhad parametrov signálu v prítomnosti šumu.
6.1. Popis signálu a rušenia. Typy úloh, ktoré treba riešiť. Testovanie štatistických hypotéz (vzorka, výberový priestor, pravdepodobnostná funkcia, jednoduché a zložité hypotézy, riešenia, pravidlá rozhodovania, pravdepodobnosti chýb). Štatistika, kritérium kvality rozhodovania, matica strát, podmienené riziko, priemerné riziko.
6.2. Testovanie dvoch alternatívnych hypotéz:
Bayesov test, minimax test, test maximálnej zadnej pravdepodobnosti, test maximálnej pravdepodobnosti, Neyman-Pearsonov test, sekvenčná Waldova analýza, prevádzková charakteristika.
6.3. Spracovanie spojitých signálov. Pravdepodobnosť funkčné. Funkčný pomer pravdepodobnosti.
6.4. Aplikácia funkčného pravdepodobnostného pomeru na detekciu úplne známeho signálu (algoritmus, pravdepodobnosti chýb) a signálu s náhodnou fázou (algoritmus, pravdepodobnosti chýb).
Odhad parametrov signálu.
7.1. Bodový odhad, intervalový odhad. Vlastnosti bodových odhadov (konzistentnosť, nezaujatosť, efektívnosť, dostatočnosť). Rao-Kramerova nerovnosť. Odhad matematického očakávania a rozptylu normálneho rozdelenia.
7.2. Aplikácia funkcionálu pravdepodobnosti na odhad parametrov signálu. Odhad časovej polohy signálu. Vyjadrenie problému, šumové a signálové funkcie a ich charakteristiky, odstup signálu od šumu, určenie funkcie signálu pre obdĺžnikový video signál, spracovanie zhlukov signálu (odstup signálu od šumu).
7.3. Implementácia algoritmu na odhad časovej polohy signálu. Korelačný prijímač, prispôsobený filter (impulz a frekvenčné charakteristiky signál na výstupe prispôsobeného filtra, pomer signálu k šumu, optimálnosť prispôsobeného filtra, pomer medzi skutočným a prispôsobeným filtrom).
Informačná teória
Kotelnikovova veta pre náhodné procesy.
Kvantovanie signálu.
miera informácií.
3.1. Miera informácií podľa Fishera, podľa Hartleyho.
3.2. Shannonova miera informácie (definícia, entropia a jej vlastnosti, entropia súčinu súboru, entropia spojitého súboru Entropia signálu s obmedzenou doménou definície. Entropia signálu s neobmedzenou doménou definície, ale s obmedzeným výkonom), Množstvo vzájomnej informácie , čiastkové množstvá vzájomných informácií. Epsilon entropia (ε-entropia). Kompresný pomer, redundantný pomer.
4. Kódovanie zdroja nezávislých správ Kľúčové slová: kódový strom, kódový prefix, jednotné kódovanie, Shannonovo kódovanie, Huffmanovo kódovanie, Shannonova veta o zdrojovom kódovaní. Charakteristika zdroja a zdrojového kodéra.
5. Komunikačný kanál. Klasifikácia. Rýchlosť prenosu informácií a šírka pásma.
5.1. Bezhlučný kanál: kapacita, Shannonova veta pre bezhlučný kanál.
5.2. Šumový kanál: binárny symetrický kanál (kapacita), zapnutá Shannonova veta šírku pásma pre hlučný kanál.
Pokyny pre laboratórne práce
Laboratórne práce na štúdiu transformácie spektier signálov v nelineárnych obvodoch sa využívajú v procese štúdia predmetu „ Rádiové obvody a signály“ študentmi špecializácie 201600 "Rádioelektronické systémy". Laboratórna práca „Prechod signálov cez nelineárne obvody“ je založená na diskrétnych algoritmoch Fourierovej transformácie a je vypracovaná vo forme aplikácie pre Windows 95...98/2000/Millennium/NT .
Il. 7, zoznam lit. 4 tituly
Schválené vzdelávacou a metodickou komisiou nástrojárskej fakulty pre odbor 201600 "Rádioelektronické systémy".
Recenzent N. G. Gaisov.
Vydavateľstvo SUSU, 2002
1. Úvod
Laboratórne práce sa vykonávajú pomocou digitálneho softvérového modelu laboratórneho stojana, vyhotoveného vo forme Windows - aplikácie. Zväčšená bloková schéma modelu je na obr.1.
Ryža. 1.
Účel všetkých prvkov tejto schémy je zrejmý a nevyžaduje si ďalšie vysvetlenie.
modul úpravy signálu, vstúpi do nelineárneho prevodného modulu, ktorý vypočíta realizáciu výstupného signálu. Modul spektrálnej analýzy, počíta spektrá vstupných a výstupných signálov. Zobrazia sa vypočítané amplitúdové spektrá signálovzobrazovací modulv príslušných oknách.
Zodpovedajúce okná súčasne zobrazujú realizáciu vstupných a výstupných signálov
Viac Detailný popis modely stojanov sú uvedené v prílohe k týmto pokynom.
- Účel laboratória
Oboznámte sa s metódami reprezentácie charakteristík nelineárnych obvodov;
Upevniť teoretické ustanovenia o analýze prechodu signálov cez nelineárne obvody;
Experimentálne skúmajte závislosť charakteristík spektra, tvaru a hlavných parametrov signálu na výstupe nelineárneho obvodu, od tvaru a parametrov vstupného signálu a typu a charakteristiky nelineárneho obvodu ( Osobitná pozornosť by sa malo venovať štúdiu deformácie spektra signálu nelineárnym obvodom);
Skontrolujte stupeň zhody medzi experimentálnymi údajmi a zodpovedajúcimi teoretickými ustanoveniami.
3. Osídľovacia úloha
Vypočítajte a nakreslite spektrá na vstupe a výstupe nelineárneho obvodu pre dva tri signály určené učiteľom a pre dve formy nelineárnej charakteristiky, tiež špecifikované učiteľom (úloha je zadaná na prípravnej hodine).
4. Poradie práce a usmernenia
Pred spustením laboratória musíte:
- Oboznámte sa s popisom digitálneho softvérového modelu laboratórneho stánku uvedeným v prílohe.
- Naplánujte program laboratórneho výskumu v súlade s účelom laboratórnej práce.
- Vyberte a dohodnite s učiteľom typy signálov a typy nelineárnych obvodov, ktoré vám umožnia čo najpodrobnejšie a najjasnejšie vysvetliť vplyv charakteristík nelineárneho obvodu na charakteristiky spektra signálu.
Pri vykonávaní laboratórnych prác je potrebné získať rodinu grafov, ktoré charakterizujú závislosť charakteristík spektier od tvaru a parametrov signálov a tvaru a parametrov nelineárneho obvodu.
Pri vykonávaní práce dávajte pozor na možné odchýlky vypočítaných a experimentálnych údajov.
Vzhľadom na skutočnosť, že fyzikálny význam faktorov, ktoré určujú vzťah medzi spektrálnymi a časovými charakteristikami signálov, je pomerne ťažké zistiť bez grafických ilustrácií, odporúča sa uložiť do správy najcharakteristickejšie oscilogramy signálov. a ich spektrá zobrazené v hlavnom okne aplikácie (v grafickej forme alebo vo forme textový súbor).
5. Požiadavky na obsah správy
Laboratórna správa by mala obsahovať tieto materiály:
- Materiály experimentálnej štúdie s uvedením podmienok experimentu vrátane uvedenia časovej štruktúry signálu a jeho parametrov.
- Výsledky výpočtovej úlohy. Grafické obrázky vypočítané a experimentálne závislosti pre rovnaké podmienky, je potrebné vybudovaťna spoločných súradnicových osiach a v rovnakej mierke.
- Analýza výsledkov experimentu so zdôvodnením dôvodov zistených odchýlok experimentálnych výsledkov od vypočítaných údajov.
- Zoznam literatúry použitej pri príprave na laboratórne práce a pri plnení výpočtovej úlohy.
6.Kontrolné otázky
1. Popíšte hlavné metódy aproximácie charakteristík nelineárnych prvkov.
2. Čo je medzný uhol? Ako určiť medzný uhol pre medzný zosilňovač?
3. Dajte porovnávacia charakteristika podmienky použiteľnosti pre dva typy Bergových koeficientov ().
4. Nájdite spektrálne zloženie výstupného signálu, ak jeho charakteristika má tvar úplného polynómu tretieho stupňa a na vstupe je: a) harmonický signál s frekvenciou; b) biharmonický signál formy.
5. Ktoré členy polynómu aproximujúce charakteristiku nelineárneho obvodu sa podieľajú na určovaní amplitúd tretej a šiestej harmonickej výstupného signálu, ak je na vstup privedený harmonický signál?
6. Keď nie riadkový prvok možno považovať za lineárny prvok s premenlivými parametrami?
7. Vysvetlite činnosť rezonančného medzného zosilňovača v režime veľkých kmitov. Nakreslite jeho ekvivalentný obvod.
8. Nakreslite schému násobiteľa rezonančnej frekvencie na n a vysvetliť požiadavky na parametre prvku nelineárneho obvodu.
9. Na základe akých úvah sa vyberá optimálny medzný uhol?v obvode násobiča rezonančnej frekvencie.
10. Nakreslite ekvivalentný obvod obmedzovača amplitúdy a vysvetlite princíp jeho činnosti. Čo je to obmedzujúca charakteristika?
- Gonorovsky I. R. Rádiotechnické obvody a signály: Učebnica pre univerzity 4. vyd., Revidované. A navyše. M.: Rozhlas a komunikácia, 1986. 512 s.: chor.
- Baskakov S. I. Rádiové obvody a signály: Návod pre vysoké školy na špeciálne "Rádiotechnika" - 2. vyd., prepracované. a dodatočné M.: Vyššia škola, 1988. 208 s.: chor.
- Rádiotechnické obvody a signály. Príklady a úlohy: Učebnica pre vysoké školy / Ed. I. S. Gonorovsky M.: Rádio a komunikácia, 1989. 248 s.: chor.
- Baskakov, S. I. Rádiotechnické obvody a signály. Návod na riešenie problémov: Proc. príspevok na rádiotechniku. špecialista. univerzity. 2. vydanie, prepracované. A navyše. M.: Vyššie. škola, 2002. 214 s.: chor.
Aplikácia
POPIS MODELU LABORATORNÉHO STOJANU
1.P. Všeobecné ustanovenia.
Na výskumcharakteristiky spektrálnej analýzy periodických signálovVaša pozornosť je pozvaná na softvérový digitálny model vybavený užívateľsky prívetivé rozhranie kontrola parametrov signálu a vizuálna kontrola deformácie spektra pri zmene parametrov signálu.
Štrukturálna schéma model je znázornený na obrázku 1.P. Účel všetkých prvkov tejto schémy je zrejmý a nevyžaduje si ďalšie vysvetlenie.
Ryža. 1.P.
Signál generovaný riadenýmmodul úpravy signálu, vstúpi do modulunelineárna transformácia, ktorý počíta realizáciu výstupného signálu. Modul spektrálnej analýzy, vypočíta spektrá vstupných a výstupných signálov. Zobrazia sa vypočítané amplitúdové spektrá a realizácia signáluzobrazovací modulv zodpovedajúcich oknách vo forme obrázkov osciloskopu.
Podmienky experimentu, určené tvarom a parametrami signálu, ako aj charakteristikou nelineárneho prevodníka, sa nastavujú v hlavnom pracovnom okne aplikácie.
Parametre a tvar signálu a nelineárneho prevodníka sa nastavujú pomocou príslušných vstupných a editačných prvkov dát umiestnených na poli hlavného pracovného okna.
2.P. Hlavné pracovné okno aplikácie
Zobrazujú sa signály a ich spektrá na vstupe a výstupe nelineárneho obvodu, ako aj charakteristika nelineárneho obvodu.zobrazovací modulv hlavnom pracovnom okne, v poli pre vizuálnu kontrolu, vo forme obrazu osciloskopu. Približný pohľad na hlavné pracovné okno je na obrázku 2.P.
Ryža. 2.P.
Polia počtov signálov a hodnôt amplitúdového spektra sa vytvárajú a aktualizujú pri akýchkoľvek zmenách v parametroch signálu a môžu byť uložené vo forme textových súborov na použitie v správach o laboratórnych prácach. Na uloženie údajov experimentu použite menu hlavného okna "Uložiť/Obrázok okna", "Uložiť/Hodnoty signálu", "Uložiť/Spektra signálu" alebo "Uložiť/Všetky údaje" (pozri obr. 3.P.)
Ryža. 3.P.
Hodnoty signálu a spektrálny rozsah signálu uložené v textových súboroch je možné využiť v ďalších prácach laboratórneho komplexu na kurze "Rádiové obvody a signály".
Formát údajov textového súboru hodnôt signálov je nasledujúci:
Reťazec znakov (voľný názov obsahujúci číslo experimentu)
Reťazec znakov (prípadne hlavička tabuľky: Úroveň počtu)
Dátová linka: Celé číslo bez znamienka ( Celé číslo ) Skutočné so znakom(plavák)
Dátová linka: Celé číslo bez znamienka ( Celé číslo ) Skutočné so znakom ( plavák)
Formát údajov textového súboru spektier signálu je nasledujúci:
Reťazec znakov („Spektrum vstupného signálu v experimente č. “ Celé číslo bez znamienka ( celé číslo))
Reťazec znakov
Dátová linka: Celé číslo bez znamienka ( Celé číslo ) Skutočné so znakom(Plavák ) Skutočné so znakom(plavák)
… (Celkovo 135 riadkov)
Dátová linka: Celé číslo bez znamienka ( Celé číslo ) Skutočné so znakom ( plavák ) Skutočné so znakom(plavák)
Reťazec znakov („Spektrum výstupného signálu“ Celé číslo bez znamienka( celé číslo))
Reťazec znakov (prípadne hlavička tabuľky: Count Amplitude Phase)
Dátová linka: Celé číslo bez znamienka ( Celé číslo ) Skutočné so znakom(Plavák ) Skutočné so znakom(plavák)
… (Celkovo 135 riadkov)
Dátová linka: Celé číslo bez znamienka ( Celé číslo ) Skutočné so znakom ( plavák ) Skutočné so znakom(plavák)
Typ vstupného signálu sa nastavuje v hlavnom pracovnom okne aplikácie pomocou menu"Vstupný signál" a použitie jeho amplitúdy editačné okno vybavené tlačidlami ako " hore dole „Všetky zmeny sa okamžite prejavia v zobrazení priebehov signálov a spektier.
Čítanie číselných hodnôt vzoriek signálu alebo hodnôt ktoréhokoľvek z amplitúdových spektier je možné vykonať približne zarovnaním polohy kurzora "myši" s potrebný prvok oscilogramy a stlačením ľavého tlačidla myši (pozri obr. 4.P.).
Ryža. 4.P.
Typ charakteristiky nelineárneho obvodu sa volí pomocou ponuky hlavného okna "Charakteristika N.E.".Úroveň orezania alebo medznej úrovne v nelineárnej obvodovej charakteristike sa ovláda posuvníkmi (pozri obr. 5.P.).
Ryža. 5.P
V spodnej časti hlavného pracovného okna aplikácie (pozri obr. 2.P.) sa nachádza okno na úpravu čísla experimentu. Číslo experimentu je potrebné pre správne rozpoznanie uložených údajov a pri zmene typu signálu sa automaticky zvyšuje. Pri zmene iba parametrov vstupného signálu a nelineárneho obvodu je však potrebné manuálne opraviť, ak sú experimentálne údaje uložené pre rovnaký tvar signálu, ale s rôznymi hodnotami jeho parametrov.
3.P. Okno zadávania ľubovoľného tvaru vlny.
Na štúdium nelineárnej transformácie signálu ľubovoľného tvaru vlny sa používa špeciálne okno „Nastavenie priebehu“, ktoré sa volá z ponuky hlavného pracovného okna."Typ signálu / Ľubovoľný".
Pohľad na okno „Arbitrary signal“ je znázornený na obrázku 6.
Ryža. 6.
V tomto okne môžete upraviť priebeh pomocou príslušných tlačidiel alebo načítať údaje zo súboru s príponou . TXT , obsahujúci čítania v textovej forme. Takýto súbor je možné vyvolať zo špeciálnej knižnice alebo pripraviť pri vykonávaní výpočtovej úlohy pri príprave na laboratórne práce.
Ak chcete načítať hodnoty signálu z textového súboru, musíte vyvolať dialógové okno sťahovania stlačením tlačidla "Načítať".
Ak chcete načítať hodnoty signálu z textového súboru, musíte vyvolať dialógové okno sťahovania stlačením tlačidla "Načítať". Formát údajov textového súboru je popísaný vyššie.
Ak chcete použiť načítané alebo upravené hodnoty signálu, stlačte tlačidlo "Accept" a na zrušenie údajov stlačte tlačidlo "Cancel".
Prenos signálov cez skutočné komunikačné kanály je vždy sprevádzaný zmenami (transformáciami) týchto signálov, v dôsledku čoho sa prijímané signály líšia od prenášaných. Tieto rozdiely sú primárne spôsobené lineárnymi a nelineárnymi transformáciami vstupných signálov, ako aj prítomnosťou aditívneho šumu v kanáli, ktorý najčastejšie existuje nezávisle od prenášaných signálov. Z hľadiska prenosu informácií kanálom je dôležité rozdeliť transformácie signálu na reverzibilné a nevratné. Ako bude ukázané (pozri § 4.2), reverzibilné transformácie nezahŕňajú stratu informácií. Pri nezvratných transformáciách je strata informácií nevyhnutná. Pre reverzibilné transformácie signálu sa často používa termín "skreslenie" a nevratné transformácie sa nazývajú šum (aditívny a neaditívny).
Príkladom najjednoduchšej deterministickej reverzibilnej transformácie vstupného signálu X(t), ktorý nemení svoj tvar, je
Y(t) = kX(t-t). (3.1)
V tomto prípade sa výstupný signál kanálu Y(t) líši od vstupného signálu len známou stupnicou k, ktorá je ľahko kompenzovaná zodpovedajúcim zosilnením alebo zoslabením signálu a konštantným časovým oneskorením τ. Zvyčajne je malý. Oneskorenie ako také môže byť badateľné len pri komunikáciách v kozmickom meradle alebo pri veľmi veľkom počte reaktívnych prvkov komunikačného vedenia * .
* (Tu hovoríme o oneskorení v samotnej komunikačnej linke, a nie o oneskoreniach v demodulátore a dekodéri, ktoré môžu byť významné a niekedy obmedzujú možnosť zlepšenia odolnosti voči šumu.)
Ak je vstupný signál X (t) v (3.1) úzkopásmový, je vhodné ho znázorniť v kvázi harmonickej forme (2.68): X(t) = A(t)cos× X [ω 0 t+Φ( t)], kde A(t) a Φ(t) sú pomaly sa meniace funkcie. Preto s dostatočne malým oneskorením t v prvej aproximácii môžeme uvažovať A (t-τ) ≈ A(t) a Φ(t-τ)≈Φ(t) a zapísať výstupný signál do (3.1) nasledovne:
Y (t) = kA(t-τ) cos[ω 0 (t-τ) + Φ(t-τ) ≈ kA (t) cos[ω 0 t+Φ(t)-θ K], (3.2)
kde θ K =ω 0 τ - fázový posun v kanáli. Pri úzkopásmovom signáli sa teda malé oneskorenie zníži na určitý fázový posun.
V skutočných komunikačných kanáloch, aj keď je možné zanedbať aditívny šum, sú transformácie signálu zložité a zvyčajne vedú k rozdielom v tvare výstupného signálu od vstupu.
Štúdium transformácií náhodných procesov pri ich prechode dynamickými systémami (s pravidelnými aj náhodne sa meniacimi parametrami) je spojené s riešením problémov dvoch typov:
určenie korelačnej funkcie (energetického spektra) odozvy Y(t) na výstupe dynamického systému, danej jeho charakteristikami podľa danej korelačnej funkcie (alebo energetického spektra) vstupnej akcie X(t);
určenie viacrozmerného rozdelenia odozvy Y(t) na výstupe daného dynamického systému viacrozmerným rozdelením vstupnej akcie X (t).
Druhá z týchto úloh je všeobecnejšia. Z jeho riešenia sa samozrejme dá získať aj riešenie prvého problému. V nasledujúcom texte sa však obmedzíme najmä na krátku úvahu o prvom probléme a iba naznačíme možné spôsoby riešenie druhého, zložitejšieho problému.
Prechod náhodných signálov cez deterministické lineárne obvody. Ako je známe, lineárny obvod s konštantnými parametrami je charakterizovaný svojou impulznou odozvou g(t) alebo svojou Fourierovou transformáciou prenosová funkcia k(iω). Ak napríklad na vstup obvodu príde centrovaný proces X(t), potom proces Y (t) na výstupe je určený Duhamelovým integrálom *
Vo fyzicky realizovateľnom okruhu pri t
* (Tu a ďalej je integrácia náhodných procesov chápaná v zmysle strednej hodnoty [pozri. f-lu (2,8)].)
Nájdite korelačnú funkciu centrovaného výstupného procesu Y (t):
kde 01 = t1-τ102 = t2-τ2; B X (θ 1 - θ 2) je korelačná funkcia vstupného signálu.
Nech je vstupný proces stacionárny. Potom BX (0i-62) = B(6), kde 0=02-6i. Zavedieme aj zápis t 2 -t 1 =τ, t 1 -θ 1 = τ 1 . Potom t2-θ2 = τ+τ1-θ a
kde sa používa „funkcia časovej korelácie“ (TFC) z nenáhodnej impulznej odozvy
V tomto prípade β = τ - θ.
Z (3.4) je zrejmé, že pre stacionárny vstupný proces a výstupný proces sa ukáže ako stacionárny, pretože B Y (t 1 ,t+τ) nezávisí od t 1 . Preto sa dá písať
Výsledná rovnosť je analógom Duhamelovho integrálu pre korelačné funkcie. FC výstupného procesu je teda integrálnou konvolúciou FC vstupného procesu a CFC impulznej odozvy obvodu.
Všimnite si, že PFC impulznej odozvy súvisí Fourierovou transformáciou s druhou mocninou modulu prenosovej funkcie |k(iω)| 2 alebo frekvenčná odozva (AFC) obvodu. naozaj,
Z teórie Fourierovej transformácie je známe, že Fourierova transformácia konvolúcie dvoch funkcií sa rovná súčinu Fourierových transformácií týchto funkcií. Aplikovaním tohto na (3.5) dostaneme jednoduchý vzťah medzi spektrálne hustoty stacionárne procesy na vstupe a výstupe lineárneho obvodu s konštantnou prenosovou funkciou k (iω):
G Y (J) = G X (f)|k(i2πf)| 2 (3,7)
Z (3.5) a (3.7) vyplýva, že PC a spektrum procesu na výstupe obvodu sú úplne určené PC alebo spektrom procesu na vstupe a frekvenčnou charakteristikou obvodu, t.j. nezávisia ani od rozdelenia pravdepodobnosti vstupného procesu, ani od fázovo-frekvenčnej charakteristiky obvodu.
Uvažujme o príklade prechodu náhodných procesov cez deterministické lineárne systémy - prechod bieleho šumu s energetickým spektrom N 0 cez sériový oscilačný obvod s parametrami R, L, C. Ak výstupné napätie odstránené z nádrže, potom komplexný zisk slučky
rezonančná frekvencia,
V oblasti malých rozladení |k(ω)| 2 = ω 2 0 /(4[β 2 + (ω-ω 0) 2 ]), β = R/(2L), a podľa (3.7) energetické spektrum na výstupe
GY (co) = N0coco2o/(4[p2 + (co - coo)2]).
Výstupná korelačná funkcia
Pri privedení signálu X(t) do deterministického lineárneho obvodu s premenlivými parametrami je výstupný signál Y(t). ako viete, môže byť vyjadrený konvolučným integrálom:
kde g(t, τ) je funkcia dvoch premenných, ktorá určuje odozvu systému v čase t na δ-impulz privedený na vstup v čase t-τ.
predstavuje prenosovú funkciu lineárneho obvodu s premenlivými parametrami, ktorá je samozrejme funkciou nielen frekvencie, ale aj času.
Keďže vo fyzikálne realizovateľnom obvode nemôže nastať odozva pred nárazom, potom g(t, τ)=0 pre τ
Problém nájdenia rozdelenia pravdepodobnosti odozvy lineárneho systému pri ľubovoľnej náhodnej akcii sa vo všeobecnom prípade ukazuje ako veľmi zložitý, aj keď sa obmedzíme na nájdenie jednorozmerného rozdelenia. Všimnite si však, že ak sa na vstup lineárneho deterministického systému privedie Gaussovský proces, výstupný proces sa ukáže ako Gaussovský, čo vyplýva zo známych vlastností normálneho rozdelenia, ktoré zostáva normálne pri akýchkoľvek lineárnych transformáciách. . Ak proces na vstupe nie je Gaussovský, tak pri prechode lineárnym systémom sa jeho rozdelenie pravdepodobnosti niekedy dosť výrazne mení.
Zaznamenali sme všeobecnú vlastnosť, ktorá je vlastná lineárnym systémom. Ak je šírka pásma FC obsadená vstupným signálom X(t) oveľa širšia ako šírka pásma daného lineárneho systému, potom má distribúcia výstupného procesu tendenciu približovať sa k normálu. To možno zhruba vysvetliť na základe (3.8). Úzka šírka pásma znamená, že trvanie impulznej odozvy g(t, τ) ako funkcie τ je veľké v porovnaní so vstupným procesným korelačným intervalom X(t). Preto je prierez výstupného procesu Y(t) v každom okamihu t určený integrálom (3.8), ktorého integrand s dostatočne veľkou váhou obsahuje mnoho nekorelovaných prierezov procesu X(t). Rozdelenie pravdepodobnosti takéhoto integrálu by podľa centrálnej limitnej vety malo byť blízke normálu, čím bližšie, tým väčší je pomer šírky spektra vstupného signálu k šírke pásma obvodu. V extrémnom prípade, ak je vstup obvodu ovplyvnený bielym šumom, ktorého šírka spektra je nekonečná a obvod má obmedzenú šírku pásma, potom bude výstupný proces striktne gaussovský.
Prechod úzkopásmových náhodných signálov cez lineárne pásové obvody. Ako je uvedené v § 2.4, je vhodné reprezentovať relatívne úzkopásmové procesy (t. j. také, v ktorých je šírka spektra oveľa užšia ako priemerná frekvencia) v kvázi harmonickej forme (2.68). Ak je daná priemerná frekvencia ω 0, potom je takýto úzkopásmový signál úplne určený jeho komplexnou obálkou A(t) (2,70) alebo jeho reálnou a imaginárnou časťou (kvadratúrnou zložkou) A C (t) a A S (t), čo sú nízkofrekvenčné procesy, to znamená, že ich spektrá zaberajú oblasť frekvencií nižších ako je spektrum samotného signálu. Takáto reprezentácia je v mnohých prípadoch v štádiách syntézy a analýzy systémov prenosu signálu (správ) veľmi užitočná. Takže na reprezentáciu (2.72) na intervale T Kotelnikovovým radom sú potrebné vzorky 2T(f 0 + F), ale na reprezentáciu na rovnakom intervale T dve nezávislé nízkofrekvenčné reálne funkcie AC (t) a AS (t ) (alebo jeden komplexná funkcia A(t)), 4FT vzorky sú dostatočné, t.j. približne f0/2F krát menej.
Upozorňujeme tiež, že v prípade potreby simulovať úzkopásmové signály a komunikačný systém s takýmito signálmi počítač alebo ak je potrebné realizovať rôzne transformácie takýchto signálov na báze modernej mikroelektronickej základne, vznikajú ťažkosti, najčastejšie prakticky neprekonateľné, spôsobené obmedzenou rýchlosťou týchto strojov alebo zodpovedajúcich mikroobvodov. Prirodzene, v týchto prípadoch je oveľa jednoduchšie pracovať s ekvivalentmi nízkofrekvenčných signálov, ktoré sú zložkami obálky.
Výraz pre nízkofrekvenčný ekvivalent Ȧ x (t) úzkopásmového signálu (2.72), určený z (2.70, a):
A X (t) \u003d X (t) exp [-iω 0 t]
má podľa (2.32) Fourierovo spektrum
S Ȧ X (iω) = Sx.
Obrázok 3.1 znázorňuje spektrálne vzťahy pre skutočný úzkopásmový signál X * (t) (obr. 3.1, a), analytický signál X (t) (obr. 3.1.6) a jeho nízkofrekvenčný ekvivalent А̇ X (t ) (obr. 3.1, c).
* (Je užitočné pripomenúť, že spektrum S X (iω) reálneho signálu X(t) je symetrické okolo pôvodu, S * X (-iω) = S X (iω) (t.j. amplitúdové spektrum je párnou funkciou frekvencie a fázové spektrum je nepárne, alebo reálna časť S X (iω) je párnou funkciou frekvencie a imaginárna časť je nepárna.)
Hlavná časť skutočných spojitých komunikačných kanálov je lineárna a úzkopásmová, takže signály na ich výstupe možno považovať za odpoveď na úzkopásmový signál Х(t) pásmovej priepuste s prenosovou funkciou k(iωt ), ktorého modul má charakter obr. 3.1a. Výhody reprezentácie signálov pomocou nízkofrekvenčného ekvivalentu (komplexná obálka) vyplývajú zo skutočnosti, že pásmová filtrácia úzkopásmového signálu môže byť interpretovaná ako filtrovanie komplexných nízkofrekvenčných signálov pomocou zložitých dolnopásmových filtrov.
Uvažujme prechod úzkopásmového signálu X(t) cez úzkopásmový kanál (pásmový filter) s konštantnými parametrami a prenosovou funkciou k(iω) (obr. 3.2, a).
Úzkopásmový vstup (2,72)
Vzhľadom na predchádzajúcu poznámku pod čiarou je ľahké ukázať, že spektrum obálky konjugovaného komplexu A * X (t) = AC (t) - iA S (t) sa rovná S * Ȧ X (-iω), kde (iω ) je Fourierovo spektrum A X ( t). Keďže násobenie časovej funkcie e ±itω 0 zodpovedá posunu spektra pozdĺž frekvenčnej osi o ±ω 0 , potom pre Fourierovo spektrum funkcie X(t) definované vzťahom (3.10) môžeme napísať
Podobne, za predpokladu, že priemerná frekvencia vstupného signálu ω 0 sa zhoduje s frekvenciou stredovej priepuste filtra, môžeme reprezentovať prenosovú funkciu pásmového filtra (Fourierova transformácia impulznej odozvy filtra g(t) *
kde Γ je Fourierovo spektrum komplexného (analytického) signálu ġ(t) = g(t) +ig̃(t) = γ̇(t)e itω 0 vytvoreného z g(t). Hodnota Γ(iω) je spektrálna charakteristika komplexnej obálky γ̇(t) impulznej odozvy filtra g(t), t.j. nízkofrekvenčný ekvivalent úzkopásmového kanála.
* (Všimnite si, že funkcie Γ a Γ*[-i(ω+ω 0)], ktoré sú modulovo symetrické vzhľadom na os y pre pásmový filter, sa neprekrývajú, pretože prvá leží takmer celá v oblasti kladné frekvencie a druhá je záporná. Podobné tvrdenie platí pre funkcie S Ā a S* Ȧ [-i(ω+ω 0)] úzkopásmový signál.)
Teraz nájdime Fourierovo spektrum signálu na výstupe kanála y(t). Na jednej strane, keďže tento signál je úzkopásmový s priemernou frekvenciou spektra ω 0, môžeme písať podobne ako (3.11)
kde S Ȧ y je Fourierovo spektrum komplexného (analytického) signálu ẏ(t) = y(t) + iȳ(t) = Ȧ y e itω 0 , zatiaľ čo S Ȧ y (iω) je spektrum komplexnej obálky Ay (t) výstupného signálu . Na druhej strane pre lineárny systém s konštantnými parametrami spektrálne charakteristiky signály na vstupe a výstupe sú vo vzťahu
S y (i ω) - Sx (iω) k(iω). (3,14)
Dosadením vzťahov (3.11) a (3.12) do (3.14) a zohľadnením poznámky pod čiarou na strane 78 dostaneme
Od (3.13) a (3.15)
V dôsledku toho sa komplexná obálka signálu na výstupe úzkopásmového kanála Ay(t) získa ako konvolúcia komplexnej obálky vstupného signálu Ax(t) a komplexnej obálky impulznej odozvy filter γ̇(t)
Ak je filter neskresľujúci, t.j. Γ(iω) = γe -it 0 ω alebo ġ(t) = γδ(t-t 0), potom pomocou filtračnej vlastnosti b-funkcie z (3.17) dostaneme
Komplexné obálky píšeme z hľadiska súfázového a kvadratúrneho komponentu:
a X (t) = A X, C (t) + iA X, S (t);
ẏ(t) = yC (t) + iyS (t);
Ȧ y (t) = A Y,C (t) + iA Y,S (t), (3,18)
Potom od (3.17)
V určitom regióne má vzťah (3.19) tvar:
Takže, pásmová filtrácia s prenosovou funkciou k(iω) úzkopásmového
proces x(t) je ekvivalentný dolnopriepustnej filtrácii s prenosovou funkciou Γ(iω) komplexného nízkofrekvenčného procesu Ȧ x (t) (pozri obr. 3.2).
Procesy A X, C a A X, S možno získať z x(t) v zariadení, funkčný diagram ktorý je znázornený na obr. 3.3a. Skutočne, vynásobením x(t) číslom 2cos ω 0 t dostaneme
[ A X,C (t) cos ω 0 t + A X,S (t) sin ω 0 t] 2 cos ω 0 t = A X,C (t) + A X,C (t) cos 2 ω 0 t + A X, S (t) sin 2ω 0 t, (3,21)
a LPF prejde len prvým nízkofrekvenčným, ďalšie dva členy sú vysokofrekvenčné a budú oneskorené filtrom. Podobne sa v druhej vetve rozlišuje kvadratúrna zložka A X,S (t).
Teraz zvážte, ako môžete implementovať komplexné dolnopriepustné filtrovanie (3.19) alebo (3.20) pomocou troch skutočných dolnopriepustných filtrov (pre takýto filter je odozva na reálny signál reálna alebo funkcia prenosu spĺňa podmienku poznámky pod čiarou na strane 77 ), pracujúce s kvadratúrnymi komponentmi. To sa vykonáva podľa (3.19) alebo (3.20) dvojkanálovým filtrovaním skutočných nízkofrekvenčných fázových a kvadratúrnych zložiek (obr. 3.3.6).
Prechod náhodných signálov cez nelineárne obvody. Obmedzíme sa na uvažovanie iba inerciálnych nelineárnych systémov s pravidelnými parametrami, v ktorých sú vstup a výstup spojené nejakou nelineárnou závislosťou, ktorá sa nazýva charakteristika systému:
y(t) = φ, (3,22)
Relácia (3.22) môže celkom presne charakterizovať fungovanie množstva spojení reálnych komunikačných kanálov, napríklad tých, ktoré sú zahrnuté v demodulátoroch, obmedzovačoch, modulátoroch atď. Transformácia x(t) → y(t) spravidla je jednoznačná, o čom sa nie vždy dá povedať inverzná transformácia y(t)→x(t) (napríklad kvadratický obvod s charakteristikou y = kx 2). Vzhľadom na neaplikovateľnosť superpozície na nelineárne systémy nemožno zvažovanie komplexného efektu (napríklad súčtu deterministických a náhodných členov) zredukovať na uvažovanie prechodu každej zo zložiek samostatne.
Pri nelineárnych transformáciách dochádza k transformácii (zmene) spektra vstupnej akcie. Ak je teda vstup nelineárneho systému ovplyvnený zmesou bežného signálu a aditívneho šumu X(t) = u(t) + N(t) v úzkom frekvenčnom pásme F c, zoskupené okolo priemernej frekvencie f 0 , potom vo všeobecnom prípade bude výstup obsahovať zložky kombinačných frekvencií troch typov, zoskupených okolo frekvencií nf 0 (n = 0, 1,...), produkty úderov zložiek vstupného signálu medzi sebou (s×s), súčin úderov zložiek vstupného šumu (š × š); produkty tlmenia signálu a šumu (s×w). Zvyčajne ich nie je možné oddeliť na výstupe zo systému.
Ak sú známe charakteristiky y \u003d φ (x) nelineárneho systému a dvojrozmerná distribučná funkcia vstupnej akcie w (x 1, x 2, t 1, t 2), potom hlavné štatistické charakteristiky výstupu proces sa v zásade dá určiť vždy. Takže matematické očakávanie odpovede
a jeho korelačnej funkcie
Inverznú Fourierovu transformáciu možno použiť aj na nájdenie energetického spektra pomocou (3.24).
Použitie pravidiel na hľadanie distribučných zákonov pre funkcie z náhodné premenné(náhodné procesy), je možné v princípe nájsť rozdelenie výstupného procesu ľubovoľného rádu, ak je známe rozloženie vstupného procesu. Stanovenie pravdepodobnostných charakteristík odozvy nelineárnych systémov (obvodov) aj na stacionárne vstupné akcie sa však ukazuje ako veľmi ťažkopádne a náročné, napriek tomu, že na riešenie tohto problému bolo vyvinutých množstvo špeciálnych techník. V mnohých prípadoch, najmä pri úzkopásmových signáloch, sú tieto výpočty značne zjednodušené pri použití kvázi harmonického znázornenia procesu.
Ako príklad uvažujme prechod súčtu harmonického signálu s(t) = U 0 cos ω 0 t a stacionárneho kvázi bieleho úzkopásmového šumu n(t) = Х cn (t) × X cez kvadratický detektor. cos ω 0 t + X sn sin ω 0 t , kde X cn (t), X sn (t) sú nekorelované kvadratúrne Gaussove šumové zložky, pre ktoré m X cn = m X sn = 0, B X cn (τ) = B X sn (τ) = B(τ ), a energetické spektrum je rovnomerné a obmedzené frekvenčným pásmom F n
Neexistuje žiadny všeobecný postup na určenie distribučného zákona odozvy lineárnej FU na ľubovoľnú náhodnú akciu. Je to však možné korelačná analýza t.j. výpočet korelačnej funkcie reakcie podľa danej korelačnej funkcie nárazu, ktorý sa pohodlne vykonáva spektrálnou metódou podľa schémy znázornenej na obr. 5.5.
Na výpočet energetického spektra G Y(f) reakcie lineárneho FU s prenosovou funkciou H(jω), používame jeho definíciu (4.1)
Korelačná funkcia B Y(t) definujeme Fourierovou transformáciou energetického spektra G Y(f)
.
Vráťme sa k definícii distribučného zákona odozvy lineárnej FU v niektorých konkrétnych prípadoch:
1. Lineárna transformácia normálny SP tiež generuje normálny proces. Zmeniť sa môžu len parametre jeho distribúcie.
2. Súčet normálnych spoločných podnikov (reakcia sčítača) je tiež normálny proces.
3. Keď SP s ľubovoľným rozdelením prechádza cez úzkopásmový filter (t.j. so šírkou pásma filtra D F výrazne menšia šírka spektra nárazovej energie D f X) dochádza k javu normalizácie rozloženia reakcie Y(t). Spočíva v tom, že distribučný zákon reakcie sa blíži k normálu. Stupeň tejto aproximácie je tým väčší, čím je nerovnosť D silnejšia F<< Df X(obr. 5.6).
Dá sa to vysvetliť nasledovne. V dôsledku prechodu LB cez úzkopásmový filter dochádza k výraznému zníženiu šírky jeho energetického spektra (s D f X k D F) a teda zvýšenie korelačného času (c t X na t Y). V dôsledku toho medzi nekorelovanými hodnotami odozvy filtra Y(k t Y) sa nachádza približne D f X / D F nekorelované hodnoty expozície X(l t X), z ktorých každá prispieva k vytvoreniu jedinej vzorky odozvy s hmotnosťou určenou typom impulznej odozvy filtra.
Teda v nekorelovaných úsekoch Y(k t Y) dochádza k súčtu veľkého počtu aj nekorelovaných náhodných premenných X(l t X) s obmedzenými matematickými očakávaniami a rozptylmi, čo v súlade s centrálnou limitnou vetou (A.M. Lyapunov) zabezpečuje, že rozdelenie ich súčtu sa pri náraste počtu členov približuje k normálu.
5.3. Úzkopásmové náhodné procesy
spoločný podnik X(t) s relatívne úzkym energetickým spektrom (D f X << fc) ako aj úzkopásmové deterministické signály je vhodné reprezentovať v kvázi harmonickej forme (pozri časť 2.5)
kde je obálka A(t), fáza Y( t) a počiatočná fáza j( t) sú náhodné procesy a ω c je frekvencia zvolená ľubovoľne (zvyčajne ako priemerná frekvencia jeho spektra).
Na definovanie obálky A(t) a fáza Y( t) je účelné využiť analytický spoločný podnik
, (5.4)
Hlavné momentové funkcie analytického SP:
1. Matematické očakávanie
2. Rozptyľovanie
3. Korelačná funkcia
,
,
.
Analytický SP sa nazýva stacionárne ak
,
,
Uvažujme typický problém v komunikačnej technike prechodu normálneho SP cez pásmový filter (BP), amplitúdový (AD) a fázový (PD) detektor (obr. 5.7). Signál na výstupe PF sa stáva úzkopásmovým, čo znamená, že jeho obálka A(t) a počiatočná fáza j( t) budú pomaly meniť funkcie času v porovnaní s , kde je priemerná frekvencia priepustného pásma BPF. Podľa definície bude signál na výstupe IM úmerný obálke vstupného signálu A(t) a na výstupe PD jeho počiatočná fáza j( t). Na vyriešenie tohto problému teda stačí vypočítať rozloženie obálky A(t) a fáza Y( t) (rozdelenie počiatočnej fázy 
sa líši od distribúcie Y( t) len matematickým očakávaním ).
Formulácia problému
Vzhľadom na to:
1) X(t) = A(t)cosY( t) je úzkopásmový centrovaný stacionárny normálny SP (na výstupe PF),
2) 
.
Definuj:
1) w(A) je jednorozmerná hustota pravdepodobnosti obálky,
2) w(Y) je jednorozmerná hustota pravdepodobnosti fázy.
Na vyriešenie tohto problému uvádzame tri fázy:
1. Prechod na analytickú SP a určenie spoločnej hustoty pravdepodobnosti .
2. Výpočet hustoty spoločnej pravdepodobnosti na základe výpočtu v prvej fáze a spojov A(t), Y( t) s (5.3) ÷ (5.6) .
3. Definícia jednorozmerných hustôt pravdepodobnosti w(A) A w(Y) vypočítanou hustotou spoločnej pravdepodobnosti .
Riešenie
1. fáza. Nájdite jednorozmernú hustotu pravdepodobnosti procesu. Na základe linearity Hilbertovej transformácie 
skonštatujeme, že je to normálny SP. Ďalej, vzhľadom na to 
, dostaneme 
a následne
Teda máme
.
Dokážme nesúvislosť 
v zhodných časoch, t.j.
.
Po dosadení , , , berúc do úvahy, že pri , dostaneme
Nekorelácia prierezov normálnych procesov implikuje ich nezávislosť, teda
.
2. fáza. Výpočet hustoty kĺbovej pravdepodobnosti
,
kde podľa (5.2), (5.5) a (5.6)
.
Preto, berúc do úvahy (5.3), máme
. (5.7)
3. fáza. Definícia jednorozmerných hustôt pravdepodobnosti
Konečne
, (5.8)
. (5.9)
Výraz (5.8) je známy ako Rayleighova distribúcia, jeho graf je znázornený na obr. 5.8. Na obr. 5.9 ukazuje graf rovnomerného rozdelenia fázy (5.9).
Výraz (5.7) môže byť vyjadrený ako súčin (5.8) a (5.9)
čo znamená nezávislosť obálky A(t) a fázu w(Y) normálne SP.
Uvažujme o zložitejšom probléme prechodu aditívnej zmesi vyššie uvažovaného normálneho SP s harmonickým signálom cez AD a PD. Vyhlásenie problému zostáva rovnaké okrem pôvodného procesu Y(t), ktorý má formu
Kde X(t) je centrovaný normálny SP.
Pretože
.
Poďme si zapísať Y(t) v kvázi harmonickej forme
a vyriešime problém určenia hustoty pravdepodobnosti w(A) A w j) podľa vyššie uvedeného plánu.
Predbežne zapíšte X(t) v kvázi harmonickej forme a prostredníctvom svojich kvadratúrnych zložiek
, (5.10)
(5.11)
Aby sme to našli, obrátime sa na analytický spoločný podnik
.
Z jeho vyjadrenia je zrejmé, že ide o lineárne transformácie centrovaného normálneho SP X(t):
a preto majú normálne rozdelenie s rozptylmi
.
Dokážme ich nesúvislosť (a teda nezávislosť) v zhodných časoch
.
Tu sa berie do úvahy, že B(t) a θ( t) – obálka a fáza normálneho SP sú, ako je uvedené vyššie, nezávislé.
teda
a pri zohľadnení (5.10) a (5.11) dostaneme
. (5.12)
Keďže výraz (5.12) nemožno reprezentovať ako súčin jednorozmerných funkcií, môžeme konštatovať, že procesy sú závislé.
Aby sme našli distribúciu obálkovej sumy centrovaného normálneho SP s harmonickým signálom, integrujeme (5.12) cez všetky možné hodnoty náhodnej fázy j( t)
.
Integrál formulára
známa v matematike ako modifikovaná Besselova funkcia nultého rádu. Keď to vezmeme do úvahy, konečne máme
. (5.13)
Zavolá sa výraz (5.13). zovšeobecnená Rayleighova distribúcia alebo Distribúcia ryže. Grafy tohto výrazu sú znázornené na obr. 5.10 pre tieto špeciálne prípady:
1) U = 0 
je obvyklá Rayleighova distribúcia,
2) 
- prípad neprítomnosti Y(t) SP X(t),
3) 
je zovšeobecnené Rayleighovo (ryžové) rozdelenie.
Z grafov je vidieť, že čím väčší je pomer signálu k šumu, tým viac doprava je posunuté maximum hustoty pravdepodobnosti a tým je krivka symetrickejšia (bližšia k normálnemu rozdeleniu).
závery
1. Ak sú okamžité hodnoty centrovaného SP X(t) majú normálne rozdelenie, potom jeho obal A(t) distribuované podľa Rayleighovho zákona
,
a fáza Y( t) rovnomerne
2. Distribúcia obalu aditívnej zmesi centrovaného normálneho SP a harmonického signálu sa riadi zovšeobecneným Rayleighovým rozložením (je to tiež Riceovo rozdelenie)
.
Kontrolné otázky
1. Formulujte problém analýzy prechodu SP cez daný funkčný uzol.
2. Ako sa vypočíta hustota pravdepodobnosti w(r) reakcia bezzotrvačného reťazca podľa známej hustoty pravdepodobnosti w(X) vplyv?
3. Ako vypočítať matematické očakávanie reakcie bezzotrvačnej reťaze na náhodný náraz X(t)?
4. Ako vypočítať rozptyl reakcie bezzotrvačnej reťaze na náhodný náraz X(t)?
5. Ako vypočítať korelačnú funkciu odozvy bezzotrvačnej reťaze na náhodný náraz X(t)?
6. Ako sa vypočíta hustota pravdepodobnosti spoja w(pri 1 , pri 2; t) dva spoločné podniky Y 1 (t) A Y 2 (t) spojené známymi funkčnými závislosťami 
A 
s ďalšími dvoma spoločnými podnikmi X 1 (t) A X 2 (t)?
7. Ako sa zmení rozdelenie normálneho SP, keď prechádza lineárnym obvodom?
8. Ako sa zmení ľubovoľné rozdelenie SP pri prechode cez úzkopásmový filter?
9. Čo je podstatou javu normalizácie širokopásmového procesu pri jeho prechode cez úzkopásmový filter? Uveďte matematické zdôvodnenie tohto javu.
10. Popíšte postup korelačnej analýzy prechodu SP lineárnym obvodom.
11. Definujte obálku a fázu SP.
12. Definujte analytický spoločný podnik, jeho matematické očakávania, rozptyl a korelačné funkcie.
13. Aké podmienky spĺňa stacionárny analytický SP?
14. Aké je rozdelenie obálky centrovaného normálneho SP?
15. Aké je rozdelenie fázy centrovaného normálneho SP?
16. Aké je rozdelenie súčtu obálky centrovaného normálneho SP a harmonického signálu?
17. Napíšte analytický výraz pre Rayleighov zákon. Ktorú distribúciu SP charakterizuje?
18. Napíšte analytický výraz pre zovšeobecnený Rayleighov zákon (Riceov zákon). Ktorú distribúciu SP charakterizuje?
Uvažujme lineárny inerciálny systém so známou prenosovou funkciou alebo impulznou odozvou. Vstupom takéhoto systému nech je stacionárny náhodný proces s danými charakteristikami: hustota pravdepodobnosti, korelačná funkcia alebo energetické spektrum. Stanovme charakteristiky procesu na výstupe systému: a
Najjednoduchším spôsobom je nájsť energetické spektrum procesu na výstupe systému. Jednotlivé implementácie vstupného procesu sú totiž deterministické funkcie a je na ne aplikovateľný Fourierov aparát. Nechaj
skrátenú implementáciu trvania T náhodného procesu na vstupe a
jeho spektrálnej hustoty. Spektrálna hustota implementácie na výstupe lineárneho systému bude rovná
Energetické spektrum výstupného procesu podľa (1.3) bude určené výrazom
tie. sa bude rovnať energetickému spektru procesu na vstupe vynásobenému druhou mocninou amplitúdovo-frekvenčnej charakteristiky systému a nebude závisieť od fázovo-frekvenčnej charakteristiky.
Korelačnú funkciu procesu na výstupe lineárneho systému možno definovať ako Fourierovu transformáciu energetického spektra:
V dôsledku toho, keď náhodný stacionárny proces pôsobí na lineárny systém, výstup sa tiež ukáže ako stacionárny náhodný proces s energetickým spektrom a korelačnou funkciou definovanou výrazmi (2.3) a (2.4). Výkon procesu na výstupe systému sa bude rovnať
Ako prvý príklad zvážte prechod bieleho šumu so spektrálnou hustotou cez ideálny dolnopriepustný filter, pre ktorý
Podľa (2.3) bude mať výstupné energetické spektrum procesu rovnomernú spektrálnu hustotu vo frekvenčnom pásme a korelačná funkcia bude určená výrazom
Výkon náhodného procesu na výstupe ideálneho dolnopriepustného filtra sa bude rovnať
Ako druhý príklad uvažujme prechod bieleho šumu cez ideálny pásmový filter, ktorého amplitúdovo-frekvenčná odozva pre kladné frekvencie (obr. 1.6) je daná vzťahom:
Korelačnú funkciu definujeme pomocou kosínusovej Fourierovej transformácie:
Graf korelačnej funkcie je znázornený na obr. 1.7
Uvažované príklady sú orientačné z toho hľadiska, že potvrdzujú vzťah ustanovený v § 3.3 medzi korelačnými funkciami nízkofrekvenčných a úzkopásmových vysokofrekvenčných procesov s rovnakým tvarom energetického spektra. Procesný výkon na výstupe ideálneho pásmového filtra bude rovný
Zákon rozdelenia pravdepodobnosti náhodného procesu na výstupe lineárnej inerciálnej sústavy sa líši od zákona rozdelenia na vstupe a jeho určenie je veľmi náročná úloha, s výnimkou dvoch špeciálnych prípadov, ktorým sa tu budeme venovať.
Ak náhodný proces pôsobí na úzkopásmový lineárny systém, ktorého šírka pásma je oveľa menšia ako jeho spektrálna šírka, potom sa jav vyskytuje na výstupe systému normalizácie distribučný zákon. Tento jav spočíva v tom, že distribučný zákon na výstupe úzkopásmového systému má tendenciu k normálnemu, bez ohľadu na to, aké rozdelenie má širokopásmový náhodný proces na vstupe. Fyzicky sa to dá vysvetliť nasledovne.
Proces na výstupe inerciálneho systému v určitom časovom bode je superpozíciou jednotlivých reakcií systému na chaotické účinky vstupného procesu v rôznych časových bodoch. Čím užšia je šírka pásma systému a čím širšie je spektrum vstupného procesu, tým väčší počet elementárnych odpovedí tvorí výstupný proces. Podľa centrálnej limitnej vety teórie pravdepodobnosti bude distribučný zákon procesu, ktorý je súčtom veľkého počtu elementárnych odpovedí, inklinovať k normálu.
Z vyššie uvedenej úvahy vyplýva druhý konkrétny, no veľmi dôležitý prípad. Ak má proces na vstupe lineárneho systému normálne (Gaussovo) rozdelenie, potom zostáva normálny aj na výstupe systému. V tomto prípade sa mení len korelačná funkcia a energetické spektrum procesu.
Načítava...