kde sú nejaké čísla (niektoré alebo aj všetky sa môžu rovnať nule). To znamená, že medzi prvkami stĺpcov sú nasledujúce rovnosti:
Z (3.3.1) vyplýva, že
Ak je rovnosť (3.3.3) pravdivá vtedy a len vtedy, potom sa riadky nazývajú lineárne nezávislé. Vzťah (3.3.2) ukazuje, že ak je jeden z riadkov lineárne vyjadrený v podmienkach ostatných, potom sú riadky lineárne závislé.
Je tiež ľahké vidieť opak: ak sú riadky lineárne závislé, potom existuje riadok, ktorý je lineárnou kombináciou ostatných riadkov.
Nech je napríklad v (3.3.3) , potom 
.
Definícia. Nech je v matici A vybraný nejaký moll r-tého rádu a nech minor v (r + 1)-tom ráde tej istej matice úplne obsahuje minor. Povieme, že v tomto prípade maloletý hraničí s maloletým (alebo hraničí s ).
Teraz dokážeme dôležitú lemu.
Lemma o hraniciach s maloletými. Ak je minorita rádu r matice A= nenulová a všetky minority, ktoré ju ohraničujú, sú rovné nule, potom každý riadok (stĺpec) matice A je lineárnou kombináciou jej riadkov (stĺpcov), ktoré tvoria .
Dôkaz. Bez toho, aby sme porušili všeobecnosť úvahy, budeme predpokladať, že nenulová moll r-tého rádu je v ľavom hornom rohu matice A = :
.
Pre prvých k riadkov matice A je tvrdenie lemy zrejmé: do lineárnej kombinácie stačí zahrnúť ten istý riadok s koeficientom rovným jednej a zvyšok s koeficientmi rovnými nule.
Teraz dokážeme, že zvyšné riadky matice A sú lineárne vyjadrené v podmienkach prvých k riadkov. Aby sme to dosiahli, zostrojíme vedľajšiu hodnotu (r + 1) rádu pridaním k-tého riadku () k vedľajšej a l-tý stĺpec():
.
Výsledná vedľajšia hodnota je nula pre všetky k a l. Ak , potom sa rovná nule, pretože obsahuje dva rovnaké stĺpce. Ak , potom je výsledná vedľajšia skupina hraničná vedľajšia skupina for, a preto sa podľa hypotézy lemy rovná nule.
Rozšírme maloletú z hľadiska prvkov tej druhej l-tý stĺpec:
Za predpokladu, že dostaneme:
 | (3.3.6) |
Výraz (3.3.6) znamená, že k-tý riadok matica A je lineárne vyjadrená cez prvých r riadkov.
Keďže hodnoty jej vedľajších hodnôt sa pri transponovaní matice nemenia (kvôli vlastnostiam determinantov), všetko dokázané platí aj pre stĺpce. Veta bola dokázaná.
Dôsledok I. Každý riadok (stĺpec) matice je lineárnou kombináciou jej základných riadkov (stĺpcov). V skutočnosti je základná minor matice odlišná od nuly a všetky minoritné skupiny, ktoré ju ohraničujú, sú rovné nule.
Dôsledok II. Determinant n-tého rádu sa rovná nule práve vtedy, ak obsahuje lineárne závislé riadky (stĺpce). Primeranosť lineárna závislosť riadkov (stĺpcov) pre determinant na nulu bola preukázaná skôr ako vlastnosť determinantov.
Dokážme nevyhnutnosť. Nech je daná štvorcová matica n-tého rádu, z ktorej jediná vedľajšia sa rovná nule. Z toho vyplýva, že poradie tejto matice je menšie ako n, t.j. existuje aspoň jeden riadok, ktorý je lineárnou kombináciou základných riadkov tejto matice.
Dokážme ešte jednu vetu o hodnosti matice.
Veta. Maximálny počet lineárne nezávislých riadkov matice sa rovná maximálnemu počtu jej lineárne nezávislých stĺpcov a rovná sa hodnote tejto matice.
Dôkaz. Nech sa hodnosť matice A= rovná r. Potom ktorýkoľvek z jeho k základných riadkov je lineárne nezávislý, inak by sa vedľajší základ rovnal nule. Na druhej strane, akékoľvek r+1 alebo viac riadkov sú lineárne závislé. Za predpokladu opaku by sme mohli nájsť nenulovú minoritnú hodnotu rádu väčšiu ako r v dôsledku 2 predchádzajúcej lemy. Tá je v rozpore s tým, že maximálne poradie nenulových maloletých je r. Všetko, čo sa dokázalo pre riadky, platí aj pre stĺpce.
Na záver uvádzame ešte jednu metódu na zistenie poradia matice. Poradie matice možno určiť nájdením minority maximálneho rádu, ktorá sa líši od nuly.
Na prvý pohľad to vyžaduje výpočet konečného, ale možno veľmi veľkého počtu neplnoletých osôb tejto matice.
Nasledujúca veta však umožňuje vykonať značné zjednodušenia.
Veta. Ak je vedľajšia hodnota matice A nenulová a všetky vedľajšie hodnoty, ktoré ju ohraničujú, sú rovné nule, potom je poradie matice r.
Dôkaz. Stačí ukázať, že akýkoľvek podsystém riadkov matice pre S>r bude za podmienok vety lineárne závislý (z toho bude vyplývať, že r je maximálny počet lineárne nezávislých riadkov matice alebo ktorýkoľvek z jej menších rádov väčší ako k sa rovnajú nule).
Predpokladajme opak. Nech sú riadky lineárne nezávislé. Lemou o hraničiacich maloletých bude každý z nich lineárne vyjadrený v riadkoch, v ktorých sa vedľajší nachádza a ktoré sú vzhľadom na to, že sa líši od nuly, lineárne nezávislé:
Teraz zvážte nasledujúcu lineárnu kombináciu:
alebo
Pomocou (3.3.7) a (3.3.8) získame
,
čo odporuje lineárnej nezávislosti strún.
V dôsledku toho je náš predpoklad nepravdivý, a preto všetky riadky S>r za podmienok vety sú lineárne závislé. Veta bola dokázaná.
Zvážte pravidlo na výpočet hodnosti matice - metódu ohraničenia maloletých na základe tejto vety.
Pri výpočte hodnosti matice by sa malo prejsť od neplnoletých nižších rádov k neplnoletým vyšších rádov. Ak už bol nájdený nenulový druh r-tého rádu, potom je potrebné vypočítať len (r+1)-teho rádu susediace s neplnoletým. Ak sú nulové, potom je poradie matice r. Táto metóda sa používa aj vtedy, ak nielen vypočítame poradie matice, ale aj určíme, ktoré stĺpce (riadky) tvoria základnú minoritu matice.
Príklad. Vypočítajte hodnosť matice metódou okrajovania maloletých
Riešenie. Vedľajšie miesto druhého rádu v ľavom hornom rohu matice A je nenulové:
.
Všetci maloletí tretieho rádu, ktorí ho obklopujú, sa však rovnajú nule:
 ;
|  ;
|
 ;
|  ;
|
 ;
|  .
|
Preto sa poradie matice A rovná dvom: .
Prvý a druhý riadok, prvý a druhý stĺpec v tejto matici sú základné. Zostávajúce riadky a stĺpce sú ich lineárne kombinácie. V skutočnosti platia pre reťazce nasledujúce rovnosti:
Na záver si všimneme platnosť nasledujúcich vlastností:
1) poradie súčinu matíc nie je väčšie ako poradie každého z faktorov;
2) poradie súčinu ľubovoľnej matice A vpravo alebo vľavo pri nesingulárnej štvorcovej matici Q sa rovná hodnote matice A.
Polynomické matice
Definícia. Polynómová matica alebo -matica je obdĺžniková matica, ktorej prvky sú polynómy v jednej premennej s číselnými koeficientmi.
Elementárne transformácie je možné vykonávať na -maticách. Tie obsahujú:
Permutácia dvoch riadkov (stĺpcov);
Násobenie riadku (stĺpca) nenulovým číslom;
Pridanie do jedného riadka (stĺpca) ďalšieho riadku (stĺpca), vynásobeného ľubovoľným polynómom.
Dve -matice a rovnakej veľkosti sa nazývajú ekvivalentné: ak je možné prejsť z matice na použitie konečného počtu elementárnych transformácií.
Príklad. Dokážte ekvivalenciu matíc
 ,
|  .
|
1. Vymeňte prvý a druhý stĺpec v matici:
.
2. Od druhého riadku odčítajte prvý vynásobený ():
.
3. Vynásobte druhý riadok (-1) a všimnite si to
.
4. Odčítajte od druhého stĺpca prvý, vynásobený , dostaneme
.
Množina všetkých -matíc daných veľkostí je rozdelená do nepretínajúcich sa tried ekvivalentných matíc. Matice, ktoré sú navzájom ekvivalentné, tvoria jednu triedu, nie ekvivalentnú - inú.
Každá trieda ekvivalentných matíc je charakterizovaná kanonickou alebo normálnou matricou daných rozmerov.
Definícia. Kanonická alebo normálna -matica dimenzií je -matica, ktorá má na hlavnej diagonále polynómy, kde p je menšie z čísel m an ( 
) a polynómy, ktoré sa nerovnajú nule, majú vodiace koeficienty rovné 1 a každý nasledujúci polynóm je deliteľný predchádzajúcim. Všetky prvky mimo hlavnej uhlopriečky sú 0.
Z definície vyplýva, že ak sú medzi polynómami polynómy nultého stupňa, tak sú na začiatku hlavnej diagonály. Ak sú tam nuly, potom sú na konci hlavnej uhlopriečky.
Matica z predchádzajúceho príkladu je kanonická. Matrix
aj kanonický.
Každá trieda -matrix obsahuje jedinečnú kanonickú -matrix, t.j. každá matica je ekvivalentná jednej kanonickej matici, ktorá sa nazýva kanonická forma alebo normálna forma túto matricu.
Polynómy na hlavnej diagonále kanonickej formy danej -matice sa nazývajú invariantné faktory danej matice.
Jednou z metód výpočtu invariantných faktorov je redukcia danej -matice na kanonickú formu.
Takže pre maticu z predchádzajúceho príkladu sú invariantné faktory
Z toho, čo bolo povedané, vyplýva, že prítomnosť rovnakého súboru invariantných faktorov je nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou pre ekvivalenciu -matíc.
Redukcia -matíc na kanonickú formu sa redukuje na definíciu invariantných faktorov
, ; ,
kde r je poradie matice; - najväčší spoločný deliteľ neplnoletých k-tých rád, braný s najvyšším koeficientom rovným 1.
Príklad. Nech -matrix
.
Riešenie. Je zrejmé, že najväčší spoločný deliteľ prvého rádu, t.j. .
Definujeme maloletých druhého poriadku:
 ,
|  | atď. |
Už tieto údaje stačia na vyvodenie záveru: preto .
Definujeme
,
teda 
.
Kanonická forma tejto matice je teda nasledujúca matica:
.
Maticový polynóm je vyjadrením tvaru
kde je premenná; - štvorcové matice rádu n s číselnými prvkami.
Ak , potom S sa nazýva stupeň maticového polynómu, n je rád maticového polynómu.
Akákoľvek kvadratická matica môže byť reprezentovaná ako maticový polynóm. Je zrejmé, že platí aj opačné tvrdenie, t.j. každý maticový polynóm môže byť reprezentovaný ako nejaká štvorcová matica.
Platnosť týchto tvrdení jednoznačne vyplýva z vlastností operácií s maticami. Pozrime sa na nasledujúce príklady:
Príklad. Predstavuje polynómovú maticu
vo forme maticového polynómu môže byť nasledujúci
.
Príklad. Maticový polynóm
môže byť reprezentovaná ako nasledujúca polynomická matica ( -matica)
.
Táto zameniteľnosť maticových polynómov a polynómových matíc hrá zásadnú úlohu v matematickom aparáte metód faktorovej a komponentnej analýzy.
Maticové polynómy rovnakého rádu možno sčítať, odčítať a násobiť rovnakým spôsobom ako bežné polynómy s číselnými koeficientmi. Malo by sa však pamätať na to, že násobenie maticových polynómov vo všeobecnosti nie je komutatívne, pretože násobenie matice nie je komutatívne.
Dva maticové polynómy sa nazývajú rovnaké, ak sú ich koeficienty rovnaké, t.j. zodpovedajúce matice pre rovnaké mocniny premennej .
Súčet (rozdiel) dvoch maticových polynómov je maticový polynóm, ktorého koeficient sa na každom stupni premennej rovná súčtu (rozdielu) koeficientov na rovnakom stupni v polynómoch a .
Ak chcete vynásobiť maticový polynóm maticovým polynómom, musíte vynásobiť každý člen maticového polynómu každým členom maticového polynómu, pridať výsledné produkty a priniesť podobné pojmy.
Stupeň maticového polynómu je súčin menší alebo rovný súčtu stupňov faktorov.
Operácie na maticových polynómoch možno vykonávať pomocou operácií na zodpovedajúcich -maticiach.
Na sčítanie (odčítanie) maticových polynómov stačí sčítať (odčítať) príslušné -matice. To isté platí pre násobenie. -matica súčinu maticových polynómov sa rovná súčinu -matíc faktorov.
 |  |
Na druhej strane a môže byť napísaný vo forme
kde B 0 je nesingulárna matica.
Pri delení existuje jednoznačne definovaný pravý kvocient a pravý zvyšok
kde stupeň R 1 je menší ako stupeň , alebo (delenie bez zvyšku), ako aj ľavý kvocient a ľavý zvyšok vtedy a len vtedy, ak, kde, poradie
Pojmy lineárna závislosť a lineárna nezávislosť sú pre riadky a stĺpce definované rovnakým spôsobom. Preto vlastnosti spojené s týmito pojmami, formulované pre stĺpce, sú samozrejme platné aj pre riadky.
1. Ak systém stĺpcov obsahuje nulový stĺpec, potom je lineárne závislý.
2. Ak má stĺpcový systém dva rovnaké stĺpce, potom je lineárne závislý.
3. Ak má stĺpcový systém dva proporcionálne stĺpce, potom je lineárne závislý.
4. Systém stĺpcov je lineárne závislý vtedy a len vtedy, ak aspoň jeden zo stĺpcov je lineárnou kombináciou ostatných.
5. Akékoľvek stĺpce zahrnuté v lineárne nezávislom systéme tvoria lineárne nezávislý podsystém.
6. Stĺpový systém obsahujúci lineárne závislý podsystém je lineárne závislý.
7. Ak je sústava stĺpcov lineárne nezávislá a po pridaní stĺpca sa ukáže, že je lineárne závislá, tak stĺpec možno rozložiť na stĺpce a navyše unikátnym spôsobom, t.j. expanzné koeficienty sa nachádzajú jedinečne.
Dokážme napríklad poslednú vlastnosť. Keďže systém stĺpcov je lineárne závislý, nie sú všetky čísla rovné 0, čo
v tejto rovnosti. Skutočne, ak, potom
Netriviálna lineárna kombinácia stĺpcov sa teda rovná nulovému stĺpcu, čo je v rozpore s lineárnou nezávislosťou systému. Preto a potom , t.j. stĺpec je lineárna kombinácia stĺpcov. Zostáva ukázať jedinečnosť takejto reprezentácie. Predpokladajme opak. Nech existujú dve expanzie a , A nie všetky koeficienty expanzie sa navzájom rovnajú (napríklad ). Potom od rovnosti
Získame (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o
postupne sa lineárna kombinácia stĺpcov rovná nulovému stĺpcu. Keďže nie všetky jeho koeficienty sú rovné nule (aspoň ), táto kombinácia je netriviálna, čo je v rozpore s podmienkou lineárnej nezávislosti stĺpcov . Výsledný rozpor potvrdzuje jedinečnosť rozkladu.
Príklad 3.2. Dokážte, že dva nenulové stĺpce a sú lineárne závislé práve vtedy, ak sú proporcionálne, t.j. .
Riešenie. V skutočnosti, ak sú stĺpce a sú lineárne závislé, potom existujú čísla , ktoré sa nerovnajú nule v rovnakom čase, takže . A v tejto rovnosti. V skutočnosti, za predpokladu, že dostaneme rozpor , pretože stĺpec je tiež nenulový. Znamená, . Preto existuje číslo také, že . Potreba bola preukázaná.
Naopak, ak , tak . Získali sme netriviálnu lineárnu kombináciu stĺpcov rovnajúcu sa nulovému stĺpcu. Takže stĺpce sú lineárne závislé.
Príklad 3.3. Zvážte všetky možné systémy vytvorené zo stĺpcov
Preskúmajte každý systém na lineárny vzťah.
Riešenie.
Zvážte päť systémov obsahujúcich každý jeden stĺpec. Podľa odseku 1 poznámok 3.1: systémy sú lineárne nezávislé a systém pozostávajúci z jedného nulového stĺpca je lineárne závislý.
Predstavte si systémy, ktoré obsahujú dva stĺpce:
– každý zo štyroch systémov a je lineárne závislý, pretože obsahuje nulový stĺpec (vlastnosť 1);
– systém je lineárne závislý, keďže stĺpce sú proporcionálne (vlastnosť 3): ;
- každý z piatich systémov a je lineárne nezávislý, pretože stĺpce sú neproporcionálne (pozri príklad 3.2).
Zvážte systémy obsahujúce tri stĺpce:
– každý zo šiestich systémov a je lineárne závislý, pretože obsahuje nulový stĺpec (vlastnosť 1);
– systémy sú lineárne závislé, pretože obsahujú lineárne závislý podsystém (vlastnosť 6);
sú systémy a sú lineárne závislé, keďže posledný stĺpec je lineárne vyjadrený z hľadiska zvyšku (vlastnosť 4): resp.
Napokon systémy so štyrmi alebo piatimi stĺpcami sú lineárne závislé (podľa vlastnosti 6).
Hodnosť matice
V tejto časti uvažujeme o ďalšej dôležitej číselnej charakteristike matice, ktorá súvisí s tým, do akej miery na sebe jej riadky (stĺpce) závisia.
Definícia 14.10 Nech existuje matica veľkostí a číslo nepresahujúce najmenšie z čísel a : 
. Vyberme si ľubovoľne riadky a stĺpce matice (čísla riadkov sa môžu líšiť od počtu stĺpcov). Determinant matice zloženej z prvkov v priesečníku vybraných riadkov a stĺpcov sa nazýva poradie matice minor.
Príklad 14.9 Nechaj 
.
Menší prvok prvého poriadku je akýkoľvek prvok matice. Takže 2, , sú maloletí prvého poriadku.
Maloletí druhého rádu:
1. vezmite riadky 1, 2, stĺpce 1, 2, dostaneme moll 
;
2. vezmite riadky 1, 3, stĺpce 2, 4, dostaneme vedľajšie 
;
3. vezmite riadky 2, 3, stĺpce 1, 4, dostaneme vedľajšie 
Maloletí tretieho rádu:
riadky tu možno vybrať iba jedným spôsobom,
1. vezmite stĺpce 1, 3, 4, získajte maloletú 
;
2. vziať stĺpce 1, 2, 3, získať maloletú 
.
Ponuka 14.23 Ak sú všetky minority matice poradia rovné nule, potom všetky minoritné skupiny, ak nejaké existujú, sú tiež rovné nule.
Dôkaz. Vezmite si svojvoľný menší poriadok. Toto je determinant matice objednávky. Rozšírime to o prvý riadok. Potom v každom člene expanzie bude jeden z faktorov menší než v poradí pôvodnej matice. Podľa predpokladu sa poradie maloletých rovná nule. Preto sa aj poradie menšie bude rovnať nule.
Definícia 14.11 Hodnosť matice je najväčšia z nenulových rád neplnoletých matice. Hodnosť nulovej matice sa považuje za nulovú.
Pre hodnosť matice neexistuje jednotný štandardný zápis. Po návode ho budeme označovať ako .
Príklad 14.10 Matica z príkladu 14.9 má poradie 3, pretože existuje nenulová vedľajšia skupina tretieho rádu, ale neexistujú žiadne vedľajšie skupiny štvrtého rádu.
Hodnosť matice 
sa rovná 1, pretože existuje nenulová vedľajšia skupina prvého rádu (prvok matice) a všetky minority druhého rádu sú rovné nule.
Poradie nedegenerovanej štvorcovej matice rádu sa rovná , pretože jej determinant je vedľajším poradím a nedegenerovaná matica je nenulová.
Ponuka 14.24 Pri transponovaní matice sa jej poradie nemení, tj. 
.
Dôkaz. Transponovaná minorita pôvodnej matice bude minoritou transponovanej matice a naopak, každá minorita je transponovanou minoritou pôvodnej matice. Pri transponovaní sa determinant (vedľajší) nemení (Tvrdenie 14.6). Preto, ak sú všetky minoritné skupiny v pôvodnej matici rovné nule, potom všetky minoritné skupiny rovnakého poradia sú tiež rovné nule. Ak je vedľajšia matica v pôvodnej matici nenulová, potom existuje nenulová vedľajšia položka rovnakého rádu. teda .
Definícia 14.12 Hodnosť matice nech je . Potom sa každý nenulový menší rád nazýva základný menší.
Príklad 14.11 Nechaj 
. Determinant matice je nula, pretože tretí riadok sa rovná súčtu prvých dvoch. Menší druh druhého rádu, ktorý sa nachádza v prvých dvoch riadkoch a prvých dvoch stĺpcoch, je 
. Hodnosť matice sa preto rovná dvom a uvažovaná minorita je základná.
Základná malá je tiež malá, ktorá sa nachádza povedzme v prvom a treťom riadku, prvom a treťom stĺpci: 
. Základom bude maloletý v druhom a treťom riadku, prvom a treťom stĺpci: 
.
Vedľajší v prvom a druhom riadku, druhom a treťom stĺpci sa rovná nule, a preto nebude základný. Čitateľ si môže samostatne skontrolovať, ktorí ďalší neplnoletí druhého poriadku sú základní a ktorí nie.
Keďže stĺpce (riadky) matice možno sčítať, násobiť číslami, vytvárať lineárne kombinácie, je možné zaviesť definície lineárnej závislosti a lineárnej nezávislosti systému stĺpcov (riadkov) matice. Tieto definície sú podobné tým istým definíciám 10.14, 10.15 pre vektory.
Definícia 14.13 Systém stĺpcov (riadkov) sa nazýva lineárne závislý, ak existuje taká množina koeficientov, z ktorých aspoň jeden je nenulový, že lineárna kombinácia stĺpcov (riadkov) s týmito koeficientmi sa bude rovnať nule.
Definícia 14.14 Systém stĺpcov (riadkov) je lineárne nezávislý, ak z rovnosti k nule lineárnej kombinácie týchto stĺpcov (riadkov) vyplýva, že všetky koeficienty tejto lineárnej kombinácie sú rovné nule.
Nasledujúce tvrdenie, podobné tvrdeniu 10.6, je tiež pravdivé.
Ponuka 14.25 Systém stĺpcov (riadkov) je lineárne závislý vtedy a len vtedy, ak jeden zo stĺpcov (jeden z riadkov) je lineárnou kombináciou iných stĺpcov (riadkov) tohto systému.
Formulujeme vetu tzv základná vedľajšia veta.
Veta 14.2 Ktorýkoľvek stĺpec matice je lineárna kombinácia stĺpcov prechádzajúcich cez základnú minor.
Dôkaz možno nájsť v učebniciach lineárnej algebry, napríklad v,.
Ponuka 14.26 Poradie matice sa rovná maximálnemu počtu jej stĺpcov, ktoré tvoria lineárne nezávislý systém.
Dôkaz. Hodnosť matice nech je . Zoberme si kolóny prechádzajúce základom moll. Predpokladajme, že tieto stĺpce tvoria lineárne závislý systém. Potom je jeden zo stĺpcov lineárnou kombináciou ostatných. Preto v základi minor bude jeden stĺpec lineárnou kombináciou ostatných stĺpcov. Podľa tvrdení 14.15 a 14.18 sa táto základná moll musí rovnať nule, čo je v rozpore s definíciou základnej moll. Preto nie je pravdivý predpoklad, že stĺpce prechádzajúce základňou minor sú lineárne závislé. Maximálny počet stĺpcov tvoriacich lineárne nezávislý systém je teda väčší alebo rovný .
Predpokladajme, že stĺpce tvoria lineárne nezávislý systém. Urobme si z nich matricu. Všetci neplnoletí sú neplnoletí. Preto minor minor matice má poradie najviac . Podľa teorému základnej minor je stĺpec, ktorý neprechádza cez minoritnú bázu matice, lineárnou kombináciou stĺpcov, ktoré prechádzajú cez minoritnú bázu, to znamená, že stĺpce matice tvoria lineárne závislý systém. To je v rozpore s výberom stĺpcov, ktoré tvoria maticu. Preto maximálny počet stĺpcov tvoriacich lineárne nezávislý systém nemôže byť väčší ako . Preto sa rovná , ako je uvedené.
Ponuka 14.27 Poradie matice sa rovná maximálnemu počtu jej riadkov, ktoré tvoria lineárne nezávislý systém.
Dôkaz. Podľa výroku 14.24 sa poradie matice pri transpozícii nemení. Riadky matice sa stávajú jej stĺpcami. Maximálny počet nových stĺpcov transponovanej matice (bývalých riadkov pôvodnej) tvoriacich lineárne nezávislý systém sa rovná hodnote matice.
Ponuka 14.28 Ak je determinant matice rovný nule, potom jeden z jej stĺpcov (jeden z riadkov) je lineárnou kombináciou zostávajúcich stĺpcov (riadkov).
Dôkaz. Nech je poradie matice . Determinant je jediným vedľajším prvkom štvorcovej matice, ktorá má poriadok. Keďže sa rovná nule, potom . Preto je systém stĺpcov (riadkov) lineárne závislý, to znamená, že jeden zo stĺpcov (jeden z riadkov) je lineárnou kombináciou ostatných.
Výsledky výrokov 14.15, 14.18 a 14.28 dávajú nasledujúcu vetu.
Veta 14.3 Determinant matice je nula vtedy a len vtedy, ak jeden z jej stĺpcov (jeden z riadkov) je lineárnou kombináciou ostatných stĺpcov (riadkov).
Nájdenie hodnosti matice vypočítaním všetkých jej podradných položiek vyžaduje príliš veľa výpočtovej práce. (Čitateľ si môže overiť, že v štvorcovej matici štvrtého rádu je 36 maloletých osôb druhého rádu.) Preto sa na nájdenie poradia používa iný algoritmus. Na jej popis sú potrebné ďalšie informácie.
Definícia 14.15 Nasledujúce operácie na nich nazývame elementárne transformácie matíc:
1) permutácia riadkov alebo stĺpcov;
2) vynásobenie riadku alebo stĺpca nenulovým číslom;
3) pridanie do jedného z riadkov ďalšieho riadka vynásobeného číslom alebo pridanie do jedného zo stĺpcov iného stĺpca vynásobeného číslom.
Ponuka 14.29 Pri elementárnych transformáciách sa poradie matice nemení.
Dôkaz. Nech sa hodnosť matice rovná , -- matici vyplývajúcej z elementárnej transformácie.
Zvážte permutáciu reťazcov. Dovoliť byť minor of the matrix , potom matica má minor , ktorý sa s ním buď zhoduje, alebo sa od neho líši permutáciou riadkov. A naopak, akákoľvek matica minor môže byť spojená s maticou minor, ktorá sa s ňou zhoduje alebo sa od nej líši v poradí riadkov. Preto z toho, že v matici sú všetci maloletí radu rovní nule, vyplýva, že v matici sa rovnajú nule aj všetci neplnoletí tohto radu. A keďže matica má nenulový rád, matica má aj nenulový rád, t.j.
Zvážte vynásobenie reťazca nenulovým číslom. Vedľajšej z matice zodpovedá vedľajšia z matice, ktorá sa s ňou buď zhoduje, alebo sa od nej líši len o jeden riadok, ktorý sa získa z vedľajšieho riadku vynásobením nenulovým číslom. V poslednom prípade. Vo všetkých prípadoch alebo a sú súčasne rovné nule alebo súčasne odlišné od nuly. Preto, .
Lineárna nezávislosť riadkov matice
Daná veľkostná matica 
Riadky matice označujeme takto:
Dva riadky sú tzv rovný ak sú ich zodpovedajúce prvky rovnaké. .
Zavedieme operácie násobenia reťazca číslom a sčítania reťazcov ako operácie vykonávané prvok po prvku:
Definícia. Riadok sa nazýva lineárna kombinácia riadkov matice, ak sa rovná súčtu súčinov týchto riadkov ľubovoľnými reálnymi číslami (akýmikoľvek číslami):
Definícia. Riadky matice sú tzv lineárne závislé , ak existujú také čísla, ktoré sa súčasne nerovnajú nule, takže lineárna kombinácia riadkov matice sa rovná nulovému riadku:
Kde . (1.1)
Lineárna závislosť riadkov matice znamená, že aspoň 1 riadok matice je lineárnou kombináciou zvyšku.
Definícia. Ak sa lineárna kombinácia riadkov (1.1) rovná nule vtedy a len vtedy, ak sú všetky koeficienty , potom sa riadky nazývajú lineárne nezávislé .
Veta o poradí matice. Poradie matice sa rovná maximálnemu počtu jej lineárne nezávislých riadkov alebo stĺpcov, prostredníctvom ktorých sú lineárne vyjadrené všetky ostatné riadky (stĺpce).
Veta hrá zásadnú úlohu v maticovej analýze, najmä pri štúdiu systémov lineárnych rovníc.
6, 13,14,15,16. vektory. Operácie s vektormi (sčítanie, odčítanie, násobenie číslom),n -rozmerný vektor. Pojem vektorového priestoru a jeho základ.
Vektor je riadený segment s počiatočným bodom A a koncový bod IN(ktorý sa môže pohybovať rovnobežne so sebou).
Vektory môžu byť označené buď 2 veľkými písmenami alebo jedným malým písmenom s pomlčkou alebo šípkou.
Dĺžka (alebo modul) vektor je číslo rovné dĺžke segmentu AB reprezentujúceho vektor.
Nazývame vektory, ktoré ležia na rovnakej alebo rovnobežnej priamke kolineárne .
Ak sa začiatok a koniec vektora zhodujú (), potom sa takýto vektor nazýva nula a označuje sa = . Dĺžka nulového vektora je nula:
1) Súčin vektora číslom:
Bude existovať vektor s dĺžkou, ktorej smer je rovnaký ako smer vektora if , a opačný k nemu if .
2) Opačný vektor sa nazýva súčin vektora - za číslo(-1), t.j. -=.
3) Súčet dvoch vektorov a nazýva sa vektor, ktorého začiatok sa zhoduje so začiatkom vektora a koniec s koncom vektora za predpokladu, že začiatok sa zhoduje s koncom. (pravidlo trojuholníkov). Súčet viacerých vektorov je definovaný podobne.
4) Rozdiel dvoch vektorov a nazýva sa súčet vektora a vektora -, naopak.
Skalárny súčin
Definícia: Skalárny súčin dvoch vektorov je číslo rovné súčinu dĺžok týchto vektorov a kosínusu uhla medzi nimi:
n-rozmerný vektor a vektorový priestor
Definícia. N-rozmerný vektor je usporiadaná kolekcia n reálne čísla písané ako x \u003d (x 1, x 2, ..., x n), Kde x i – i -tá zložka vektora X.
Koncept n-rozmerného vektora je široko používaný v ekonómii, napríklad určitý súbor tovarov môže byť charakterizovaný vektorom x \u003d (x 1, x 2, ..., x n), a zodpovedajúce ceny y = (y1,y2,...,yn).
- Dva n-rozmerné vektory sú rovnaké vtedy a len vtedy, ak sú ich príslušné zložky rovnaké, t.j. x=y ak x i= y i, i = 1,2,…,n.
- Súčet dvoch vektorov rovnaký rozmer n nazývaný vektor z = x + y, ktorých zložky sa rovnajú súčtu zodpovedajúcich zložiek členov vektorov, t.j. z i= x i+y i, i = 1,2,..., n.
- Súčin vektora x reálnym číslom sa nazýva vektor, ktorého zložky sa rovnajú súčinu zodpovedajúcich zložiek vektora, t.j. , i= 1,2,…,n.
Lineárne operácie na ľubovoľných vektoroch spĺňajú tieto vlastnosti:
1) - komutatívna (posunovacia) vlastnosť súčtu;
2) - asociatívna (asociačná) vlastnosť súčtu;
3) - vlastnosť asociatívna vzhľadom na číselný faktor;
4) - distributívna (distributívna) vlastnosť vzhľadom na súčet vektorov;
5) - distributívna vzhľadom na súčet vlastnosti číselných faktorov;
6) Existuje nulový vektor taký, že pre akýkoľvek vektor (špeciálna úloha nulového vektora);
7) Pre ľubovoľný vektor existuje opačný vektor taký, že ;
8) pre ľubovoľný vektor (špeciálna úloha číselného faktora 1).
Definícia. Množina vektorov s reálnymi komponentmi, ktorá definuje operácie sčítania vektorov a násobenia vektora číslom, ktoré spĺňa vyššie uvedených osem vlastností (považovaných za axiómy), sa nazýva vektorový stav .
Rozmer a základ vektorového priestoru
Definícia. lineárny priestor volal n-rozmerný ak obsahuje n lineárne nezávislé vektory a ktorýkoľvek z vektorov je už závislý. Inými slovami, priestorový rozmer je maximálny počet lineárne nezávislých vektorov v ňom obsiahnutých. Číslo n sa nazýva rozmer priestoru a označuje sa .
Nazýva sa súbor n lineárne nezávislých vektorov v n-rozmernom priestore základ .
7. Vlastné vektory a vlastné hodnoty matice. Charakteristická rovnica matice.
Definícia. Vektor sa nazýva vlastný vektor lineárny operátor, ak existuje číslo také, že:
Číslo sa nazýva vlastné hodnotu operátora (matice A) zodpovedajúci vektoru .
Môže byť napísaný v maticovej forme:
Kde je stĺpcová matica zo súradníc vektora alebo rozšírená:
Prepíšme systém tak, aby v správnych častiach boli nuly:
alebo v matricovej forme: . Výsledný homogénny systém má vždy nulové riešenie. Pre existenciu nenulového riešenia je potrebné a postačujúce, aby determinant sústavy: .
Determinant je polynóm n stupeň vzhľadom na . Tento polynóm je tzv charakteristický polynóm operátora alebo matice A a výsledná rovnica je charakteristická rovnica operátora alebo matrice A.
Príklad:
Nájdite vlastné hodnoty a vlastné vektory lineárneho operátora dané maticou.
Riešenie: Zostavte charakteristickú rovnicu 
alebo , odkiaľ je vlastná hodnota lineárneho operátora .
Nájdite vlastný vektor zodpovedajúci vlastnej hodnote . Aby sme to dosiahli, riešime maticovú rovnicu:
Alebo 
, alebo , odkiaľ nájdeme: , alebo
Alebo .
Predpokladajme, že dostaneme, že vektory, pre všetky sú vlastné vektory lineárneho operátora s vlastnou hodnotou.
Rovnako tak vektor .
8. Systém P lineárne rovnice s P premenné ( všeobecná forma). Matricová forma takéhoto systému. Systémové riešenie (definícia). Konzistentné a nekonzistentné, určité a neurčité sústavy lineárnych rovníc.
Riešenie sústavy lineárnych rovníc s neznámymi
Systémy lineárnych rovníc sú široko používané v ekonómii.
Systém lineárnych rovníc s premennými má tvar:
,
kde () sú volané ľubovoľné čísla koeficienty pre premenné A voľné členy rovníc , resp.
Krátky vstup: ().
Definícia. Riešením sústavy je taká množina hodnôt, pri ktorých dosadení sa každá rovnica sústavy zmení na skutočnú rovnosť.
1) Sústava rovníc sa nazýva kĺb ak má aspoň jedno riešenie a nezlučiteľné ak nemá riešenia.
2) Spojená sústava rovníc sa nazýva istý ak má jedinečné riešenie a neistý ak má viac riešení.
3) Nazývajú sa dve sústavy rovníc ekvivalent (ekvivalent) , ak majú rovnakú množinu riešení (napríklad jedno riešenie).
Systém napíšeme v maticovom tvare:
Označiť: 
, Kde
A je matica koeficientov pre premenné alebo matica systému, X – maticový stĺpec premenných, IN je stĺpcová matica voľných členov.
Pretože počet stĺpcov matice sa rovná počtu riadkov matice, potom ich súčin:
Existuje maticový stĺpec. Prvky výslednej matice sú ľavé časti počiatočného systému. Na základe definície maticovej rovnosti možno počiatočný systém zapísať ako: .
Cramerova veta. Nech je determinantom matice systému a je determinantom matice získanej z matice nahradením i-tého stĺpca stĺpcom voľných členov. Potom, ak , potom má systém jedinečné riešenie určené vzorcami:
Cramerov vzorec.
Príklad. Vyriešte sústavu rovníc pomocou Cramerových vzorcov
Riešenie. Determinant systémovej matice . Preto má systém unikátne riešenie. Vypočítajte získaný nahradením prvého, druhého a tretieho stĺpca stĺpcom voľných členov:
Podľa Cramerových vzorcov:
9. Gaussova metóda riešenia sústavyn lineárne rovnice s P premenných. Koncept Jordan-Gaussovej metódy.
Gaussova metóda - metóda postupného vylúčenia premenných.
Gaussova metóda spočíva v tom, že pomocou elementárnych transformácií riadkov a permutácií stĺpcov sa systém rovníc redukuje na ekvivalentný systém stupňovitého (alebo trojuholníkového) tvaru, z ktorého sa postupne zisťujú všetky ostatné premenné, počnúc z posledných (podľa počtu) premenných.
Gaussove transformácie je vhodné vykonávať nie so samotnými rovnicami, ale s rozšírenou maticou ich koeficientov, získanou priradením stĺpca voľných členov k matici:
.
Treba poznamenať, že Gaussova metóda môže byť použitá na riešenie akéhokoľvek systému rovníc tvaru 
.
Príklad. Použitie Gaussovej metódy na riešenie systému:
Napíšme rozšírenú maticu systému.
Krok 1 . Vymeňte prvý a druhý riadok tak, aby sa rovnal 1.
Krok 2 Vynásobte prvky prvého riadku (-2) a (-1) a pridajte ich k prvkom druhého a tretieho riadku tak, aby sa pod prvkom v prvom stĺpci tvorili nuly. .
Pre konzistentné systémy lineárnych rovníc platia nasledujúce vety:
Veta 1. Ak sa hodnosť matice kĺbového systému rovná počtu premenných, t.j. , potom má systém unikátne riešenie.
Veta 2. Ak je rank matice kĺbového systému menší ako počet premenných, t.j. , potom je systém neistý a má nekonečné množstvo riešení.
Definícia. Základom minor matice je akýkoľvek nenulový minor, ktorého poradie sa rovná hodnote matice.
Definícia. Tie neznáme, ktorých koeficienty sú zahrnuté v zázname základnej malej, sa nazývajú základné (alebo základné), ostatné neznáme sa nazývajú voľné (alebo nezákladné).
Riešiť sústavu rovníc v prípade znamená vyjadriť a (pretože determinant zložený z ich koeficientov sa nerovná nule), potom a sú voľné neznáme.
Základné premenné vyjadrujeme v termínoch voľných.
Z druhého riadku výslednej matice vyjadríme premennú:
Z prvého riadku vyjadríme:
Všeobecné riešenie sústavy rovníc: , .
Uvažujme ľubovoľnú, nie nevyhnutne štvorcovú maticu A veľkosti mxn.
Hodnosť matice.
Pojem poradie matice súvisí s koncepciou lineárnej závislosti (nezávislosti) riadkov (stĺpcov) matice. Zvážte tento koncept pre struny. Pri stĺpcoch je to rovnaké.
Označte výlevky matice A:
e 1 \u003d (a 11, a 12, ..., a 1n); e 2 \u003d (a 21, a 22, ..., a 2n); ..., e m \u003d (a m1, a m2, ..., a mn)
e k =e s ak a kj =a sj , j=1,2,…,n
Aritmetické operácie na riadkoch matice (sčítanie, násobenie číslom) sú zavedené ako operácie vykonávané prvok po prvku: λе k =(λа k1 ,λа k2 ,…,λа kn);
e k +e s =[(а k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(а kn +a sn)].
Riadok e sa volá lineárna kombinácia riadkov e 1 , e 2 ,…,e k , ak sa rovná súčtu súčinov týchto riadkov ľubovoľnými reálnymi číslami:
e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k
Riadky e 1 , e 2 ,…,e m sa nazývajú lineárne závislé, ak existujú reálne čísla λ 1 ,λ 2 ,…,λ m , nie všetky sa rovnajú nule, že lineárna kombinácia týchto riadkov sa rovná nulovému riadku: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 ,Kde 0 =(0,0,…,0) (1)
Ak sa lineárna kombinácia rovná nule práve vtedy, ak sú všetky koeficienty λ i rovné nule (λ 1 =λ 2 =…=λ m =0), potom sa riadky e 1 , e 2 ,…,e m nazývajú lineárne nezávislé.
Veta 1. Aby boli struny e 1 ,e 2 ,…,e m lineárne závislé, je potrebné a postačujúce, aby jedna z týchto strún bola lineárnou kombináciou ostatných strún.
Dôkaz. Nevyhnutnosť. Nech reťazce e 1 , e 2 ,…,e m sú lineárne závislé. Pre istotu nech (1) λm ≠0, potom
To. struna e m je lineárna kombinácia zvyšku strún. Ch.t.d.
Primeranosť. Nech jeden z riadkov, napríklad e m , je lineárnou kombináciou ostatných riadkov. Potom sú čísla také, že platí rovnosť, ktoré možno prepísať ako ,
kde aspoň 1 z koeficientov (-1) je nenulový. Tie. riadky sú lineárne závislé. Ch.t.d.
Definícia. Vedľajší k-tý rád matica A veľkosti mxn sa nazýva determinant k-tého rádu s prvkami ležiacimi v priesečníku ľubovoľných k riadkov a ľubovoľných k stĺpcov matice A. (k≤min(m,n)). .
Príklad., maloletí 1. rádu: =, =;
maloletí 2. rádu: , 3. rádu
Matica 3. rádu má 9 minoritných 1. rádu, 9 minoritných 2. rádu a 1 minoritných 3. rádu (determinant tejto matice).
Definícia. Poradie matice A je najvyšším rádom nenulových maloletých v tejto matici. Označenie - rgA alebo r(A).
Vlastnosti poradia matice.
1) hodnosť matice A nxm nepresahuje najmenší z jej rozmerov, t.j.
r(A) 2) r(A)=0, keď sú všetky prvky matice rovné 0, t.j. A = 0. 3) Pre štvorcovú maticu A n-tého rádu platí r(A)=n, keď A je nedegenerované. (Hodnota diagonálnej matice sa rovná počtu jej nenulových diagonálnych prvkov). 4) Ak je poradie matice r, potom má matica aspoň jednu menšiu hodnotu rádu r, ktorá sa nerovná nule, a všetky minority vyšších rádov sa rovnajú nule. Pre stupne matice platia nasledujúce vzťahy: 2) r(A+B)< r(A)+r(B); 3) r(AB) 3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(ATA)=r(A); 5) r(AB)=r(A), ak B je štvorcová nesingulárna matica. 6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, kde n je počet stĺpcov matice A alebo riadkov matice B. Definícia. Volá sa nenulová minorita rádu r(A). základné menšie. (Matrika A môže mať niekoľko základných maloletých). Riadky a stĺpce, na ktorých priesečníku je základ, sa nazývajú menšie základné línie A základné stĺpy. Veta 2 (o základnej molovej). Základné riadky (stĺpce) sú lineárne nezávislé. Ľubovoľný riadok (akýkoľvek stĺpec) matice A je lineárnou kombináciou základných riadkov (stĺpcov). Dôkaz. (Pre struny). Ak by boli základné riadky lineárne závislé, potom podľa vety (1) by jeden z týchto riadkov bol lineárnou kombináciou iných základných riadkov, potom bez zmeny hodnoty základnej vedľajšej môžete od tohto riadku odčítať zadanú lineárnu kombináciu a získať nulový riadok, a to je v rozpore, pretože základ minor je odlišný od nuly. To. základné riadky sú lineárne nezávislé. Dokážme, že každý riadok matice A je lineárnou kombináciou základných riadkov. Pretože pri ľubovoľných zmenách v riadkoch (stĺpcoch) si determinant zachováva vlastnosť nuly, potom bez straty všeobecnosti môžeme predpokladať, že základ minor je v ľavom hornom rohu matice A=, tie. umiestnené na prvých r riadkoch a prvých r stĺpcoch. Nech 1£j£n, 1£i£m. Ukážme, že determinant (r+1)-tého rádu Ak j£r alebo i£r, potom sa tento determinant rovná nule, pretože bude mať dva rovnaké stĺpce alebo dva rovnaké riadky. Ak j>r a i>r, potom je tento determinant menším počtom (r + 1) rádu matice A. Keďže maticová hodnosť je r, teda ľubovoľná vedľajšia vyššia moc je 0. Rozšírením o prvky posledného (pridaného) stĺpca dostaneme a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj Arj +a ij A ij =0, kde posl. algebraické sčítanie A ij sa zhoduje so základnou menšou M r a preto A ij = M r ≠0. Vydelením poslednej rovnosti A ij môžeme prvok a ij vyjadriť ako lineárnu kombináciu: , kde . Zafixujeme hodnotu i (i>r) a dostaneme, že pre ľubovoľné j (j=1,2,…,n) prvkov i-tý riadok e i sú lineárne vyjadrené v riadkových prvkoch e 1 , e 2 ,…,e r , t.j. i-tý riadok je lineárna kombinácia základných riadkov: . Ch.t.d. Veta 3. (nevyhnutná a postačujúca podmienka, aby sa determinant rovnal nule). Aby sa determinant n-tého rádu D rovnal nule, je potrebné a postačujúce, aby jeho riadky (stĺpce) boli lineárne závislé. Dôkaz (str. 40). Nevyhnutnosť. Ak sa determinant n-tého rádu D rovná nule, potom menší základ jeho matice je rádu r Jeden riadok je teda lineárnou kombináciou ostatných. Potom podľa vety 1 sú riadky determinantu lineárne závislé. Primeranosť. Ak sú riadky D lineárne závislé, potom podľa vety 1 je jeden riadok A i lineárnou kombináciou ostatných riadkov. Odčítaním naznačenej lineárnej kombinácie od čiary A i bez zmeny hodnoty D dostaneme nulovú čiaru. Preto podľa vlastností determinantov je D=0. h.t.d. Veta 4. Pri elementárnych transformáciách sa poradie matice nemení. Dôkaz. Ako sa ukázalo pri zvažovaní vlastností determinantov, pri transformácii štvorcových matíc sa ich determinanty buď nemenia, alebo sa násobia nenulovým číslom, alebo menia znamienko. V tomto prípade je zachovaný najvyšší rad nenulových maloletých pôvodnej matice, t.j. hodnosť matice sa nemení. Ch.t.d. Ak r(A)=r(B), potom A a B sú ekvivalent: A~B. Veta 5. Pomocou elementárnych transformácií je možné zredukovať maticu na stupňovitý pohľad. Matica sa nazýva stupňovité, ak má tvar: А=, kde a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k. Podmienky r≤k možno vždy dosiahnuť transpozíciou. Veta 6. Poradie krokovej matice sa rovná počtu jej nenulových riadkov .
Tie. Hodnosť krokovej matice je r, pretože existuje nenulová minorita rádu r: Nech matica A veľkostí (m; n) má k riadkov a k stĺpcov ľubovoľne zvolených (k ≤ min(m; n)). Prvky matice umiestnené v priesečníku vybraných riadkov a stĺpcov tvoria štvorcovú maticu rádu k, ktorej determinant sa nazýva vedľajšia M kk rádu k y alebo k-teho rádu matice A. Hodnosť matice je maximálny rád r nenulových minoritných skupín matice A a každá nenulová minorita rádu r sa nazýva základná minorita. Označenie: hodnosť A = r. Ak rang A = rang B a veľkosti matíc A a B sú rovnaké, potom sa matice A a B považujú za ekvivalentné. Označenie: A ~ B. Hlavnými metódami na výpočet poradia matice sú metóda fringing minors a . Podstata metódy ohraničovania maloletých je nasledovná. Nech je v matici už nájdený molár rádu k, ktorý je iný ako nula. Potom sa do úvahy berú len tie minority rádu k + 1, ktoré obsahujú (t. j. hranicu) k-teho rádu, ktorý je odlišný od nuly. Ak sa všetky rovnajú nule, potom sa poradie matice rovná k, inak medzi hraničnými maloletými (k + 1) rádu je nenulová jednotka a celý postup je opakované. Pojem poradie matice úzko súvisí s koncepciou lineárnej nezávislosti jej riadkov (stĺpcov). Riadky matice: sa nazývajú lineárne závislé, ak existujú také čísla λ 1 , λ 2 , λ k, že rovnosť platí: Riadky matice A sa nazývajú lineárne nezávislé, ak vyššie uvedená rovnosť je možná len v prípade, keď všetky čísla λ 1 = λ 2 = ... = λ k = 0 Lineárna závislosť a nezávislosť stĺpcov matice A sú definované podobným spôsobom. Ak ľubovoľný riadok (al) matice A (kde (al)=(al1, al2,…, a ln)) možno znázorniť ako Pojem lineárna kombinácia stĺpcov je definovaný podobne. Platí nasledujúca veta o minoritnom základe. Základné riadky a základné stĺpce sú lineárne nezávislé. Každý riadok (alebo stĺpec) matice A je lineárnou kombináciou základných riadkov (stĺpcov), t. j. riadkov (stĺpcov), ktoré pretínajú základnú vedľajšiu. Hodnosť matice A: rang A = k sa teda rovná maximálnemu počtu lineárne nezávislých riadkov (stĺpcov) matice A. Tie. poradie matice je rozmer najväčšej štvorcovej matice v rámci matice, pre ktorú chcete určiť poradie, pre ktorú sa determinant nerovná nule. Ak pôvodná matica nie je štvorcová, alebo ak je štvorcová, ale jej determinant je nula, potom pre štvorcové matice menšieho rádu sa riadky a stĺpce vyberú ľubovoľne. Okrem determinantov možno poradie matice vypočítať počtom lineárne nezávislých riadkov alebo stĺpcov matice. Rovná sa počtu lineárne nezávislých riadkov alebo stĺpcov, podľa toho, ktorá hodnota je menšia. Napríklad, ak má matica 3 lineárne nezávislé riadky a 5 lineárne nezávislých stĺpcov, jej poradie je tri. Nájdite hodnosť matice metódou ohraničenia maloletých Riešenie: Minor druhého rádu hraničná malá M 2 je tiež odlišná od nuly. Obaja maloletí sú však štvrtého rádu, hraničiaceho s M 3 . sa rovnajú nule. Preto je poradie matice A 3 a základná vedľajšia je napríklad vedľajšia M 3 uvedená vyššie. Metóda elementárnych transformácií je založená na tom, že elementárne transformácie matice nemenia jej poradie. Pomocou týchto transformácií môžete dostať maticu do tvaru, keď sa všetky jej prvky okrem a 11 , a 22 , …, a rr (r ≤ min (m, n)) rovnajú nule. To samozrejme znamená, že poradie A = r. Všimnite si, že ak má matica n-tého rádu tvar hornej trojuholníkovej matice, teda matice, v ktorej sú všetky prvky pod hlavnou uhlopriečkou rovné nule, potom sa určí, že sa rovná súčinu prvkov na hlavná uhlopriečka. Túto vlastnosť je možné využiť pri výpočte hodnosti matice metódou elementárnych transformácií: je potrebné pomocou nich zredukovať maticu na trojuholníkovú a následne výberom príslušného determinantu zistíme, že hodnosť matice matica sa rovná počtu nenulových prvkov hlavnej uhlopriečky. Pomocou metódy elementárnych transformácií nájdite hodnosť matice Riešenie I-tý riadok matice A označíme symbolom α i . V prvej fáze vykonávame elementárne transformácie V druhej fáze vykonávame transformácie V dôsledku toho dostanemeMetóda Fringing Minor
Lineárna nezávislosť riadkov (stĺpcov) matice
Príklady zisťovania hodnosti matice
Načítava...