Hodnota, ktorá charakterizuje distribúciu energie v spektre signálu a nazýva sa energetická spektrálna hustota, existuje len pre signály, ktorých energia v nekonečnom časovom intervale je konečná, a preto je na ne aplikovateľná Fourierova transformácia.
Pre signály, ktoré sa v čase nerozpadajú, je energia nekonečne veľká a integrál (1,54) diverguje. Nastavenie amplitúdového spektra nie je možné. Avšak priemerný výkonРср, určený pomerom
ukáže sa koniec. Preto sa používa širší pojem "výkonová spektrálna hustota". Definujeme ho ako deriváciu priemerného výkonu signálu vzhľadom na frekvenciu a označíme ho ako Ck(u):
Index k zdôrazňuje, že tu považujeme výkonovú spektrálnu hustotu za charakteristiku deterministická funkcia u(t) popisujúci implementáciu signálu.
Táto charakteristika signálu je menej významná ako spektrálna hustota amplitúd, pretože nemá fázovú informáciu [pozri. (1,38)]. Preto z neho nie je možné jednoznačne obnoviť pôvodnú realizáciu signálu. Absencia informácií o fáze však umožňuje aplikovať tento koncept na signály, v ktorých fáza nie je definovaná.
Na vytvorenie spojenia medzi spektrálnou hustotou Ck(w) a amplitúdovým spektrom používame signál u(t), ktorý existuje v obmedzenom časovom intervale (-T<. t kde je výkonová spektrálna hustota časovo obmedzeného signálu. Nižšie (pozri § 1.11) bude ukázané, že spriemerovaním tejto charakteristiky cez súbor implementácií je možné získať výkonovú spektrálnu hustotu pre veľkú triedu náhodné procesy. Vo frekvenčnej doméne sú teraz dve charakteristiky: spektrálna odozva a výkonová spektrálna hustota. Spektrálna charakteristika obsahujúca úplnú informáciu o signáli u(t) zodpovedá Fourierovej transformácii vo forme časovej funkcie. Poďme zistiť, čo v časovej oblasti zodpovedá výkonovej spektrálnej hustote bez informácií o fáze. Malo by sa predpokladať, že rovnaká výkonová spektrálna hustota zodpovedá súboru časových funkcií, ktoré sa líšia vo fáze. Sovietsky vedec L.Ya. Khinchin a americký vedec N. Wiener takmer súčasne našli inverznú Fourierovu transformáciu výkonovej spektrálnej hustoty: Zovšeobecnená časová funkcia r(), ktorá neobsahuje fázovú informáciu, sa bude nazývať časová autokorelačná funkcia. Ukazuje stupeň spojenia medzi hodnotami funkcie u(t) oddelenými časovým intervalom a možno ho získať zo štatistickej teórie vyvinutím konceptu korelačného koeficientu. Všimnite si, že vo funkcii časovej korelácie sa priemerovanie vykonáva v priebehu času v rámci jednej realizácie dostatočne dlhého trvania. Platí aj druhý integrálny vzťah pre pár Fourierovej transformácie: Príklad 1.6 Určte časovú funkciu autokorelácie harmonického signálu u(t) = u0 cos(t-c). Podľa (1.64) Po niekoľkých jednoduchých premenách konečne máme Ako sa očakávalo, ru() nezávisí od u, a preto (1.66) platí pre celý súbor harmonických, ktoré sa líšia vo fáze. V časti Energia signálu IC) pochopiť veľkosť Ak má signál konečné trvanie T, tie. sa v časovom intervale nerovná nule [-T/ 2, T/ 2], potom jeho energia Výraz pre energiu signálu napíšeme pomocou vzorca (2.15): Kde Výsledná rovnosť je tzv Parsevalova rovnosť. Definuje energiu signálu z hľadiska časovej funkcie alebo spektrálnej hustoty energie, ktorá sa rovná |5(/0))| 2. Spektrálna hustota energie je tiež tzv energetické spektrum. Zvážte signál, ktorý existuje v obmedzenom časovom intervale. Pre takýto signál platí Parsevalova rovnosť. teda Ľavú a pravú časť rovnosti vydelíme časovým intervalom rovným T a necháme tento interval ísť do nekonečna: S nárastom T zvyšuje sa energia netlmených signálov, pomer však môže smerovať k určitej hranici. Táto hranica sa nazýva výkonová spektrálna hustota C(co). Jednotka spektrálnej hustoty výkonu: [V 2 DC]. Funkcia autokorelácie signálu A(?) je určený týmto integrálnym výrazom: kde m je argument definujúci funkciu ja) a majúci rozmer času; u(? + t) - pôvodný signál, posunutý v čase o -t. Autokorelačná funkcia má nasledujúce vlastnosti. 1. Hodnota autokorelačnej funkcie pri posune m = O sa rovná energii signálu E: 2. Autokorelačná funkcia pre posuny m F
0 menej energie signálu: 3. Autokorelačná funkcia je párna funkcia, t.j. Platnosť vlastností 2 a 3 overíme na príklade. Príklad 2.6. Vypočítajte autokorelačné funkcie signálov: video signál znázornený na obr. 2.7, i a rádiový signál s rovnakou amplitúdou a trvaním. Nosná frekvencia rádiového signálu je sch, a počiatočná fáza je 0. Riešenie. Vyriešme prvý problém graficky. Autokorelačná funkcia je určená integrálom súčinu funkcie A(?) a jeho časovo posunutá kópia. Môžeme nájsť odchýlku video signálu od rovnice? + m = 0. Graf funkcie m(? +
t) je znázornené na obr. 2,7, b. Plocha určená grafom súčinu m (?) M (? + t) (obr. 2.7, Obr. V), rovná sa Funkcia D (t) je určená rovnicou priamky (obr. 2.7, Obr. G). Funkcia má maximum, ak je hodnota argumentu m = 0, a rovná sa 0, ak m = m a. Pre ostatné hodnoty argumentu /?(t) Na overenie platnosti vlastnosti 3 podobne vypočítame funkciu pre záporné hodnoty m: Ryža. 2.7. video pulz: A- obdĺžnikový obrazový impulz; b- časovo oneskorený obdĺžnikový impulz; V - súčin impulzov; G - autokorelačná funkcia Konečný výraz pre funkciu autokorelácie Funkcia je znázornená na obr. 2,7, G a má trojuholníkový tvar. Vypočítajme autokorelačnú funkciu rádiového signálu a umiestnime ho symetricky okolo vertikálnej osi. Rádiový signál: Nahradením hodnôt signálu a jeho posunutej kópie do vzorca pre autokorelačnú funkciu /?(m) dostaneme Výraz pre autokorelačnú funkciu rádiového impulzu pozostáva z dvoch pojmov. Prvý z nich je určený súčinom trojuholníkovej funkcie a harmonického signálu. Na výstupe prispôsobeného filtra je tento pojem realizovaný vo forme rádiového impulzu v tvare diamantu. Druhý člen je určený súčinom trojuholníkovej funkcie a funkcií (vtd^/lz, umiestnených v bodoch m = +m a. Hodnoty funkcií (vtx)/:*:, ktoré majú výraznú vplyv na druhý člen autokorelačnej funkcie, veľmi rýchlo klesajú so zmenou argumentu m z -t na oo az t na - ° o. Riešenie rovnice je možné nájsť intervaly oneskorenia, v ktorých sú hodnoty funkcií (vtls)/;*; stále ovplyvňujú správanie funkcie /?(t). Pre kladné hodnoty oneskorenia kde 70 je perióda harmonického signálu. Podobne sa nájde interval pre záporné hodnoty oneskorenia. Keďže vplyv druhého členu autokorelačnej funkcie je obmedzený na veľmi malé (v porovnaní s trvaním rádiových impulzov t u) intervaly 70/2, v rámci ktorých sú hodnoty trojuholníkovej funkcie veľmi malé, druhý člen autokorelačná funkcia rádiového impulzu môže byť zanedbaná. Odhaľme vzťah medzi autokorelačnou funkciou #(τ) a hustotou spektrálnej energie signálu |5(/co)| 2. K tomu vyjadrujeme časovo posunutý signál u(1b +
m) z hľadiska jeho spektrálnej hustoty 5(/co): Tento výraz dosadíme do výrazu (2.21). V dôsledku toho dostaneme Je tiež ľahké overiť platnosť rovnosti Obidve strany rovnosti (2.23) delíme časovým intervalom T
a nasmerujme veľkosť T
do nekonečna: Berúc do úvahy vzorec (2.20), prepíšeme výsledný výraz: Kde Zovšeobecnenie pojmu "autokorelačná funkcia" je funkcia vzájomnej korelácie,čo je skalárny súčin dvoch signálov: Pozrime sa na hlavné vlastnosti funkcie vzájomnej korelácie. 1. Permutácia faktorov pod znamienkom integrálu mení znamienko argumentu funkcie vzájomnej korelácie: Vo vyššie uvedených transformáciách sme použili náhradu t + t = X. Tento vzorec možno odvodiť podobne ako vzorec (2.22). Funkcia vzájomnej korelácie medzi periodicky sa opakujúcim signálom a neperiodickým signálom signál v(t) = Uq(?) Kde R(t) - autokorelačná funkcia neperiodického signálu u 0 (t).
Výsledný výraz sa rovná súčtu dvoch integrálov. S posunom rovným nule sa prvý integrál rovná nule a druhý sa rovná energii signálu. S posunom rovným perióde signálu sa prvý integrál rovná energii signálu a druhý sa rovná nule. Každá hodnota funkcie pri iných posunoch sa rovná súčtu hodnôt autokorelačných funkcií neperiodického signálu, vzájomne posunutých o jednu periódu. Okrem toho je funkcia vzájomnej korelácie periodická funkcia, ktorá spĺňa rovnicu Krížová korelačná funkcia Ja alebo > ( t) medzi signálom u(t) a signál rovná sa - trvanie signálu v(t). Skutočne, vzhľadom k tomu, že perióda signálu u(t) rovná sa T A krížová korelačná funkcia kde Výpočet limity funkcie (2 n+ 1)7? m Mo (t) pri P-> definujte výraz pre autokorelačnú funkciu periodického signálu: Funkčný rozmer: [V 2 /Hz]. Funkčné hodnoty pri nulovom posune a iných posunoch, pre ktoré Lts Mo(T) F 0 sa rovná nekonečnu. Z tohto dôvodu použitie posledného výrazu ako charakteristiky periodického signálu stráca svoj význam. Vydeľte posledný výraz intervalom rovným (2 P + 1 )T. V dôsledku toho dostaneme funkciu keďže vzhľadom na periodicitu funkcie – t + T) = - T). Výsledný vzorec definuje funkciu IN( m) ako hranica pomeru autokorelačnej funkcie signálu existujúceho v časovom intervale (2 n+ 1 )T, k tomuto intervalu a jeho tendencii k nekonečnu. Tento limit pre periodicky sa opakujúci signál sa nazýva autokorelačná funkcia periodického signálu. Rozmer tejto funkcie: [AT 2]. Priama Fourierova transformácia jednej periódy autokorelačnej funkcie periodického signálu určuje výkonovú spektrálnu hustotu, ktorá je spojitou funkciou frekvencie. Z tejto hustoty pomocou vzorca (2.17) možno nájsť výkonová spektrálna hustota periodickej autokorelačnej funkcie signálu, ktorý je určený pre diskrétne hodnoty frekvencií: kde 0)1 = 2 p/t.
Ak je autokorelačná funkcia napísaná ako Fourierov rad v trigonometrickej forme, potom výraz pre jej spektrálnu hustotu Príklad 2.7. Výpočet periodickej autokorelačnej funkcie signálu i(f) = Absh SI. Na základe nájdenej funkcie, obmedzenej na jednu periódu, určte výkonovú spektrálnu hustotu. Riešenie. Dosadením daného signálu do výrazu (2.26) získame výraz pre periodickú autokorelačnú funkciu: Výsledný výraz dosadíme do vzorca (2.24) a zistíme výkonovú spektrálnu hustotu: Príklad 2.8. Pre periodickú normalizovanú autokorelačnú funkciu signálu podobného šumu (M-sekvencia s periódou N= 1023) vypočítajte výkonovú spektrálnu hustotu. (Periodická funkcia pre sekvenciu menšej dĺžky (IV= 15) je znázornený na obr. 3.39.) Riešenie. Za pomerne dlhé obdobie LG = 1023 hodnôt autokorelačnej funkcie v intervale T- To > m > To, kde To je trvanie impulzu sekvencie podobnej šumu, budeme brať nulu. V tomto prípade je autokorelačná funkcia určená periodickým opakovaním s bodkou T sekvencia trojuholníkových impulzov. Základňa každého trojuholníka je 2 to a jeho výška je 1. Rovnica, ktorá určuje funkciu autokorelácie v rámci jednej periódy je IN( m) \u003d 1 - |m|/xo- Berúc do úvahy rovnomernosť tejto funkcie, určíme koeficienty Fourierovho radu: Pri výpočte integrálu sa použil vzorec Nahradením vypočítaných koeficientov do vzorca (2.27) sme prehľadali Výkonová spektrálna hustota periodickej autokorelačnej funkcie sa rovná váženému súčtu nekonečne veľkého počtu delta funkcií. Váhové faktory sú určené druhou mocninou funkcie (etx) /: ":, vynásobenej konštantným koeficientom 2n (potom /T). Korelačné funkcie digitálnych signálov spojené s korelačnými funkciami sekvencií znakov. Pre postupnosť kódov (pozri § 1.3) konečného čísla N binárne symboly sa autokorelačná funkcia zapíše ako Kde -
binárne znaky rovné 0 alebo 1 alebo znaky rovné -1, 1; d= 0, 1, 2, ..., N - .
Postupnosti znakov môžu byť deterministické alebo náhodné. Pri prenose informácií je charakteristickou vlastnosťou postupnosti znakov ich náhodnosť. Hodnoty autokorelačnej funkcie (pri posunoch, ktoré sa nerovnajú nule), vypočítané z vopred zaznamenanej náhodnej sekvencie konečnej dĺžky, sú tiež náhodné. Autokorelačné funkcie deterministických sekvencií, ktoré sa používajú na synchronizáciu a tiež ako nosiče diskrétnych správ, sú deterministické funkcie. Volajú sa signály skonštruované pomocou kódov alebo ich kódových sekvencií kódované signály. Väčšina vlastností autokorelačnej funkcie kódovej sekvencie sa zhoduje s vlastnosťami autokorelačnej funkcie signálu diskutovanou vyššie. Pri posune odrážky dosiahne autokorelačná funkcia sekvencie kódu maximum, ktoré sa rovná Ak sú znaky -1, 1, potom r(0) = N.
Hodnoty autokorelačnej funkcie pre ostatné posuny sú menšie ako r(0). Autokorelačná funkcia kódovej sekvencie je párna funkcia. Zovšeobecnením autokorelačnej funkcie je krížová korelačná funkcia. Pre sekvencie kódov rovnakej dĺžky táto funkcia Kde
2
} 0
6/, - symboly prvého a druhého sledu, resp. Mnoho funkčných vlastností d 12 (d)
sa zhodujú s vlastnosťami vzájomnej korelačnej funkcie vyššie uvažovaných signálov. Ak je funkcia r^(e), I F
pre ľubovoľný pár kódov pri posune d
= O sa rovná nule, potom sa takéto kódy volajú ortogonálne.
Stručný popis niektorých kódov používaných v komunikačných systémoch je uvedený v dodatkoch 2-4. Zavolá sa funkcia vzájomnej korelácie medzi kódovou sekvenciou a periodicky sa opakujúcou rovnakou sekvenciou periodická autokorelačná funkcia kódovej sekvencie.
Výraz pre funkciu vyplýva z výrazov (2.25), (2.26): Kde g(d) -
neperiodická autokorelačná funkcia sekvencie kódu; d -
posun hodnoty medzi sekvenciami. Dosaďte do výsledného vzorca výrazy pre autokorelačné funkcie: Kde a/r, a^+c
- prvky sekvencie kódov. Periodická autokorelačná funkcia kódovej sekvencie sa rovná funkcii krížovej korelácie vypočítanej pre kódovú sekvenciu a cyklicky posunuté symboly tejto sekvencie. Cyklicky posunuté kódové sekvencie získané z pôvodnej sekvencie а 0 = а 0 ,а ( ,а 2 ,
..., a m _ b
sú uvedené nižšie. sekvencia kódov A (
získané v dôsledku posunutia pôvodnej sekvencie 0
posuňte jeden znak doprava a zalomte posledný znak A
dm na začiatok posunutej sekvencie. Zostávajúce sekvencie sa získajú podobne: Príklad 2.9. Vypočítajte autokoreláciu a periodickú autokorelačnú funkciu kódovaného signálu (obr. 2.8, A) kde a 0 (O je pravouhlý impulz s amplitúdou A a trvanie t. Tento signál je zostavený z pravouhlých impulzov, ktorých znamienko je určené váhovými koeficientmi: a 0 = ,A. = 1, a 2= -1 a ich počet N= 3. Trvanie signálu sa rovná 3t a. Riešenie. Dosadením výrazu pre signál do vzorca (2.21) dostaneme Zmeňme premennú t - ct n na X: Označte: & - m = - a nahraďte diskrétne premenné &, T na premenné do, c. V dôsledku toho dostaneme Graf autokorelačnej funkcie pre daný signál je na obr. 2.8 b. Táto funkcia závisí od funkcie autokorelácie /? 0 (m) obdĺžnikového impulzu a hodnoty autokorelačnej funkcie r( Ryža. 2.8. Autokorelačná funkcia kódovaného signálu: A- kódovaný signál; 6 -
autokorelačná funkcia signálu; V- autokorelačná funkcia periodického signálu Vypočítajme periodickú autokorelačnú funkciu pomocou autokorelačnej funkcie vypočítanej vyššie, získané hodnoty autokorelačnej funkcie sekvencie kódu a vzorca (2.28). Periodická autokorelačná funkcia Nahraďte danú hodnotu N= 3 do výsledného vzorca: Berúc do úvahy hodnoty autokorelačnej funkcie kódovej sekvencie K+Z) = 0, r(+ 2) = -1, r(+1) = 0, KO) = 3 zapíšeme konečný výraz pre jednu periódu periodickej autokorelačnej funkcie signálu: Graf funkcie je znázornený na obr. 2.8 V. Nechajte signál s(t) je daná ako neperiodická funkcia a existuje iba na intervale ( t 1 ,t 2) (príklad - jeden impulz). Vyberme si ľubovoľné časové obdobie T, ktorá zahŕňa interval ( t 1 ,t 2) (pozri obr. 1). Označme periodický signál získaný z s(t), ako ( t). Potom môžeme napísať Fourierov rad Aby ste sa dostali k funkcii s(t) nasleduje vo výraze ( t) nechaj obdobie ísť do nekonečna. V tomto prípade počet harmonických zložiek s frekvenciami w=n 2p/T budú nekonečne veľké, vzdialenosť medzi nimi bude mať tendenciu k nule (na nekonečne malú hodnotu: amplitúdy komponentov budú tiež nekonečne malé. Preto už nie je možné hovoriť o spektre takéhoto signálu, pretože spektrum sa stáva spojitým. Vnútorný integrál je funkciou frekvencie. Nazýva sa to spektrálna hustota signálu, príp frekvenčná odozva signalizujú a označujú t.j. Pre všeobecnosť môžu byť limity integrácie nastavené ako nekonečné, pretože je všetko rovnaké, kde s(t) sa rovná nule a integrál sa rovná nule. Výraz pre spektrálnu hustotu sa nazýva priama Fourierova transformácia. Reverzná transformácia Fourier určuje časovú funkciu signálu z jeho spektrálnej hustoty priame (*) a inverzné (**) Fourierove transformácie sa súhrnne označujú ako pár Fourierových transformácií. Modul spektrálnej hustoty určuje amplitúdovo-frekvenčnú charakteristiku (AFC) signálu a jej argument Význam modulu S(w) je definovaná ako amplitúda signálu (prúdu alebo napätia) na 1 Hz v nekonečne úzkom frekvenčnom pásme, ktoré zahŕňa sledovanú frekvenciu w. Jeho rozmer je [signál/frekvencia]. Energetické spektrum signálu. Ak má funkcia s(t) Fourierovu hustotu výkonu signálu ( spektrálna hustota energie signálu) je určený výrazom: w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2 |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9) Výkonové spektrum W() je skutočná nezáporná párna funkcia, ktorá sa zvyčajne nazýva energetické spektrum. Výkonové spektrum, ako druhá mocnina modulu spektrálnej hustoty signálu, neobsahuje fázovú informáciu o jeho frekvenčných zložkách, a preto nie je možné obnoviť signál z výkonového spektra. To tiež znamená, že signály s rôznymi fázovými charakteristikami môžu mať rovnaké výkonové spektrá. Najmä posun signálu neovplyvňuje jeho výkonové spektrum. Ten umožňuje získať vyjadrenie pre energetické spektrum priamo z výrazov (5.2.7). V limite, pre identické signály u(t) a v(t) s posunom t 0, má imaginárna časť spektra Wuv () tendenciu k nulovým hodnotám a skutočná časť - k hodnotám modulu spektrum. Pri úplnej časovej zhode signálov máme: tie. energia signálu sa rovná integrálu druhej mocniny jeho modulu frekvenčné spektrum- súčet energie jeho frekvenčných zložiek a je vždy reálnou hodnotou. Pre ľubovoľný signál s(t) je rovnosť zvyčajne nazývaná Parsevalova rovnosť (v matematike - Plancherelova veta, vo fyzike - Rayleighov vzorec). Rovnosť je zrejmá, pretože súradnicové a frekvenčné reprezentácie sú v podstate len rôzne matematické reprezentácie toho istého signálu. Podobne pre energiu interakcie dvoch signálov: Z Parsevalovej rovnosti vyplýva invariantnosť skalárneho súčinu signálov a normy vzhľadom na Fourierovu transformáciu: V rade čisto praktických problémov záznamu a prenosu signálov má energetické spektrum signálu veľmi významný význam. Periodické signály sa prekladajú do spektrálnej oblasti vo forme Fourierových radov. Periodický signál s periódou T zapíšeme vo forme Fourierovho radu v komplexnom tvare: Interval 0-T obsahuje celé číslo periód všetkých integrandov exponentov a je rovný nule, s výnimkou exponentu v k = -m, pre ktorý je integrál T. Priemerná mocnina a periodický signál sa rovná súčtu druhých mocnín modulov koeficientov jeho Fourierovho radu: Energetické spektrum signálu
je energetické rozloženie základných signálov, ktoré tvoria neharmonický signál na frekvenčnej osi. Matematicky sa energetické spektrum signálu rovná druhej mocnine modulu spektrálnej funkcie: V súlade s tým amplitúdovo-frekvenčné spektrum ukazuje množinu amplitúd zložiek základných signálov na frekvenčnej osi a fázovo-frekvenčné spektrum ukazuje množinu fáz. Modul spektrálnej funkcie sa často nazýva amplitúdové spektrum, a jej argument je fázové spektrum. Okrem toho existuje inverzná Fourierova transformácia, ktorá vám umožňuje obnoviť pôvodný signál s vedomím jeho spektrálnej funkcie: Vezmite napríklad obdĺžnikový impulz: Ďalší príklad spektra: Nyquistova frekvencia, Kotelnikovova veta
.
Nyquistova frekvencia
- pri digitálnom spracovaní signálu frekvencia rovnajúca sa polovici vzorkovacej frekvencie. Pomenovaný po Harrym Nyquistovi. Z Kotelnikovovej vety vyplýva, že pri diskretizácii analógový signál k strate informácie nedôjde iba vtedy, ak je spektrum (spektrálna hustota) (najvyššia frekvencia užitočného signálu) signálu rovnaké alebo nižšie ako Nyquistova frekvencia. V opačnom prípade pri obnove analógového signálu dôjde k prekrytiu spektrálnych „chvostov“ (frekvenčná substitúcia, frekvenčné maskovanie) a tvar obnoveného signálu bude skreslený. Ak spektrum signálu nemá žiadne zložky nad Nyquistovou frekvenciou, potom sa môže (teoreticky) vzorkovať a potom rekonštruovať bez skreslenia. V skutočnosti je „digitalizácia“ signálu (transformácia analógového signálu na digitálny) spojená s kvantizáciou vzoriek - každá vzorka je zaznamenaná vo forme digitálneho kódu s konečnou bitovou hĺbkou, v dôsledku čoho kvantizačné (zaokrúhľovacie) chyby sa pridávajú do vzoriek, za určitých podmienok považovaných za „kvantizačný šum“. Reálne signály s konečnou dobou trvania majú vždy nekonečne široké spektrum, ktoré sa s rastúcou frekvenciou viac či menej rýchlo zmenšuje. Preto vzorkovanie signálov vždy vedie k strate informácie (skreslenie tvaru vlny počas vzorkovania-obnovy), bez ohľadu na to, aká vysoká je vzorkovacia frekvencia. Pri zvolenej vzorkovacej frekvencii možno skreslenie znížiť potlačením (predvzorkovaním) spektrálnych zložiek analógového signálu nad Nyquistovou frekvenciou, čo si vyžaduje filter veľmi vysokého rádu, aby sa predišlo aliasingu. Praktická realizácia takýto filter je veľmi obtiažny, keďže amplitúdovo-frekvenčné charakteristiky filtrov nie sú pravouhlé, ale hladké a medzi priepustným pásmom a pásmom potlačenia je vytvorené určité prechodové frekvenčné pásmo. Preto sa vzorkovacia frekvencia volí s rezervou, napríklad zvukové CD používajú vzorkovaciu frekvenciu 44 100 Hz, zatiaľ čo vyššia frekvencia v spektre zvukové signály frekvencia sa považuje za 20 000 Hz. Nyquistova frekvenčná rezerva 44 100 / 2 - 20 000 = 2 050 Hz zabraňuje náhrade frekvencie pri použití implementovaného filtra nízkeho rádu. Kotelnikovova veta Pre obnovenie pôvodného spojitého signálu z navzorkovaného s malými skresleniami (chybami) je potrebné racionálne zvoliť krok vzorkovania. Preto pri prevode analógového signálu na diskrétny nevyhnutne vyvstáva otázka veľkosti kroku vzorkovania.Intuitívne nie je ťažké pochopiť nasledujúcu myšlienku. Ak má analógový signál nízkofrekvenčné spektrum obmedzené určitou hornou frekvenciou Fe (t.j. funkcia u(t) má tvar plynule sa meniacej krivky bez prudkých zmien amplitúdy), potom je nepravdepodobné, že by sa táto funkcia výrazne zmenila. určitý malý časový interval vzorkovania.amplitúda. Je celkom zrejmé, že presnosť obnovenia analógového signálu zo sekvencie jeho vzoriek závisí od hodnoty intervalu vzorkovania. Čím je interval kratší, tým menej sa bude funkcia u(t) líšiť od hladkej krivky prechádzajúcej vzorkou. bodov. So znižovaním intervalu odberu sa však výrazne zvyšuje zložitosť a objem spracovateľského zariadenia. Pri dostatočne veľkom intervale vzorkovania sa zvyšuje pravdepodobnosť skreslenia alebo straty informácie, keď sa analógový signál obnoví. Optimálnu hodnotu diskretizačného intervalu stanovuje Kotelnikovova veta (iné názvy sú vzorkovacia veta, K. Shannonova veta, X. Nyquistova veta: vetu prvýkrát objavil v matematike O. Cauchy a potom ju opäť opísal D. Carson a R. Hartley), ktorý dokázal v roku 1933. Teorém V. A. Kotelnikova má veľký teoretický a praktický význam: umožňuje správne vzorkovať analógový signál a určuje optimálny spôsob jeho obnovenia na prijímacom konci z referenčné hodnoty. Podľa jednej z najznámejších a najjednoduchších interpretácií Kotelnikovovej vety je možné ľubovoľný signál u(t), ktorého spektrum je obmedzené určitou frekvenciou Fe, úplne obnoviť zo sekvencie jeho referenčných hodnôt nasledujúcich po časový interval Vzorkovací interval a frekvencia Fe(1) sa v rádiotechnike často označujú ako interval a frekvencia Nyquist. Analyticky je Kotelnikovova veta reprezentovaná radom kde k je číslo vzorky; - hodnota signálu v referenčných bodoch - horná frekvencia spektrum signálu. Frekvenčná reprezentácia diskrétnych signálov
.
Väčšina signálov môže byť reprezentovaná ako Fourierova séria: Spektrálna hustota krížového výkonu (priečne výkonové spektrum) dvoch realizácií a stacionárnych ergodických náhodných procesov a je definovaný ako priama Fourierova transformácia cez ich vzájomnú kovariančnú funkciu alebo vzhľadom na vzťah medzi kruhovými a cyklickými frekvenciami, Inverzná Fourierova transformácia spája vzájomnú kovariančnú funkciu a výkonovú spektrálnu hustotu: Podobne ako (1.32), aj (1.33) uvádzame výkonová spektrálna hustota (výkonové spektrum)
náhodný proces Funkcia má paritnú vlastnosť: Pre vzájomnú spektrálnu hustotu platí nasledujúci vzťah: kde je komplex funkcií konjugovaný s . Vyššie uvedené vzorce pre spektrálne hustoty sú definované pre kladné aj záporné frekvencie a sú tzv obojstranné spektrálne hustoty
. Sú vhodné pri analytickom štúdiu systémov a signálov. V praxi využívajú spektrálne hustoty, ktoré sú definované len pre nezáporné frekvencie a sú tzv. jednostranný
(Obrázok 1.14): Obrázok 1.14 - Jednostranné a obojstranné spektrálne hustoty Odvoďme výraz týkajúci sa jednostrannej spektrálnej hustoty stacionárneho SP s jeho kovariančnou funkciou: Berieme do úvahy paritnú vlastnosť pre kovariančnú funkciu stacionárneho SP a kosínusovú funkciu, nepárnu vlastnosť pre sínusovú funkciu a symetriu integračných limitov. Výsledkom je, že druhý integrál vo výraze získanom vyššie zmizne a v prvom integráli je možné znížiť limity integrácie na polovicu, čím sa koeficient zdvojnásobí: Je zrejmé, že výkonová spektrálna hustota náhodného procesu je skutočnou funkciou. Podobne možno získať inverzný vzťah: Z výrazu (1.42) v , vyplýva, že To znamená, že celková plocha pod jednostranným grafom spektrálnej hustoty sa rovná strednej štvorci náhodného procesu. Inými slovami, jednostranná spektrálna hustota sa interpretuje ako stredné štvorcové rozdelenie procesu na frekvenciách. Plocha pod grafom jednostrannej hustoty, uzavretá medzi dvoma ľubovoľnými hodnotami frekvencie a , sa rovná strednej štvorci procesu v tomto frekvenčnom pásme spektra (obrázok 1.15): Obrázok 1.15 - Vlastnosť spektrálnej hustoty Vzájomná výkonová spektrálna hustota je komplexná veličina, preto ju možno znázorniť v exponenciálnej forme modul
A fázový uhol
: kde je modul; je fázový uhol; , sú reálnou a imaginárnou časťou funkcie, resp. Modul vzájomnej spektrálnej hustoty je zahrnutý do dôležitej nerovnosti Táto nerovnosť nám umožňuje určiť koherenčná funkcia
(štvorec koherencie), ktorý je podobný štvorcu normalizovanej korelačnej funkcie: Druhým spôsobom zavedenia spektrálnych hustôt je priama Fourierova transformácia náhodných procesov. Dovoliť a byť dva stacionárne ergodické náhodné procesy, pre ktoré konečné Fourierove transformácie
implementácie dĺžky sú definované ako Obojstranná vzájomná spektrálna hustota týchto náhodných procesov sa zavádza pomocou súčinu prostredníctvom vzťahu kde operátor očakávania znamená operáciu spriemerovania indexu . Výpočet obojstrannej spektrálnej hustoty náhodného procesu sa uskutočňuje podľa vzťahu Jednostranné spektrálne hustoty sa zavádzajú podobne: Funkcie definované vzorcami (1.49), (1.50) sú totožné so zodpovedajúcimi funkciami definovanými vzťahmi (1.32), (1.33) ako Fourierove transformácie cez kovariančné funkcie. Toto vyhlásenie sa nazýva Wiener-Khinchinove vety.
1. Uveďte klasifikáciu deterministických procesov. 2. Aký je rozdiel medzi polyharmonickými a takmer periodickými procesmi? 3. Formulujte definíciu stacionárneho náhodného procesu. 4. Aká metóda spriemerovania charakteristík ergodického náhodného procesu je vhodnejšia – spriemerovanie zo súboru funkcií vzorky alebo spriemerovanie za čas pozorovania jednej realizácie? 5. Formulujte definíciu hustoty rozdelenia pravdepodobnosti náhodného procesu. 6. Napíšte výraz spájajúci korelačné a kovariančné funkcie stacionárneho náhodného procesu. 7. Kedy sú dva náhodné procesy považované za nekorelované? 8. Uveďte metódy na výpočet strednej kvadratickej hodnoty stacionárneho náhodného procesu. 9. Akou transformáciou súvisí spektrálna hustota a kovariančné funkcie náhodného procesu? 10. Do akej miery sa menia hodnoty koherenčnej funkcie dvoch náhodných procesov? Literatúra 1. Sergienko, A.B. Digitálne spracovanie signálu / A.B. Sergienko. - M: Peter, 2002. - 604 s. 2. Sadovský, G.A. Teoretický základ informačno-meracie zariadenia / G.A. Sadovský. - M.: Vysoká škola, 2008. - 480 s. 3. Bendat, D. Aplikácia korelačnej a spektrálnej analýzy / D. Bendat, A. Pirsol. – M.: Mir, 1983. – 312 s. 4. Bendat, D. Meranie a analýza náhodných procesov / D. Bendat, A. Pirsol. – M.: Mir, 1974. – 464 s. Nasledujúce je Stručný opis niektoré signály a ich spektrálne hustoty sú určené. Pri určovaní spektrálnych hustôt signálov, ktoré spĺňajú podmienku absolútnej integrability, použijeme priamo vzorec (4.41). Spektrálne hustoty množstva signálov sú uvedené v tabuľke. 4.2. 1) Obdĺžnikový impulz (tabuľka 4.2, položka 4). Oscilácia znázornená na obr. (4.28, a) možno písať ako Jeho spektrálna hustota Graf spektrálnej hustoty (obr. 4.28, a) je založený na analýze spektra periodickej sekvencie unipolárnych pravouhlých impulzov (4.14) vykonanej skôr. Ako je zrejmé z (obr. 4.28, b), funkcia zaniká pri hodnotách argumentu = n, Kde P
-
1,
2, 3, ... - ľubovoľné celé číslo. V tomto prípade sú uhlové frekvencie rovné = . Ryža. 4.28. Obdĺžnikový impulz (a) a jeho spektrálna hustota (b) Spektrálna hustota impulzu pri sa číselne rovná jeho ploche, t.j. G(0)=A.
To platí pre hybnosť s(t)
ľubovoľný tvar. Skutočne, ak vo všeobecnom výraze (4.41) zadáme = 0, dostaneme t.j. oblasť impulzov s(t).
Tabuľka 4.3. Signál s(t) Spektrálna hustota Keď sa impulz natiahne, vzdialenosť medzi nulami funkcie sa zníži, t.j. spektrum sa stlačí. V dôsledku toho sa hodnota zvyšuje. Naopak, pri stlačení impulzu sa jeho spektrum rozširuje a hodnota klesá. Na (obr. 4.29, a, b) sú grafy amplitúdových a fázových spektier pravouhlého impulzu. Ryža. 4.29. Grafy amplitúdy (a) Obr. 4.30. Obdĺžnikový impulz a spektrá fázy (b) posunuté o čas Pri posunutí impulzu doprava (oneskorenie) o čas (obr. 4.30) sa fázové spektrum zmení o hodnotu určenú argumentom multiplikátora exp () (tabuľka 4.2, poz. 9). Výsledné fázové spektrum oneskoreného impulzu je znázornené na obr. 4.29, b s bodkovanou čiarou. 2) Funkcia Delta (tabuľka 4.3, položka 9). Funkcie spektrálnej hustoty zistíme pomocou vzorca (4.41) pomocou vlastnosti filtrovania δ
- Funkcie: Amplitúdové spektrum je teda rovnomerné a je určené plochou δ
-funkcia [= 1] a fázové spektrum je nulové [= 0]. Ako jedna z definícií sa používa inverzná Fourierova transformácia funkcie = 1 δ
- Funkcie: Pomocou vlastnosti časového posunu (tabuľka 4.2, položka 9) určíme spektrálnu hustotu funkcie ,
oneskorený o čas vzhľadom na :
Amplitúdové a fázové spektrá funkcie sú uvedené v tabuľke. 4.3, poz. 10. Inverzná Fourierova transformácia funkcie má tvar 3) Harmonické kmitanie Potom, berúc do úvahy (4.47), dostaneme δ(ω)
sú delta funkcie posunuté pozdĺž frekvenčnej osi o frekvenciu , respektíve doprava a doľava vzhľadom na. Ako vidno z (4.48), spektrálna hustota harmonického kmitania s konečnou amplitúdou nadobúda pri diskrétnych frekvenciách nekonečne veľkú hodnotu. Vykonaním podobných transformácií je možné získať spektrálnu hustotu oscilácie 4) Funkcia zobrazenia Spektrálna hustota signálu ako konštantná úroveň A je určená vzorcom (4.48), nastavenie = 0: 5) Jednoduchá funkcia (alebo jednoduchý skok) (tabuľka 4.3, poz. 8). Funkcia nie je absolútne integrovateľná. Ak je reprezentovaný ako limit exponenciálnej hybnosti ,
t.j. potom možno spektrálnu hustotu funkcie definovať ako hranicu spektrálnej hustoty exponenciálneho impulzu (tabuľka 4.3, poz. 1) pri: Prvý člen na pravej strane tohto výrazu sa rovná nule na všetkých frekvenciách okrem = 0, kde ide do nekonečna, a plocha pod funkciou sa rovná konštantnej hodnote Preto možno funkciu považovať za hranicu prvého členu. Limitom druhého člena je funkcia. Konečne sa dostávame Prítomnosť dvoch pojmov vo výraze (4.51) je v súlade s reprezentáciou funkcie
v tvare 1/2+1/2znak( t).
Podľa (4.50) konštantná zložka 1/2 zodpovedá spektrálnej hustote a nepárnej funkcii
je imaginárna hodnota spektrálnej hustoty . Pri analýze vplyvu jedného skoku na reťaze, Prenosová funkcia ktorý sa rovná nule pri = 0 (t.j. na obvodoch, ktoré neprechádzajú jednosmerným prúdom), vo vzorci (4.51) možno brať do úvahy iba druhý člen, ktorý predstavuje spektrálnu hustotu jediného skoku v tvare 6) Komplexný exponenciálny signál (tabuľka 4.3, položka 16). Ak funkciu reprezentujeme vo forme potom, na základe linearity Fourierovej transformácie a berúc do úvahy výrazy (4.48) a (4.49), spektrálna hustota komplexného exponenciálneho signálu Preto má komplexný signál asymetrické spektrum, reprezentované jedinou delta funkciou, posunutou o frekvenciu doprava vzhľadom k. 7) Ľubovoľná periodická funkcia. Predstavme si ľubovoľnú periodickú funkciu (obr. 4.31, a) ako komplexný Fourierov rad kde je frekvencia opakovania pulzu. Koeficienty Fourierových radov sú vyjadrené ako spektrálna hustota jedného impulzu s(t)
na frekvenciách ( n=0,
±1, ±2, ...). Dosadením (4.55) do (4.54) a pomocou vzťahu (4.53) určíme spektrálnu hustotu periodickej funkcie: Podľa (4.56) má spektrálna hustota ľubovoľnej periodickej funkcie tvar postupnosti funkcií vzájomne posunutých o frekvenciu (obr. 4.31, b). Koeficienty pri δ
-funkcie sa menia v súlade so spektrálnou hustotou jedného impulzu s(t) (prerušovaná krivka na obr. 4.31, b). 8) Periodická postupnosť 8-funkcií (tabuľka 4.3, položka 17). Spektrálna hustota periodickej postupnosti -funkcií je definovaná vzorcom (4.56) ako špeciálny prípad spektrálnej hustoty periodickej funkcie pre
=
1:
Obr.4.31. Ľubovoľná sekvencia impulzov (a) a jej spektrálna hustota (b) Ryža. 4.32. Rádiový signál (a), spektrálne hustoty rádiového signálu (c) a jeho obálka (b) a má formu periodickej postupnosti δ
-funkcie vynásobené koeficientom . 9) Rádiový signál s pravouhlou obálkou. Rádiový signál zobrazený na (obr. 4.32, a) možno zapísať ako Podľa poz. 11 Tabuľka 4.2, spektrálnu hustotu rádiového signálu získame posunutím spektrálnej hustoty pravouhlej obálky pozdĺž frekvenčnej osi doprava a doľava s poklesom ordinát na polovicu, t.j. Tento výraz získame z (4.42) nahradením frekvencie frekvenciami - posun doprava a - posun doľava. Transformácia obalového spektra je znázornená na (obr. 4.32, b, c). Príklady výpočtu spektier neperiodických signálov sú tiež uvedené v.Funkcia autokorelácie deterministického signálu
Autokorelačná funkcia
- hranica pomeru autokorelačnej funkcie časovo obmedzeného signálu k hodnote tohto času a kedy smeruje k nekonečnu. Ak tento limit existuje, potom je určený inverznou Fourierovou transformáciou výkonovej spektrálnej hustoty signálu.
nazývaná fázovo-frekvenčná charakteristika (PFC) signálu. Frekvenčná odozva signálu je párna funkcia a fázová odozva je nepárna.
(Tabuľka 4.3, položka 12). Harmonické kmitanie nie je úplne integrovateľný signál. Na určenie jeho spektrálnej hustoty sa však používa priama Fourierova transformácia, ktorá zapisuje vzorec (4.41) ako:
(Tabuľka 4.3, položka 13)
(Tabuľka 4.3, položka 11)
Načítava...