Lineárna operátorová matica
Dovoliť byť lineárny operátor a priestory sú konečné-rozmerné a .
Nastavme si ľubovoľné základy: 
v a 
V .
Stanovme si úlohu: pre ľubovoľný vektor vypočítajte súradnice vektora 
v základe.
Zavedením riadkovej vektorovej matice pozostávajúcej z obrázkov základných vektorov získame:
Všimnite si, že posledná rovnosť v tomto reťazci nastáva práve vďaka linearite operátora.
Rozšírme systém vektorov podľa základu:
,
kde tý stĺpec matice je stĺpec vektorových súradníc v základe.
Nakoniec budeme mať:
takže, na výpočet stĺpca vektorových súradníc vo vybranom základe druhého priestoru stačí vynásobiť stĺpec vektorových súradníc vo vybranom základe prvého priestoru vľavo maticou pozostávajúcou zo stĺpcov súradníc obrázkov základných vektorov prvého priestoru v základe druhého priestoru.
Matica sa nazýva matice lineárneho operátora v danej dvojici báz.
Súhlasíme s tým, že maticu lineárneho operátora budeme označovať rovnakým písmenom ako samotný operátor, ale bez kurzívy. Niekedy použijeme nasledujúci zápis: 
, často vynecháva odkazy na bázy (ak to neovplyvňuje presnosť).
Pre lineárnu transformáciu (t.j. keď 
) môžeme hovoriť o jeho matice v tomto základe.
Ako príklad uvažujme maticu operátora projekcie z príkladu v odseku 1.7 (považujeme ju za transformáciu priestoru geometrických vektorov). Ako základ zvolíme obvyklý základ.
Matica operátora projekcie na rovinu v základe má teda tvar:
Všimnite si, že ak by sme považovali projekčný operátor za mapovanie do , chápajúc tým priestor všetkých geometrických vektorov ležiacich v rovine, potom, ak vezmeme základ ako základ, dostaneme nasledujúcu maticu:
Ak vezmeme do úvahy ľubovoľnú maticu veľkosti ako lineárny operátor mapujúci aritmetický priestor na aritmetický priestor a vyberieme kanonickú bázu v každom z týchto priestorov, dostaneme, že maticou daného lineárneho operátora v takejto dvojici báz je samotná matica. ktorý definuje tento operátor - teda v V tomto prípade sú matica a lineárny operátor jedno a to isté (rovnako ako pri výbere kanonickej bázy v aritmetickom vektorovom priestore môže vektor a stĺpec jeho súradníc v tomto základe byť identifikovaný). Bolo by však veľkou chybou identifikovať vektor ako taký A lineárny operátor ako taký s ich reprezentáciou v jednom alebo druhom základe (vo forme stĺpca alebo matice). Vektorový aj lineárny operátor sú geometrické, nemenné objekty, nezávisle od akéhokoľvek základu. Takže, keď napríklad nakreslíme geometrický vektor ako smerovaný segment, potom je definovaný úplne invariantne, t.j. keď to kreslíme, nestaráme sa o základne, súradnicové systémy atď. a môžeme s tým pracovať čisto geometricky. Ďalšia vec je tá pre pohodlie tejto operácie, pre pohodlie výpočtov s vektormi, budujeme určitý algebraický aparát, zavádzajúci súradnicové systémy, bázy a s tým spojenú čisto algebraickú techniku výpočtov s vektormi. Obrazne povedané, vektor, podobne ako „holý“ geometrický objekt, sa „oblieka“ do rôznych súradnicových zobrazení v závislosti od výberu základu. Ale človek si môže obliecť tie najrozmanitejšie šaty, ktoré síce nezmenia jeho podstatu ako človeka, ale tiež platí, že nie každé šaty sa hodia na danú situáciu (na pláž sa nedá ísť v koncertnom fraku) , a nie všade nahí sa tiež pôjdete prejsť. Na riešenie tohto problému teda nie je vhodný žiadny základ, rovnako ako čisto geometrické riešenie sa môže ukázať ako príliš komplikované. V našom kurze uvidíme, ako vyriešiť taký zdanlivo čisto geometrický problém, akým je klasifikácia plôch druhého rádu, je skonštruovaná pomerne zložitá a krásna algebraická teória.
Pochopenie rozdielu medzi geometrickým objektom a jeho znázornením v určitom základe tvorí základ pre vnímanie lineárnej algebry. A geometrický objekt nemusí byť geometrickým vektorom. Ak teda zadáme aritmetický vektor 
, potom ho možno identifikovať so stĺpcom jeho súradníc v kanonickom základe 
, pre (pozri prvý semester):
Predstavme si však ďalší základ v , ktorý pozostáva z vektorov a (skontrolujte, či je to naozaj základ!) a pomocou prechodovej matice prepočítajte súradnice nášho vektora:
Dostali sme úplne iný stĺpec, ale predstavuje rovnaký aritmetický vektor na inom základe.
To, čo bolo povedané o vektoroch, platí aj pre lineárne operátory. Čo je pre vektor jeho súradnicová reprezentácia, čo je pre lineárny operátor jeho matica.
Takže (povieme to znova), je potrebné jasne rozlišovať medzi invariantnými, geometrickými, samotnými objektmi, čo je vektorový a lineárny operátor a ich zastúpenie na jednom alebo druhom základe (hovoríme samozrejme o konečnej dimenzii lineárnych priestorov).
Zaoberme sa teraz problémom transformácie matice lineárneho operátora pri prechode z jednej dvojice báz na druhú.
Nechaj 
-
nový pár báz v resp.
Potom (označením matice operátora v páre „šrafovaných“ základov) dostaneme:
Ale iným spôsobom,
,
odkiaľ, kvôli jedinečnosti expanzie vektora v báz
,
Pre lineárnu transformáciu má vzorec jednoduchšiu formu:
Matice a spojené týmto vzťahom sa nazývajú podobný.
Je ľahké vidieť, že determinanty takýchto matíc sa zhodujú.
Poďme si teraz predstaviť koncept rad lineárneho operátora.
Podľa definície ide o číslo, ktoré sa rovná rozmeru obrázka daného operátora:
Dokážme nasledujúce dôležité tvrdenie:
Vyhlásenie 1. 10 Hodnosť lineárneho operátora sa zhoduje s hodnosťou jeho matice bez ohľadu na výber báz.
Dôkaz. V prvom rade si všimneme, že obrazom lineárneho operátora je lineárne rozpätie systému, kde je základ v priestore.
naozaj,
nech sú čísla akékoľvek, znamená to, že ide o špecifikované lineárne rozpätie.
Rozmer lineárneho obalu, ako vieme (pozri časť 1.2), sa zhoduje s hodnosťou zodpovedajúceho systému vektorov.
Predtým sme dokázali (časť 1.3), že ak sa systém vektorov rozloží na nejaký základ vo forme
potom, ak je systém nezávislý, stĺpce matice sú lineárne nezávislé. Dá sa dokázať aj silnejšie tvrdenie (tento dôkaz vynecháme): hodnosť systému sa rovná hodnosti matice, Okrem toho tento výsledok nezávisí od výberu bázy, pretože vynásobením matice nesingulárnou prechodovou maticou sa nemení jej poradie.
Pretože
,
Keďže sa rady podobných matíc samozrejme zhodujú, tento výsledok nezávisí od výberu konkrétneho základu.
Výrok bol dokázaný.
Pre lineárne transformácia nejakého konečnorozmerného lineárneho priestoru môžeme zaviesť pojem determinantom tohto transformácia ako determinant svojej matice na ľubovoľne fixnom základe, pretože matice lineárnej transformácie v rôznych základoch sú podobné, a preto majú rovnaké determinanty.
Pomocou konceptu matice lineárneho operátora dokážeme nasledujúci dôležitý vzťah: pre akúkoľvek lineárnu transformáciu -rozmerného lineárneho priestoru
Vyberme si ľubovoľný základ v priestore. Potom jadro pozostáva z tých a len tých vektorov, ktorých súradnicové stĺpce sú riešeniami homogénneho systému
menovite vektor vtedy a len vtedy, ak je stĺpec riešením systému (1).
Inými slovami, existuje izomorfizmus jadra na priestor riešenia systému (1). V dôsledku toho sa rozmery týchto priestorov zhodujú. Ale rozmer priestoru riešenia sústavy (1) je rovnaký, ako už vieme, , kde je poradie matice . Ale práve sme to dokázali
Nechajte lineárny operátor A pôsobí v euklidovskom priestore E n a premieňa tento priestor na seba.
Poďme sa predstaviť definícia: operátor A* nazvime to konjugát operátora A, ak pre akékoľvek dva vektory x, y z E n je splnená rovnosť skalárnych produktov tvaru:
(Sekera, y) = (x, A*y)
Viac definícia: lineárny operátor sa nazýva samoadjungovaný, ak sa rovná svojmu adjungovanému operátoru, to znamená, že platí rovnosť:
(Sekera, y) = (x, Ay)
alebo najmä ( Ax,x) = (x, Ax).
Samoadjunktný operátor má určité vlastnosti. Spomeňme niektoré z nich:
Vlastné hodnoty samoadjungovaného operátora sú skutočné (bez dôkazu);
Vlastné vektory samoadjungovaného operátora sú ortogonálne. Skutočne, ak x 1 A x 2 sú vlastné vektory a 1 a 2 sú ich vlastné hodnoty, potom: Sekera 1 = 1 X; Sekera 2 = 2 X; (Os 1, x 2) = (x 1, sekera 2), alebo 1 ( x 1, x 2) = 2 (x 1, x 2). Keďže 1 a 2 sú rôzne, potom odtiaľto ( x 1, x 2) = 0, čo je potrebné dokázať.
V euklidovskom priestore existuje ortonormálny základ vlastných vektorov samoadjungovaného operátora A. To znamená, že matica samoadjungovaného operátora môže byť vždy redukovaná na diagonálny tvar v nejakej ortonormálnej báze zloženej z vlastných vektorov samoadjungovaného operátora.
Ďalší definícia: nazvime samoadjungovaný operátor pôsobiaci v euklidovskom priestore symetrické operátor. Uvažujme maticu symetrického operátora. Dokážme tvrdenie: Aby bol operátor symetrický, je nevyhnutné a postačujúce, aby jeho matica v ortonormálnej báze bola symetrická.
Nechaj A- symetrický operátor, t.j.
(Sekera, y) = (x, Ay)
Ak A je matica operátora A, a X A r– nejaké vektory, potom napíšeme:
súradnice X A r na nejakom ortonormálnom základe
Potom: ( x, y) = X T Y = Y T X a máme ( Sekera, y) = (AX) T Y = X T A T Y
(x, Ay) = X T (AY) = X T AY,
tie. X T A T Y = X T AY. Pre ľubovoľné stĺpcové matice X,Y je táto rovnosť možná len vtedy, keď A T = A, čo znamená, že matica A je symetrická.
Pozrime sa na niekoľko príkladov lineárnych operátorov
Operátor dizajn. Nech je potrebné nájsť maticu lineárneho operátora, ktorý premieta trojrozmerný priestor na súradnicovú os e 1 v základe e 1 , e 2 , e 3 . Lineárna operátorová matica je matica, ktorej stĺpce musia obsahovať obrázky základných vektorov e 1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0), e 3 = (0,0,1). Tieto obrázky zjavne existujú: Ae 1 = (1,0,0)
Ae 2 = (0,0,0)
Ae 3 = (0,0,0)
Preto v zákl e 1
,
e 2
,
e 3
matica požadovaného lineárneho operátora bude mať tvar: 
Poďme nájsť jadro tohto operátora. Podľa definície je jadro množinou vektorov X, pre ktoré AX = 0. Or
To znamená, že jadro operátora je množina vektorov ležiacich v rovine e 1 , e 2 . Rozmer jadra je n – rangA = 2.
Množina obrázkov tohto operátora je samozrejme množina kolineárnych vektorov e 1 . Rozmer obrazového priestoru sa rovná hodnosti lineárneho operátora a rovná sa 1 , čo je menej ako rozmer priestoru predobrazu. Teda operátora A– degenerovať. Matica A je tiež jednotná.
Ďalší príklad: nájdite maticu lineárneho operátora pracujúceho v priestore V 3 (základ i, j, k) lineárna transformácia– symetria o pôvode.
Máme: Ai = -i
Teda požadovaná matica 
Zoberme si lineárnu transformáciu - symetria okolo roviny r = X.
Aj = i(1,0,0)
Ak = k (0,0,1)
Operátorová matica bude:
Ďalším príkladom je už známa matica, ktorá spája súradnice vektora pri otáčaní súradnicových osí. Operátor, ktorý otáča súradnicové osi, nazvime operátorom otáčania. Povedzme, že sa otáčame o uhol :
Ai’ = cos i+ hriech j
Aj’ = -hrieš i+cos j
Matica rotačného operátora:
Ai ‘ Aj ‘
Pripomeňme si vzorce na transformáciu súradníc bodu pri zmene základne - nahradenie súradníc v rovine pri zmene základne:
E 
Tieto vzorce možno posudzovať dvoma spôsobmi. Predtým sme tieto vzorce zvažovali tak, že bod stojí, súradnicový systém sa otáča. Ale možno tiež uvažovať o tom, že súradnicový systém zostáva rovnaký, ale bod sa presunie z polohy M * do polohy M. Súradnice bodu M a M * sú definované v rovnakom súradnicovom systéme.
IN 
Všetko, čo bolo povedané, nám umožňuje priblížiť sa k ďalšiemu problému, ktorý musia vyriešiť programátori, ktorí sa zaoberajú grafikou na počítači. Nech je potrebné otočiť určitý plochý obrazec (napríklad trojuholník) na obrazovke počítača vzhľadom na bod O‘ so súradnicami (a, b) o určitý uhol . Rotácia súradníc je opísaná vzorcami:
Paralelný prenos poskytuje nasledujúce vzťahy:
Na vyriešenie takéhoto problému sa zvyčajne používa umelá technika: zavádzajú sa takzvané „homogénne“ súradnice bodu v rovine XOY: (x, y, 1). Potom je možné zapísať maticu vykonávajúcu paralelný prenos:
naozaj:
A rotačná matica:
Zvažovaný problém možno vyriešiť v troch krokoch:
1. krok: paralelný prenos do vektora A(-a, -b) na zarovnanie stredu otáčania s počiatkom súradníc:
2. krok: otočenie o uhol :
3. krok: paralelný prenos do vektora A(a, b), aby sa stred otáčania vrátil do predchádzajúcej polohy:
Požadovaná lineárna transformácia vo forme matice bude vyzerať takto:
(**)
1. Operátori projekcie a prstencové idempotenty
Nech sa vektorový priestor V rovná priamemu súčtu podpriestorov W a L: . Podľa definície priameho súčtu to znamená, že každý vektor vV môže byť jednoznačne reprezentovaný v tvare v=w+l, wW. ll.
Definícia 1. Ak teda v=w+l, potom zobrazenie, ktoré spája každý vektor vV s jeho zložkou (projekciou) wW, sa nazýva premietač priestoru V do priestoru W. Nazýva sa tiež projekčný operátor alebo projekčný operátor.
Je zrejmé, že ak wW, potom (w)=w. Z toho vyplýva, že má nasledujúcu pozoruhodnú vlastnosť 2 =P.
Definícia 2. Prvok e kruhu K sa nazýva idempotentný (teda podobný prvku), ak e 2 =e.
V kruhu celých čísel sú len dva idempotenty: 1 a 0. Iná situácia je v kruhu matíc. Napríklad matrice sú idempotentné. Matice projekčných operátorov sú tiež idempotentné. Ich zodpovedajúce operátory sa nazývajú idempotentné operátory.
Uvažujme teraz o priamom súčte n podpriestorov priestoru V:
Potom, podobne ako v prípade priameho súčtu dvoch podpriestorov, môžeme získať n projekčných operátorov, ..., . Majú vlastnosť ==0 pre ij.
Definícia 3. Idempotenty e i a e j (ij) sa nazývajú ortogonálne, ak e i e j = e j e i =0. Preto a sú ortogonálne idempotenty.
Z toho, že IV=V a z pravidla sčítania lineárnych operátorov vyplýva, že
Tento rozklad sa nazýva rozklad jednoty na súhrn idempotentov.
Definícia 4. Idempotent e sa nazýva minimálny, ak ho nemožno reprezentovať ako súčet iných idempotentov ako e a 0.
2. Rozklad kánonického zobrazenia
Definícia 5. Kanonický rozklad zobrazenia T(g) je jeho rozklad na formu T(g)=n 1 T 1 (g)+ n 2 T 2 (g)+…+ n t T t (g), v ktorom ekvivalent ireducibilný reprezentácie Ti (g ) sú spojené dohromady a n i je násobok výskytu ireducibilnej reprezentácie Ti (g) v expanzii T(g).
Veta 1. Kanonický rozklad zobrazenia je definovaný pomocou projekčného operátora formulára
I=1, 2, …, t, (31)
kde |G| - poradie skupiny G; m i - stupne vyjadrení Ti (g), kde i=1, 2, …, t; i (g), i=1, 2, …, t - znaky neredukovateľných zobrazení T i (g). V tomto prípade je m i určené vzorcom
3. Projekčné operátory spojené s maticami neredukovateľných zobrazení skupín
Pomocou vzorcov (31) je možné získať iba kanonický rozklad zobrazenia. Vo všeobecnom prípade je potrebné použiť matice neredukovateľných zobrazení, ktoré nám umožňujú zostrojiť zodpovedajúce projekčné operátory.
Veta 2. Nech sú prvky matice ireducibilnej reprezentácie T r (g) grupy G. Operátor tvaru
je projekčný operátor a nazýva sa Wignerov operátor. Vo výraze (33) je m r rozmer zobrazenia T r (g).
4. Dekompozícia zobrazenia na priamy súčet neredukovateľných zobrazení pomocou Wignerovho operátora
Označme M modul spojený so zobrazením T. Nech ireducibilné zobrazenia T 1, T 2, ..., T t z kanonického rozkladu zobrazenia podľa vyššie opísanej metódy (pozri § 4) zodpovedajú neredukovateľné podmoduly M 1, M 2, ..., M t . Rozklad modulu typu M
sa nazýva kanonický rozklad modulu M. Označme niMi=Li, takže
Ireducibilné podmoduly modulov L i označujeme
; i = 1, 2, ..., t. (36)
Musíme nájsť tieto moduly.
Predpokladajme, že problém je vyriešený. V dôsledku toho sa v každom z modmodulov Mi (s) (s=1, 2, …, n i) nachádza ortonormálna báza, v ktorej je operátor reprezentovaný maticou T i (g) neredukovateľnej reprezentácie T získanej ako výsledok činnosti (podľa pravidla z § 3 ) prevádzkovateľa založiť podľa vzorca
J = 1, 2, ..., mi. (37)
V tomto výraze môžeme predpokladať, že mi je rozmer ireducibilnej reprezentácie T i (i=1, 2, …, t) a sú to prvky bázy s číslom g z ireducibilného podmodulu Mi. Umiestnime teraz prvky základne L i pre pevné i takto:
Vpravo vo výraze (38) sú modulové základne M i (1) , M i (2) , …, . Ak sa i zmení z 1 na t, získame požadovanú základňu celého modulu M, pozostávajúceho z m 1 n 1 + m 2 n 2 +…+ m t n t prvkov.
Pozrime sa teraz na operátora
pôsobiace v module M (j je pevné). Podľa vety 2 je operátorom projekcie. Preto tento operátor ponecháva nezmenené všetky základné prvky (s=1, 2, ..., n i) nachádzajúce sa v j-tom stĺpci expresia (38) a zmení všetky ostatné základné vektory na nulu. Označme M ij vektorový priestor preklenutý ortogonálnou sústavou vektorov v j-tom stĺpci výrazu (38). Potom môžeme povedať, čo je operátor projekcie do priestoru M ij . Operátor je známy, keďže sú známe diagonálne prvky matíc neredukovateľných zobrazení grúp, ako aj operátor T(g).
Teraz môžeme vyriešiť náš problém.
Vyberme si n i ľubovoľných bázových vektorov v M: a pracujme na nich s operátorom premietania. Výsledné vektory ležia v priestore M ij a sú lineárne nezávislé. Nie sú nevyhnutne ortogonálne a normalizované. Ortonormalizujme výslednú sústavu vektorov podľa pravidla z § 2. Výslednú sústavu vektorov označme e ij (s) v súlade so zápisom prijatým za predpokladu, že úloha je vyriešená. Ako už bolo uvedené, j je tu pevné a s = 1, 2, ..., n i. Označme e if (s) (f=1, 2, …, j-1, j+1, …, m i), zvyšné prvky modulovej základne M i rozmeru n i m i. Označme nasledujúcim operátorom:
Zo vzťahov ortogonality pre matice neredukovateľných zobrazení vyplýva, že tento operátor umožňuje získať napr.
I = 1, 2, …, t. (41)
Všetky vyššie uvedené môžu byť vyjadrené vo forme nasledujúceho algoritmu.
Na nájdenie bázy modulu M z prvkov, ktoré sa transformujú podľa neredukovateľných zobrazení T i obsiahnutých v zobrazení T spojenom s modulom M, je potrebné:
Pomocou vzorca (32) nájdite rozmery podpriestorov M ij zodpovedajúcich j-zložke ireducibilnej reprezentácie T i.
Nájdite všetky podpriestory M ij pomocou operátora premietania (39).
V každom podpriestore M ij vyberte ľubovoľnú ortonormálnu základňu.
Pomocou vzorca (41) nájdite všetky prvky bázy, ktoré sa transformujú cez zostávajúce zložky ireducibilnej reprezentácie T i.
Bra- a ket-Diracove vektory sú pozoruhodné tým, že sa dajú použiť na zápis Rôzne druhy Tvorba.
Súčin bra-vektora a ket-vektora sa nazýva skalárny súčin alebo vnútorný súčin. V podstate ide o štandardný maticový produkt podľa pravidla „riadok po stĺpci“. Výsledkom je komplexné číslo.
Súčin ket-vektora iným ket-vektorom dáva nie číslo, ale iný ket-vektor. Je tiež reprezentovaný ako stĺpcový vektor, ale s počtom komponentov rovným súčinu rozmerov pôvodných vektorov. Takýto produkt sa nazýva tenzorový produkt alebo Kroneckerov produkt.
Podobne pre súčin dvoch bra-vektorov. Získame veľký riadkový vektor.
Poslednou možnosťou je vynásobenie ket-vektoru bra-vektorom. To znamená, že musíte vynásobiť stĺpec riadkom. Takýto produkt sa tiež nazýva tenzor alebo vonkajší produkt. Výsledkom je matica, teda operátor.
Pozrime sa na príklad použitia takýchto operátorov.
Zoberme si nejaký ľubovoľný hermitovský operátor A. Podľa postulátov tomu zodpovedá nejaká pozorovateľná veličina. Základ tvoria vlastné vektory hermitovského operátora. Najvšeobecnejší stavový vektor možno rozšíriť na tento základ. To znamená, že ho predstavte ako súčet základných vektorov s určitými komplexnými koeficientmi. Táto skutočnosť je známa ako princíp superpozície. Prepíšme výraz pomocou znamienka súčtu.
Koeficienty pri expanzii vektora na bázické sú však amplitúdy pravdepodobnosti, teda skalárny súčin stavového vektora s príslušným bázovým vektorom. Napíšme túto amplitúdu napravo od vektora. Výraz pod znakom súčtu možno považovať za násobenie vektora ket komplexným číslom - amplitúdou pravdepodobnosti. Na druhej strane ho možno považovať za súčin matice získanej vynásobením ket-vektora bra-vektorom a pôvodného ket-vektora. Vektor ket možno vybrať zo znamienka súčtu mimo zátvorky. Napravo a naľavo od znamienka rovnosti bude rovnaký vektor psi. To znamená, že celý súčet nerobí s vektorom nič a preto sa rovná matici identity.
Tento vzorec je sám o sebe veľmi užitočný pri manipulácii s výrazmi s produktmi vektorov podprsenky a ket. Koniec koncov, jednotka môže byť vložená kdekoľvek v práci.
Pozrime sa, aké sú matice, ktoré sú zahrnuté v súčte a sú získané tenzorovým súčinom vektora bázy ket s jeho hermitovským konjugátom. Opäť si pre názornosť nakreslíme analógiu s obyčajnými vektormi v trojrozmernom priestore.
Vyberme jednotkové základné vektory ex ey a ez, ktoré sa zhodujú v smere so súradnicovými osami. Tenzorový súčin vektora ex a jeho konjugátu bude reprezentovaný nasledujúcou maticou. Zoberme si ľubovoľný vektor v. Čo sa stane, keď sa táto matica vynásobí vektorom? Táto matica jednoducho vynulovala všetky zložky vektora okrem x. Výsledkom je vektor nasmerovaný pozdĺž osi x, teda projekcia pôvodného vektora na základný vektor ex. Ukazuje sa, že naša matica nie je nič iné ako operátor projekcie.
Zostávajúce dva operátory projekcie na základné vektory ey a ez sú reprezentované podobnými maticami a vykonávajú podobnú funkciu - vynulujú všetky zložky vektora okrem jednej na nulu.
Čo sa stane pri sčítaní operátorov projekcie? Pridajme napríklad operátory Px a Py. Takáto matica vynuluje iba z-ovú zložku vektora. Konečný vektor bude vždy ležať v rovina x-y. To znamená, že máme operátor projekcie do roviny x-y.
Teraz je jasné, prečo sa súčet všetkých projekčných operátorov na základné vektory rovná matici identity. V našom príklade získame projekciu trojrozmerného vektora do samotného trojrozmerného priestoru. Matica identity je v podstate projektorom vektora na seba.
Ukazuje sa, že zadanie operátora projekcie je ekvivalentné špecifikovaniu podpriestoru pôvodného priestoru. V prípade uvažovaného trojrozmerného euklidovského priestoru to môže byť jednorozmerná čiara definovaná jedným vektorom alebo dvojrozmerná rovina definovaná dvojicou vektorov.
Ak sa vrátime ku kvantovej mechanike s jej stavovými vektormi v Hilbertovom priestore, môžeme povedať, že projekčné operátory definujú podpriestor a premietajú stavový vektor do tohto Hilbertovho podpriestoru.
Uveďme si hlavné vlastnosti projekčných operátorov.
- Postupné aplikácie toho istého operátora projekcie sú ekvivalentné jednému operátorovi projekcie. Zvyčajne sa táto vlastnosť zapisuje ako P 2 = P. V skutočnosti, ak prvý operátor premietol vektor do podpriestoru, potom druhý operátor s tým nič neurobí. Vektor už bude v tomto podpriestore.
- Projekčné operátory sú teda hermitovské operátory, v kvantovej mechanike zodpovedajú pozorovateľným veličinám.
- Vlastné hodnoty operátorov projekcie akejkoľvek dimenzie sú iba čísla jedna a nula. Či je vektor v podpriestore alebo nie. Kvôli tejto binárnej povahe môže byť pozorovateľná veličina opísaná operátorom projekcie formulovaná vo forme otázky, na ktorú je odpoveď „áno“ alebo „nie“. Je napríklad spin prvého elektrónu v singletovom stave nasmerovaný nahor pozdĺž osi z? Táto otázka môže byť spojená s operátorom projekcie. Kvantová mechanika vám umožňuje vypočítať pravdepodobnosti pre odpoveď „áno“ a pre odpoveď „nie“.
V budúcnosti si povieme viac o projekčných operátoroch.
Načítava...