แนวคิดที่สำคัญที่สุดประการหนึ่งของทฤษฎีความน่าจะเป็นคือแนวคิด ตัวแปรสุ่ม.

สุ่มเรียกว่า ค่าซึ่งจากการทดสอบจะใช้ค่าที่เป็นไปได้บางอย่างที่ไม่ทราบล่วงหน้าและขึ้นอยู่กับสาเหตุสุ่มที่ไม่สามารถนำมาพิจารณาล่วงหน้าได้

ตัวแปรสุ่มจะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ของอักษรละติน เอ็กซ์, วาย, Zฯลฯ หรือตัวพิมพ์ใหญ่ของอักษรละตินที่มีตัวห้อยด้านขวา และค่าที่สามารถใช้ได้ ตัวแปรสุ่ม- อักษรตัวเล็กของอักษรละตินที่สอดคล้องกัน x, ย, ซีเป็นต้น

แนวคิดของตัวแปรสุ่มมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับแนวคิดของเหตุการณ์สุ่ม การเชื่อมต่อกับเหตุการณ์สุ่มอยู่ในข้อเท็จจริงที่ว่าการยอมรับค่าตัวเลขค่าหนึ่งโดยตัวแปรสุ่มนั้นเป็นเหตุการณ์สุ่มที่มีลักษณะของความน่าจะเป็น .

ในทางปฏิบัติ มีสองประเภทหลักของตัวแปรสุ่ม:

1. ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

2. ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง.

ตัวแปรสุ่มคือฟังก์ชันตัวเลขของเหตุการณ์สุ่ม

ตัวอย่างเช่น ตัวแปรสุ่มคือจำนวนแต้มที่หล่นเมื่อโยนลูกเต๋า หรือความสูงของลูกเต๋าที่เลือกมาแบบสุ่ม กลุ่มการศึกษานักเรียน.

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเรียกว่าตัวแปรสุ่มที่ใช้เฉพาะระยะไกลจากค่าอื่น ๆ ที่สามารถแจกแจงล่วงหน้าได้

กฎหมายการกระจาย(ฟังก์ชันการแจกแจงและชุดการแจกแจงหรือความหนาแน่นของความน่าจะเป็น) อธิบายพฤติกรรมของตัวแปรสุ่มได้อย่างสมบูรณ์ แต่ในปัญหาจำนวนหนึ่ง ก็เพียงพอที่จะทราบลักษณะเชิงตัวเลขบางประการของปริมาณที่กำลังศึกษาอยู่ (เช่น ค่าเฉลี่ยและความเบี่ยงเบนที่อาจเกิดขึ้นจากปริมาณนั้น) เพื่อที่จะตอบคำถามที่ตั้งไว้ พิจารณาลักษณะตัวเลขหลักของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเรียกว่าอัตราส่วนใด ๆ , สร้างความสัมพันธ์ระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน .

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มสามารถแสดงเป็น ตาราง:

ผลรวมของความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มเท่ากับหนึ่ง นั่นคือ .

กฎหมายการกระจายสามารถแสดงได้ แบบกราฟิก: บนแกน abscissa ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มจะถูกพล็อตและบนแกนกำหนดความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้ คะแนนที่ได้รับนั้นเชื่อมต่อกันด้วยเซ็กเมนต์ เส้นที่สร้างขึ้นเรียกว่า รูปหลายเหลี่ยมการกระจาย.

ตัวอย่าง. ฮันเตอร์ที่มี 4 รอบยิงเข้าเกมจนกว่าจะใช้การโจมตีครั้งแรกหรือรอบทั้งหมด ความน่าจะเป็นในการยิงนัดแรกคือ 0.7 โดยการยิงครั้งต่อไปแต่ละครั้งจะลดลง 0.1 วาดกฎการกระจายจำนวนตลับที่ใช้โดยนักล่า

สารละลาย.เนื่องจากนักล่าที่มี 4 นัดสามารถยิงได้ 4 นัดจากนั้นจึงสุ่มค่า เอ็กซ์- จำนวนคาร์ทริดจ์ที่ใช้หมดโดยฮันเตอร์สามารถใช้ค่า 1, 2, 3, 4 เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน เราแนะนำเหตุการณ์:

- "ตีที่ ฉัน-โอห์มช็อต”, ;

- “คิดถึงที่ ฉัน-นัดที่” และเหตุการณ์และเป็นอิสระจากกัน

ตามเงื่อนไขของปัญหา เรามี:

,

จากทฤษฎีบทการคูณสำหรับเหตุการณ์อิสระและทฤษฎีบทการบวกสำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ เราพบว่า:

(นักล่าเข้าเป้าด้วยการยิงนัดแรก);

(ผู้ล่าเข้าเป้าจากนัดที่สอง);

(ผู้ล่าเข้าเป้าจากนัดที่สาม);

(นายพรานเข้าเป้าตั้งแต่นัดที่สี่หรือพลาดทั้งสี่ครั้ง)

การตรวจสอบ: - ถูกต้อง

ดังนั้นกฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ดูเหมือน:

ตัวอย่าง.คนงานใช้เครื่องจักรสามเครื่อง ความน่าจะเป็นที่เครื่องแรกจะไม่ต้องปรับภายในหนึ่งชั่วโมงคือ 0.9 เครื่องที่สองคือ 0.8 เครื่องที่สามคือ 0.7 จัดทำกฎหมายการจัดจำหน่ายสำหรับจำนวนเครื่องที่จะต้องปรับเปลี่ยนภายในหนึ่งชั่วโมง

สารละลาย.ค่าสุ่ม เอ็กซ์- จำนวนเครื่องจักรที่ต้องปรับเปลี่ยนภายในหนึ่งชั่วโมงสามารถใช้ค่า 0.1, 2, 3 เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้อง เราแนะนำเหตุการณ์:

- “ฉัน- เครื่องจะต้องมีการปรับเปลี่ยนภายในหนึ่งชั่วโมง”, ;

- “ฉัน- เครื่องจะไม่ต้องปรับแต่งภายในหนึ่งชั่วโมง”, .

จากเงื่อนไขของปัญหา เรามี:

, .

ภารกิจที่ 5

เงื่อนไข:อุปกรณ์สามารถประกอบได้จากชิ้นส่วน คุณภาพสูงและชิ้นส่วนที่มีคุณภาพตามปกติ 40% ของอุปกรณ์ประกอบขึ้นจากชิ้นส่วนคุณภาพสูง

สำหรับอุปกรณ์คุณภาพสูง ความน่าเชื่อถือในช่วงเวลา t คือ 0.95 สำหรับอุปกรณ์ทั่วไป ความน่าเชื่อถือคือ 0.7 อุปกรณ์ได้รับการทดสอบเป็นเวลา t และทำงานได้อย่างไร้ที่ติ

ค้นหาความน่าจะเป็นที่ประกอบจากชิ้นส่วนคุณภาพสูง

สารละลาย: H 1 - อุปกรณ์ประกอบจากชิ้นส่วนคุณภาพสูง

H 2 - อุปกรณ์ประกอบจากชิ้นส่วนที่มีคุณภาพธรรมดา

ความน่าจะเป็นของสมมติฐานเหล่านี้ก่อนประสบการณ์:

จากผลการทดลองพบว่าเหตุการณ์ A - อุปกรณ์ทำงานได้อย่างไร้ที่ติเป็นเวลา t

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์นี้ภายใต้สมมติฐาน H 1 และ H 2 คือ:

เราพบความน่าจะเป็นของสมมติฐาน H 1 หลังการทดลอง:

ความน่าจะเป็น ราก ค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน กำลังสอง ทางคณิตศาสตร์

สถิติคณิตศาสตร์

แบบฝึกหัด 1.

เงื่อนไข:เขียนกฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม

นายพรานยิงเกมจนโดนแต่ยิงได้ไม่เกินสามนัด ความน่าจะเป็นในการยิงแต่ละครั้งคือ 0.6 เขียนกฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม X - จำนวนนัดที่ยิงโดยมือปืน คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม

สารละลาย:ความน่าจะเป็นที่จำนวนการพลาดคือ 0 คือ 0.6

• - ความน่าจะเป็นที่จำนวนการพลาดเท่ากับ 1 เท่ากับ 0.4 0.6 = 0.24 (พลาดในครั้งแรก ตีในวินาที)
• - ความน่าจะเป็นที่จำนวนการพลาดคือ 2 เท่ากับ 0.4 0.4 0.6 = 0.096 (ไม่โดนในสองครั้งแรก โดนในสาม)
• - ความน่าจะเป็นที่จำนวนการพลาดคือ 3 เท่ากับ 0.4 0.4 0.4 = 0.064 (ไม่โดนในสามครั้งแรก)

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือ 0 0.6+1 0.24+2 0.096+3 0.064 = 0.624

ม(x*x)=0.24 +0.384+0.576=1.2

D(x)=1.2-0.389376=0.810624

ภารกิจที่ 2

เงื่อนไข:ค่าสุ่ม เอ็กซ์กำหนดโดยฟังก์ชันการกระจาย เอฟ(เอ็กซ์).