ตัวเลขบางตัวอยู่ที่ไหน (ตัวเลขบางตัวหรือทั้งหมดอาจเท่ากับศูนย์) ซึ่งหมายความว่ามีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ระหว่างองค์ประกอบของคอลัมน์:
จาก (3.3.1) เป็นไปตามนั้น
หากความเท่าเทียมกัน (3.3.3) เป็นจริงก็ต่อเมื่อ แถวจะถูกเรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้น ความสัมพันธ์ (3.3.2) แสดงให้เห็นว่าหากแถวใดแถวหนึ่งแสดงเป็นเชิงเส้นในแง่ของอีกแถวหนึ่ง แถวนั้นจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้น
นอกจากนี้ ยังง่ายต่อการมองเห็นสิ่งที่ตรงกันข้าม: หากแถวต่างๆ อิงตามเชิงเส้น แสดงว่ามีแถวหนึ่งที่เป็นชุดค่าผสมเชิงเส้นของแถวอื่นๆ
ตัวอย่างเช่นใน (3.3.3) แล้ว 
.
คำนิยาม. ให้เลือกลำดับรองของลำดับที่ r ในเมทริกซ์ A และให้ลำดับรองของลำดับที่ (r + 1) ของเมทริกซ์เดียวกันมีตัวรองอยู่ในนั้นอย่างสมบูรณ์ เราจะบอกว่าในกรณีนี้ผู้เยาว์มีพรมแดนติดกับผู้เยาว์ (หรือมีพรมแดนติดกับ )
ตอนนี้เราพิสูจน์บทแทรกที่สำคัญแล้ว
บทแทรกเกี่ยวกับผู้เยาว์ที่มีพรมแดนติด ถ้ารองอันดับ r ของเมทริกซ์ A= ไม่เป็นศูนย์ และผู้เยาว์ทั้งหมดที่ล้อมรอบเมทริกซ์มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น แถว (คอลัมน์) ใดๆ ของเมทริกซ์ A จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถว (คอลัมน์) ที่ประกอบกัน .
การพิสูจน์. โดยไม่ละเมิดหลักการทั่วไปของเหตุผล เราจะถือว่าผู้เยาว์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของลำดับที่ rth อยู่ที่มุมซ้ายบนของเมทริกซ์ A = :
.
สำหรับแถว k แรกของเมทริกซ์ A ข้อความของบทแทรกนั้นชัดเจน: ก็เพียงพอแล้วที่จะรวมแถวเดียวกันที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับหนึ่งไว้ในชุดค่าผสมเชิงเส้น และส่วนที่เหลือมีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับศูนย์
ตอนนี้เราพิสูจน์ได้ว่าแถวที่เหลือของเมทริกซ์ A แสดงเป็นเส้นตรงในรูปของ k แถวแรก ในการทำเช่นนี้ เราสร้างรองของลำดับที่ (r + 1) โดยเพิ่มแถวที่ k () ให้กับรองและ ล- คอลัมน์ที่ ():
.
ผลรองที่เป็นศูนย์สำหรับ k และ l ทั้งหมด ถ้า แล้วจะเท่ากับศูนย์เนื่องจากมีสองคอลัมน์ที่เหมือนกัน ถ้า ดังนั้นผลลัพธ์รองลงมาคือขอบรองสำหรับ และ ดังนั้น เท่ากับศูนย์ตามสมมติฐานของบทแทรก
ให้เราขยายผู้เยาว์ในแง่ขององค์ประกอบของหลัง ล-th คอลัมน์:
สมมติว่า เราได้รับ:
 | (3.3.6) |
นิพจน์ (3.3.6) หมายความว่า บรรทัด k-thเมทริกซ์ A แสดงเป็นเส้นตรงผ่าน r แถวแรก
เนื่องจากค่าของผู้เยาว์จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเมทริกซ์ถูกย้าย (เนื่องจากคุณสมบัติของตัวกำหนด) ทุกอย่างพิสูจน์แล้วว่าเป็นจริงสำหรับคอลัมน์เช่นกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ข้อสังเกต I. แถว (คอลัมน์) ใด ๆ ของเมทริกซ์คือการรวมกันเชิงเส้นของแถวพื้นฐาน (คอลัมน์) อันที่จริง ฐานรองของเมทริกซ์นั้นแตกต่างจากศูนย์ และผู้เยาว์ทั้งหมดที่ล้อมรอบเมทริกซ์นั้นมีค่าเท่ากับศูนย์
ครั้งที่สอง ดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่ n จะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อมีแถว (คอลัมน์) ที่ขึ้นต่อกันเชิงเส้น ความเพียงพอ การพึ่งพาเชิงเส้นแถว (คอลัมน์) สำหรับดีเทอร์มีแนนต์เป็นศูนย์ได้รับการพิสูจน์ก่อนหน้านี้ว่าเป็นคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์
มาพิสูจน์ความจำเป็นกันเถอะ ให้กำหนดเมทริกซ์กำลังสองของลำดับที่ n ซึ่งรองเท่านั้นที่มีค่าเท่ากับศูนย์ ตามมาว่าอันดับของเมทริกซ์นี้น้อยกว่า n เช่น มีอย่างน้อยหนึ่งแถวที่เป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวฐานของเมทริกซ์นี้
ให้เราพิสูจน์อีกหนึ่งทฤษฎีบทเกี่ยวกับอันดับของเมทริกซ์
ทฤษฎีบท.จำนวนสูงสุดของแถวอิสระเชิงเส้นของเมทริกซ์เท่ากับจำนวนสูงสุดของคอลัมน์อิสระเชิงเส้นและเท่ากับอันดับของเมทริกซ์นี้
การพิสูจน์. ให้อันดับของเมทริกซ์ A= เท่ากับ r จากนั้นแถวฐาน k ใดๆ ของมันจะเป็นอิสระเชิงเส้น มิฉะนั้น ฐานรองจะเท่ากับศูนย์ ในทางกลับกัน แถว r+1 หรือมากกว่านั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้น สมมติว่าตรงกันข้าม เราสามารถหาลำดับรองที่ไม่เป็นศูนย์ที่มากกว่า r ตามข้อปฏิบัติข้อที่ 2 ของบทแทรกก่อนหน้านี้ ข้อหลังขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่าลำดับสูงสุดของผู้เยาว์ที่ไม่ใช่ศูนย์คือ r ทุกสิ่งที่ได้รับการพิสูจน์สำหรับแถวก็เป็นจริงสำหรับคอลัมน์เช่นกัน
โดยสรุป เรานำเสนออีกหนึ่งวิธีในการหาอันดับของเมทริกซ์ อันดับของเมทริกซ์สามารถกำหนดได้โดยการค้นหาลำดับรองสูงสุดที่แตกต่างจากศูนย์
เมื่อมองแวบแรก สิ่งนี้ต้องการการคำนวณของจำนวนจำกัด แต่บางทีอาจเป็นตัวเลขรองจำนวนมากของเมทริกซ์นี้
อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทต่อไปนี้อนุญาตให้มีการทำให้ง่ายขึ้นอย่างมีนัยสำคัญ
ทฤษฎีบท.หากรองของเมทริกซ์ A ไม่เป็นศูนย์ และผู้เยาว์ทั้งหมดที่ล้อมรอบเมทริกซ์มีค่าเท่ากับ 0 ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์คือ r
การพิสูจน์. ก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงว่าระบบย่อยใดๆ ของแถวเมทริกซ์สำหรับ S>r จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นภายใต้เงื่อนไขของทฤษฎีบท (จากนี้จะเป็นไปตามที่ r คือจำนวนสูงสุดของแถวเมทริกซ์อิสระเชิงเส้นหรือลำดับย่อยใดๆ ที่มากกว่า k เท่ากับศูนย์)
สมมติว่าตรงกันข้าม ให้แถวเป็นอิสระเชิงเส้น โดยบทแทรกเกี่ยวกับผู้เยาว์ที่มีพรมแดนติดกัน แต่ละบทจะแสดงเป็นเส้นตรงในแง่ของแถวที่ผู้เยาว์ตั้งอยู่ และซึ่งเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันแตกต่างจากศูนย์ จึงมีความเป็นอิสระเชิงเส้น:
พิจารณาชุดค่าผสมเชิงเส้นต่อไปนี้:
หรือ
โดยใช้ (3.3.7) และ (3.3.8) เราได้รับ
,
ซึ่งขัดแย้งกับความเป็นอิสระเชิงเส้นของสตริง
ดังนั้น สมมติฐานของเราจึงเป็นเท็จ ดังนั้น แถว S>r ใดๆ ภายใต้เงื่อนไขของทฤษฎีบทจึงขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
พิจารณากฎสำหรับการคำนวณอันดับของเมทริกซ์ - วิธีการของผู้เยาว์ที่มีพรมแดนติดตามทฤษฎีบทนี้
เมื่อคำนวณอันดับของเมทริกซ์ เราควรจะส่งผ่านจากผู้เยาว์ที่มีลำดับต่ำกว่าไปยังผู้เยาว์ที่มีลำดับที่สูงกว่า หากพบลำดับรองที่ไม่ใช่ศูนย์ r-th แล้ว จะต้องคำนวณเฉพาะลำดับรอง (r+1)-th ที่ล้อมรอบผู้เยาว์เท่านั้น หากเป็นศูนย์อันดับของเมทริกซ์คือ r วิธีนี้ยังใช้ในกรณีที่เราไม่เพียงแต่คำนวณอันดับของเมทริกซ์เท่านั้น แต่ยังกำหนดว่าคอลัมน์ (แถว) ใดเป็นฐานรองของเมทริกซ์ด้วย
ตัวอย่าง. คำนวณอันดับของเมทริกซ์โดยวิธีเทียบชั้นผู้เยาว์
สารละลาย. ผู้เยาว์อันดับสองที่มุมซ้ายบนของเมทริกซ์ A ไม่ใช่ศูนย์:
.
อย่างไรก็ตาม ผู้เยาว์ลำดับที่สามทั้งหมดที่อยู่รอบ ๆ นั้นมีค่าเท่ากับศูนย์:
 ;
|  ;
|
 ;
|  ;
|
 ;
|  .
|
ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์ A เท่ากับสอง:
แถวที่หนึ่งและสอง คอลัมน์ที่หนึ่งและสองในเมทริกซ์นี้เป็นพื้นฐาน แถวและคอลัมน์ที่เหลือคือผลรวมเชิงเส้น แท้จริงแล้ว ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือเป็นสตริง:
โดยสรุป เราทราบความถูกต้องของคุณสมบัติต่อไปนี้:
1) อันดับผลคูณของเมทริกซ์ไม่เกินอันดับของแต่ละปัจจัย
2) อันดับของผลคูณของเมทริกซ์โดยพลการ A ทางขวาหรือซ้ายโดยเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ไม่ใช่เอกพจน์ Q เท่ากับอันดับของเมทริกซ์ A
เมทริกซ์พหุนาม
คำนิยาม. เมทริกซ์พหุนามหรือเมทริกซ์ - เมทริกซ์เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งมีองค์ประกอบเป็นพหุนามในตัวแปรเดียวที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นตัวเลข
การแปลงเบื้องต้นสามารถทำได้บน -เมทริกซ์ เหล่านี้รวมถึง:
การเปลี่ยนแปลงของสองแถว (คอลัมน์);
การคูณแถว (คอลัมน์) ด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์
การบวกแถว (คอลัมน์) เข้ากับแถว (คอลัมน์) อีกหนึ่งแถว (คอลัมน์) คูณด้วยพหุนามใดๆ
เมทริกซ์สองตัวและขนาดเท่ากันเรียกว่าเทียบเท่า: หากเป็นไปได้ที่จะเปลี่ยนจากเมทริกซ์ไปใช้การแปลงพื้นฐานจำนวนจำกัด
ตัวอย่าง. พิสูจน์การสมมูลของเมทริกซ์
 ,
|  .
|
1. สลับคอลัมน์ที่หนึ่งและสองในเมทริกซ์:
.
2. จากบรรทัดที่สอง ให้ลบบรรทัดแรก คูณด้วย ():
.
3. คูณแถวที่สองด้วย (-1) แล้วสังเกต
.
4. ลบจากคอลัมน์ที่สองด้วยคอลัมน์แรก คูณด้วย เราจะได้
.
เซตของเมทริกซ์ขนาดที่กำหนดทั้งหมดถูกแบ่งออกเป็นคลาสที่ไม่ตัดกันของเมทริกซ์ที่เท่ากัน เมทริกซ์ที่เทียบเท่ากันสร้างคลาสหนึ่งไม่เทียบเท่า - อีกคลาสหนึ่ง
แต่ละคลาสของเมทริกซ์ที่สมมูลกันมีลักษณะเฉพาะด้วยเมทริกซ์มาตรฐานหรือเมทริกซ์มาตรฐานของมิติที่กำหนด
คำนิยาม. เมทริกซ์มาตรฐานหรือปกติของมิติคือ - เมทริกซ์ซึ่งมีพหุนามอยู่บนเส้นทแยงมุมหลัก โดยที่ p คือค่าที่น้อยกว่าของตัวเลข m และ n ( 
) และพหุนามที่ไม่เท่ากับศูนย์จะมีค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ 1 และพหุนามถัดไปแต่ละตัวจะหารด้วยพหุนามก่อนหน้า องค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่นอกเส้นทแยงมุมหลักคือ 0
จากคำจำกัดความที่ว่าหากมีพหุนามระดับศูนย์ในหมู่พหุนามก็จะอยู่ที่จุดเริ่มต้นของเส้นทแยงมุมหลัก หากมีศูนย์แสดงว่าอยู่ที่ส่วนท้ายของเส้นทแยงมุมหลัก
เมทริกซ์ของตัวอย่างก่อนหน้านี้เป็นแบบบัญญัติ เมทริกซ์
ยังเป็นที่ยอมรับ
แต่ละคลาส -matrix มี -matrix แบบบัญญัติที่ไม่ซ้ำกันเช่น แต่ละเมทริกซ์เทียบเท่ากับเมทริกซ์มาตรฐานเดียวซึ่งเรียกว่ารูปแบบบัญญัติหรือ รูปแบบปกติเมทริกซ์นี้
พหุนามบนเส้นทแยงมุมหลักของรูปแบบมาตรฐานของเมทริกซ์ที่กำหนดเรียกว่าตัวประกอบที่ไม่แปรเปลี่ยนของเมทริกซ์ที่กำหนด
วิธีการคำนวณปัจจัยที่ไม่แปรเปลี่ยนวิธีหนึ่งคือการลดเมทริกซ์ที่กำหนดให้เป็นรูปแบบบัญญัติ
ดังนั้น สำหรับเมทริกซ์ของตัวอย่างก่อนหน้านี้ ปัจจัยที่ไม่แปรเปลี่ยนคือ
จากที่ได้กล่าวไว้ว่าการมีอยู่ของปัจจัยที่ไม่แปรเปลี่ยนชุดเดียวกันนั้นเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการสมมูลของเมทริกซ์
การลดลงของ -เมทริกซ์เป็นรูปแบบบัญญัติลดคำจำกัดความของปัจจัยที่ไม่แปรเปลี่ยน
, ; ,
โดยที่ r คืออันดับของเมทริกซ์ - ตัวหารร่วมมากของ k-th ลำดับรอง มีค่าสัมประสิทธิ์สูงสุดเท่ากับ 1
ตัวอย่าง. ให้ -matrix
.
สารละลาย. เห็นได้ชัดว่าตัวหารร่วมมากของลำดับที่หนึ่งคือ .
เรากำหนดผู้เยาว์อันดับสอง:
 ,
|  | เป็นต้น |
ข้อมูลเหล่านี้เพียงพอที่จะสรุปได้: ดังนั้น .
เรากำหนด
,
เพราะฉะนั้น, 
.
ดังนั้นรูปแบบที่เป็นที่ยอมรับของเมทริกซ์นี้คือ - เมทริกซ์ต่อไปนี้:
.
พหุนามเมทริกซ์เป็นนิพจน์ของรูปแบบ
ตัวแปรอยู่ที่ไหน - เมทริกซ์ตารางของคำสั่ง n พร้อมองค์ประกอบตัวเลข
ถ้า แล้ว S เรียกว่าดีกรีของเมทริกซ์พหุนาม n คือลำดับของพหุนามเมทริกซ์
เมทริกซ์กำลังสองใด ๆ สามารถแสดงเป็นพหุนามเมทริกซ์ แน่นอน ประโยคสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน เช่น เมทริกซ์พหุนามใด ๆ สามารถแสดงเป็นเมทริกซ์กำลังสอง
ความถูกต้องของข้อความเหล่านี้ชัดเจนมาจากคุณสมบัติของการดำเนินการในเมทริกซ์ ลองดูตัวอย่างต่อไปนี้:
ตัวอย่าง. เป็นตัวแทนของเมทริกซ์พหุนาม
ในรูปของพหุนามเมทริกซ์ได้ดังนี้
.
ตัวอย่าง. เมทริกซ์พหุนาม
สามารถแสดงเป็นเมทริกซ์พหุนามต่อไปนี้ ( -matrix)
.
ความสามารถในการสับเปลี่ยนกันของเมทริกซ์พหุนามและเมทริกซ์พหุนามนี้มีบทบาทสำคัญในเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ของวิธีการวิเคราะห์ปัจจัยและองค์ประกอบ
พหุนามเมทริกซ์ที่มีลำดับเดียวกันสามารถบวก ลบ และคูณได้ในลักษณะเดียวกับพหุนามสามัญที่มีสัมประสิทธิ์เป็นตัวเลข อย่างไรก็ตาม ควรจำไว้ว่าการคูณเมทริกซ์พหุนามโดยทั่วไปไม่ใช่การสลับที่ เนื่องจาก การคูณเมทริกซ์ไม่ใช่การสลับที่
พหุนามเมทริกซ์สองชื่อเรียกว่าเท่ากันหากค่าสัมประสิทธิ์เท่ากัน เช่น เมทริกซ์ที่สอดคล้องกันสำหรับกำลังเดียวกันของตัวแปร
ผลรวม (ผลต่าง) ของพหุนามเมทริกซ์สองตัวคือพหุนามเมทริกซ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ในแต่ละระดับของตัวแปรเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของค่าสัมประสิทธิ์ที่มีระดับเดียวกันในพหุนาม และ
ในการคูณเมทริกซ์พหุนามด้วยพหุนามเมทริกซ์ คุณต้องคูณแต่ละพจน์ของพหุนามเมทริกซ์ด้วยแต่ละพจน์ของพหุนามเมทริกซ์ บวกผลคูณของผลลัพธ์และนำพจน์ที่เหมือนกัน
ดีกรีของพหุนามเมทริกซ์เป็นผลคูณที่น้อยกว่าหรือเท่ากับผลบวกของดีกรีของตัวประกอบ
การดำเนินการกับพหุนามเมทริกซ์สามารถทำได้โดยใช้การดำเนินการกับเมทริกซ์ที่สอดคล้องกัน
ในการเพิ่ม (ลบ) เมทริกซ์พหุนาม ก็เพียงพอแล้วที่จะเพิ่ม (ลบ) เมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง เช่นเดียวกับการคูณ -เมทริกซ์ของผลคูณของเมทริกซ์พหุนามเท่ากับผลคูณของ -เมทริกซ์ของปัจจัย
 |  |
ในทางกลับกันและสามารถเขียนในรูป
โดยที่ B 0 เป็นเมทริกซ์ที่ไม่เป็นรูปเอกพจน์
เมื่อหารด้วย จะมีเศษส่วนด้านขวาที่กำหนดไว้โดยเฉพาะและเศษส่วนด้านขวา
โดยที่ดีกรี R 1 น้อยกว่าดีกรี , หรือ (การหารที่ไม่มีเศษเหลือ) เช่นเดียวกับผลหารทางซ้ายและเศษเหลือ เฉพาะในกรณีที่ ที่ไหน เรียงลำดับ
แนวคิดของการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นกำหนดไว้สำหรับแถวและคอลัมน์ในลักษณะเดียวกัน ดังนั้น คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดเหล่านี้ ซึ่งกำหนดขึ้นสำหรับคอลัมน์ แน่นอนว่าใช้ได้กับแถวด้วย
1. หากระบบคอลัมน์มีคอลัมน์ศูนย์ แสดงว่าระบบนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้น
2. หากระบบคอลัมน์มีสองคอลัมน์เท่ากัน ระบบจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้น
3. หากระบบคอลัมน์มีคอลัมน์สัดส่วนสองคอลัมน์ ก็จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้น
4. ระบบของคอลัมน์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากว่าอย่างน้อยหนึ่งคอลัมน์เป็นผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์อื่นๆ
5. คอลัมน์ใดๆ ที่รวมอยู่ในระบบอิสระเชิงเส้นจะสร้างระบบย่อยอิสระเชิงเส้น
6. ระบบคอลัมน์ที่มีระบบย่อยที่ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้น
7. หากระบบของคอลัมน์เป็นอิสระเชิงเส้น และหลังจากเพิ่มคอลัมน์เข้าไป มันจะกลายเป็นว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้น คอลัมน์นั้นสามารถแยกย่อยออกเป็นคอลัมน์ได้ และยิ่งกว่านั้นด้วยวิธีที่ไม่เหมือนใคร เช่น ค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวจะพบได้เฉพาะ
ให้เราพิสูจน์ เช่น คุณสมบัติสุดท้าย เนื่องจากระบบคอลัมน์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น จึงมีตัวเลขที่ไม่เท่ากับ 0 ทั้งหมด ซึ่ง
ในความเท่าเทียมกันนี้ อันที่จริง ถ้าอย่างนั้น
ดังนั้น ชุดค่าผสมเชิงเส้นที่ไม่สำคัญของคอลัมน์จะเท่ากับคอลัมน์ศูนย์ ซึ่งขัดแย้งกับความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบ ดังนั้น และจากนั้น เช่น คอลัมน์คือการรวมกันของคอลัมน์เชิงเส้น มันยังคงแสดงเอกลักษณ์ของการเป็นตัวแทนดังกล่าว สมมติว่าตรงกันข้าม ปล่อยให้มีการขยายสองครั้ง และ และไม่ใช่ว่าค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวทั้งหมดจะเท่ากันตามลำดับ (ตัวอย่างเช่น ) แล้วจากความเสมอภาค
เราได้รับ (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o
ตามลำดับ การรวมเชิงเส้นของคอลัมน์จะเท่ากับคอลัมน์ว่าง เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดไม่ได้เท่ากับศูนย์ (อย่างน้อย ) การรวมกันนี้จึงไม่ใช่เรื่องเล็กน้อย ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขของความเป็นอิสระเชิงเส้นของคอลัมน์ . ความขัดแย้งที่เกิดขึ้นเป็นการยืนยันเอกลักษณ์ของการสลายตัว
ตัวอย่าง 3.2พิสูจน์ว่าคอลัมน์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองคอลัมน์และขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากเป็นสัดส่วน เช่น .
สารละลาย.แน่นอน ถ้าคอลัมน์และขึ้นอยู่กับเชิงเส้น แล้วมีตัวเลข ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน เช่นนั้น และในความเท่าเทียมกันนี้ แน่นอน สมมติว่า เราได้รับความขัดแย้ง เนื่องจากคอลัมน์นั้นไม่เป็นศูนย์เช่นกัน วิธี, . ดังนั้นจึงมีจำนวนดังกล่าว ความต้องการได้รับการพิสูจน์แล้ว
ในทางกลับกัน ถ้า แล้ว . เราได้ชุดค่าผสมเชิงเส้นที่ไม่สำคัญเท่ากับคอลัมน์ศูนย์ ดังนั้นคอลัมน์จึงขึ้นอยู่กับเชิงเส้น
ตัวอย่าง 3.3พิจารณาระบบที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เกิดจากคอลัมน์
ตรวจสอบแต่ละระบบสำหรับความสัมพันธ์เชิงเส้น
สารละลาย.
พิจารณาห้าระบบที่มีหนึ่งคอลัมน์ในแต่ละระบบ ตามวรรค 1 ของหมายเหตุ 3.1: ระบบ , เป็นอิสระเชิงเส้น และระบบที่ประกอบด้วยหนึ่งศูนย์คอลัมน์ , ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น
พิจารณาระบบที่มีสองคอลัมน์:
– แต่ละระบบจากสี่ระบบและขึ้นอยู่กับเชิงเส้น เนื่องจากมีคอลัมน์ศูนย์ (คุณสมบัติ 1)
– ระบบขึ้นอยู่กับเชิงเส้น เนื่องจากคอลัมน์เป็นสัดส่วน (คุณสมบัติ 3): ;
- แต่ละระบบจากห้าระบบและเป็นอิสระเชิงเส้น เนื่องจากคอลัมน์ไม่ได้สัดส่วน (ดูตัวอย่างที่ 3.2)
พิจารณาระบบที่มีสามคอลัมน์:
– แต่ละระบบจากหกระบบและขึ้นอยู่กับเชิงเส้น เนื่องจากมีคอลัมน์ศูนย์ (คุณสมบัติ 1)
– ระบบขึ้นอยู่กับเชิงเส้น เนื่องจากมีระบบย่อยที่ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น (คุณสมบัติ 6)
เป็นระบบและขึ้นอยู่กับเชิงเส้น เนื่องจากคอลัมน์สุดท้ายแสดงเป็นเชิงเส้นในแง่ของส่วนที่เหลือ (คุณสมบัติ 4): และตามลำดับ
สุดท้าย ระบบของสี่หรือห้าคอลัมน์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น (ตามคุณสมบัติ 6)
อันดับเมทริกซ์
ในส่วนนี้ เราจะพิจารณาคุณลักษณะเชิงตัวเลขที่สำคัญอีกอย่างหนึ่งของเมทริกซ์ ซึ่งเกี่ยวข้องกับจำนวนแถว (คอลัมน์) ที่พึ่งพาซึ่งกันและกัน
คำจำกัดความ 14.10ให้มีเมทริกซ์ของขนาดและจำนวนที่ไม่เกินจำนวนที่น้อยที่สุด และ : 
. มาเลือกแถวและคอลัมน์เมทริกซ์โดยพลการ (จำนวนแถวอาจแตกต่างจากจำนวนคอลัมน์) ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบที่จุดตัดของแถวและคอลัมน์ที่เลือกเรียกว่าเมทริกซ์ลำดับรอง
ตัวอย่าง 14.9อนุญาต 
.
ผู้เยาว์ลำดับที่หนึ่งคือองค์ประกอบใดๆ ของเมทริกซ์ ดังนั้น 2, , เป็นผู้เยาว์ลำดับที่หนึ่ง
ผู้เยาว์ของลำดับที่สอง:
1. ใช้แถว 1, 2, คอลัมน์ 1, 2, เราได้รองลงมา 
;
2. รับแถว 1, 3, คอลัมน์ 2, 4, เราได้ผู้เยาว์ 
;
3. รับแถว 2, 3, คอลัมน์ 1, 4 เราได้รองลงมา 
ผู้เยาว์ของลำดับที่สาม:
เลือกแถวที่นี่ได้ด้วยวิธีเดียวเท่านั้น
1. ใช้คอลัมน์ 1, 3, 4 รับรองลงมา 
;
2. รับคอลัมน์ 1, 2, 3 รับรอง 
.
เสนอ 14.23 หากผู้เยาว์ทั้งหมดของลำดับเมทริกซ์มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นผู้เยาว์ทั้งหมดของลำดับ ถ้ามีก็จะเท่ากับศูนย์เช่นกัน
การพิสูจน์. รับคำสั่งรองโดยพลการ นี่คือปัจจัยของเมทริกซ์การสั่งซื้อ มาขยายความกันที่บรรทัดแรก จากนั้น ในแต่ละเทอมของการขยายตัว หนึ่งในปัจจัยจะเป็นรองจากลำดับของเมทริกซ์ดั้งเดิม ตามสมมติฐานแล้ว ลำดับรองลงมาจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นลำดับรองก็จะเท่ากับศูนย์เช่นกัน
คำจำกัดความ 14.11อันดับของเมทริกซ์คือลำดับที่ใหญ่ที่สุดของลำดับที่ไม่ใช่ศูนย์ของผู้เยาว์ของเมทริกซ์ . อันดับของเมทริกซ์ศูนย์จะถือว่าเป็นศูนย์
ไม่มีสัญกรณ์มาตรฐานเดียวสำหรับอันดับของเมทริกซ์ หลังจากบทช่วยสอน เราจะเรียกมันว่า
ตัวอย่าง 14.10เมทริกซ์ของตัวอย่างที่ 14.9 มีอันดับ 3 เนื่องจากมีผู้เยาว์ลำดับที่สามที่ไม่ใช่ศูนย์ แต่ไม่มีผู้เยาว์ลำดับที่สี่
อันดับเมทริกซ์ 
มีค่าเท่ากับ 1 เนื่องจากมีผู้เยาว์ลำดับที่หนึ่งที่ไม่ใช่ศูนย์ (องค์ประกอบของเมทริกซ์) และผู้เยาว์ลำดับที่สองทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์
อันดับของเมทริกซ์กำลังสองที่ไม่เสื่อมถอยของลำดับเท่ากับ เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์เป็นรองของลำดับและเมทริกซ์ที่ไม่เสื่อมถอยนั้นไม่ใช่ศูนย์
เสนอ 14.24 เมื่อย้ายเมทริกซ์ อันดับของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนแปลง นั่นคือ 
.
การพิสูจน์. ผู้เยาว์ที่ถูกย้ายของเมทริกซ์ดั้งเดิมจะเป็นผู้เยาว์ของเมทริกซ์ที่ถูกย้าย และในทางกลับกัน ผู้เยาว์ใดๆ เป็นผู้เยาว์ที่ถูกย้ายของเมทริกซ์ดั้งเดิม เมื่อย้ายตำแหน่ง ดีเทอร์มีแนนต์ (รอง) จะไม่เปลี่ยนแปลง (โจทย์ 14.6) ดังนั้น หากลำดับรองทั้งหมดในเมทริกซ์ดั้งเดิมมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น หากลำดับรองทั้งหมดที่อยู่ในลำดับเดียวกันในเมทริกซ์เดิมมีค่าเท่ากับศูนย์ด้วย หากลำดับรองในเมทริกซ์ดั้งเดิมไม่ใช่ศูนย์ แสดงว่ามีลำดับรองที่ไม่ใช่ศูนย์ของลำดับเดียวกัน เพราะฉะนั้น, .
คำจำกัดความ 14.12ให้อันดับของเมทริกซ์เป็น จากนั้นลำดับรองที่ไม่ใช่ศูนย์จะเรียกว่าผู้เยาว์ขั้นพื้นฐาน
ตัวอย่าง 14.11อนุญาต 
. ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เป็นศูนย์ เนื่องจากแถวที่สามเท่ากับผลรวมของสองแถวแรก ผู้เยาว์อันดับสองซึ่งอยู่ในสองแถวแรกและสองคอลัมน์แรกคือ 
. ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์จึงเท่ากับสองและผู้เยาว์ที่ถือว่าเป็นพื้นฐาน
ผู้เยาว์พื้นฐานยังเป็นผู้เยาว์ที่อยู่ในแถวที่หนึ่งและสาม คอลัมน์ที่หนึ่งและสาม: 
. ฐานจะเป็นรองในแถวที่สองและสาม คอลัมน์แรกและสาม: 
.
คอลัมน์รองในแถวที่หนึ่งและสอง คอลัมน์ที่สองและสามมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจะไม่เป็นค่าพื้นฐาน ผู้อ่านสามารถตรวจสอบได้อย่างอิสระว่าผู้เยาว์ลำดับที่สองรายใดเป็นพื้นฐานและไม่เป็น
เนื่องจากสามารถเพิ่มคอลัมน์ (แถว) ของเมทริกซ์ คูณด้วยตัวเลข สร้างชุดค่าผสมเชิงเส้นได้ จึงเป็นไปได้ที่จะแนะนำคำจำกัดความของการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบคอลัมน์ (แถว) ของเมทริกซ์ คำจำกัดความเหล่านี้คล้ายกับคำจำกัดความเดียวกัน 10.14, 10.15 สำหรับเวกเตอร์
คำจำกัดความ 14.13ระบบของคอลัมน์ (แถว) เรียกว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากมีชุดของค่าสัมประสิทธิ์ดังกล่าว ซึ่งอย่างน้อยหนึ่งค่าไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งค่าผสมเชิงเส้นของคอลัมน์ (แถว) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้จะเท่ากับศูนย์
คำจำกัดความ 14.14ระบบของคอลัมน์ (แถว) มีความเป็นอิสระเชิงเส้นหากมันต่อจากความเท่าเทียมกันถึงศูนย์ของชุดค่าผสมเชิงเส้นของคอลัมน์ (แถว) เหล่านี้ ซึ่งค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของชุดค่าผสมเชิงเส้นนี้มีค่าเท่ากับศูนย์
ข้อเสนอต่อไปนี้ คล้ายกับข้อเสนอ 10.6 เป็นจริงเช่นกัน
ข้อเสนอ 14.25 น ระบบของคอลัมน์ (แถว) จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นก็ต่อเมื่อหนึ่งในคอลัมน์ (แถวใดแถวหนึ่ง) เป็นการรวมกันเชิงเส้นของคอลัมน์ (แถว) อื่น ๆ ของระบบนี้
เรากำหนดทฤษฎีบทที่เรียกว่า ทฤษฎีบทพื้นฐานเล็กน้อย.
ทฤษฎีบท 14.2 คอลัมน์ใด ๆ ของเมทริกซ์คือการรวมกันเชิงเส้นของคอลัมน์ที่ผ่านเกณฑ์รอง
หลักฐานสามารถพบได้ในตำราเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเส้น เช่น ใน,
เสนอ 14.26 อันดับของเมทริกซ์เท่ากับจำนวนคอลัมน์สูงสุดที่สร้างระบบอิสระเชิงเส้น
การพิสูจน์. ให้อันดับของเมทริกซ์เป็น ลองนำคอลัมน์ที่ผ่านเกณฑ์ย่อย สมมติว่าคอลัมน์เหล่านี้เป็นระบบที่ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น จากนั้นคอลัมน์หนึ่งจะเป็นผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์อื่นๆ ดังนั้นในฐานรอง คอลัมน์หนึ่งจะเป็นชุดค่าผสมเชิงเส้นของคอลัมน์อื่นๆ ตามข้อเสนอ 14.15 และ 14.18 ผู้เยาว์ขั้นพื้นฐานนี้ต้องเท่ากับศูนย์ ซึ่งขัดแย้งกับคำจำกัดความของผู้เยาว์ขั้นพื้นฐาน ดังนั้น ข้อสันนิษฐานที่ว่าคอลัมน์ที่ผ่านเกณฑ์รองจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นนั้นไม่เป็นความจริง ดังนั้น จำนวนคอลัมน์สูงสุดที่สร้างระบบอิสระเชิงเส้นจึงมากกว่าหรือเท่ากับ
สมมติว่าคอลัมน์เป็นระบบอิสระเชิงเส้น มาทำเมทริกซ์จากพวกมันกัน ผู้เยาว์ในเมทริกซ์ทั้งหมดเป็นผู้เยาว์ในเมทริกซ์ ดังนั้น ฐานรองของเมทริกซ์จึงมีลำดับสูงสุด ตามทฤษฎีบทรองพื้นฐาน คอลัมน์ที่ไม่ผ่านฐานรองของเมทริกซ์คือการรวมกันเชิงเส้นของคอลัมน์ที่ผ่านฐานรอง นั่นคือ คอลัมน์ของเมทริกซ์ก่อตัวเป็นระบบที่ขึ้นต่อกันเชิงเส้น สิ่งนี้ขัดแย้งกับการเลือกคอลัมน์ที่สร้างเมทริกซ์ ดังนั้น จำนวนสูงสุดของคอลัมน์ที่สร้างระบบอิสระเชิงเส้นต้องไม่เกิน ดังนั้นจึงเท่ากับ ตามที่กล่าวไว้
เสนอ 14.27 อันดับของเมทริกซ์เท่ากับจำนวนแถวสูงสุดที่สร้างระบบอิสระเชิงเส้น
การพิสูจน์. ตามข้อเสนอ 14.24 อันดับของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อย้ายตำแหน่ง แถวของเมทริกซ์กลายเป็นคอลัมน์ จำนวนสูงสุดของคอลัมน์ใหม่ของเมทริกซ์ทรานสโพส (แถวเดิมของเมทริกซ์เดิม) ที่ก่อตัวเป็นระบบอิสระเชิงเส้นจะเท่ากับอันดับของเมทริกซ์
เสนอ 14.28 ถ้าดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์เท่ากับศูนย์ แสดงว่าคอลัมน์ใดคอลัมน์หนึ่ง (แถวใดแถวหนึ่ง) เป็นผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ (แถว) ที่เหลือ
การพิสูจน์. ให้ลำดับของเมทริกซ์เป็น ดีเทอร์มิแนนต์เป็นเพียงส่วนรองของเมทริกซ์จัตุรัสที่มีลำดับ เนื่องจากมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น ดังนั้น ระบบของคอลัมน์ (แถว) จึงขึ้นอยู่กับเชิงเส้น นั่นคือ คอลัมน์หนึ่ง (หนึ่งในแถว) เป็นชุดค่าผสมเชิงเส้นของคอลัมน์อื่นๆ
ผลลัพธ์ของประพจน์ 14.15, 14.18 และ 14.28 ให้ทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท 14.3 ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อหนึ่งในคอลัมน์ (แถวใดแถวหนึ่ง) เป็นชุดค่าผสมเชิงเส้นของคอลัมน์ (แถว) อื่น
การค้นหาอันดับของเมทริกซ์โดยการคำนวณรองลงมาทั้งหมดต้องใช้การคำนวณมากเกินไป (ผู้อ่านสามารถตรวจสอบได้ว่ามีผู้เยาว์อันดับสอง 36 คนในเมทริกซ์กำลังสองอันดับสี่) ดังนั้นจึงใช้อัลกอริทึมอื่นเพื่อค้นหาอันดับ หากต้องการอธิบาย จำเป็นต้องมีข้อมูลเพิ่มเติมบางอย่าง
คำจำกัดความ 14.15เราเรียกการดำเนินการต่อไปนี้ว่าการแปลงเมทริกซ์เบื้องต้น:
1) การเปลี่ยนแถวหรือคอลัมน์
2) การคูณแถวหรือคอลัมน์ด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์
3) เพิ่มแถวอื่นลงในแถวใดแถวหนึ่ง คูณด้วยตัวเลข หรือเพิ่มลงในหนึ่งในคอลัมน์ของอีกคอลัมน์หนึ่ง คูณด้วยตัวเลข
เสนอ 14.29 ภายใต้การแปลงเบื้องต้น อันดับของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนแปลง
การพิสูจน์. ให้อันดับของเมทริกซ์เท่ากับ , -- เมทริกซ์ที่เกิดจากการแปลงเบื้องต้น
พิจารณาการเรียงสับเปลี่ยนของสตริง ปล่อยให้เป็นรองของเมทริกซ์ แล้วเมทริกซ์มีรอง ซึ่งจะเหมือนกันหรือแตกต่างจากมันโดยการเรียงสับเปลี่ยนของแถว และในทางกลับกัน เมทริกซ์ไมเนอร์ใดๆ สามารถเชื่อมโยงกับเมทริกซ์ไมเนอร์ที่ตรงกันหรือแตกต่างจากเมทริกซ์ตามลำดับแถว ดังนั้นจากข้อเท็จจริงที่ว่าในเมทริกซ์ผู้เยาว์ทั้งหมดของลำดับมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นในเมทริกซ์ผู้เยาว์ทั้งหมดของลำดับนี้ก็มีค่าเท่ากับศูนย์เช่นกัน และเนื่องจากเมทริกซ์มีลำดับรองที่ไม่เป็นศูนย์ เมทริกซ์จึงมีลำดับรองที่ไม่เป็นศูนย์ด้วย เช่น
พิจารณาการคูณสตริงด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ รองจากเมทริกซ์สอดคล้องกับรองจากเมทริกซ์ที่ตรงกันหรือแตกต่างจากเมทริกซ์เพียงแถวเดียว ซึ่งได้จากแถวรองโดยการคูณด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ ในกรณีสุดท้าย. ในทุกกรณี หรือ และ เท่ากับศูนย์พร้อมกันหรือแตกต่างจากศูนย์พร้อมกัน เพราะฉะนั้น, .
ความเป็นอิสระเชิงเส้นของแถวเมทริกซ์
กำหนดเมทริกซ์ขนาด 
เราแสดงแถวของเมทริกซ์ดังนี้:
ทั้งสองสายเรียกว่า เท่ากัน หากองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องเท่ากัน .
เราแนะนำการดำเนินการคูณสตริงด้วยตัวเลขและเพิ่มสตริงเป็นการดำเนินการที่ดำเนินการองค์ประกอบต่อองค์ประกอบ:
คำนิยาม.แถวเรียกว่าการรวมกันเชิงเส้นของแถวเมทริกซ์หากเท่ากับผลรวมของผลคูณของแถวเหล่านี้ด้วยจำนวนจริงตามอำเภอใจ (ตัวเลขใดๆ ก็ได้):
คำนิยาม.เรียกแถวของเมทริกซ์ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น หากมีตัวเลขที่ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน เช่น การรวมเชิงเส้นของแถวเมทริกซ์จะเท่ากับแถวศูนย์:
ที่ไหน . (1.1)
การพึ่งพาเชิงเส้นของแถวของเมทริกซ์หมายความว่าอย่างน้อย 1 แถวของเมทริกซ์เป็นการรวมกันเชิงเส้นของส่วนที่เหลือ
คำนิยาม.หากการรวมกันเชิงเส้นของแถว (1.1) มีค่าเท่ากับ 0 ก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็น แถวนั้นจะถูกเรียกว่า อิสระเชิงเส้น .
ทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์. อันดับของเมทริกซ์เท่ากับจำนวนสูงสุดของแถวหรือคอลัมน์ที่เป็นอิสระเชิงเส้นซึ่งแถว (คอลัมน์) อื่น ๆ ทั้งหมดจะแสดงเป็นเส้นตรง
ทฤษฎีบทมีบทบาทพื้นฐานในการวิเคราะห์เมทริกซ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการศึกษาระบบสมการเชิงเส้น
6, 13,14,15,16. เวกเตอร์ การดำเนินการกับเวกเตอร์ (บวก ลบ คูณด้วยจำนวน)น เวกเตอร์มิติ แนวคิดของปริภูมิเวกเตอร์และพื้นฐานของมัน
เวกเตอร์เป็นส่วนกำกับที่มีจุดเริ่มต้น กและจุดสิ้นสุด ใน(ซึ่งสามารถเคลื่อนที่ขนานไปกับตัวมันเอง).
เวกเตอร์สามารถแสดงด้วยอักษรตัวพิมพ์ใหญ่ 2 ตัวหรือตัวพิมพ์เล็กหนึ่งตัวโดยมีเส้นประหรือลูกศร
ความยาว (หรือโมดูล) เวกเตอร์เป็นตัวเลขเท่ากับความยาวของส่วน AB ซึ่งเป็นตัวแทนของเวกเตอร์
เวกเตอร์ที่อยู่ในเส้นตรงหรือเส้นขนาน เรียกว่า เวกเตอร์ คอลิเนียร์ .
หากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ตรงกัน () ก็จะเรียกเวกเตอร์ดังกล่าว ศูนย์ และเขียนแทนด้วย = . ความยาวของเวกเตอร์ว่างเป็นศูนย์:
1) ผลคูณของเวกเตอร์ตามจำนวน:
จะมีเวกเตอร์ที่มีความยาวซึ่งมีทิศทางเดียวกับทิศทางของเวกเตอร์ if และตรงข้ามกับเวกเตอร์ if
2) เวกเตอร์ตรงข้าม เรียกว่าผลคูณของเวกเตอร์ - ต่อจำนวน(-1) เช่น -=.
3) ผลรวมของเวกเตอร์สองตัว และเรียกว่าเวกเตอร์ จุดเริ่มต้นตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ และสิ้นสุดด้วยจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ โดยมีเงื่อนไขว่าจุดเริ่มต้นตรงกับจุดสิ้นสุด (กฎของรูปสามเหลี่ยม). ผลรวมของเวกเตอร์หลายตัวถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน
4) ผลต่างของเวกเตอร์สองตัว และเรียกว่าผลรวมของเวกเตอร์และเวกเตอร์ - ซึ่งตรงกันข้าม
ผลิตภัณฑ์สเกลาร์
คำนิยาม: ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวคือจำนวนที่เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้:
เวกเตอร์ n มิติและปริภูมิเวกเตอร์
คำนิยาม. เวกเตอร์ n มิติเป็นชุดคำสั่ง น จำนวนจริงเขียนเป็น x \u003d (x 1, x 2, ..., x n), ที่ไหน x ฉัน – ฉัน องค์ประกอบที่ -th ของเวกเตอร์ เอ็กซ์.
แนวคิดของเวกเตอร์ n มิติถูกนำมาใช้อย่างแพร่หลายในทางเศรษฐศาสตร์ ตัวอย่างเช่น สินค้าชุดหนึ่งสามารถแสดงลักษณะเฉพาะของเวกเตอร์ได้ x \u003d (x 1, x 2, ..., x n),และราคาที่สอดคล้องกัน y = (y 1 ,y 2 ,…,y n).
- เวกเตอร์ n มิติสองตัวมีค่าเท่ากัน ถ้าและก็ต่อเมื่อองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องเท่ากันนั่นคือ x=ยถ้า x ฉัน= ย ฉัน, ฉัน = 1,2,…,น.
- ผลรวมของสองเวกเตอร์ มิติเดียวกัน นเรียกว่าเวกเตอร์ z = x + yซึ่งมีส่วนประกอบเท่ากับผลรวมของส่วนประกอบที่สอดคล้องกันของเงื่อนไขของเวกเตอร์ เช่น ซี ฉัน= x ฉัน+ย ฉัน, ผม = 1,2,…, น.
- ผลคูณของเวกเตอร์ x ด้วยจำนวนจริง เรียกว่าเวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบเท่ากับผลคูณของส่วนประกอบที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ เช่น , ฉัน= 1,2,…,น.
การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์ใด ๆ เป็นไปตามคุณสมบัติต่อไปนี้:
1) - คุณสมบัติการสลับที่ (การกระจัด) ของผลรวม
2) - คุณสมบัติเชื่อมโยง (เชื่อมโยง) ของผลรวม;
3) - คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับปัจจัยตัวเลข;
4) - คุณสมบัติการกระจาย (การกระจาย) ที่เกี่ยวกับผลรวมของเวกเตอร์
5) - การกระจายที่เกี่ยวกับผลรวมของปัจจัยที่เป็นตัวเลข ทรัพย์สิน;
6) มีเวกเตอร์ว่างสำหรับเวกเตอร์ใดๆ (บทบาทพิเศษของเวกเตอร์ว่าง);
7) สำหรับเวกเตอร์ใด ๆ จะมีเวกเตอร์ตรงข้ามเช่นนั้น ;
8) สำหรับเวกเตอร์ใดๆ (บทบาทพิเศษของตัวประกอบตัวเลข 1)
คำนิยาม. เซตของเวกเตอร์ที่มีองค์ประกอบจริงซึ่งกำหนดการดำเนินการของการบวกเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยจำนวนที่ตรงตามคุณสมบัติทั้งแปดข้างต้น (ถือเป็นสัจพจน์) เรียกว่า สถานะเวกเตอร์ .
มิติและฐานของปริภูมิเวกเตอร์
คำนิยาม. พื้นที่เชิงเส้นเรียกว่า n-มิติ ถ้ามี นเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้น และเวกเตอร์ใดๆ กล่าวอีกนัยหนึ่ง มิติพื้นที่ คือจำนวนสูงสุดของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นที่มีอยู่ในนั้น จำนวน n เรียกว่ามิติของพื้นที่และเขียนแทนด้วย
เราเรียกชุดของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น n ตัวในปริภูมิ n มิติ พื้นฐาน .
7. ค่าลักษณะเฉพาะของเวกเตอร์และค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ สมการคุณลักษณะของเมทริกซ์
คำนิยาม. เรียกว่าเวกเตอร์ เวกเตอร์ของตัวเอง ตัวดำเนินการเชิงเส้นหากมีจำนวนดังกล่าว:
เป็นเบอร์ที่เรียกเอง ค่าโอเปอเรเตอร์ (เมทริกซ์ ก) ที่สอดคล้องกับเวกเตอร์
สามารถเขียนในรูปเมทริกซ์ได้ดังนี้
เมทริกซ์คอลัมน์จากพิกัดของเวกเตอร์อยู่ที่ไหน หรือขยาย:
มาเขียนระบบใหม่เพื่อให้มีศูนย์ในส่วนที่ถูกต้อง:
หรือในรูปแบบเมทริกซ์: . ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันที่ได้จะมีวิธีแก้ปัญหาเป็นศูนย์เสมอ เพื่อให้โซลูชันไม่เป็นศูนย์มีอยู่ ดีเทอร์มิแนนต์ของระบบมีความจำเป็นและเพียงพอ:
ตัวกำหนดเป็นพหุนาม นระดับที่สัมพันธ์กับ . พหุนามนี้เรียกว่า พหุนามลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ หรือเมทริกซ์ A และสมการที่ได้คือ สมการคุณลักษณะของตัวดำเนินการ หรือเมทริกซ์ก.
ตัวอย่าง:
ค้นหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กำหนดโดยเมทริกซ์
วิธีแก้ปัญหา: เขียนสมการคุณลักษณะ 
หรือ ค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้น
ค้นหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ ในการทำเช่นนี้ เราแก้สมการเมทริกซ์:
หรือ 
, หรือ , จากที่เราพบ: , หรือ
หรือ .
สมมติว่า เราได้เวกเตอร์นั้น สำหรับค่าลักษณะเฉพาะใดๆ ของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีค่าลักษณะเฉพาะ
ในทำนองเดียวกัน เวกเตอร์
8. ระบบ พีสมการเชิงเส้นด้วย พีตัวแปร ( แบบฟอร์มทั่วไป). รูปแบบเมทริกซ์ของระบบดังกล่าว โซลูชันระบบ (คำจำกัดความ) ระบบสมการเชิงเส้นที่แน่นอนและไม่แน่นอนที่สอดคล้องและไม่สอดคล้องกัน
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่า
ระบบสมการเชิงเส้นถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในทางเศรษฐศาสตร์
ระบบสมการเชิงเส้นตัวแปรมีรูปแบบ:
,
โดยที่ () คือจำนวนที่เรียกโดยพลการ ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปร และ เงื่อนไขสมการฟรี ตามลำดับ
รายการสั้น ๆ: ().
คำนิยาม.วิธีแก้ปัญหาของระบบคือชุดของค่า เมื่อแทนค่าซึ่งแต่ละสมการของระบบจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง
1) ระบบสมการเรียกว่า ข้อต่อ หากมีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งข้อ และ เข้ากันไม่ได้หากไม่มีวิธีแก้ไข
2) ระบบสมการร่วมเรียกว่า แน่ใจ หากมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะและ ไม่แน่นอน หากมีวิธีแก้ไขมากกว่าหนึ่งวิธี
3) เรียกว่าระบบสมการสองระบบ เทียบเท่า (เทียบเท่า) หากมีชุดโซลูชันเดียวกัน (เช่น โซลูชันเดียว)
เราเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์:
แสดงว่า: 
, ที่ไหน
กคือเมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร หรือเมทริกซ์ของระบบ เอ็กซ์ – เมทริกซ์คอลัมน์ของตัวแปร ใน เป็นเมทริกซ์คอลัมน์ของสมาชิกฟรี
เพราะ จำนวนคอลัมน์เมทริกซ์เท่ากับจำนวนแถวเมทริกซ์ จากนั้นผลคูณของคอลัมน์:
มีเมทริกซ์-คอลัมน์ องค์ประกอบของเมทริกซ์ผลลัพธ์เป็นส่วนด้านซ้ายของระบบเริ่มต้น ตามนิยามของความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์ ระบบเริ่มต้นสามารถเขียนเป็น:
ทฤษฎีบทของแครมเมอร์. ให้เป็นตัวกำหนดของเมทริกซ์ของระบบ และเป็นตัวกำหนดของเมทริกซ์ที่ได้จากเมทริกซ์โดยการแทนที่คอลัมน์ i-th ด้วยคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ จากนั้น ถ้า ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ซึ่งกำหนดโดยสูตร:
สูตรแครมเมอร์.
ตัวอย่าง. แก้ระบบสมการโดยใช้สูตรของแครมเมอร์
สารละลาย. ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์ระบบ ดังนั้นระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ คำนวณที่ได้จากการแทนที่คอลัมน์ที่หนึ่ง สอง สาม ตามลำดับ ด้วยคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ:
ตามสูตรของแครมเมอร์:
9. วิธี Gauss สำหรับการแก้ปัญหาระบบน สมการเชิงเส้นด้วย พีตัวแปร แนวคิดของวิธีจอร์แดน-เกาส์
วิธีเกาส์ - วิธีการแยกตัวแปรต่อเนื่อง
วิธีเกาส์ประกอบด้วยความจริงที่ว่าด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเบื้องต้นของแถวและการเรียงสับเปลี่ยนของคอลัมน์ ระบบสมการจะลดลงเป็นระบบที่เทียบเท่าของรูปแบบขั้นบันได (หรือรูปสามเหลี่ยม) ซึ่งพบตัวแปรอื่น ๆ ทั้งหมดตามลำดับโดยเริ่มจาก จากตัวแปรสุดท้าย (ตามจำนวน)
มันสะดวกที่จะดำเนินการแปลงแบบเกาส์เซียนไม่ใช่ด้วยสมการเอง แต่ด้วยเมทริกซ์ขยายของค่าสัมประสิทธิ์ ซึ่งได้มาจากการกำหนดคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระให้กับเมทริกซ์ :
.
ควรสังเกตว่าวิธี Gauss สามารถใช้เพื่อแก้ระบบสมการในรูปแบบใดก็ได้ 
.
ตัวอย่าง. ใช้วิธี Gauss เพื่อแก้ปัญหาระบบ:
ให้เราเขียนเมทริกซ์เสริมของระบบ.
ขั้นตอนที่ 1 . สลับบรรทัดแรกและบรรทัดที่สองเพื่อให้มีค่าเท่ากับ 1
ขั้นตอนที่ 2 คูณองค์ประกอบของแถวแรกด้วย (-2) และ (-1) แล้วบวกเข้ากับองค์ประกอบของแถวที่สองและสามเพื่อให้ศูนย์ก่อตัวใต้องค์ประกอบในคอลัมน์แรก .
สำหรับระบบสมการเชิงเส้นที่สอดคล้องกัน ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง:
ทฤษฎีบท 1.หากอันดับของเมทริกซ์ของระบบร่วมเท่ากับจำนวนตัวแปร เช่น จากนั้นระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ
ทฤษฎีบท 2หากอันดับของเมทริกซ์ของระบบข้อต่อน้อยกว่าจำนวนตัวแปร เช่น จากนั้นระบบจะไม่แน่นอนและมีวิธีแก้ไขจำนวนไม่สิ้นสุด
คำนิยาม.ผู้เยาว์พื้นฐานของเมทริกซ์คือผู้เยาว์ที่ไม่ใช่ศูนย์ซึ่งมีลำดับเท่ากับอันดับของเมทริกซ์
คำนิยาม.สิ่งที่ไม่รู้จักซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์รวมอยู่ในบันทึกของผู้เยาว์ขั้นพื้นฐานเรียกว่าพื้นฐาน (หรือพื้นฐาน) สิ่งที่ไม่รู้จักที่เหลือเรียกว่าฟรี (หรือไม่ใช่พื้นฐาน)
ในการแก้ระบบสมการในกรณีนี้หมายถึงการแสดงและ (เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์) จากนั้น และ ไม่ทราบค่า
เราแสดงตัวแปรพื้นฐานในแง่ของตัวแปรฟรี
จากแถวที่สองของเมทริกซ์ผลลัพธ์ เราแสดงตัวแปร :
จากบรรทัดแรกเราแสดง:
คำตอบทั่วไปของระบบสมการ: , .
พิจารณาเมทริกซ์ A ขนาด mxn โดยพลการ ไม่จำเป็นต้องเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส
อันดับเมทริกซ์
แนวคิดของอันดับของเมทริกซ์เกี่ยวข้องกับแนวคิดของการพึ่งพาเชิงเส้น (ความเป็นอิสระ) ของแถว (คอลัมน์) ของเมทริกซ์ พิจารณาแนวคิดนี้สำหรับสตริง สำหรับคอลัมน์ก็เช่นเดียวกัน
แสดงถึง sinks ของเมทริกซ์ A:
จ 1 \u003d (11, 12, ..., 1n); จ 2 \u003d (a 21, a 22, ..., a 2n); ..., e m \u003d (a m1, a m2, ..., a mn)
ek =e s ถ้า a kj =a sj , j=1,2,…,n
การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในแถวเมทริกซ์ (การบวก การคูณด้วยจำนวน) ถูกนำมาใช้เป็นการดำเนินการที่ดำเนินการตามองค์ประกอบ: λе k =(λа k1 ,λа k2 ,…,λа kn);
ek +e s =[(а k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(а kn +a sn)].
สาย e เรียกว่า การรวมกันเชิงเส้นแถว e 1 , e 2 ,…,e k ถ้ามันเท่ากับผลรวมของผลคูณของแถวเหล่านี้ด้วยจำนวนจริงโดยพลการ:
e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k
บรรทัด e 1 , e 2 ,…,em เรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น, ถ้ามีจำนวนจริง λ 1 ,λ 2 ,…,λ m , ไม่ใช่ทั้งหมดเท่ากับศูนย์, ที่ผลรวมเชิงเส้นของแถวเหล่านี้เท่ากับแถวศูนย์: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ เอ็ม เอ็ม = 0 ,ที่ไหน 0 =(0,0,…,0) (1)
หากการรวมกันเชิงเส้นเท่ากับศูนย์ถ้าหากสัมประสิทธิ์ทั้งหมด λ i เท่ากับศูนย์ (λ 1 =λ 2 =…=λ m =0) ดังนั้นแถว e 1 , e 2 ,…,e m จะเรียกว่า อิสระเชิงเส้น
ทฤษฎีบท 1. สำหรับสตริง e 1 ,e 2 ,…,e m ที่ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น มีความจำเป็นและเพียงพอที่หนึ่งในสตริงเหล่านี้จะเป็นชุดค่าผสมเชิงเส้นของสตริงอื่นๆ
การพิสูจน์. ความจำเป็น. ให้สตริง e 1 , e 2 ,…,e m ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น เพื่อความแน่นอน (1) λm ≠0 แล้ว
ที่. สตริง em คือชุดค่าผสมเชิงเส้นของสตริงที่เหลือ ช.ต.ด.
ความเพียงพอ. ให้แถวใดแถวหนึ่ง เช่น e m เป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวอื่นๆ จากนั้นมีตัวเลขเช่นความเท่าเทียมกันซึ่งสามารถเขียนใหม่เป็น ,
โดยที่อย่างน้อย 1 ของค่าสัมประสิทธิ์ (-1) ไม่ใช่ศูนย์ เหล่านั้น. แถวขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ช.ต.ด.
คำนิยาม. ลำดับรองลงมาเมทริกซ์ A ที่มีขนาด mxn เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์อันดับ k ที่มีองค์ประกอบอยู่ที่จุดตัดของแถว k ใดๆ และคอลัมน์ k ใดๆ ของเมทริกซ์ A (k≤min(m,n)) .
ตัวอย่าง., ผู้เยาว์ลำดับที่ 1: =, =;
ผู้เยาว์ลำดับที่ 2: ลำดับที่ 3
เมทริกซ์ลำดับที่ 3 ประกอบด้วยผู้เยาว์ลำดับที่ 1 9 คน ผู้เยาว์ลำดับที่ 2 9 คน และรองผู้เยาว์ลำดับที่ 3 1 คน (ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์นี้)
คำนิยาม. เมทริกซ์อันดับ Aเป็นลำดับสูงสุดของผู้เยาว์ที่ไม่เป็นศูนย์ของเมทริกซ์นี้ การกำหนด - rgA หรือ r(A)
คุณสมบัติอันดับเมทริกซ์.
1) อันดับของเมทริกซ์ A nxm ไม่เกินขนาดที่เล็กที่สุดของมัน เช่น
r(A)≤นาที(ม.,n).
2) r(A)=0 เมื่อองค์ประกอบเมทริกซ์ทั้งหมดเท่ากับ 0 นั่นคือ เอ=0
3) สำหรับเมทริกซ์จัตุรัส A ของลำดับที่ n, r(A)=n เมื่อ A ไม่เสื่อม
(อันดับของเมทริกซ์เส้นทแยงมุมเท่ากับจำนวนองค์ประกอบในแนวทแยงที่ไม่เป็นศูนย์)
4) หากอันดับของเมทริกซ์คือ r เมทริกซ์นั้นจะมีอย่างน้อยหนึ่งลำดับรองลงมา r ที่ไม่เท่ากับศูนย์ และลำดับรองทั้งหมดที่มีลำดับสูงกว่าจะเท่ากับศูนย์
สำหรับอันดับของเมทริกซ์ ความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นจริง:
2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤นาที(r(A),r(B));
3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(AT A)=r(A);
5) r(AB)=r(A) ถ้า B เป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ไม่ใช่เอกพจน์
6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n โดยที่ n คือจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ A หรือแถวของเมทริกซ์ B
คำนิยาม.คำสั่งรองที่ไม่ใช่ศูนย์ของ r(A) เรียกว่า พื้นฐานเล็กน้อย. (เมทริกซ์ A สามารถมีผู้เยาว์พื้นฐานได้หลายตัว) แถวและคอลัมน์ที่จุดตัดซึ่งมีฐานรองจะถูกเรียกตามลำดับ เส้นฐานและ คอลัมน์ฐาน.
ทฤษฎีบท 2 (บนพื้นฐานเล็กน้อย)แถวพื้นฐาน (คอลัมน์) เป็นอิสระเชิงเส้น แถว (คอลัมน์ใดก็ได้) ของเมทริกซ์ A คือผลรวมเชิงเส้นของแถวพื้นฐาน (คอลัมน์)
การพิสูจน์. (สำหรับสตริง). หากแถวพื้นฐานขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ตามทฤษฎีบท (1) หนึ่งในแถวเหล่านี้จะเป็นชุดค่าผสมเชิงเส้นของแถวพื้นฐานอื่นๆ จากนั้น โดยไม่ต้องเปลี่ยนค่าของชุดค่าผสมพื้นฐานรอง คุณสามารถลบชุดค่าผสมเชิงเส้นที่ระบุออกจากแถวนี้และ รับแถวศูนย์และสิ่งนี้ขัดแย้งกันเนื่องจากพื้นฐานรองแตกต่างจากศูนย์ ที่. แถวฐานเป็นอิสระเชิงเส้น
ให้เราพิสูจน์ว่าแถวใด ๆ ของเมทริกซ์ A เป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวพื้นฐาน เพราะ ด้วยการเปลี่ยนแปลงโดยพลการในแถว (คอลัมน์) ดีเทอร์มีแนนต์จะคงคุณสมบัติเท่ากับศูนย์ จากนั้นโดยไม่สูญเสียความเป็นทั่วไป เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าพื้นฐานรองอยู่ที่มุมซ้ายบนของเมทริกซ์
เอ=,เหล่านั้น. อยู่ที่แถว r แรกและคอลัมน์ r แรก ให้ 1£j£n, 1£i£m ให้เราแสดงว่าดีเทอร์มีแนนต์ของลำดับที่ (r+1)
ถ้า j£r หรือ i£r ดีเทอร์มิแนนต์นี้จะเท่ากับศูนย์ เนื่องจาก มันจะมีสองคอลัมน์ที่เหมือนกันหรือสองแถวที่เหมือนกัน
ถ้า j>r และ i>r ดีเทอร์มีแนนต์นี้จะเป็นรองของลำดับที่ (r + 1) ของเมทริกซ์ A เนื่องจาก อันดับเมทริกซ์คือ r ดังนั้น ผู้เยาว์ใดๆ การสั่งซื้อสินค้าที่สูงขึ้นเป็น 0
ขยายตามองค์ประกอบของคอลัมน์สุดท้าย (เพิ่ม) เราได้รับ
a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0 โดยที่ตัวสุดท้าย นอกจากนี้พีชคณิต A ij เกิดขึ้นพร้อมกับ M รองพื้นฐาน M r ดังนั้น A ij = M r ≠0
การหารความเสมอภาคสุดท้ายด้วย A ij เราสามารถแสดงองค์ประกอบ a ij เป็นชุดค่าผสมเชิงเส้น: , โดยที่
เรากำหนดค่า i (i>r) และเราได้ค่านั้นสำหรับองค์ประกอบ j (j=1,2,…,n) ใดๆ ผม-th บรรทัด e i แสดงเป็นเส้นตรงในแง่ขององค์ประกอบแถว e 1 , e 2 ,…,e r , i.e. ผม-th บรรทัดเป็นการรวมกันเชิงเส้นของแถวพื้นฐาน: . ช.ต.ด.
ทฤษฎีบท 3. (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับดีเทอร์มิแนนต์ที่จะเท่ากับศูนย์)เพื่อให้ดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่ n D มีค่าเท่ากับศูนย์ จำเป็นและเพียงพอที่แถว (คอลัมน์) ของมันจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้น
บทพิสูจน์ (น.40). ความจำเป็น. หากลำดับที่ n ดีเทอร์มิแนนต์ D เท่ากับศูนย์ ดังนั้นฐานรองของเมทริกซ์จะเป็นลำดับ r ดังนั้น แถวหนึ่งจึงเป็นการรวมกันเชิงเส้นของแถวอื่นๆ จากนั้นตามทฤษฎีบทที่ 1 แถวของดีเทอร์มิแนนต์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ความเพียงพอ. ถ้าแถว D ขึ้นต่อกันเชิงเส้น ดังนั้นโดยทฤษฎีบท 1 หนึ่งแถว A i จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวอื่นๆ การลบชุดค่าผสมเชิงเส้นที่ระบุออกจากบรรทัด A i โดยไม่เปลี่ยนค่าของ D เราจะได้เส้นศูนย์ ดังนั้น โดยคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ D=0 h.t.d. ทฤษฎีบท 4ภายใต้การแปลงเบื้องต้น อันดับของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนแปลง การพิสูจน์. ดังที่แสดงไว้เมื่อพิจารณาคุณสมบัติของดีเทอร์มีแนนต์ เมื่อแปลงเมทริกซ์กำลังสอง ดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลง หรือคูณด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ หรือเครื่องหมายเปลี่ยน ในกรณีนี้ลำดับสูงสุดของผู้เยาว์ที่ไม่เป็นศูนย์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมจะถูกรักษาไว้เช่น อันดับของเมทริกซ์ไม่เปลี่ยนแปลง ช.ต.ด. ถ้า r(A)=r(B) แล้ว A และ B คือ เทียบเท่า: A~B ทฤษฎีบท 5.การใช้การแปลงเบื้องต้น เราสามารถลดเมทริกซ์เป็น มุมมองขั้นบันไดเรียกว่าเมทริกซ์ ขั้นตอนหากมีรูปแบบ: А=, โดยที่ a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k เงื่อนไข r≤k สามารถทำได้โดยการขนย้าย ทฤษฎีบท 6.อันดับของเมทริกซ์ขั้นตอนเท่ากับจำนวนแถวที่ไม่ใช่ศูนย์ .
เหล่านั้น. อันดับของเมทริกซ์ขั้นตอนคือ r เพราะ มีคำสั่งย่อยที่ไม่ใช่ศูนย์ r: ให้เมทริกซ์ A ที่มีขนาด (m; n) มี k แถวและ k คอลัมน์ที่เลือกได้ตามอำเภอใจ (k ≤ min(m; n)) องค์ประกอบเมทริกซ์ที่อยู่ตรงจุดตัดของแถวและคอลัมน์ที่เลือกจะสร้างเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสของลำดับ k ซึ่งดีเทอร์มิแนนต์เรียกว่า M kk รองลงมาของลำดับ k y หรือลำดับรองลำดับที่ k ของเมทริกซ์ A อันดับของเมทริกซ์คือลำดับสูงสุด r ของผู้เยาว์ที่ไม่เป็นศูนย์ของเมทริกซ์ A และอันดับรองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับ r ใด ๆ จะเรียกว่าผู้เยาว์พื้นฐาน ตำแหน่ง: อันดับ A = r ถ้ารัง A = รัง B และขนาดของเมทริกซ์ A และ B เท่ากัน แสดงว่าเมทริกซ์ A และ B เท่ากัน กำหนด: A ~ B วิธีหลักในการคำนวณอันดับของเมทริกซ์คือ วิธีที่อยู่นอกกรอบ (fringing minor) และวิธี สาระสำคัญของวิธีการผูกมัดผู้เยาว์มีดังนี้ ปล่อยให้ลำดับรอง k ซึ่งแตกต่างจากศูนย์พบแล้วในเมทริกซ์ จากนั้นจะพิจารณาเฉพาะผู้เยาว์ลำดับที่ k + 1 ที่ด้านล่างซึ่งมี (เช่น เส้นขอบ) ผู้เยาว์ลำดับที่ k ที่แตกต่างจากศูนย์ หากทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์อันดับของเมทริกซ์จะเท่ากับ k มิฉะนั้นในลำดับรองลงมาของลำดับที่ (k + 1) จะมีลำดับที่ไม่ใช่ศูนย์และขั้นตอนทั้งหมดคือ ซ้ำ แนวคิดของอันดับของเมทริกซ์นั้นสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเรื่องความเป็นอิสระเชิงเส้นของแถว (คอลัมน์) แถวเมทริกซ์: เรียกว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้ามีตัวเลขดังกล่าว λ 1 , λ 2 , λ k ที่ความเท่าเทียมกันเป็นจริง: แถวของเมทริกซ์ A เรียกว่าอิสระเชิงเส้นหากความเท่าเทียมกันข้างต้นเป็นไปได้เฉพาะในกรณีที่ตัวเลขทั้งหมด λ 1 = λ 2 = ... = λ k = 0 การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของคอลัมน์ของเมทริกซ์ A นั้นถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน หากแถวใด ๆ (al l) ของเมทริกซ์ A (โดยที่ (a l)=(a l1 , a l2 ,…, a ln)) สามารถแสดงเป็น แนวคิดของการรวมกันเชิงเส้นของคอลัมน์ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน ทฤษฎีบทต่อไปนี้บนพื้นฐานเล็กน้อยนั้นถูกต้อง แถวพื้นฐานและคอลัมน์พื้นฐานเป็นอิสระเชิงเส้น แถว (หรือคอลัมน์) ใดๆ ของเมทริกซ์ A เป็นการรวมเชิงเส้นของแถวพื้นฐาน (คอลัมน์) นั่นคือ แถว (คอลัมน์) ที่ตัดกับรองพื้นฐาน ดังนั้น อันดับของเมทริกซ์ A: rang A = k จึงเท่ากับจำนวนสูงสุดของแถว (คอลัมน์) ที่เป็นอิสระเชิงเส้นของเมทริกซ์ A เหล่านั้น. อันดับของเมทริกซ์คือมิติของเมทริกซ์กำลังสองที่ใหญ่ที่สุดภายในเมทริกซ์ที่คุณต้องการกำหนดอันดับซึ่งดีเทอร์มีแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์ หากเมทริกซ์ดั้งเดิมไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือหากเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ ดังนั้นสำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีลำดับน้อยกว่า แถวและคอลัมน์จะถูกเลือกโดยพลการ อันดับของเมทริกซ์สามารถคำนวณได้จากจำนวนแถวหรือคอลัมน์อิสระเชิงเส้นของเมทริกซ์ ยกเว้นผ่านดีเทอร์มิแนนต์ เท่ากับจำนวนแถวหรือคอลัมน์อิสระเชิงเส้น แล้วแต่จำนวนใดจะน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น หากเมทริกซ์มีแถวอิสระเชิงเส้น 3 แถวและคอลัมน์อิสระเชิงเส้น 5 คอลัมน์ ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์คือ 3 ค้นหาอันดับของเมทริกซ์โดยวิธีล้อมรอบผู้เยาว์ เฉลย รองลงมาจากลำดับที่สอง ขอบ M 2 รองลงมาก็แตกต่างจากศูนย์เช่นกัน อย่างไรก็ตาม ผู้เยาว์ทั้งสองเป็นลำดับที่สี่ มีพรมแดนติดกับ ม.3 มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์ A คือ 3 และรองพื้นฐานคือ ตัวอย่างเช่น M 3 รองที่แสดงด้านบน วิธีการแปลงเบื้องต้นขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่าการแปลงเบื้องต้นของเมทริกซ์ไม่ได้เปลี่ยนอันดับของมัน เมื่อใช้การแปลงเหล่านี้ คุณจะสามารถนำเมทริกซ์มาอยู่ในฟอร์มได้เมื่อองค์ประกอบทั้งหมด ยกเว้น a 11 , a 22 , …, a rr (r ≤min (m, n)) มีค่าเท่ากับศูนย์ นี่หมายความว่าอันดับ A = r โปรดทราบว่าหากเมทริกซ์ลำดับที่ n มีรูปแบบของเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบน นั่นคือ เมทริกซ์ที่องค์ประกอบทั้งหมดภายใต้เส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ เมทริกซ์นั้นจะถูกกำหนดให้เท่ากับผลคูณขององค์ประกอบบน เส้นทแยงมุมหลัก คุณสมบัตินี้สามารถใช้เมื่อคำนวณอันดับของเมทริกซ์โดยวิธีการแปลงเบื้องต้น: จำเป็นต้องใช้มันเพื่อลดเมทริกซ์ให้เป็นรูปสามเหลี่ยม จากนั้นโดยการเลือกดีเทอร์มีแนนต์ที่เหมาะสม เราพบว่าอันดับของ เมทริกซ์เท่ากับจำนวนองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ของเส้นทแยงมุมหลัก ใช้วิธีการแปลงเบื้องต้น หาอันดับของเมทริกซ์ วิธีแก้ปัญหา แสดงแถวที่ i ของเมทริกซ์ A ด้วยสัญลักษณ์ α i ในขั้นแรก เราทำการแปลงเบื้องต้น ในขั้นที่สอง เราทำการเปลี่ยนแปลง เป็นผลให้เราได้รับวิธีการย่อย Fringing
ความเป็นอิสระเชิงเส้นของแถว (คอลัมน์) ของเมทริกซ์
ตัวอย่างการหาอันดับของเมทริกซ์
กำลังโหลด...