คณิตศาสตร์การคูณเมทริกซ์ การดำเนินการเมทริกซ์

ในปัญหาของพีชคณิตเชิงเส้น การดำเนินการต่าง ๆ กับเมทริกซ์นั้นจำเป็นเกือบทุกครั้ง

ต้องกำหนดเมทริกซ์และป้อนลงในเอกสารการทำงานของ MathCAD ก่อน

ในการกำหนดเมทริกซ์ ให้ใช้แป้นพิมพ์เพื่อพิมพ์ชื่อของเมทริกซ์ตามด้วยเครื่องหมายกำหนด ( +<:>). จากนั้นเปิดแผงการทำงานของเมทริกซ์แล้วคลิกปุ่ม "สร้างเมทริกซ์หรือเวกเตอร์"หรือเลือกจากเมนู แทรกสั่งการ เมทริกซ์. ในกล่องโต้ตอบ ให้ป้อนจำนวนแถวและคอลัมน์ แล้วกรอกค่าลงในฟิลด์อินพุตเมทริกซ์

การคำนวณเมทริกซ์ส่วนใหญ่ เช่นเดียวกับการคำนวณอื่นๆ ใน MathCAD สามารถทำได้สามวิธี - โดยใช้แถบเครื่องมือ เลือกการดำเนินการจากเมนู หรือเข้าถึงฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง

ปุ่มบนแถบเครื่องมือ Matrix มีหน้าที่ดังนี้

การกำหนดขนาดของเมทริกซ์

Xn - ป้อนตัวห้อย

X -1 - การคำนวณ เมทริกซ์ผกผัน

|X| - การคำนวณปัจจัยเมทริกซ์: ; การคำนวณความยาวของเวกเตอร์

การดำเนินการตามองค์ประกอบด้วยเมทริกซ์: ถ้า , ที่

ม<>– นิยามคอลัมน์เมทริกซ์: M< j> - คอลัมน์ j-thเมทริกซ์

MT - การขนย้ายเมทริกซ์:

- การคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์:

- การคำนวณผลคูณของสองเวกเตอร์:

· - การคำนวณผลรวมของส่วนประกอบเวกเตอร์: ;

- การกำหนดช่วงของการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร

การสร้างภาพข้อมูลดิจิทัลที่เก็บไว้ในเมทริกซ์

ในการดำเนินการใดๆ โดยใช้แถบเครื่องมือ คุณต้องเลือกเมทริกซ์และคลิกที่ปุ่มการทำงานในแถบเครื่องมือ หรือคลิกที่ปุ่มในแถบเครื่องมือแล้วป้อนชื่อเมทริกซ์ในตำแหน่งที่ทำเครื่องหมายไว้

ฟังก์ชั่นที่มีไว้สำหรับการแก้ปัญหาของพีชคณิตเชิงเส้นได้รวบรวมไว้ในส่วนนี้ เวกเตอร์และเมทริกซ์ (Vector and Matrix); สามารถแบ่งออกเป็นสามกลุ่ม: ฟังก์ชันสำหรับกำหนดเมทริกซ์และการดำเนินการกับบล็อกของเมทริกซ์ ฟังก์ชันสำหรับการคำนวณลักษณะเชิงตัวเลขต่างๆ ของเมทริกซ์ และฟังก์ชันที่ใช้อัลกอริธึมเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ปัญหาพีชคณิตเชิงเส้น

ฟังก์ชันนิยามเมทริกซ์และการดำเนินการบล็อกเมทริกซ์:

เมทริกซ์(m, n, f) – สร้างและเติมเมทริกซ์ mxn ซึ่งเป็นองค์ประกอบที่อยู่ในแถว i-th, คอลัมน์ j-th, เท่ากับค่า f(i, j) ของฟังก์ชัน f( x, y);

· diag(v) – สร้างเมทริกซ์เส้นทแยงมุม องค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักจะถูกเก็บไว้ในเวกเตอร์ v;

· เอกลักษณ์(n) – สร้างเมทริกซ์เอกลักษณ์ของคำสั่ง n;

ส่วนเสริม (A, B) – สร้างเมทริกซ์ก่อน คอลัมน์ซึ่งมีเมทริกซ์ A และหลังมีเมทริกซ์ B (เมทริกซ์ A และ B ต้องมีจำนวนแถวเท่ากัน)

stack(A, B) – สร้างเมทริกซ์ แถวแรกมีเมทริกซ์ A และแถวสุดท้ายมีเมทริกซ์ B (เมทริกซ์ A และ B ต้องมีจำนวนคอลัมน์เท่ากัน)

เมทริกซ์ย่อย (A, ir, jr, ic, jc) – สร้างเมทริกซ์ซึ่งเป็นบล็อกของเมทริกซ์ A ที่อยู่ในแถวจาก ir ถึง jr และในคอลัมน์จาก ic ถึง jc (ir<=jr, ic<=jc).

จำนวนของแถวแรก (คอลัมน์) ของเมทริกซ์หรือองค์ประกอบแรกของเวกเตอร์จะถูกเก็บไว้ใน MathCAD ในตัวแปร ORIGIN ตามค่าเริ่มต้นในพิกัดเวกเตอร์ของ MathCAD คอลัมน์และแถวเมทริกซ์จะมีหมายเลขเริ่มต้นจาก 0 (ORIGIN:=0) เนื่องจากการนับเลขจาก 1 มักใช้ในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ก่อนที่จะเริ่มทำงานกับเมทริกซ์ เราจะกำหนดค่าของตัวแปร ORIGIN ให้เท่ากับ 1 เช่น ก่อนอื่นเราจะรันคำสั่ง ORIGIN:=1

ฟังก์ชันสำหรับการคำนวณลักษณะตัวเลขต่างๆ ของเมทริกซ์:

· สุดท้าย(v) – การคำนวณจำนวนองค์ประกอบสุดท้ายของเวกเตอร์ V;

· ความยาว(v) – การคำนวณจำนวนส่วนประกอบของเวกเตอร์ V;

· แถว(A) – การคำนวณจำนวนแถวในเมทริกซ์ A

· cols(A) – การคำนวณจำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์ A;

· สูงสุด(A) – การคำนวณองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดในเมทริกซ์ A;

· นาที(A) – การคำนวณองค์ประกอบที่เล็กที่สุดในเมทริกซ์ A;

tr(A) – การคำนวณการติดตาม เมทริกซ์สี่เหลี่ยม A (ร่องรอยของเมทริกซ์เท่ากับผลรวมขององค์ประกอบในแนวทแยง)

· อันดับ(A) – การคำนวณอันดับของเมทริกซ์ A;

· norm1(A), norm2(a), norm(A), norm(A) – การคำนวณบรรทัดฐานของตารางเมทริกซ์ A

ฟังก์ชันที่ใช้อัลกอริทึมเชิงตัวเลขในการแก้ปัญหาพีชคณิตเชิงเส้น:

· rref(A) – การลดลงของเมทริกซ์เป็นรูปแบบขั้นบันไดโดยมีหน่วยพื้นฐานเล็กน้อย (การดำเนินการเบื้องต้นจะดำเนินการกับเมทริกซ์ซิงก์)

· ค่าลักษณะเฉพาะ(A) – การคำนวณค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์กำลังสอง A;

· eigenvecs(A) – การคำนวณ eigenvectors ของตารางเมตริกซ์ A; ค่าของฟังก์ชันคือเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A และลำดับของเวกเตอร์สอดคล้องกับลำดับของค่าลักษณะเฉพาะที่คำนวณโดยฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ(A);

· ค่าลักษณะเฉพาะ(A, l) – การคำนวณค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A ที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ l;

· lsolve(A, b) – คำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น Ax=b

การคำนวณโดยใช้ฟังก์ชันที่อธิบายไว้จะดำเนินการด้วยวิธีมาตรฐานสำหรับ MathCAD ในการเข้าถึงฟังก์ชัน ให้พิมพ์ชื่อของฟังก์ชันบนแป้นพิมพ์ ระบุอาร์กิวเมนต์ในวงเล็บ ป้อนเครื่องหมายเท่ากับ และคลิกที่พื้นที่ว่างในเอกสารการทำงานนอกกรอบการเลือก ผลลัพธ์ของการคำนวณ (ตัวเลข, เวกเตอร์, เมทริกซ์) จะปรากฏในเอกสารการทำงานทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ

หากคุณต้องการใช้ผลลัพธ์ในการคำนวณเพิ่มเติม ควรตั้งชื่อ ในการดำเนินการนี้ ให้ใช้แป้นพิมพ์เพื่อป้อนชื่อของตัวแปรและเครื่องหมายการกำหนด และทางด้านขวาของแป้นพิมพ์ ให้ป้อนชื่อของฟังก์ชันที่มีรายการอาร์กิวเมนต์ในวงเล็บ หากคุณป้อนชื่อของตัวแปรเครื่องหมายเท่ากับจากแป้นพิมพ์แล้วคลิกบนพื้นที่ว่างในเอกสารการทำงานนอกกรอบการเลือก ผลลัพธ์ของการคำนวณจะแสดงทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ

สามารถแทรกชื่อฟังก์ชันจากรายการได้: คลิกที่จุดแทรก จากนั้นคลิกบนบรรทัด การทำงานเมนู แทรกให้เลือกฟังก์ชันที่ต้องการในกล่องรายการโดยใช้ลูกศรเลื่อน และยืนยันการเลือกโดยคลิกที่ปุ่ม ตกลงในกล่องโต้ตอบ

การคำนวณสามารถทำได้ในสองโหมด - อัตโนมัติและตามลำดับ ในกรณีแรก การดำเนินการจะดำเนินการทันทีหลังจากป้อนคำสั่งและคลิกที่เอกสารการทำงานนอกกรอบการเลือก ในส่วนที่สอง - หลังจากคำสั่ง คำนวณ. โหมดการคำนวณตั้งอยู่ในเมนู คณิตศาสตร์. ตามค่าเริ่มต้น การคำนวณอัตโนมัติจะถูกเปิดใช้งาน

MathCAD อ่านและดำเนินการนิพจน์ที่ป้อนจากซ้ายไปขวาและจากบนลงล่าง ดังนั้นตรวจสอบให้แน่ใจว่านิพจน์ที่จะคำนวณนั้นอยู่ทางด้านขวาและด้านล่างของค่าตัวแปรที่กำหนดไว้

ออกกำลังกาย

1. สร้างเมทริกซ์ A ของมิติที่กำหนด n * m (เติมเมทริกซ์ด้วยตัวคุณเอง)

2. เมทริกซ์ทรานสโพส ก.

3. แยกคอลัมน์ i-th และ j-th ออกจากเมทริกซ์ A แล้วหาผลรวมและผลคูณสเกลาร์

4. ใช้ฟังก์ชัน z(x) กับแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ A

ทิศทาง

1. เมื่อเริ่มงาน ให้กำหนดค่า 1 ให้กับตัวแปร ORIGIN ในการดำเนินการกับเมทริกซ์ ให้ใช้แถบเครื่องมือ เมทริกซ์หากต้องการแทรกฟังก์ชันให้ใช้เมนู แทรก – การทำงานหรือปุ่มแถบเครื่องมือที่เกี่ยวข้อง มาตรฐาน.

2. ในการทำ 4 ภารกิจให้สำเร็จ คุณต้อง:

· เขียนฟังก์ชัน z(x) ในรูปแบบทั่วไป

กำหนดช่วงของค่าให้กับตัวแปร i และ j: .

· คำนวณองค์ประกอบของเมทริกซ์ Z ใหม่เป็นค่าของฟังก์ชัน z(x) โดยที่องค์ประกอบของเมทริกซ์ A ถูกแทนที่ด้วยตัวแปร x:

· ดูเมทริกซ์ที่ได้รับ Z (พิมพ์ Z= จากแป้นพิมพ์)

3. ในการเขียนฟังก์ชันที่ระบุเงื่อนไข คุณต้อง:

เขียนช่วงของอาร์กิวเมนต์ x และ y: (ควรอธิบายค่าของ n และ m ไว้ด้านบน)

เขียน "f(x,y):=" จากนั้นบนแถบเครื่องมือ " การเขียนโปรแกรม" กดปุ่ม " แอดไลน์". แถบแนวตั้งที่มีป้ายกำกับสำหรับการป้อนข้อมูลจะปรากฏในช่องป้อนข้อมูลของฟังก์ชัน

ในป้ายกำกับด้านบน พิมพ์ค่าแรกของฟังก์ชัน จากนั้นกดปุ่ม " ถ้า” จะปรากฏคำว่า service if และ label สำหรับเข้าเงื่อนไข หากต้องการใช้การดำเนินการเชิงตรรกะ "AND" สำหรับนิพจน์เชิงตรรกะหลายรายการ ให้ใส่เครื่องหมาย "*" และสำหรับการดำเนินการ "OR" - เครื่องหมาย "+"

ในป้ายกำกับด้านล่าง ให้พิมพ์ค่าที่สองของฟังก์ชันแล้วกดปุ่ม " มิฉะนั้น" (มิฉะนั้น). คลิกนอกช่องใส่ฟังก์ชันเพื่อป้อนข้อมูลให้สมบูรณ์

4. ในการศึกษาระบบสมการที่เป็นเนื้อเดียวกันจำเป็นต้องคำนวณปัจจัยของเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ ถ้าดีเทอร์มีแนนต์ไม่เท่ากับ 0 แสดงว่าระบบนั้นไม่สอดคล้องกันและมีคำตอบมากกว่าหนึ่งวิธี (รวมถึงศูนย์ด้วย) ข้อความนี้ยังเป็นความจริง: เพื่อให้ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีความสอดคล้องกันแบบ nontrivially มีความจำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์ระบบจะน้อยกว่าจำนวนของค่าที่ไม่รู้จัก n ดังนั้น ถ้า |C|≠0 และอันดับ(C)≤n แสดงว่าระบบมีความสอดคล้องกันเล็กน้อยและมีวิธีแก้ปัญหาเพียงศูนย์เดียว

5. ในการแทรกข้อความความคิดเห็น ให้เลือกจากเมนู แทรกย่อหน้า พื้นที่ข้อความหรือกดแป้นพิมพ์ลัด +<”>.

ตัวเลือกงาน

ตัวเลือกที่ 1

มิติของเมทริกซ์ A คือ 3*4

ตัวเลือก 2

มิติของเมทริกซ์ A คือ 5*3

;

ตัวเลือก 3

มิติของเมทริกซ์ A คือ 4*4

ตัวเลือก 4

มิติของเมทริกซ์ A คือ 7*4

;

ตัวเลือก 5

มิติของเมทริกซ์ A คือ 7*8

ตัวเลือก 6

มิติของเมทริกซ์ A คือ 7*7

;

ตัวเลือก 7

มิติของเมทริกซ์ A คือ 7*8

ตัวเลือก 8

มิติของเมทริกซ์ A คือ 7*5

ตัวเลือก 9

มิติของเมทริกซ์ A คือ 5*7

;

ตัวเลือก 10

มิติของเมทริกซ์ A คือ 5*4

คุณอาจพบแนวคิดเหล่านี้ขณะทำงานใน Excel คอลัมน์ของตัวเลขเรียกว่าเวกเตอร์คอลัมน์ แถวเรียกว่าเวกเตอร์แถว บล็อกของวัตถุเป็นเมทริกซ์ การคำนวณใน Excel เป็นการดำเนินการกับเวกเตอร์และเมทริกซ์โดยพื้นฐานแล้ว ในบทเรียนนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับการคำนวณที่คล้ายกันใน Mathcad และเราจะเข้าใจว่าทำไมการคำนวณใน Mathcad จึงง่ายกว่า

การแนะนำ

ในบทเรียนก่อนหน้านี้ เวกเตอร์ของเราเริ่มต้นจากองค์ประกอบที่มีเลข "0" ในบทเรียนนี้ เพื่อความง่าย ลองทำให้จำนวนองค์ประกอบแรกเท่ากับ "1" ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้แท็บ การคำนวณ –> ตัวเลือกเอกสาร –> ORIGIN:

ค่านี้สามารถแสดงในเอกสารได้โดยตรงเพื่อไม่ให้ลืมและไม่สับสน:

ตอนนี้พิจารณาเมทริกซ์:

อย่างที่คุณเห็น พวกมันสามารถรวมตัวเลข สัญลักษณ์ และแม้กระทั่งฟังก์ชัน นอกจากนี้ยังสามารถมีองค์ประกอบข้อความ (สตริง)

องค์ประกอบเมทริกซ์สามารถสรุปได้โดยใช้ตัวห้อย:

เมทริกซ์ด้านบนเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2x2 แต่สามารถมีขนาดใดก็ได้ในแถวและคอลัมน์:

ข้อควรจำ: หมายเลขแรกคือหมายเลขแถว (หรือหมายเลข) หมายเลขที่สองคือหมายเลขคอลัมน์

องค์ประกอบที่เน้นด้วยตัวห้อย:

สำหรับเวกเตอร์คอลัมน์ ดัชนีที่สองสามารถละเว้นได้ แต่ไม่ใช่สำหรับเวกเตอร์แถว:

ในแท็บ คณิตศาสตร์ -> ตัวดำเนินการและสัญลักษณ์ -> ตัวดำเนินการ -> เวกเตอร์และเมทริกซ์ คุณจะพบคำสั่งสำหรับการเลือกคอลัมน์และแถว:

การดำเนินการหลายอย่างสำหรับเวกเตอร์และเมทริกซ์นั้นคล้ายคลึงกับการดำเนินการสำหรับตัวเลข ตัวแปร และฟังก์ชันทั่วไป: การบวก การลบ การคูณบางประเภท การค้นหาเมทริกซ์ผกผันใกล้เคียงกับการดำเนินการหาร คุณสามารถเขียนตัวดำเนินการเหล่านี้โดยใช้ชื่อเวกเตอร์และเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่น พิจารณาผลคูณของเมทริกซ์และเวกเตอร์:

เราจะดูรายละเอียดการดำเนินการนี้ในภายหลัง อย่างไรก็ตาม เป็นที่น่าสังเกตว่าต้องใช้การคูณเก้าและการบวกเก้าครั้ง การวาดภาพพวกมันน่าเบื่อและเต็มไปด้วยข้อผิดพลาด - สำหรับเมทริกซ์ขนาดใหญ่เป็นเรื่องยากมากที่จะทำเช่นนี้

การใช้เวกเตอร์กว้างมาก ลองนึกถึงพิกเซลบนหน้าจอมอนิเตอร์ - อาจมีหลายล้านพิกเซล มีการประมวลผลโดยใช้การดำเนินการเมทริกซ์

ในคณิตศาสตร์

หากต้องการสร้างเวกเตอร์หรือเมทริกซ์ ให้เปิดแท็บ เมทริกซ์/ตาราง เมื่อเคอร์เซอร์อยู่ในพื้นที่ว่าง ให้คลิกที่ปุ่ม "Insert Matrix" ทางซ้ายสุด ตารางที่มีสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ จะปรากฏขึ้น:

เลื่อนตัวชี้ไปไว้เหนือตาราง เลือกขนาดเมทริกซ์ที่ต้องการ จากนั้นคลิกปุ่มซ้ายของเมาส์ เมทริกซ์ว่างจะปรากฏขึ้น:

สามารถตั้งชื่อเมทริกซ์ได้โดยคลิกที่วงเล็บด้านซ้าย พิมพ์ [:] สำหรับตัวดำเนินการกำหนด และพิมพ์ชื่อ:

การแทรกและการลบแถวและคอลัมน์ทำได้ง่ายโดยใช้คำสั่งจากเมนู Vector/Matrix Operators บนแท็บ Matrices and Tables:

การดำเนินการเมทริกซ์

ผลของการดำเนินการต่างๆ ในเมทริกซ์และเวกเตอร์จะเข้าใจได้ง่ายขึ้นโดยใช้สัญลักษณ์ เราจะใช้สองเมทริกซ์และสองเวกเตอร์:

การขนย้าย

ตัวดำเนินการย้ายตำแหน่งอยู่บนแท็บ คณิตศาสตร์ -> ตัวดำเนินการ -> เวกเตอร์และเมทริกซ์:

คลิกที่ขอบด้านขวาของเมทริกซ์และใช้โอเปอเรเตอร์ ใช้ได้กับทั้งเมทริกซ์อักขระและตัวเลข:

การดำเนินการแบบองค์ประกอบต่อองค์ประกอบ

บ่อยครั้งที่การดำเนินการในเวกเตอร์ต้องทำทีละองค์ประกอบ สำหรับสิ่งนี้ จะใช้ตัวดำเนินการ vectorization การดำเนินการใน Excel มักจะเป็นไปตามองค์ประกอบ แต่ก็มีความสำคัญใน Mathcad เช่นกัน ในการคูณเวกเตอร์สององค์ประกอบด้วยองค์ประกอบ ก่อนอื่นให้ป้อนการคูณอย่างง่าย:

จากนั้นเลือกนิพจน์ทั้งหมดและใช้เวกเตอร์:

คำนวณเพื่อดูผลลัพธ์: องค์ประกอบแรกคูณด้วยตัวแรก ตัวที่สองต่อตัวที่สอง และอื่นๆ:

การดำเนินการตามองค์ประกอบอื่นๆ:

การดำเนินการตามองค์ประกอบใช้ได้กับอาร์เรย์ที่มีขนาดเท่ากันเท่านั้น

การบวกและการลบ

การบวกและการลบจะดำเนินการทีละองค์ประกอบ:

การดำเนินการนี้ใช้กับอาร์เรย์ที่มีขนาดเท่ากันเท่านั้น

เมื่อใช้ตัวดำเนินการรวม คุณสามารถค้นหาผลรวมขององค์ประกอบทั้งหมดของเวกเตอร์ (ไม่ใช่เมทริกซ์):

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์

การคูณด้วยค่าคงที่จะทำงานดังนี้:

ในการคูณเมทริกซ์สเกลาร์ แถวจะถูกคูณด้วยคอลัมน์ ใช้สัญลักษณ์เดียวกับการคูณปกติ การดำเนินการนี้ใช้ได้กับเมทริกซ์ที่จำนวนแถวในเมทริกซ์แรกเท่ากับจำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์ที่สองเท่านั้น สำหรับเมทริกซ์ 2x2 ของเรา:

โปรดทราบว่าลำดับของปัจจัยมีบทบาท:

ดอทโปรดัคไม่สลับที่ยกเว้นในกรณีพิเศษ:

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวให้ผลลัพธ์ด้วยจำนวนคอนจูเกตที่ซับซ้อน (มีแถบด้านบน) สำหรับจำนวนจริง คุณไม่ต้องสนใจสิ่งนี้:

สินค้าเวกเตอร์

ตัวดำเนินการนี้ใช้กับเวกเตอร์สองคอลัมน์ที่มีสามองค์ประกอบเท่านั้น:

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านกลศาสตร์ อุทกพลศาสตร์ แม่เหล็กไฟฟ้า และด้านอื่นๆ

เมทริกซ์ผกผัน

เมทริกซ์ผกผันกำหนดไว้สำหรับเมทริกซ์กำลังสองเท่านั้น

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย

งบประมาณของรัฐบาลกลาง สถาบันการศึกษาสูงขึ้น อาชีวศึกษา

"มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีแห่งรัฐโวลก้า"

(FGBOU VPO "PGTU")

รายงานเมื่อ งานในห้องปฏิบัติการ №3

ตามระเบียบวินัย

“ทฤษฎีระบบและการวิเคราะห์ระบบ”

25 ตัวเลือก

เสร็จสิ้น: นักเรียน

หลักสูตรที่ 1 กลุ่ม EF

PIB-11 Urteva I.Yu.

ตรวจสอบแล้ว:

Paizerova F.A.

ยอชคาร์-โอลา

2555

วัตถุประสงค์ของห้องปฏิบัติการ

เรียนรู้วิธีการทำงานกับเมทริกซ์คณิตศาสตร์CAD

งานห้องปฏิบัติการ

3.1. ป้อนเมทริกซ์ที่กำหนดในคอลัมน์ 1 (ส่วน 4.3.2)

3.2. ย้ายเมทริกซ์ที่กำหนด (เมทริกซ์จากคอลัมน์ 1 และ 2) (ข้อ 9.1.1)

3.3. ค้นหาผลรวมเชิงเส้นของเมทริกซ์ (คอลัมน์ 1) (ข้อ 9.1.2, 9.1.3)

3.4. ค้นหาผลคูณของเมทริกซ์แต่ละตัวด้วยเมทริกซ์ที่ทรานสโพสและเมทริกซ์ที่ทรานส์โพสด้วยเมทริกซ์เอง (เมทริกซ์จากคอลัมน์ 1 และ 2) (ข้อ 9.1.2)

3.6. แก้ระบบสมการเชิงเส้นตามแบบของคุณ (ดูงานในห้องปฏิบัติการ 7 (การแก้ระบบสมการ คอลัมน์แรกของตาราง)) ด้วยวิธีเมทริกซ์ และตรวจสอบความถูกต้องของคำตอบโดยใช้เมทริกซ์ (ดูภาคผนวก งานในห้องปฏิบัติการนี้) คำนวณโมดูลัสของเวกเตอร์ของส่วนที่ถูกต้องและผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์นี้ด้วยตัวมันเอง

งาน:

1)3*A-2*B, A= , B= .

2) ฉ(x)=2* -3* +5, A=

3.1. ป้อนเมทริกซ์ที่กำหนดในคอลัมน์ 1

3*A-2*B, A= , B=

ในการคำนวณตัวอย่างนี้ คุณต้องเรียกใช้เครื่องคิดเลขบนแถบเครื่องมือ และคุณต้องโทรด้วยแถบเครื่องมือเวกเตอร์และเมทริกซ์และเลือกค่าที่ต้องการ:

ก่อนอื่นคุณต้องกำหนดค่าให้กับ A และ B: "A:=", "B:=" และเพื่อตั้งค่าเมทริกซ์ คุณต้องคลิกที่

และหลังจากนั้นหน้าต่างจะปรากฏขึ้นซึ่งคุณต้องป้อนจำนวนแถวและคอลัมน์

จากนั้นกดตกลงก็จะปรากฎ

ที่เราขับเคลื่อนค่านิยมและได้ผลลัพธ์:

3.2. ทรานสโพสเมทริกซ์ที่กำหนด

ในการสลับตำแหน่งเมทริกซ์ คุณต้องเรียกใช้แถบเครื่องมือ "เมทริกซ์"และเลือก

และผลลัพธ์จะเป็น:

3.3. ค้นหาผลรวมเชิงเส้นของเมทริกซ์

ในการค้นหาชุดค่าผสมเชิงเส้นคุณต้องขับค่าที่แสดงด้านบนเป็นคะแนนในลักษณะเดียวกันและเป็นผลให้เราได้รับ:

3.4. ค้นหาผลิตภัณฑ์ของแต่ละเมทริกซ์ด้วยทรานสโพสและเมทริกซ์ทรานสโพสด้วยเมทริกซ์นั้น

ในการค้นหาชุดค่าผสมเชิงเส้นคุณต้องขับค่าที่แสดงด้านบนในจุดเดียวกันและผลลัพธ์จะเป็น:

และเพื่อหาค่าของฟังก์ชัน f(x)=2* -3* +5

คุณต้องกำหนดค่า A "A:="จากนั้นกำหนด x ค่า A "x:=A"

และฟังก์ชัน f (x) \u003d 2 * -3 * +5

ควรเขียนในรูปแบบ:

และผลลัพธ์จะเป็น:

ในการค้นหาค่าของดีเทอร์มิแนนต์ คุณต้องคลิกที่สัญลักษณ์

และหน้าจอจะแสดง:

หลังจากนั้นเราต้องคลิกที่สัญลักษณ์ด้วยเมาส์:

และหน้าจอจะแสดง:

นอกจากนี้เรายังผลักดันค่านิยมและส่งผลให้เราได้รับ:

3.6. การแก้ระบบสมการเชิงเส้นตามตัวเลือกของคุณ (ดูงานปฏิบัติการ 7 (การแก้ระบบสมการ คอลัมน์แรกของตาราง)) ในวิธีเมทริกซ์ และตรวจสอบความถูกต้องของคำตอบโดยใช้เมทริกซ์ (ดูภาคผนวกนี้ ภาคผนวก). คำนวณโมดูลัสของเวกเตอร์ของด้านขวาและผลิตภัณฑ์มาตราส่วนของเวกเตอร์นี้ด้วยตัวเอง

ระบบนี้สามารถแก้ไขได้สามวิธี:

สัญกรณ์เมทริกซ์
วิธีการของแครมเมอร์
วิธีเกาส์

สัญกรณ์เมทริกซ์

ในระบบสมการนี้ จะมีค่าที่ไม่รู้จักสามตัวและค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ข้างหน้าพวกมัน และควรเขียนค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ในรูปแบบ:

และค่าของสิ่งที่ไม่รู้จักทั้งสามนี้คือ:

ในการหาค่าของค่าที่ไม่รู้จักสามค่า คุณต้องใช้สูตร: x :=

เพื่อให้แน่ใจว่าค่าคำนวณถูกต้อง เราใช้สูตร:

นอกจากนี้ เพื่อให้แน่ใจว่าเราพบค่าเดียวกันอย่างถูกต้อง เราจะตรวจสอบโดยการแทนค่าลงในสูตร:

x := แยก (A , B )

และโปรแกรมควรส่งออกค่าเดียวกัน

ผลลัพธ์ของโปรแกรม:

วิธีการของแครมเมอร์

ในการแก้ระบบสมการด้วยวิธีแครมเมอร์ คุณต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์โดยการแทนที่คอลัมน์:

หลังจากนั้น คุณต้องหาอัตราส่วนของดีเทอร์มิแนนต์แต่ละตัวกับดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์เริ่มต้น จากการกระทำเหล่านี้เราจะพบค่าของระบบสมการที่ไม่รู้จัก

และด้วยเหตุนี้เราจึงได้รับ:

วิธีการของเกาส์

ในการแก้ปัญหาระบบด้วยวิธี Gauss ก่อนอื่นคุณต้องป้อนเมทริกซ์ของระบบและเมทริกซ์ - คอลัมน์ของส่วนที่ถูกต้อง

หลังจากนั้นคุณต้องสร้างเมทริกซ์เพิ่มเติมของระบบ

ในการสร้างเมทริกซ์เสริมของระบบ คุณต้องใช้ฟังก์ชันเสริม (A , b ) ซึ่งสร้างเมทริกซ์โดยเพิ่มลงในคอลัมน์ของเมทริกซ์ระบบก คอลัมน์ด้านขวาข (ในเอกสารที่อ้างถึง เมทริกซ์ขยายของระบบจะได้รับชื่ออา). ฟังก์ชัน rref(อาร์ ) ดำเนินการเบื้องต้นกับแถวของเมทริกซ์เสริมของระบบอาร์ - ลดขนาดลงเป็นรูปแบบขั้นบันไดด้วยเมทริกซ์เอกลักษณ์ในคอลัมน์แรก เช่น ดำเนินการเดินหน้าและถอยหลังของการกำจัด Gaussianก ชื่อของผลลัพธ์ (รูปแบบขั้นตอนของเมทริกซ์อา). เมทริกซ์ย่อย(Ag ,0,2,3,3) เน้นคอลัมน์สุดท้ายของเมทริกซ์ก สร้างคอลัมน์โซลูชันของระบบ การยืนยัน (การคำนวณก ให้คุณตรวจสอบความถูกต้องของการแก้ปัญหา ผลลัพธ์ของโปรแกรม:

บทสรุป.

บรรลุเป้าหมาย งานนี้เราเรียนรู้วิธีการคำนวณเมทริกซ์ ศึกษาแผงการดำเนินการกับเมทริกซ์และเวกเตอร์ เรียนรู้วิธีป้อนเมทริกซ์ที่มีขนาดต่างกัน คำนวณเมทริกซ์ที่ย้ายตำแหน่ง เรายังได้เรียนรู้วิธีการคำนวณปัจจัยของเมทริกซ์และตรวจสอบความถูกต้องของการแก้เมทริกซ์

นอกจากนี้ เราได้เรียนรู้วิธีแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีการต่างๆ เราแก้ไขโดยใช้สัญกรณ์เมทริกซ์ วิธีแครมเมอร์และเกาส์ ซึ่งตรวจสอบความถูกต้องของคำตอบ

ให้เราพิจารณาการดำเนินการที่สำคัญอย่างยิ่งของพีชคณิตเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ แม้จะมีข้อเท็จจริงที่ว่าบางตัวถูกนำไปใช้ใน Mathcad ในฐานะตัวดำเนินการ พวกเขาต้องการ (เมื่อทำการคำนวณโดยใช้อัลกอริทึมเชิงตัวเลข) ความสนใจมากกว่าตัวดำเนินการที่กล่าวถึงในสองส่วนก่อนหน้าอย่างหาที่เปรียบมิได้

ตัวกำหนด ( ตัวกำหนด) ของเมทริกซ์แสดงด้วยสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน ในการป้อนโอเปอเรเตอร์เพื่อค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ คุณสามารถกดปุ่ม ตัวกำหนด(ตัวระบุ) บนแถบเครื่องมือ เมทริกซ์(เมทริกซ์) (รายการ 7.14) หรือพิมพ์บนแป้นพิมพ์ | (โดยการกดปุ่ม SHIFT + \). การกระทำอย่างใดอย่างหนึ่งเหล่านี้ส่งผลให้เกิดตัวยึดตำแหน่งที่จะวางเมทริกซ์ ในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ป้อนแล้ว:

เลื่อนเคอร์เซอร์ในเอกสารเพื่อวางเมทริกซ์ระหว่างบรรทัดอินพุต (โปรดจำไว้ว่าบรรทัดอินพุตคือส่วนสีน้ำเงินแนวตั้งและแนวนอนที่สร้างมุมเพื่อระบุพื้นที่แก้ไขปัจจุบัน)
ใส่โอเปอเรเตอร์สำหรับหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์
ป้อนเครื่องหมายเท่ากับ (หรือเอาต์พุตเชิงสัญลักษณ์) เพื่อคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ (เชิงตัวเลขหรือเชิงวิเคราะห์ ตามลำดับ ดังแสดงในรายการ 7.14)

ความสนใจ!
อย่าสับสนระหว่างตัวดำเนินการในการคำนวณหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์จัตุรัสและความยาวของเวกเตอร์ Matncad 12 แนะนำการควบคุมแบบบังคับของการกระทำของผู้ใช้เมื่อป้อนตัวดำเนินการเหล่านี้เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน (เนื่องจากใช้อักขระตัวเดียวกันสำหรับการดำเนินการทั้งสองนี้) เมื่อพยายามคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์โดยใช้ตัวดำเนินการ |ก|เข้ามาจากแผง เครื่องคิดเลข(เครื่องคิดเลข) ไม่ใช่ เมทริกซ์(เมทริกซ์) จะมีข้อความแสดงข้อผิดพลาดออกมา และผลลัพธ์ของการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์จะปรากฏขึ้นหลังจากที่ผู้ใช้เรียกเท่านั้น เมนูบริบทและยืนยันว่าเขากำลังจะคำนวณหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ เช่นเดียวกับความยาวของเวกเตอร์ หากคุณพยายามป้อนไม่ใช่จากแผง เครื่องคิดเลข(เครื่องคิดเลข) และจากแผง เมทริกซ์(เมทริกซ์).

งานปฏิบัติหมายเลข 3