Взаємна кореляційна функція (ВКФ) різних сигналів(cross-correlation function, CCF) описує як ступінь подібності форми двох сигналів, і їх взаємне розташування друг щодо друга по координаті (незалежної змінної). Узагальнюючи формулу (6.1.1) автокореляційної функції на два різні сигнали s(t) і u(t), отримуємо наступний скалярний добуток сигналів:
B su () = s(t) u(t+) dt. (6.2.1)
Взаємна кореляція сигналів характеризує певну кореляцію явищ і фізичних процесів, що відображаються даними сигналами, і може бути мірою "стійкості" даного взаємозв'язку при роздільній обробці сигналів у різних пристроях. Для кінцевих енергії сигналів ВКФ також кінцева, при цьому:
|B su ()| ||s(t)||||u(t)||,
що випливає з нерівності Коші-Буняковського та незалежності норм сигналів від зсуву по координатах.
При заміні змінної t = t- у формулі (6.2.1), отримуємо:
B su () = 
s(t-) u(t) dt = 
u(t) s(t-) dt = B us (-).
Звідси випливає, що з ВКФ не виконується умова парності, B su () B su (-), і значення ВКФ нічого не винні мати максимум при = 0.
Мал. 6.2.1. Сигнали та ВКФ.
Це можна наочно бачити на рис. 6.2.1, де задані два однакові сигнали з центрами на точках 0.5 та 1.5. Обчислення за формулою (6.2.1) із поступовим збільшенням значень означає послідовні зрушення сигналу s2(t) вліво по осі часу (для кожного значення s1(t) для підінтегрального множення беруться значення s2(t+)). При =0 сигнали ортогональні та значення B 12 ()=0. Максимум 12 () буде спостерігатися при зрушенні сигналу s2(t) вліво на значення =1, при якому відбувається повне поєднання сигналів s1(t) і s2(t+).Одні й самі значення ВКФ за формулами (6.2.1) і (6.2.1") спостерігаються при тому самому взаємному положенні сигналів: при зрушенні на інтервал сигналу u(t) щодо s(t) вправо по осі ординат і сигналу s(t) щодо сигналу u(t) вліво, тобто B su () = B us (-
Мал. 6.2.2. Взаємноковаріаційні функції сигналів.
На рис. 6.2.2 наведено приклади ВКФ для прямокутного сигналу s(t) та двох однакових трикутних сигналів u(t) та v(t). Всі сигнали мають однакову тривалість Т, причому сигнал v(t) зрушений вперед на інтервал Т/2.Сигнали s(t) і u(t) однакові за тимчасовим розташуванням та площа "перекриття" сигналів максимальна при =0, що і фіксується функцією B su . Водночас функція B su різко асиметрична, тому що при асиметричній формі сигналу u(t) для симетричної форми s(t) (щодо центру сигналів) площа "перекриття" сигналів змінюється по-різному залежно від напрямку зсуву (знака при збільшенні значення від нуля). При зміщенні вихідного положення сигналу u(t) вліво по осі ординат (на випередження сигналу s(t) - сигнал v(t)) форма ВКФ залишається без зміни і зсувається праворуч на таке значення величини зсуву - функція B sv на рис. 6.2.2. Якщо поміняти місцями вираження функцій (6.2.1), то нова функція B vs буде дзеркально повернутою щодо =0 функцією B sv .
З урахуванням цих особливостей повне ВКФ обчислюється, як правило, окремо для позитивних та негативних запізнювань:
B su () = 
s(t) u(t+) dt. B us () = 
u(t) s(t+) dt. (6.2.1")
Взаємна кореляція зашумлених сигналів . Для двох зашумлених сигналів u(t) = s1(t)+q1(t) та v(t) = s2(t)+q2(t), застосовуючи методику виведення формул (6.1.13) із заміною копії сигналу s(t) ) на сигнал s2(t), неважко вивести формулу взаємної кореляції в наступному вигляді:
B uv () = B s1s2 () + B s1q2 () + B q1s2 () + B q1q2 (). (6.2.2)
Останні три члени у правій частині (6.2.2) згасають до нуля зі збільшенням . При великих інтервалах завдання сигналів вираз може бути записано у такій формі:
B uv () = B s 1 s 2 () + 
+
+
.
(6.2.3)
При нульових середніх значеннях шумів та статистичної незалежності від сигналів має місце:
B uv () → B s 1 s 2 ().
ВКФ дискретних сигналів. Усі властивості ВКФ аналогових сигналівдійсні і для ВКФ дискретних сигналів, при цьому для них дійсні особливості дискретних сигналів, викладені вище для дискретних АКФ (формули 6.1.9-6.1.12). Зокрема, при t = const =1 для сигналів x(k) та y(k) з числом відліків К:
B xy (n) = 
x k y k-n. (6.2.4)
При нормуванні в одиницях потужності:
B xy (n) = 
x k y k-n 
.
(6.2.5)
Оцінка періодичних сигналів у шумі . Зашумлений сигнал можна оцінити за взаємною кореляцією з "еталонним" сигналом методом спроб і помилок з налаштуванням функції взаємної кореляції до максимального значення.
Для сигналу u(k)=s(k)+q(k) при статистичній незалежності шуму та 
→ 0 функція взаємної кореляції (6.2.2) із шаблоном сигналу p(k) при q2(k)=0 набуває вигляду:
B up (k) = B sp (k) + B qp (k) = B sp (k) + 
.
А оскільки 
→ 0 зі збільшенням N, то B up (k) → B sp (k). Вочевидь, що функція B up (k) матиме максимум, коли p(k) = s(k). Змінюючи форму шаблону p(k) і домагаючись максимізації функції B up (k), можна отримати оцінку s(k) як оптимальної форми p(k).
Функція взаємних кореляційних коефіцієнтів (ВКФ) є кількісним показником ступеня подібності сигналів s(t) та u(t). Аналогічно функції автокореляційних коефіцієнтів, вона обчислюється через центровані значення функцій (для обчислення взаємної коваріації достатньо центрувати лише одну з функцій), і нормується на добуток значень стандартів функцій s(t) та v(t):
su () = C su ()/ s v . (6.2.6)
Інтервал зміни значень кореляційних коефіцієнтів при зсувах може змінюватися від –1 (повна зворотна кореляція) до 1 (повна подібність або стовідсоткова кореляція). При зрушеннях , на яких спостерігаються нульові значення su (), сигнали незалежні один від одного (некорельовані). Коефіцієнт взаємної кореляції дозволяє встановлювати наявність зв'язку між сигналами незалежно від фізичних властивостей сигналів та його величини.
При обчисленні ВКФ зашумлених дискретних сигналів обмеженої довжини з використанням формули (6.2.4) є можливість появи значень su (n)| >1.
Для періодичних сигналів поняття ВКФ зазвичай не застосовується, крім сигналів з однаковим періодом, наприклад, сигналів входу і виходу щодо характеристик систем.
У теорії зв'язку кореляційна теорія використовується для дослідження випадкових процесів, дозволяючи встановити зв'язок між кореляційними та спектральними властивостямивипадкових сигналів. Часто виникає завдання виявлення одного сигналу, що передається в іншому або в перешкодах. Для надійного виявлення сигналів і застосовується метод кореляціїзаснований на кореляційній теорії. На практиці виявляється корисним аналіз характеристики, що дає уявлення про швидкість зміни в часі, а також тривалість сигналу без розкладання його гармонійні складові.
Нехай копія сигналу u(t -т) зміщена щодо свого оригіналу u(t)на інтервал часу т. Для кількісної оцінки ступеня відмінності (зв'язку) сигналу u(t)та його зміщеної копії u(t -т) використовують автокореляційну функцію(АКФ). АКФ показує ступінь подібності між сигналом та його зсунутою копією - що більше значення АКФ, то це подібність сильніше.
Для детермінованого сигналукінцевої тривалості (фінітного сигналу) аналітичний запис АКФ є інтегралом виду
Формула (2.56) показує, що за відсутності зсуву копії щодо сигналу (т = 0) АКФ позитивна, максимальна і дорівнює енергії сигналу:
Така енергія [Дж] виділяється на резисторі з опором 1 Ом, якщо до його висновків підключити деяку напругу u(t)[В].
Однією з найважливіших властивостей АКФ є її парність: В(т) = В(-т). Дійсно, якщо у виразі (2.56) провести заміну змінної х = t -т, то 
Тому інтеграл (2.56) можна подати в іншому вигляді:
Для періодичного сигналу з періодом Г, енергія якого нескінченно велика (оскільки сигнал існує нескінченний час), обчислення АКФ за формулою (2.56) є неприйнятним. У цьому випадку визначають АКФ за період:
Приклад 2.3
Визначимо АКФ прямокутного імпульсу, що має амплітуду Ета тривалість т і (рис. 2.24).
Рішення
Для імпульсу обчислення АКФ зручно провести графічно. Така побудова показана на рис. 2.24, а - г,де наведено відповідно вихідний імпульс u(t)= u tзсунута на т його копія м т (?) = u(t- т) = м т та їх твір u(f)u(t- т) = uu vРозглянемо графічне обчислення інтегралу (2.56). твір u(t)u(t- т) не дорівнює нулю на інтервалі часу, коли є накладення один на одного будь-яких частин сигналу та його копії. Як випливає з рис. 2.24, цей інтервал дорівнює х - т м, якщо тимчасове зсув копії менше тривалості імпульсу. У таких випадках для імпульсу АКФ визначиться як В(т) = Е 2 (т і - |т|) при тимчасовому зрушенні копії на час |т| В(0) = = Е 2т і = Е (див. рис. 2.24, г).
Мал. 2.24.
а -імпульс; 6 - Копія; в -твір сигналу та копії; г -АКФ
Часто вводять зручний для аналізу та порівняння сигналів числовий параметр - інтервал кореляціїт до, аналітично і графічно дорівнює ширині основи АКФ. Для цього прикладу інтервал кореляції т к = 2т і.
Приклад 2.4
Визначимо АКФ гармонійного (косинусоїдального) сигналу u(t) == t/m cos(co? + а).
Мал. 2.25.
а -гармонійний сигнал; б -АКФ гармонійного сигналу
Рішення
Використовуючи формулу (2.57) та позначивши У п (т) = В(т), знаходимо
З цієї формули випливає, що АКФ гармонійного сигналу теж гармонійною функцією (рис. 2.25, б)і має розмірність потужності (2). Відзначимо ще один дуже важливий факт, що обчислена АКФ не залежить від початкової фази гармонійного сигналу (параметр
З проведеного аналізу випливає важливий висновок: АКФ практично будь-якого сигналу залежить від його фазового спектра.Отже, сигнали, амплітудні спектри яких повністю збігаються, а фазові різняться, матимуть однакову АКФ. Ще одне зауваження полягає в тому, що по АКФ не можна відновити вихідний сигнал (знову ж таки внаслідок втрати інформації про фазу).
Зв'язок між АКФ та енергетичним спектром сигналу. Нехай імпульсний сигнал u(t)має спектральну щільність 5(з). Визначимо АКФ за формулою (2.56), записавши і(С)у вигляді зворотного перетворення Фур'є (2.30):
Ввівши нову змінну х = t -т, з останньої формули отримаємо інтеграл
є функція, комплексно-пов'язана спектральної щільності сигналу
З урахуванням співвідношення (2.59) формула (2.58) набуде вигляду 
функцію
називають енергетичним спектром (спектральною щільністю енергії) сигналу,що показує розподіл енергії за частотою. Розмірність енергетичного діапазону сигналу відповідає величині IP/с) - [(В 2 -с)/Гц].
Враховуючи співвідношення (2.60), остаточно отримаємо вираз для АКФ:
Отже, АКФ сигналу є зворотне перетворенняФур'є з його енергетичного спектра. Пряме перетворення Фур'є від АКФ
Отже, пряме перетворення Фур'є (2.62) АКФ визначає енергетичний спектр,а зворотне перетворення Фур'є енергетичного спектру(2.61) - АКФ детермінованого сигналу.Ці результати є важливими з двох причин. По-перше, виходячи з розподілу енергії та спектру стає можливим оцінити кореляційні властивості сигналів - чим ширший енергетичний спектр сигналу, тим менше інтервал кореляції. Відповідно, що більше інтервал кореляції сигналу, то коротше його енергетичний спектр. По-друге, співвідношення (2.61) та (2.62) дозволяють експериментально визначити одну з функцій за значенням іншої. Найчастіше зручніше спочатку отримати АКФ, а потім за допомогою прямого перетворення Фур'є обчислити енергетичний спектр. Цей прийом широко застосовують під час аналізу властивостей сигналів у реальному масштабі часу, тобто. без тимчасової затримки під час його обробці.
Взаємокореляційна функція двох сигналів. Якщо треба оцінити рівень зв'язку між сигналами u x (t)і u 2 (t),то використовують взаємокореляційну функцію(ВКФ)
При т = Про ВКФ дорівнює так званій взаємної енергії двох сигналів
Значення ВКФ не змінюється, якщо замість затримки другого сигналу u 2 (t)розглядати випередження його першим сигналом м(?), тому
АКФ є окремим випадком ВКФ, якщо сигнали однакові, тобто. u y (t) = u 2 (t) = u (t).На відміну від АКФ ВКФ двох сигналів 12 (т) не є парною і необов'язково максимальна при т = 0, тобто. за відсутності тимчасового зсуву сигналів.
З фізичної точки зору кореляційна функція характеризує взаємозв'язок або взаємозалежність двох миттєвих значень одного чи двох різних сигналіву моменти часу та . У першому випадку кореляційну функцію часто називають автокореляційною, а в другому – взаємнокореляційною. Кореляційні функції детермінованих процесів залежить тільки від .
Якщо задані сигнали , то кореляційні функції визначають наступними виразами:
- Взаємнокореляційна функція; (2.66)
- Автокореляційна функція. (2.67)
Якщо і - два періодичні сигнали з однаковим періодом T, то очевидно, що їхня кореляційна функція теж є періодичною з періодом Ті, отже, вона може бути розкладена в ряд Фур'є.
Справді, якщо у виразі (2.66) розкладемо ряд Фур'є сигнал , то отримаємо
(2.68)
де і - комплексні амплітуди n-й гармоніки сигналів і відповідно, - комплексно-пов'язаний з коефіцієнтом. Коефіцієнти розкладання взаємно-кореляційної функції можна знайти як коефіцієнти ряду Фур'є
. (2.69)
Частотне розкладання автокореляційної функції легко отримати з формул (2.68) та (2.69), поклавши 
тоді
. (2.70)
А тому що і, отже,
, (2.71)
то автокореляційна функція – парна і тому
. (2.72)
Парність автокореляційної функції дозволяє її розкласти в тригонометричний ряд Фур'є по косинусах
В окремому випадку, при , отримаємо:
.
Таким чином, автокореляційна функція є повною середньою потужністю періодичного сигналу , рівну сумі середніх потужностей всіх гармонік.
Частотне уявлення імпульсних сигналів
У попередньому розгляді передбачалося, що сигнали безперервні, однак при автоматичній обробці інформації часто використовуються імпульсні сигнали, а також перетворення безперервних сигналів в імпульсні. Це вимагає розгляду частотного подання імпульсних сигналів.
Розглянемо модель перетворення безперервного сигналу імпульсну форму, представлену на рис.2.6а.
|
Нехай на вхід імпульсного модулятора надходить безперервний сигнал (рис.2.6б). Імпульсний модулятор формує послідовність поодиноких імпульсів (рис.2.6в) з періодом Тта тривалістю імпульсів t, Причому . Математичну модель такої послідовності імпульсів можна описати у вигляді функції:
(2.74)
де k- Номер імпульсу в послідовності.
Вихідний сигнал імпульсного модулятора (рис.2.6г) можна подати у вигляді:
.
Насправді бажано мати частотне уявлення послідовності імпульсів. І тому функцію , як періодичну, можна як ряду Фурье:
, (2.75)
- Спектральні коефіцієнти розкладання в ряд Фур'є; (2.76)
Частота проходження імпульсів;
n- Номер гармоніки.
Підставляючи у вираз (2.76) співвідношення (2.74), знайдемо:
.
Підставляючи (2.76) у (2.74), отримаємо:
(2.78)
Перетворимо різницю синусів, тоді
. (2.79)
Введемо позначення фази n-ої гармоніки
. (2.81)
Таким чином, послідовність одиничних імпульсів містить поряд з постійною складовою нескінченне число гармонік з амплітудою, що зменшується. Амплітуда k-ої гармоніки визначається з виразу:
При цифровій обробці сигналів проводиться дискретизація (квантування) за часом, тобто перетворення безперервного сигналу послідовність коротких імпульсів. Як показано вище, будь-яка послідовність імпульсів має досить складний спектр, тому виникає природне питання, яким чином процес дискретизації за часом впливає частотний спектрвихідного безперервного сигналу.
Для дослідження цього питання розглянемо математичну модельпроцесу дискретизації в часі, представлену на рис.2.7а.
Імпульсний модулятор (ІМ) представляється у вигляді модулятора з несучою у вигляді ідеальної послідовності дуже коротких імпульсів (послідовності) d-функцій), період проходження яких дорівнює Т(Рис.2.7б).
На вхід імпульсного модулятора надходить безперервний сигнал (рис.2.7в), але в виході утворюється імпульсний сигнал (рис.2.7г).
| |
Тоді модель ідеальної послідовності d-функцій можна описати наступним виразом
Поряд із спектральним підходом до опису сигналів часто на практиці виявляється необхідною характеристика, яка давала б уявлення про деякі властивості сигналу, зокрема про швидкість зміни в часі, а також про тривалість сигналу без розкладання його гармонійні складові.
Як така тимчасова характеристика широко використовується кореляційнафункція сигналу.
Для детермінованого сигналу s(t) кінцевої тривалості кореляційна функція визначається наступним виразом:
де τ - тимчасове зрушення сигналу.
У цьому розділі розглядаються сигнали, що є речовими функціями часу, і позначення комплексного сполучення можна опустити:
.
(1.78)
З виразу (1.78) видно, що B s (t) характеризує ступінь зв'язку (кореляції) сигналу s ( t ) зі своєю копією, зсунутою на величину т по осі часу. Зрозуміло, що функція B s ( t ) досягає максимуму при τ = 0, тому що будь-який сигнал повністю корельований із самим собою. При цьому
,
(1.79)
т. е. максимальне значення кореляційної функції дорівнює енергії сигналу.
Зі збільшенням τ функція У 8 (τ) убуває (не обов'язково монотонно) і при відносному зрушенні сигналів s(t) і s(t+ τ) на час, що перевищує тривалість сигналу, перетворюється на нуль.
Із загального визначення кореляційної функції видно, що байдуже, праворуч або ліворуч щодо своєї копії зрушувати сигнал на величину τ. Тому вираз (1.78) можна узагальнити так:
.
(1.78)
Це рівносильно твердженню, що B s (τ) є парною функцієюτ.
Для періодичного сигналу, енергія якого нескінченно велика, визначення кореляційної функції за допомогою виразів (1.129) або (1.129") неприйнятно. У цьому випадку виходять з наступного визначення:
При такому визначенні кореляційна функція набуває розмірності потужності, причому B
Sne р (0) дорівнює середньої потужностіперіодичного сигналу. Через періодичність сигналу (
t
)
усереднення твору 
або
по нескінченно великому відрізку Т
має збігатися з усередненням за періодом T 1 . Тому вираз (1.79) можна замінити виразом
Інтеграли, що входять у цей вираз, суть не що інше, як кореляційна функція сигналу на інтервалі T 1 . Позначаючи її через B sTl (τ ), приходимо до співвідношення
Очевидно також, що періодичного сигналу s( t
) відповідає і періодична кореляційна функція B s пров (τ).
Період функції B s пров (τ)
збігається з періодом Т
1
вихідного сигналу (
t
).
Наприклад, для найпростішого (гармонічного) коливання 
кореляційна функція
При τ=0 
є середня потужність гармонійного коливання з амплітудою А
0
.
Важливо, що кореляційна функція 
не залежить від початкової фази коливання 
.
Для оцінки ступеня зв'язку між двома різними сигналами s 1 ( t ) is 2 ( t ) використовується взаємна кореляційна функція, що визначається загальним виразом
Для речових функцій s 1 (t) і s 2 (t)
Розглянута вище кореляційна функція У
s
(τ) є окремим випадком функції 
, колиs 1 (
t
)
=s 2 (
t
).
На відміну від 
взаємна кореляційна функція не обов'язково є парною щодо τ. Крім того, взаємна кореляційна функція необов'язководосягає максимуму при τ = 0.
Функції кореляції сигналів застосовуються для інтегральних кількісних оцінок форми сигналів та ступеня їх схожості друг з одним.
Автокореляційні функції (АКФ) сигналів (Corlation function, CF). Стосовно детермінованих сигналів з кінцевою енергією АКФ є кількісною інтегральною характеристикою форми сигналу, і є інтегралом від твору двох копій сигналу s(t), зрушених відносно один одного на час t:
Bs(t) = s(t) s(t+t) dt. (2.4.1)
Як випливає з цього виразу, АКФ є скалярним добутком сигналу та його копії у функціональній залежності від змінної величини значення зсуву t. Відповідно, АКФ має фізичну розмірність енергії, а при t = 0 значення АКФ безпосередньо дорівнює енергії сигналу і є максимально можливим (косинус кута взаємодії сигналу із самим собою дорівнює 1):
B s (0) = s (t) 2 dt = E s.
Функція АКФ є безперервною та парною. В останньому неважко переконатися заміною змінної t = t-t у виразі (2.4.1):
B s (t) = s (t) s (t-t) dt = s (t-t) s (t) dt = B s (-t).
З урахуванням парності, графічне уявлення АКФ зазвичай виробляється лише позитивних значень t. Знак +t у виразі (2.4.1) означає, що зі збільшенням значень t від нуля копія сигналу s(t+t) зсувається вліво по осі t. Насправді сигнали зазвичай також задаються на інтервалі позитивних значень аргументів від 0-Т, що дозволяє продовження інтервалу нульовими значеннями, якщо це необхідно для математичних операцій. У межах обчислень зручнішим є зсув копії сигналу вліво по осі аргументів, тобто. застосування у виразі (2.4.1) функції s(t-t):
Bs(t) = s(t) s(t-t) dt. (2.4.1")
У міру збільшення значення величини зсуву t для фінітних сигналів тимчасове перекриття сигналу з його копією зменшується, а, відповідно, косинус кута взаємодії та скалярний твір загалом прагнуть нуля:
приклад.На інтервалі (0,Т) заданий прямокутний імпульс з амплітудним значенням, що дорівнює А. Обчислити автокореляційну функцію імпульсу.
При зрушенні копії імпульсу по осі t праворуч, при 0≤t≤T сигнали перекриваються на інтервалі від t до Т. Скалярний добуток:
B s (t) = A 2 dt = A 2 (T-t).
При зрушенні копії імпульсу вліво, при -T≤t<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-t. Скалярное произведение:
B s (t) = A 2 dt = A 2 (T+t).
При | t | > T сигнал та його копія не мають точок перетину і скалярний добуток сигналів дорівнює нулю (сигнал та його зсунута копія стають ортогональними).
Узагальнюючи обчислення, можемо записати:
B s (t) = 
.
У разі періодичних сигналів АКФ обчислюється по одному періоду Т, з усередненням скалярного твору та його зрушеною копією в межах цього періоду:
B(t) = (1/Т) s(t) s(t-t) dt.
При t=0 значення АКФ у разі рівно енергії, а середньої потужності сигналів не більше інтервалу Т. АКФ періодичних сигналів у своїй також є періодичною функцією з тим самим періодом Т. Так, для сигналу s(t) = A cos(w 0 t+j 0) при T=2p/w 0 маємо:
B s (t) = cos (w 0 t+j 0) cos (w 0 (t-t) + j 0) = (A 2 /2) cos (w 0 t).
Відзначимо, що отриманий результат не залежить від початкової фази гармонійного сигналу, що характерно для будь-яких періодичних сигналів і є однією з властивостей КФ.
Для сигналів, заданих на певному інтервалі, обчислення АКФ також проводиться з нормуванням на довжину інтервалу:
Bs(t) = s(t) s(t+t) dt. (2.4.2)
У межі для неперіодичних сигналів з вимірюванням АКФ на інтервалі Т:
B s (t) = 
. (2.4.2")
Автокореляція сигналу може оцінюватися і коефіцієнтом автокореляції, обчислення якого провадиться за формулою (за центрованими сигналами):
r s(t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2 .
Взаємна кореляційна функція (ВКФ) сигналів (cross-correlation function, CCF) показує ступінь схожості зрушених екземплярів двох різних сигналів та їх взаємне розташування по координаті (незалежній змінній), для чого використовується та сама формула (2.4.1), що і для АКФ, але під інтегралом стоїть твір двох різних сигналів, один з яких зрушений на час t:
B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t+t) dt. (2.4.3)
При заміні змінної t = t-t у формулі (2.4.3) отримуємо:
B 12 (t) = s 1 (t-t) s 2 (t) dt = s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)
Звідси випливає, що з ВКФ не виконується умова парності, а значення ВКФ нічого не винні мати максимум при t = 0. Це можна наочно бачити на рис. 2.4.1, де задані два однакові сигнали з центрами на точках 0.5 та 1.5. Обчислення за формулою (2.4.3) із поступовим збільшенням значень t означає послідовні зрушення сигналу s2(t) вліво по осі часу (для кожного значення s1(t) для підінтегрального множення беруться значення s2(t+t)).
Завантаження...