Ефекти кінцевої розрядності цифрових фільтрів
При аналізі ЛДС передбачалося, що сигнали дискретизуються лише з часу і дискретні відліки і коефіцієнти фільтрів представлялися з необмеженою точністю. Однак у реальних чи цифровихСистема точність обчислень обмежена і залежить від числа розрядів використовуваних пристроїв: АЦП, регістрів, суматорів, помножувачів. Ця обставина призводить до таких ефектів:
Шум квантування при аналого-цифровому перетворенні;
Округлення результатів проміжних обчислень;
Спотворення частотних характеристикчерез квантування коефіцієнтів цифрових фільтрів;
Переповнення розрядної сітки у процесі обчислень;
Граничні цикли малого рівня.
Шум квантування
Під шумами квантування розуміють випадкові помилки між дискретними у часі відліками сигналів та його цифровим уявленням з обмеженою розрядністю.
Сусідні відліки шумів квантування передбачаються некорельованими між собою. І шум квантування є «білим».
Щільність ймовірності шуму квантування відповідає рівномірному закону розподілу:
, (2.1)
де - інтервал квантування за рівнем.
Дисперсія шумів квантування визначається законом розподілу:
. (2.2)
Якщо максимальне значення квантованого сигналу дорівнює , то інтервал квантування дорівнює:
,
де - Число розрядів цифрового пристрою.
Спектральна щільність потужності шумів квантування визначається виразом:
,
де DТ – інтервал дискретизації.
Наприклад, коефіцієнт посилення приймального пристрою до входу АЦП вибирається таким чином, щоб рівень теплових приймальних пристроїв перевищував спектральну щільністьшумів квантування.
Вклад вхідних шумів квантування у вихідний сигнал цифрового фільтра визначається виразом:
.
Відповідно, дисперсія вихідного шуму квантування:
Література
Маркович І.І. Цифрова обробка сигналів у системах та пристроях: монографія / І.І. Маркович; Південний федеральний університет. - Ростов н / Д: Видавництво Південного федерального університету, 2012. - 236 с.
Основи цифрової обробки сигналів: навчальний посібник/ Ю.А. Брюханов, А.А. Пріорів, В.І. Джиган, В.В. Хрящів; Яросл. держ. ун-т ім. П.Г. Демидова. - Ярославль: ЯрДУ, 2013. - 344 с. (С. 152)
Карташов В.Г. Основи теорії дискретних сигналів та цифрових фільтрів. - М.: Вищ. школа, 1982. - 109. (С. 86)
При правильно обраній частоті дискретизації, виходячи з теореми Котельникова, точність перетворення аналогового ЗС на цифровий визначається величиною кроку квантування. Похибка перетворення тим менше, чим менше крок квантування. Різниця між вихідним і квантованим значеннями сигналу дискретні моменти часу називається шумом квантування (помилкою квантування).
Шум квантування на відміну флуктуаційного шуму, у випадку, носить невипадковий характер. Тому правильніше говорити про спотворення сигналу при його аналого-цифровому перетворенні. При фіксованому максимальному рівні вхідного аналогового ЗС шум квантування визначається кількістю рівнів квантування - розрядністю аналого-цифрового перетворювача (АЦП).
При кодуванні двійковими числами та довжиною кодового слова в m розрядів кількість двійкових кодових слів r (роздільна здатність) становить. Так за m=16, r=65536.
Потік кодових слів на виході АЦП характеризується швидкістю передачі – кількість біт інформації переданих за 1 секунду. Швидкість передачі є добуток числа розрядів кодового слова на частоту дискретизації (в герцах). Об'єм пам'яті необхідний зберігання інформації про реалізації ЗС тривалістю, визначається як добуток швидкості потоку даних тривалість сигналу.
За лінійної імпульсно-кодової модуляції (ІКМ), тобто. при рівномірному етапі квантування, потужність шуму квантування визначається тільки кроком квантування:
де – загальний динамічний діапазон сигналу.
Ефективне значення помилки квантування:
Шум квантування є, при лінійній ІКМ, випадковий процес з рівномірним розширенням у межах, із щільністю ймовірності. Спектр шуму квантування рівномірний у смузі частот.
Шум квантування проявляється лише за наявності сигналу. За відсутності сигналу на вході АЦП на виході АЦП будуть квантування коливання в молодшому розряді АЦП. Пояснюється це наявністю теплового шуму вхідних аналогових частин АЦП, нестабільністю напруги живлення, дрейфом постійної складової в підсилювачах постійного струмута іншими причинами. На виході ЦАП (цифро-аналогового перетворювача) це квантоване коливання перетворюється на шум, який називається шумом паузи. Шум паузи менш рівномірний, ніж білий шум, характерний аналогових пристроїв, і його часто називають гранульованим. Потужність шуму паузи:
на 4,7 дБ більше шуму квантування.
Оскільки не залежить від рівня вхідного сигналу, Зі збільшенням потужності вхідного відношення лінійно зростає до тих пір, поки не виникають шуми обмеження. Рівень обмеження входу АЦП визначається максимальною вхідною робочою напругою АЦП. Шумом обмеження називається різниця між вихідним та обмеженим сигналами. Система АЦП розраховується в такий спосіб, щоб обмеження виникало тобто.
тут R-пік-фактор сигналу; S СР – середньоквадратичне значення сигналу.
Число кроків можна визначити із співвідношення:
де - максимальне та мінімальне значення сигналу на вході АЦП;
Крок квантування.
З урахуванням виразів (9.6), (9.9), (9.10) отримаємо вираз для потужності шуму
Потужність сигналу на опорі 1 Ом, тоді
або в децибелах
При m-розрядному кодуванні, тоді
У гармонійного сигналу пік-фактор, у цьому випадку
Для сигналів мовлення пік-фактор залежить від жанру програми. Якщо в середньому рахувати R=13 дБ то
Якщо враховувати неоднакову чутливість слуха слухача до складових шуму різних частот, то відношення сигнал/шум квантування зменшується на 8.5 дБ для сигналу в смузі частот до 15 кГц і становить
Динамічний діапазон цифрового сигналуоцінюють величиною, дБ з урахуванням того, що отримуємо
З виразу (9.15) видно, збільшення кількості розрядів на одиницю призводить до поліпшення відношення сигнал/шум на 6 дБ.
На рис.9.2. зображено залежності відношення сигнал/шум для сигналів 3В при різних значеннях m від рівня вхідного сигналу (9.17).
При 16-розрядному квантуванні маємо для гармонійного сигналу D=90 дБ, С-Ш=98 Б (з 9.15, 9.18). Відношення С-Ш при розрахунку за формулою (9.17) виходить рівним 80дБ при кодуванні максимального сигналу за рівнем. При кодуванні слабких сигналів відношення С-Ш меншена величину динамічного діапазону сигналу і виявляється дуже малим за D=50…60 дБ.
80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0
9.2. Відношення сигнал/шум при ІКМ
Квантування сигналу за рівнем є головною операцією аналого-цифрового перетворення сигналу і полягає в округленні миттєвих значень до найближчих дозволених. При рівномірному квантуванні відстань між рівнями квантування однакова. При квантуванні сигналу виникають помилки, величина яких є випадковою і має рівномірний розподіл, не перевищуючи значення половини кроку квантування. Сигнал після квантування є сумою вихідного сигналу і сигналу помилки, який сприймається як флуктуаційний шум.
Захищеність від шумів квантування для найслабших сигналів при рівномірному квантуванні:
-псофометричний коефіцієнт, рівний для каналу ТЧ величині 0,75;
-Динамічний діапазон сигналу, рівний 
, дБ;
m – число розрядів у двійковому коді.
Таблиця 5.2. Вихідні дані
Рівні сигналу:
Динамічний діапазон сигналу:
Необхідна кількість розрядів:
-Розрядність коду при рівномірному квантуванні.
Число кроків для рівномірного квантування буде:
Висновок: щоб закодувати рівномірним кодом із заданою захищеністю буде потрібно код із розрядністю .
5.2.2. Шуми нерівномірного квантування
У реальних системах ІКМ використовують нерівномірне квантування. Нерівномірне квантування – зменшення нахилу характеристики шляхом зменшення величини кроків квантування для малих миттєвих значень сигналу з допомогою збільшення кроків великих значень.
При нерівномірному кодуванні застосовуються 8-ми розрядні коди, тобто. кількість рівнів квантування дорівнює 256.
Стиснення динамічного діапазону здійснюється за допомогою А – або m – характеристики компресування. У нашому випадку використовується характеристика компресії, яка описується наступним виразом:
Мал. 5.2.2. Характеристика компресії
У ЦСП застосовуються сегментні нерівномірні показники квантування, т.к. вони досить легко реалізуються на цифровій основі. Характеристика симетрична щодо 0, позитивна та негативна її гілки складаються з 8-ми сегментів, кожен сегмент поділений на 16 однакових кроків (всередині кожного сегмента квантування рівномірне).
Сегменти апроксимують гладку криву характеристики компресування типу А. в нульовому і першому сегменті крок мінімальний, а кожному наступному сегменті величина кроку подвоюється стосовно попередньому.
Вираз для захищеності від шумів квантування у двох перших сегментах матиме вигляд:
Для 2-7 сегментів:
де i – номер сегмента.
Початок графіка – похила пряма – відповідає нульовому та першому сегментам. Це зона рівномірного квантування, тому захищеність зростає пропорційно до збільшення рівня сигналу. При переході до другого сегмента захищеність стрибком зменшується на 6 дБ. При досягненні верхньої межі 7 сегмента настає зона навантаження.
Практично у всіх ЦСП використовується дискретизація сигналів з постійним періодом Т д, а відхилення від цього періоду t i носять випадковий характер. Ці відхилення призводять до зміни форми сигналу, що суб'єктивно сприймається як характерна перешкода, звана шумами дискретизації.
Величини t i визначаються головним чином низькочастотними фазовими флуктуаціями імпульсів, викликаними неточністю роботи лінійних регенераторів станції передачі.
Захищеність сигналу від шумів дискретизації:
Допустимі відносні величинизміщень моментів дискретизації;
де - величина відхилення, викликана нестабільністю генераторів, що задають;
де - величина відхилення, спричинена фазовими флуктуаціями.
Період дискретизації
63 дБ - потрібна захищеність від шумів дискретизації
Т.к. , то:
Висновок: щоб забезпечити припустиму захищеність від шумів дискретизації, період дискретизації не повинен відхилятися більше 20 нс.
Шуми квантування
Шуми рівномірного квантування
Квантування сигналу за рівнем є головною операцією аналого-цифрового перетворення сигналу і полягає в округленні миттєвих значень до найближчих дозволених. При рівномірному квантуванні відстань між рівнями квантування однакова. При квантуванні сигналу виникають помилки, величина яких є випадковою і має рівномірний розподіл, не перевищуючи значення половини кроку квантування. Сигнал після квантування є сумою вихідного сигналу і сигналу помилки, який сприймається як флуктуаційний шум.
Захищеність від шумів квантування для найслабших сигналів при рівномірному квантуванні:
Псофометричний коефіцієнт, що дорівнює каналу ТЧ величині 0,75;
Динамічний діапазон сигналу, що дорівнює, дБ;
m – число розрядів у двійковому коді.
Таблиця 5.2. Вихідні дані
Рівні сигналу:
Динамічний діапазон сигналу:
Необхідна кількість розрядів:
Розрядність коду за рівномірного квантування.
Число кроків для рівномірного квантування буде:
Висновок: щоб закодувати рівномірним кодом із заданою захищеністю потрібно код із розрядністю.
Шуми нерівномірного квантування
У реальних системах ІКМ використовують нерівномірне квантування. Нерівномірне квантування - зменшення нахилу характеристики шляхом зменшення величини кроків квантування для миттєвих малих значень сигналу за рахунок збільшення кроків для великих значень.
При нерівномірному кодуванні застосовуються 8-ми розрядні коди, тобто. кількість рівнів квантування дорівнює 256.
Стиснення динамічного діапазону здійснюється за допомогою А – або – характеристики компресування. У нашому випадку використовується характеристика компресії, яка описується таким виразом:
Мал. 5.2.2. Характеристика компресії
У ЦСП застосовуються сегментні нерівномірні показники квантування, т.к. вони досить легко реалізуються на цифровій основі. Характеристика симетрична щодо 0, позитивна та негативна її гілки складаються з 8-ми сегментів, кожен сегмент поділений на 16 однакових кроків (всередині кожного сегмента квантування рівномірне).
Сегменти апроксимують гладку криву характеристики компресування типу А. в нульовому і першому сегменті крок мінімальний, а кожному наступному сегменті величина кроку подвоюється стосовно попередньому.
Вираз для захищеності від шумів квантування у двох перших сегментах матиме вигляд:
Для 2-7 сегментів:
де i – номер сегмента.
Початок графіка - похила пряма - відповідає нульовому та першому сегментам. Це зона рівномірного квантування, тому захищеність зростає пропорційно до збільшення рівня сигналу. При переході до другого сегмента захищеність стрибком зменшується на 6 дБ. При досягненні верхньої межі 7 сегмента настає зона навантаження.
Інструментальні шуми
У процесі перетворення аналогового сигналув цифровій кінцевому устаткуванні з'являються шуми, що визначаються відхиленням характеристик перетворювача від ідеальної. Зазначені відхилення викликаються обмеженою швидкодією та кінцевою точністю роботи окремих вузлів, зміною параметрів перетворювачів при коливаннях температури, старінні приладів тощо. Рівень інструментальних шумів зростає зі збільшенням швидкості передачі і розрядності коду.
Співвідношення між шумами квантування та інструментальними шумами:
Середньоквадратичне значення наведеної інструментальної похибки перетворення;
Розрядність коду.
Для нерівномірного квантування:
Для рівномірного квантування:
Висновок : при нерівномірному квантуванні потужність інструментальних шумів набагато менше, ніж при рівномірному, отже, краще використовувати нерівномірне квантування.
Шуми незайнятого каналу
За відсутності вхідних сигналів на вході кодера діють слабкі перешкоди, яких відносяться власні шуми і перехідні перешкоди, незбалансовані залишки імпульсів тощо. Якщо характеристика кодера виявляється зміщеною таким чином, що рівень нульового вхідного сигналу збігається з рівнем рішення кодера, то перешкода з будь-якої будь-якої малої амплітудою призводить до зміни кодової комбінації. У цьому випадку вихідний сигнал декодера є імпульсами прямокутної форми з розмахом (- величина мінімального кроку квантування) і з випадковими моментами переходу через нуль. Виникаючі у своїй шуми, називаються шумами незайнятого каналу. Незважаючи на невелику величину, ці шуми як би не маскуються сигналом, що помітно для абонентів.
Захищеність від шумів незайнятого каналу має бути не меншою:
де, а - пік-фактор сигналу, - мінімальний крок квантування при рівномірному та нерівномірному квантуванні.
Рівномірне квантування:
Нерівномірне квантування:
Висновок: при нерівномірному квантуванні захищеність від перешкод незайнятого каналу вища на 12.1 дБ, ніж за рівномірного.
Похибки перетворення вхідного сигналу з аналогової форми цифрову виникає при квантуванні сигналу на кінцеве, обмежене число рівнів. Щоб виявити характер цієї похибки наведемо структурну схему(рис.1.10) і виділимо з неї два пристрої: аналогово-цифровий перетворювач (АЦП) та цифро-аналоговий перетворювач (ЦАП).
Рис.1.10. Функціональна схемаперетворення аналог-цифра і назад – цифра-аналог
Розглянемо спочатку спільну роботуцих пристроїв без урахування цифрового фільтра при подачі на вхід АЦП постійної напруги різного рівня u 1 (рис. 1.11 а).
Мал. 1.11 Перетворення аналог-цифра та цифра-аналог (а), характеристика квантування (б) та помилка квантування (в)
Основним параметром АЦП є кількість розрядів, що використовуються для кодування вхідної напруги. При двійковому коді число розрядів визначається числом тригерів регістру, кожен з яких може бути в одному з двох станів: з нульовою або ненульовою напругою на виході. Одному з цих станів умовно приписується нуль, іншому - одиниця. При числі двійкових елементів r на виході АЦП виходить комбінація (кодове число) з символів r, кожен з яких може приймати одне з двох значень (нуль або одиниця).
Число можливих різних комбінацій L = 2 r і визначає число дискретних рівнів, на яке може бути розбитий діапазон зміни вхідної напруги.
У ЦАП здійснюється зворотне перетворення. Кожна комбінація нулів і одиниць, що надходять на вхід ЦАП, відповідає певний дискретний рівень вихідної напруги. В результаті при рівномірному етапі квантування А залежність u 2 від u 1 набуває вигляду ламаної лінії, показаної на рис. 1.11 б.
Пристрій, що має подібну характеристику, повинен розглядатися як нелінійний, а різниця u 2 -u 1 =q - як помилка, похибка квантування. Видно, що найбільша помилка, яка за абсолютною величиною не перевищує Δ/2, зі зростанням u 2 залишається незмінною (рис. 1.11, в).
Припустимо, що коливання s(t) є гармонійним (рис. 1.12, а). Коливання s ви x (t) набуває ступінчастої форми, що відрізняється від вхідного коливання s (t) (рис. 1.12, б, тонка лінія), а помилка квантування набуває вигляду функції
представленою на рис. 1.12 ст.
Рис. 1.12. Сигнал на вході (а) та виході (б) квантуючого пристрою; перешкода квантування
При зміні в широких межах амплітуди і частоти гармонійного коливання s(t) змінюється тільки частота слідування зубців: їх форма залишається близькою до трикутної при незмінній амплітуді Δ/2. Функцію q (t) можна назвати перешкодою чи шумом квантування. Неважко вирахувати середню потужність шуму квантування. При допущенні трикутної форми зубців (рис. 1.11 в) з амплітудою Δ/2 середня тривалість одного зубця потужність дорівнює (1/3) (Δ/2) 2 = Δ 2 /12. Так як ця величина не залежить від тривалості зубця, можна вважати, що середня потужністьшуму квантування
Цей результат, виведений для гармонійного сигналу, можна поширити і будь-який інший сигнал, зокрема і випадковий. Відмінність лише тому, що функція q (t) буде випадковим процесом через випадкової тривалості зубців.
Неважко обчислити ставлення сигнал/перешкода при квантуванні. При висоті ступеня Δ і загальному числі щаблів, що укладаються в межах характеристики АЦП, що дорівнює L, амплітуда гармонійного сигналу не повинна перевищувати величини LΔ/2, а середня потужність сигналу - величини 1/2(LΔ/2) 2 (щоб уникнути обмеження сигналу) . Отже, відношення сигнал/перешкода при квантуванні гармонійного коливання
Так як число рівнів L пов'язане з числом двійкових розрядів r співвідношенням L = 2 r, то останній вираз можна подати у вигляді
Це співвідношення можна як окремий випадок загального висловлювання
де K пф - пік фактор сигналу, тобто відношення максимального значення до середньоквадратичного.
При гармонійному коливанніщо призводить до виразу (1.26); при випадковому сигналі з нормальним законом розподілу K пф може бути прийнятий 2,5-3. У цьому випадку a середньоквадратична напруга сигналу не повинна перевищувати ~LΔ/6.
Фізичний зміст виразу (1.27) очевидний: зі збільшенням числа розрядів r дуже швидко зростає кількість дискретних рівнів, що припадають на заданий діапазон зміни s(t), і, отже, знижується перепад двох сусідніх рівнів.
При грубій оцінці перевищення сигналу над шумом квантування виходять із співвідношення або в децибелах:
У сучасних АЦП кількість розрядів сягає десяти і більше. При цьому величина, що характеризує динамічний дапазон АЦП, дорівнює приблизно 60 дБ (6 дБ однією разряд).
Іншою важливою характеристикою шуму квантування є його спектральна характеристика. При гармонійному коливанні на вході АЦП перешкода квантування періодичною функцією часу. Спектр її є лінійчастим, що містить лише частоти, кратні частоті вхідного коливання. Через зубчасту форму функції q (t) (див. рис. 1.12, в) спектр шуму містить вищі гармоніки.
При вхідному впливі типу випадкового процесу з дисперсією і середньоквадратичною шириною спектра f SCK статистичні характеристика шуму квантування залежать не тільки від характеристик вихідного процесу s(t), але і від співвідношення між і Δ. Зокрема, при ширині f q CK спектру шуму квантування W q (ω) у багато разів більше ширини f S CK спектру процесу s (t).
Введемо на розгляд дискретизацію вхідного сигналу. На рис. 1.13 представлено одну з реалізацій випадкового сигналу s(t) і сукупність вибірок, взятих з кроком Т. В АЦП кожна вибірка перетворюється на цифровий код.
Завантаження...