Система мобільного рухомого зв'язку CDMA. Частотний спектр Функція уолша та розкладання сигналу

З (2.48) отримаємо

(2.49)

З урахуванням того, що функції Уолша дорівнюють ±1, вираз (2.49) запишемо у вигляді

(2.50)

де а п (к) = 0 або 1 визначає знак функції Уолша на інтервалі
Приклади спектрів Волша.

1. Спектр Волша прямокутного імпульсу s(t) = 1, 0 ≤ t ≤ т (рис. 2.9)

З (2.50) знаходимо

Спектр Волша прямокутного імпульсу залежить від співвідношення між т і Т. При τ/T = 2 v де v - ціле позитивне число, з урахуванням значень функцій Волша отримаємо

Розкладання прямокутного імпульсу за функціями Уолша має вигляд

Спектр складається з 2 V складових з однаковими амплітудами, що дорівнюють 1/2 V . Спектр містить кінцеву кількість складових. При т/Т≠ 2 V структура спектра зміниться.

2. Спектр Волша трикутного імпульсу (рис. 2.10) При описі трикутного імпульсу

зручно перейти до безрозмірного часу х = t/T

Відповідно до (2.50) знаходимо:

Спектри Уолша при нумерації Хармута та Пелі зображені на рис.2.10, б і в.

3. Спектр Уолша синусоїдального імпульсу (рис. 2.11)

Для синусоїдального імпульсу

переходячи до безрозмірного часу x = t/T, запишемо

З (2.50) у системі Хармута знаходимо (рис. 2.11):

Спектри Уолша сигналу, що розглядається при нумерації Хармута і Пелі наведені на рис.2.11,6 і в.

2.7А. Властивості спектрів Волша

При аналізі сигналів з допомогою функцій Уолша корисно враховувати властивості розкладання сигналів у базисі Уолша - спектрів Уолша.

1. Спектр суми сигналів дорівнює сумі спектрів кожного сигналу.

Спектр сигналу у системі функцій Уолша визначається коефіцієнтами розкладання (2.47). Для суми сигналів коефіцієнти розкладання визначаються виразом

(2.52)

де а пк – коефіцієнти розкладання сигналу s k (t).

2. Збільшення сигналу на функцію Волша з номером n змінює номери коефіцієнтів розкладання з k згідно із законом двійкового зсуву за модулем два

3. Спектр Уолша добутку сигналів s 1 (t) та s 2 (t). визначених на інтервалі. Такі функції описують періодичні сигнали з обмеженою потужністю.

Для парної функції s(t), як це випливає з (3.2),

(3.3)

для непарної функції s(t):

(3.4)

Зазвичай під час аналізу сигналів використовується розкладання s(t) як

(3.5)

Періодичний сигнал представляється як суми гармонійних складових з амплітудами А n і початковими фазами.

Сукупність амплітуд (Д,) визначає амплітудний спектр, а сукупність початкових фаз (n) - фазовий спектр сигналу (рис.3.1,а). Як випливає з (3.5), спектри періодичних сигналів є дискретними або лінійними, інтервал дискретизації по частоті дорівнює частоті сигналу 1 = 2π/ Т.

Тригонометричний ряд Фур'є можна записати в комплексній формі

(3.7)

(3.8)

Перехід від (3.1) до (3.7) очевидний з урахуванням формули Ейлера

(3.9)

Коефіцієнти з n у загальному випадку є комплексними величинами

При використанні комплексної форми ряду Фур'є сигнал визначається сукупністю комплексних амплітуд (з n). Модулі комплексних амплітуд | з n | описують амплітудний спектр, аргументи n - фазовий спектр сигналу (рис. 3.1,6).

Представивши (3.8) у вигляді

(3.11)

Як випливає із записаних виразів, амплітудний спектр має парну, а фазовий - непарну симетрію.

(3.13)

Зі зіставлення виразів (3.2) і (3.11) випливає

Як приклад розглянемо періодичну послідовність прямокутних імпульсів (рис. 3.2 а). При розкладанні періодичної послідовності прямокутних імпульсів тригонометричний ряд Фур'є з (3.2) отримаємо амплітудний і фазовий спектри у вигляді (рис.3.2,б):

При використанні комплексної форми ряду Фур'є
з (3.8) випливає:

Амплітудний та фазовий спектри сигналу рівні

Граничним видом низки Фур'є є інтеграл Фур'є. Періодичний сигнал при Т → ∞ стає неперіодичним. Підставивши (3.8) у (3.7), запишемо

(3.16)

Гармонічний аналіз сигналів

Перетворюючи (3.16), при T→∞ (у цьому випадку ω 1 → dω і пω 1 = ω), отримуємо

(3.17)

У квадратних дужках записаний інтеграл Фур'є, він описує спектральну щільність сигналу

Вираз (3.17) набуде вигляду

Записані співвідношення представляють пряме та зворотне перетворенняФур'є. Вони застосовуються при гармонійному аналізі неперіодичних сигналів.

3.2. Гармонічний аналіз неперіодичних сигналів

Пряме та зворотне перетворення Фур'є встановлюють взаємно однозначну відповідність між сигналом (тимчасовою функцією, що описує сигнал s(t)) та його спектральною щільністю S(ω):

(3.18)

Відповідність за Фур'є позначимо:

(3.19)

Умовою існування перетворення Фур'є є абсолютна інтегрованість функції s(t)

(3.20)

У практичних додатках зручнішим є умова інтегрованості квадрата цієї функції

(3.21)

Для реальних сигналів умова (3.21) еквівалентна умові (3.20), але має очевидніший фізичний зміст: умова (3.21) означає обмежену енергію сигналу. Таким чином, можна вважати можливим застосування перетворення Фур'є до сигналів з обмеженою енергією. Це неперіодичні (імпульсні) сигнали. Для періодичних сигналів розкладання на гармо

ні складові виробляється за допомогою ряду Фур'є.

Функція S(ω) у загальному випадку є комплексною

де Re, lm - дійсна та уявна частини комплексної величини; |s(w)|, ф(оо)- модуль та аргумент комплексної величини:

Модуль спектральної густини сигналу | S (ω) | описує розподіл амплітуд гармонійних складових за частотою, називається амплітудним спектром. Аргумент φ(ω) дає розподіл фази за частотою, що називається фазовим спектром сигналу. Амплітудний спектр є парною функцією, а фазовий спектр - непарною функцією частоти

З урахуванням формули Ейлера (3.9) вираз для S(ω) запишемо у вигляді

(3.24)

Якщо s(t)парна функція, то з (3.24) отримаємо

(3.25)

Функція S(ω), як випливає із (3.25), є дійсною функцією. Фазовий спектр визначається як

(3.26)

Для непарної функції s(t) з (3.24) отримаємо

(3.27)

Функція S(ω) є чисто уявною, фазовий спектр

(3.28)

Будь-який сигнал можна подати як суму парної s ч (t) і непарної s H (t) складових

(3.29)

Можливість такого уявлення стає зрозумілою з урахуванням наступних рівностей:

З (3.24) та (3.29) отримаємо

(3.30)

Отже, для дійсної та уявної частин спектральної щільності сигналу можна записати:

Таким чином, дійсна частина спектральної щільності представляє перетворення Фур'є від парної складової, уявна частина - від непарної складової сигналу. Дійсна частина комплексної спектральної густини сигналу є парною, а уявна частина - непарною функцією частоти.

Спектральна густина сигналу при ω = 0

(3.31)

дорівнює площі під кривою s(t).

Як приклади отримаємо спектри деяких сигналів.

1. Прямокутний імпульс (рис. 3.3 а)

де і - тривалість імпульсу.

Спектральна щільність сигналу

Графіки амплітудного та фазового спектрів сигналу наведено на рис. 3.3, б, ст.

2. Сигнал, що описується функцією

Спектральна щільність сигналу визначається виразом

Інтегруючи частинами n-1 раз, отримуємо

Сигнал (рис. 3.4 а)

має спектральну щільність

Графіки амплітудного та фазового спектрів зображені на рис. 3.4, б, ст.

Сигнал (рис. 3.5 а)

має спектральну щільність

Графіки амплітудного та фазового спектрів – рис. 3.5, б, ст.

Число прикладів збільшує табл. 3.1.

Порівняння (3.18) та (3.8) показує, що спектральна щільністьодиночного імпульсу при τ<

З урахуванням зазначеного співвідношення визначення спектра періодичного сигналу у ряді випадків можна спростити, використовуючи перетворення Фур'є (3.18). Коефіцієнти ряду Фур'є знаходяться як

(3.32)

де S(ω) - спектральна густина одного імпульсу.

Таким чином, при визначенні амплітудного та фазового спектрів періодичних сигналів корисно мати на увазі наступні рівності:

Коефіцієнт 1/T може розглядатися як інтервал частот між сусідніми складовими спектру, а спектральна щільність як відношення амплітуди складової сигналу інтервалу частот, якому відповідає амплітуда. З огляду на це стає більш зрозумілим термін «спектральна щільність». Безперервні амплітудний та фазовий спектри одиночного імпульсу є огинаючими дискретних амплітудного та фазового спектрів періодичної послідовності таких імпульсів.

За допомогою співвідношень (3.33) результати наведені в табл. 3.1 можна використовувати для визначення спектрів періодичних послідовностей імпульсів. Такий підхід ілюструють такі приклади.

1. Періодична послідовність прямокутних імпульсів (табл. 3.1 п. 1), рис. 3.2.

Записаний вираз повторює результат прикладу п.3.1.

2. Періодична послідовність меандрових імпульсів (табл. 3.1 п.2), рис. 3.6 рис. 3.2.

3. Періодична послідовність експонентних імпульсів (табл. 3.1, п.8), рис. 3.7.

Таблиця 3.1

Сигнали та їх спектри

3.3. Частотні спектри сигналів, представлених у вигляді узагальненого ряду Фур'є

При поданні сигналу як узагальненого ряду Фур'є корисно мати перетворення Фур'є базисних функцій. Це дозволить від спектру базисі різних ортогональних систем перейти до частотного спектру. Нижче наведено приклади частотних спектрів деяких видів сигналів, що описуються базовими функціями ортогональних систем.

1. Сигнали Лежандра.

Перетворення Фур'є багаточлена Лежандра (розд. 2) має вигляд

(3.34)

п = 1,2, ... - багаточлен Лежандра; - Функція Бесселя.

Використовуючи (3.34), від сигналу, поданого у вигляді ряду

з коефіцієнтами

(3.35)

Вираз (3.35) описує спектральну густину сигналу s(f) у вигляді ряду.

Графіки складових спектра з номерами 1 – 3 наведено на рис.3.8.

2. Сигнали Лагерра.

Перетворення Фур'є функції Лагерра має вигляд

(3.36)

п = 1,2, ... - функції Лагерра.

Використовуючи (3.36), від сигналу, представленого у вигляді ряду розкладання по багаточлена Лагерра (розд. 2)

з коефіцієнтами

можна перейти до спектральної густини сигналу

(3.37)

3. Сигнали Ерміта.

Перетворення Фур'є функції Ерміта має вигляд

(3.38)

п = 1,2, ... - функції Ерміта.

З (3.38) слід, що функції Ерміта мають властивість трансформованості, тобто. функції та його перетворення Фур'є рівні (з точністю до постійних коефіцієнтів). Використовуючи (3.38), від сигналу, представленого у вигляді ряду розкладання по багаточлена Ерміта

з коефіцієнтами

можна перейти до спектральної густини сигналу

(3.39)

4. Сигнали Волша.

Частотні спектри сигналів Волша (сигналів, що описуються функціями Волша) визначаються наступним перетворенням Фур'є:

(3.40)

де wal (n, x) - функція Уолша.

Так як функції Уолша мають N ділянок постійних значень,

де х до - значення х на до-му інтервалі.

З (3.41) отримаємо

де

Так як функції Уолша набувають значення ±1, то (3.42) можемо записати у вигляді

(3.43)

де n (к) = 0 або 1 визначає знак функції wal (n, x k).

На рис. 3.9 наведено графіки амплітудних спектрів перших шести сигналів Волша.

3.4. Спектри сигналів, що описуються неінтегрованими функціями

Перетворення Фур'є існує лише сигналів з кінцевої енергією (для яких виконується умова (3.21)). Розширити клас сигналів, аналізованих з використанням перетворення Фур'є, дозволяє суто формальний прийом, заснований на введенні поняття спектральної щільності імпульсної функції. Розглянемо деякі з таких сигналів.

1. Імпульсна функція.

Імпульсна функція (або - функція) визначається як

(3.44)

З визначення імпульсної функції випливає її фільтруюча властивість

(3.45)

Спектральну щільність імпульсної функції визначимо як

(3.46)

Амплітудний спектр дорівнює одиниці, фазовий спектр φ(ω) = ωt 0 (рис. 3.10).

Зворотне перетворення Фур'є дає

За аналогією з (3.47) для частотної області запишемо

(3.48)

Використовуючи отримані вирази, визначимо спектральні густини деяких видів сигналів, що описуються функціями, для яких не існує перетворення Фур'є.

2. Постійний сигнал s(t) = s0.

З урахуванням (3.48) отримаємо (рис. 3.11)

(3.49)

3. Гармонійний сигнал.

Спектральна густина сигналу вийде з урахуванням (3.48) у вигляді

При ? = 0 (рис. 3.12)

Для сигналу

(3.53)

за аналогією з (3.52) знайдемо

4. Поодинока ступінчаста функція.

(3.55)

Одиничну ступінчасту функцію σ(t) розглядатимемо як граничний вигляд експоненційного імпульсу

Експоненційний імпульс представимо у вигляді суми парної та непарної складових (3.29)

Відповідно до спектрального способу аналізу проходження сигналів через лінійні ланцюги будь-який випадковий сигнал S(T) можна подати у вигляді нескінченної суми елементарних аналітично однотипних детермінованих сигналів :

(2.8)

Подаючи на вхід лінійного ланцюга (рис. 1.14), коефіцієнт передачі якого дорівнює елементарний детермінований сигнал, можна знайти елементарний відгук ланцюга, тобто сигнал на виході ланцюга.

Рис.2.3.До визначення сигналу на виході лінійного ланцюга .

Сигнал на виході лінійного ланцюга дорівнює

(2.9)

Оскільки для лінійних кіл справедливий принцип суперпозиції, то результуючий відгук дорівнюватиме:

(2.10)

Функції, що описують елементарні сигнали, називаються базовими функціями. Подання сигналу базовими функціями спрощується, якщо вони є ортогональними та ортонормованими.

Набір функцій називається ортогональним , Якщо в інтервалі від до

при (2.11)

І ортонормованим , Якщо для всіх Виконується умова

. (2.12)

Ортогональність базисних функцій, з яких представляється вихідний сигнал , є гарантією те, що уявлення сигналу може бути зроблено єдиним чином. Умові ортогональності відповідають гармонійні функції кратних частот, а також функції Уолша, які на відрізку свого існування від приймають лише значення, рівні 1, дискретні сигнали Баркера і деякі інші функції. Спектральний метод аналізу сигналів заснований на перетворення Фур'є і полягає в заміні складної функції часу, що описує сигнал, сумою простих гармонійних сигналів, що утворюють частотний спектр цього сигналу. Знаменитий французький фізик і математик Ж. Б. Фур'є (1768 - 1830 р. р.) довів, що будь-яка зміна в часі деякої функції можна апроксимувати у вигляді кінцевої або нескінченної суми ряду гармонійних коливань з різними амплітудами, частотами та початковими фазами. Цією функцією може бути струм або напруга електричного ланцюга.

Розглянемо спочатку уявлення періодичного електричного сигналу (рис. 2.4), що відповідає умові

, (2.13)

де: - Період сигналу; =1,2,3,….

Мал. 2.4.Періодичний сигнал

Представимо цей сигнал нескінченним тригонометричним рядом:

Цей ряд називається поряд Фур'є.

Можливий запис ряду Фур'є в іншому вигляді:

, (2.15)

Де: - Модуль амплітуд гармонік;

- фази гармонік;

- Кругова частота;

- Коефіцієнти косинусоїдальних складових; - Коефіцієнти синусоїдальних складових; - Середнє значення сигналу за період (постійна складова) .

Окремі складові рядів називають гармоніками . Число є номером гармоніки. Сукупність величин у ряді (2.15) називають спектром амплітуд, а сукупність величин спектром фаз.

Нижче на рис. 2.5 представлені амплітудний та фазовий спектри періодичного сигналу. Вертикальні відрізки амплітудного спектра є амплітудами гармонік і називаються спектральними лініями.

Рис. 2.5.Амплітудний та фазовий спектри періодичного сигналу

Таким чином, спектр періодичного сигналу – Лінійчастий . Кожен періодичний сигнал має цілком певні амплітудний та фазовий спектри.

Сума ряду (2.15) є нескінченною, але, починаючи з деякого номера, амплітуди гармонік настільки малі, що їх можна знехтувати і практично реальний періодичний сигнал є функцією з обмеженим спектром. Інтервал частот, який відповідає обмеженому спектру, називається шириною спектра.

Якщо функція , що описує періодичний сигнал, є парною, то сума ряду (2.14) міститиме лише косинусоїдальні складові. Якщо непарна функція, то сума міститиме тільки синусоїдальні складові.

Можливе також подання періодичного сигналу у вигляді комплексного ряду Фур'є:

, (2.16)

— комплексні амплітуди спектра, що містять інформацію, як про амплітудний, так і про фазовий спектр.

Після підстановки значень та , отримаємо:

(2.17)

Якщо підставити отримане значення до ряду (1.29), він звертається в тотожність. Таким чином, періодичний електричний сигнал можна задавати або функцією часу або комплексною амплітудою спектра.

2.2.1. Спектр періодичної послідовності прямокутних імпульсів

Склад спектру періодичної послідовності прямокутних імпульсів залежить від величини відношення періоду послідовності до тривалості імпульсу, що називається шпаруватістю імпульсів. У спектрі будуть відсутні гармоніки з кратними номерами шпаруватості імпульсів. Скважність імпульсів дорівнює. На рис.1.17 наведено три імпульсні послідовності з різними свердловинами та відповідні їм спектри. Для періодичної послідовності, шпаруватість якої дорівнює 2, у спектрі відсутні 2, 4, 6, 8 і т. д. гармоніки. Для послідовності, шпаруватість якої дорівнює 3, у спектрі відсутні 3, 6 і т. д. гармоніки. Для послідовності, шпаруватість якої дорівнює 4, у спектрі відсутні 4, 8 і т. д. гармоніки. У всіх наведених спектрах інтервал між спектральними лініями дорівнює величині зворотної періоду послідовності. Точки на осі частот, у яких спектр дорівнює нулю, відповідають величині зворотної тривалості імпульсів періодичних послідовностей.

Рис.2.6. Періодичні послідовності імпульсів та його спектри.

2.2.2. Спектр неперіодичного сигналу

При розгляді спектру неперіодичного сигналу скористаємося граничним переходом від періодичного сигналу до неперіодичного сигналу, спрямувавши період до нескінченності.

Для періодичного сигналу, поданого на рис. 2.4 раніше отримано вираз (2.17) для комплексної амплітуди спектру:

(2.18)

Введемо позначення:

(2.19)

Побудуємо модуль спектру:

Мал. 2.7.Модуль спектра періодичного сигналу

Відстань між спектральними лініями дорівнює. Якщо збільшувати період, то зменшуватиметься інтервал w1. При інтервалі між спектральними лініями w1® dw. При цьому періодична послідовність імпульсів перетворюється на одиночний імпульс і модуль спектру прагне безперервної функції частоти. В результаті граничного переходу від періодичного сигналу до неперіодичного лінійчастий спектр вироджується суцільний спектр, представлений на рис. 2.8.

Мал. 2.8.Спектр неперіодичного сигналу

При цьому комплексна амплітуда дорівнює:

. (2.20)

З урахуванням граничного переходу при

(2.21)

Підставимо отриманий вираз у ряд (2.16). При цьому сума трансформується в інтеграл, а значення дискретних частот значення поточної частоти і неперіодичний сигнал можна представити в наступному вигляді:

. (2.22)

Цей вираз відповідає зворотному перетворенню Фур'є. Огина суцільного спектру одиночного імпульсу збігається з огинає лінійного спектра періодичної функції, що представляє періодичне повторення цього імпульсу.

Інтеграл Фур'є дозволяє будь-яку неперіодичну функцію подати у вигляді суми нескінченного числа синусоїдальних коливань з нескінченно малими амплітудами та нескінченно малим інтервалом по частоті. Спектр сигналу визначається виразом

Цей інтеграл відповідає прямому перетворенню Фур'є.

- Комплексний спектр, в ньому міститься інформація, як про спектр амплітуд, так і про спектр фаз.

Таким чином, спектр неперіодичної суцільної функції. Можна сказати, що в ньому містяться всі частоти. Якщо вирізати із суцільного спектру малий інтервал частот, то частоти спектральних складових у цій ділянці відрізнятимуться як завгодно мало. Тому спектральні складові можна складати так, ніби всі вони мають ту саму частоту і однакові комплексні амплітуди. Спектральна густина є відношення комплексної амплітуди малого інтервалу частот до величини цього інтервалу.

Спектральний аналіз сигналів має фундаментальне значення радіоелектроніці. Інформація про спектр сигналу дозволяє обґрунтовано вибирати смугу пропускання пристроїв, куди впливає цей сигнал.

2.2.3. Спектр одиночного прямокутного відеоімпульсу

Розрахуємо спектр одиночного прямокутного імпульсу, амплітуда якого дорівнює Еа тривалість - t, представленого на рис. 2.9.

Мал. 2.9.Поодинокий прямокутний імпульс

Відповідно до виразу (2.24) спектр такого сигналу дорівнює

=. (2.24)

Оскільки = 0 , коли , то частоти, на яких спектр перетворюється на нуль рівні , де K=1,2,3…

На рис. 2.10 представлений комплексний спектр одиночного прямокутного імпульсу тривалістю.

Рис.2.10.Спектр одиночного прямокутного імпульсу

Спектральна густина визначає розподіл енергії в спектрі одиночного імпульсу. У випадку розподіл енергії неоднорідно. Однорідне розподіл характерне хаотичного процесу, званого «білим шумом».

Спектральна густина імпульсу на нульовій частоті дорівнює його площі. Приблизно 90% енергії одиночного прямокутного імпульсу зосереджено спектрі, ширина якого визначається виразом

Співвідношення (1.41) визначає вимоги до ширини смуги пропускання радіотехнічного пристрою. У задачах, де форма сигналу має другорядне значення смугу пропускання пристрою для цього сигналу можна вибрати рівною шириною першої пелюстки спектра. При цьому невідомий ступінь спотворення форми сигналу. Дворазове збільшення смуги пропускання лише на 5% збільшить енергію сигналу за одночасного зростання рівня шумів.

1. Спектр синусоїди (рис. 14.14, а) у базисі функцій Уолша.

Інтервал розкладання у разі доцільно прирівняти величині Т.

Переходячи до безрозмірного часу записуємо коливання у формі Обмежимося 16 функціями, причому спочатку виберемо впорядкування по Уолшу. Оскільки задана функція непарна щодо точки, всі коефіцієнти при парних функціях Уолша в ряді (14.27), тобто при рівні нулю.

Ті з восьми функцій, що збігаються з функціями Радемахера і мають періодичність всередині інтервалу, призводить до нульового коефіцієнта через парність у зазначених інтервалах.

Отже, лише чотири коефіцієнти з 16 не дорівнюють нулю: А (1), А (5), А (9) та А (13). Визначимо ці коефіцієнти за такою формулою (14.28). Підінтегральні функції, що є творами сигналів (див. рис. 14.14, а) та відповідної функції представлені на рис. 14.14, б - д. Шматкове інтегрування цих творів дає

Спектр аналізованого сигналу у базисі функцій Уолша (упорядкованих по Уолшу) представлений рис. 14.15 а.

Мал. 14.14. Стробування відрізка синусоїди функціями Волша

Мал. 14.15. Спектри синусоїди у базисі функцій Уолша, упорядкованих по Уолшу (а), Пелі (б) та Адамару (в). Розмір базису

При впорядкуванні по Пелі та Адамару спектр того ж сигналу набуває вигляду, показаного на рис. 14.15, б та в. Ці спектри отримані із спектру на рис. 14.15, а перестановкою коефіцієнтів відповідно до таблиці (див. рис. 14.13), що показує взаємозв'язок між способами упорядкування функцій Уолша (для ).

Для зменшення спотворень при відновленні коливання обмеженим числом функцій Уолша перевагу слід надавати упорядкуванню, яке забезпечує монотонне зменшення спектра. Інакше кажучи, найкращим є впорядкування, у якому кожен наступний спектральний компонент не більше (за модулем) попереднього, т. е. . У цьому сенсі найкращим упорядкуванням при поданні відрізка синусоїди, як це випливає з рис. 14.15 є впорядкування Пелі, а найгіршим - Адамара.

Відновлення вихідного сигналу (див. рис. 14.14, а) шістнадцятьма функціями Уолша представлено на рис. 14.16 (дванадцять спектральних коефіцієнтів перетворюються на нуль), Від способу упорядкування функцій це побудова, зрозуміло, залежить. Очевидно, що для більш задовільного апроксимації синусоїдального коливання в базисі Уолша потрібне суттєве збільшення числа спектральних компонентів.

Поза інтервалом (0,1) ряд (14.27), як зазначалося в § 14. 4, описує періодичне продовження, в даному прикладі гармонійну функцію.

2. Спектр гармонійного коливання (рис. 14.17) у базисі функцій Уолша. Як і попередньому прикладі, розглядається один цикл гармонійного коливання з періодом . Переходячи до безрозмірного часу, записуємо коливання у формі

Спектр Уолша функції визначено у прикладі 1. Цілком аналогічно визначення спектру функції на інтервалі )