Величина, що характеризує розподіл енергії по спектру сигналу і звана енергетичної спектральної щільністю, існує лише для сигналів, у яких енергія за нескінченний інтервал часу кінцева і, отже, до них застосовується перетворення Фур'є.
Для незагасаючих у часі сигналів енергія нескінченно велика та інтеграл (1.54) розходиться. Завдання спектра амплітуд неможливе. Однак середня потужністьРср, що визначається співвідношенням
виявляється кінцевою. Тому застосовується ширше поняття "спектральна щільність потужності". Визначимо її як похідну середньої потужності сигналу за частотою та позначимо Сk(щ):
Індексом k підкреслюється, що тут розглядаємо спектральну щільність потужності як характеристику детермінованої функції u(t), що описує реалізацію сигналу.
Ця характеристика сигналу менш змістовна, ніж спектральна щільність амплітуд, оскільки позбавлена фазової інформації [див. (1.38)]. Тому однозначно поновити по ній вихідну реалізацію сигналу неможливо. Проте відсутність фазової інформації дозволяє застосувати це поняття до сигналів, які фаза не визначена.
Для встановлення зв'язку між спектральною щільністю Сk(щ) та спектром амплітуд скористаємося сигналом u(t), що існує на обмеженому інтервалі часу (-T<. t де - спектральна густина потужності сигналу, обмеженого в часі. Надалі буде показано (див. § 1.11), що, середня ця характеристика за безліччю реалізацій, можна отримати спектральну щільність потужності для великого класу випадкових процесів. Тепер у частотній області є дві характеристики: спектральна характеристика та спектральна щільність потужності. Спектральна характеристика, що містить повну інформацію про сигнал u(t), відповідає перетворення Фур'є у вигляді тимчасової функції. З'ясуємо, чому відповідає у часовій області спектральна густина потужності, позбавлена фазової інформації. Слід припустити, що однієї й тієї спектральної щільності потужності відповідає безліч часових функцій, що відрізняються фазами. Радянським ученим Л.Я. Хінчіним та американським вченим Н. Вінером практично одночасно було знайдено зворотне перетворення Фур'є від спектральної щільності потужності: Узагальнену тимчасову функцію r(), що не містить фазової інформації, назвемо часовою автокореляційною функцією. Вона показує ступінь зв'язку значень функції u(t), розділених інтервалом часу, і може бути отримана статистичної теорії шляхом розвитку поняття коефіцієнта кореляції. Зазначимо, що у часовій функції кореляції усереднення проводиться за часом у межах однієї реалізації досить великої тривалості. Справедливо та друге інтегральне співвідношення для пари перетворення Фур'є: Приклад 1.6 Визначити тимчасову функцію автокореляції гармонійного сигналу u(t) = u0 cos(t-ц). Відповідно до (1.64) Провівши нескладні перетворення остаточно маємо Як і слід очікувати, ru() не залежить від ц і, отже, (1.66) справедливо для безлічі гармонік, що відрізняються фазами. Під енергією сигналу іц)розуміють величину Якщо сигнал має кінцеву тривалість Т,тобто. не дорівнює нулю на відрізку часу [-Т/ 2, Т/ 2], то його енергія Запишемо вираз для енергії сигналу, використовуючи формулу (2.15): де Отримана рівність називається рівністю Парсеваля.Воно визначає енергію сигналу через тимчасову функцію або спектральну щільність енергії, що дорівнює |5(/0))| 2 . Спектральна щільність енергії називається також енергетичним спектром. Розглянемо сигнал, що існує на обмеженому інтервалі часу. До такого сигналу застосовна рівність Парсеваля. Отже, Розділимо ліву та праву частини рівності на інтервал часу, рівний Г, і спрямуємо цей інтервал до нескінченності: Зі збільшенням Тенергія незагасаючих сигналів зростає, однак відношення може прагнути певної межі. Ця межа називається спектральної щільністю потужностіЗ(с). Розмірність спектральної щільності потужності: [2 Дц]. Автокореляційна функція сигналу і(?) Визначається наступним інтегральним виразом: де т - аргумент, що визначає функцію Я(х)і має розмірність часу; та (? + т) - вихідний сигнал, зрушений у часі на величину -т. Автокореляційна функція має такі характеристики. 1. Значення автокореляційної функції при зрушенні т = Про дорівнює енергії сигналу Е: 2. Автокореляційна функція при зсувах т Ф
0 менше енергії сигналу: 3. Автокореляційна функція є парною функцією, тобто. У справедливості властивостей 2 і 3 переконаємось на прикладі. приклад 2.6.Обчислити автокореляційні функції сигналів: відеосигналу, наведеного на рис. 2.7, я, і радіосигналу з тими ж амплітудою та тривалістю. Несуча частота радіосигналу дорівнює щ,а початкова фаза дорівнює 0. Рішення. Перше завдання вирішимо графічним способом. Автокореляційна функція визначається інтегралом від виконання функції і(?) та її зміщеної в часі копії. Зміщення відеосигналу знайдемо з рівняння? + т = 0. Графік функції м(? +
т) наведено на рис. 2.7, б.Площа, яка визначається графіком твору м(?)м(? + т) (рис. 2.7, в),дорівнює Функція Д(т) визначається рівнянням прямої (рис. 2.7, г).Функція має максимум, якщо значення аргументу т = 0 і дорівнює 0, якщо т = т і. Для інших значень аргументу /? (Т) Щоб переконатися у справедливості властивості 3, аналогічно обчислимо функцію для негативних значень: Мал. 2.7. відеоімпульсу: а- Прямокутний відеоімпульс; б- Затриманий у часі прямокутний імпульс; в -твір імпульсів; г -автокореляційна функція Остаточний вираз для автокореляційної функції Функцію наведено на рис. 2.7, гта має трикутний вигляд. Обчислимо автокореляційну функцію радіосигналу, розташувавши його симетрично щодо вертикальної осі. Радіосигнал: Підставляючи значення сигналу та його зсунутої копії у формулу для автокореляційної функції /?(т), отримаємо Вираз для автокореляційної функції радіоімпульсу і двох доданків. Перше визначається твором трикутної функції і гармонійного сигналу. На виході узгодженого фільтра цей доданок реалізується у вигляді ромбоподібного радіоімпульсу. Другий доданок визначається добутком трикутної функції та функцій (втд^/лг, розташованих у точках т = +т і. Значення функцій (втх)/:*:, які мають помітний вплив на другий доданок автокореляційної функції, дуже швидко зменшуються при зміні аргументу т від -т і до оо і від т і до - ° о. Вирішивши рівняння можна знайти інтервали затримки, у яких значення функцій (втлс)/;*; ще впливають поведінка функції /?(т). Для позитивних значень затримки де 7о – період гармонійного сигналу. Аналогічно є інтервал для негативних значень затримки. Оскільки вплив другого доданку автокореляційної функції обмежується дуже малими (порівняно з тривалістю радіоімпульсів т і) інтервалами 7о/2, в межах яких значення трикутної функції дуже малі, то другим доданком автокореляційної функції радіоімпульсу можна знехтувати. Виявимо зв'язок автокореляційної функції #(т) із спектральною щільністю енергії сигналу |5(/с)| 2 . Для цього висловимо зрушений у часі сигнал і (1ь +
т) через його спектральну щільність 5(/с): Підставимо цей вираз у вираз (2.21). В результаті отримаємо Неважко переконатися також у справедливості рівності Розділимо обидві частини рівності (2.23) на інтервал часу Т
і спрямуємо величину Т
до нескінченності: З урахуванням формули (2.20) перепишемо отриманий вираз: де Узагальненням поняття «автокореляційна функція» є взаємно кореляційна функція,яка являє собою скалярний добуток двох сигналів: Розглянемо основні властивості взаємно-кореляційної функції. 1. Перестановка співмножників під знаком інтеграла змінює знак аргументу взаємно-кореляційної функції: У наведених перетвореннях використано заміну t +т = х. Ця формула може бути виведена аналогічно до формули (2.22). Взаємно кореляційна функція між сигналом, що періодично повторюється, і неперіодичним сигналом v(t) = Uq(?) де R(t) - автокореляційна функція неперіодичного сигналу u 0 (t).
Отримане вираз дорівнює сумі двох інтегралів. При зрушенні, що дорівнює нулю, перший інтеграл дорівнює нулю, а другий дорівнює енергії сигналу. При зрушенні, що дорівнює періоду сигналу, перший інтеграл дорівнює енергії сигналу, а другий дорівнює нулю. Кожне значення функції при інших зрушеннях дорівнює сумі значень автокореляційних функцій неперіодичного сигналу, зміщених щодо один одного на один період. Крім того, взаємно кореляційна функція є періодичною функцією, що задовольняє рівняння Взаємно-кореляційна функція Я мул> (т) між сигналом u(t) та сигналом рівна - тривалість сигналу v(t). Дійсно, тому що період сигналу u(t) дорівнює Ті взаємно кореляційна функція де Обчислюючи межу функції (2 п + 1) 7? м Мо (т) при п-> визначимо вираз для автокореляційної функції періодичного сигналу: Розмірність функції: [2/Гц]. Значення функції при нульовому зсуві та інших зрушеннях, для яких Лц Мо(т) Ф 0, рівні нескінченності. З цієї причини використання останнього виразу як характеристики періодичного сигналу втрачає сенс. Розділимо останній вираз на інтервал, рівний (2 п + 1 )Т.В результаті отримаємо функцію оскільки внаслідок періодичності функції - т + Т) = -т). Отримана формула визначає функцію В(т) як межа відношення автокореляційної функції сигналу, що існує в інтервалі часу (2 п + 1 )Т,до цього інтервалу та прагнення його до нескінченності. Ця межа для сигналу, що періодично повторюється, називається автокореляційною функцією періодичного сигналуРозмірність цієї функції: [В 2 ]. Пряме перетворення Фур'є одного періоду автокореляційної функції періодичного сигналу визначає спектральну густину потужності, яка є безперервною функцією частоти. За цією густиною, використовуючи формулу (2.17), можна знайти спектральну густину потужності періодичної автокореляційної функції сигналуяка визначається для дискретних значень частот: де 0) 1 = 2 п/т.
Якщо автокореляційна функція записана у вигляді ряду Фур'є в тригонометричній формі, то вираз для її спектральної щільності приклад 2.7.Обчислити періодичну автокореляційну функцію сигналу та(ф) = Абш СІ.За знайденою функцією, обмеженою одним періодом, визначити спектральну щільність потужності. Рішення. Підставляючи у вираз (2.26) заданий сигнал, отримаємо вираз для періодичної автокореляційної функції: Отриманий вираз підставимо у формулу (2.24) і знайдемо спектральну щільність потужності: приклад 2.8. Для періодичної нормованої автокореляційної функції шумоподібного сигналу (М-послідовності з періодом N= 1023) обчислити спектральну густину потужності. (Періодична функція для послідовності меншої довжини (IV= 15) наведено на рис. 3.39.) Рішення. Для порівняно великого періоду ЛГ = 1023 значення автокореляційної функції в інтервалі Т- То > т > Те, де То - тривалість імпульсу шумоподібної послідовності, приймемо рівними нулю. У цьому випадку автокореляційна функція визначається періодично повторюваною з періодом Тпослідовністю трикутних імпульсів. Основа кожного трикутника дорівнює 2то, яке висота дорівнює 1. Рівняння, що визначає автокореляційну функцію в межах одного періоду, дорівнює В(т) = 1 - |т|/хо- Враховуючи парність цієї функції, визначимо коефіцієнти ряду Фур'є: При обчисленні інтегралу використано формулу Підставляючи обчислені коефіцієнти у формулу (2.27), повзлим Спектральна щільність потужності періодичної автокореляційної функції дорівнює виваженій сумі нескінченно великої кількості дельтафункцій. Вагові множники визначаються квадратом функції (етх)/:»:, помноженої на постійний коефіцієнт 2я(то / Т). Кореляційні функції цифрових сигналівпов'язані з кореляційними функціями послідовностей символів. Для кодової послідовності (див. § 1.3) кінцевого числа N двійкових символів автокореляційна функція записується як де -
двійкові символи, що дорівнює 0 або 1, або символи, рівні -1, 1; д= О, 1, 2, ..., N -.
Послідовності символів можуть бути детермінованими, так і випадковими. При передачі інформації характерною властивістю послідовності символів є їхня випадковість. Значення автокореляційної функції (при зсувах, нс рівних нулю), обчислені заздалегідь записаної випадкової послідовності кінцевої довжини, також є випадковими. Автокореляційні функції детермінованих послідовностей, які використовуються для синхронізації, а також як носії дискретних повідомлень, є детермінованими функціями. Сигнали, побудовані з використанням кодів або їх кодових послідовностей, називаються кодованими сигналами. Більшість властивостей автокореляційної функції кодової послідовності збігаються з розглянутими вище властивостями автокореляційної функції сигналу. При кульовому зрушенні автокореляційна функція кодової послідовності досягає максимуму, який дорівнює Якщо символи дорівнюють -1, 1, то г(0) = N.
Значення автокореляційної функції за інших зрушень менше г(0). Автокореляційна функція кодової послідовності є парною функцією. Узагальненням автокореляційної функції є взаємно-кореляційна функція. Для кодових послідовностей однакової довжини ця функція де
2
} 0
6/, - символи відповідно до першої та другої послідовності. Багато властивостей функції г 12 (д)
збігаються із властивостями взаємно кореляційної функції розглянутих вище сигналів. Якщо функція г^(д), I Ф
для будь-якої пари коду при зрушенні д
= Про дорівнює нулю, то такі коди називаються ортогональними.
Короткий опис деяких кодів, що використовуються в системах зв'язку, наведено в додатках 2-4. Взаємно кореляційна функція між кодовою послідовністю і такою ж послідовністю, що періодично повторюється, називається періодичною автокореляційною функцією кодової послідовності
Вираз для функції випливає з виразів (2.25), (2.26): де г(д) -
неперіодична автокореляційна функція кодової послідовності; д -
значення зсуву між послідовностями. Підставимо в отриману формулу вираження автокореляційних функцій: де а/г, а^+ц
- Елементи кодової послідовності. Періодична автокореляційна функція кодової послідовності дорівнює взаємно кореляційної функції, обчисленої кодової послідовності і циклічно зрушених символів цієї послідовності. Циклічно зрушені кодові послідовності, отримані за вихідною послідовністю а 0 = а 0 ,а ( ,а 2 ,
..., а м_ь
наведено нижче. Кодова послідовність а (
отримана в результаті зсуву вихідної послідовності а 0
па один символ вправо та перенесення останнього символу а
дм на початок зрушеної послідовності. Інші послідовності отримані аналогічно: Приклад 2.9.Обчислити автокореляційну та періодичну автокореляційну функцію кодованого сигналу (рис. 2.8, а) де і 0 (О – прямокутний імпульс з амплітудою Ата тривалістю т і. Цей сигнал побудований із прямокутних імпульсів, знак яких визначається ваговими коефіцієнтами: а 0 = ,а. = 1, а 2= -1, які число N= 3. Тривалість сигналу дорівнює Зт і. Рішення. Підставляючи вираз для сигналу формулу (2.21), отримаємо Зробимо заміну змінної t - кт нна х: Позначимо: & - т = - і замінимо дискретні змінні &, тна змінні до, ц.В результаті отримаємо Графік автокореляційної функції для заданого сигналу показано на рис. 2.8, б.Ця функція залежить від автокореляційної функції /? 0 (т) прямокутного імпульсу та значень автокореляційної функції г( Мал. 2.8. Автокореляційна функція кодованого сигналу: а- Кодований сигнал; 6 -
автокореляційна функція сигналу; в- автокореляційна функція періодичного сигналу Обчислимо періодичну автокореляційну функцію, використовуючи розраховану автокореляційну функцію, отримані значення автокореляційної функції кодової послідовності і формулу (2.28). Періодична автокореляційна функція Підставимо задане значення N = 3 отриману формулу: З урахуванням значень автокореляційної функції кодової послідовності К+З) = 0, г(+ 2) = -1, г(+1) = О, КО) = 3 запишемо остаточний вираз для одного періоду періодичної автокореляційної функції сигналу: Графік функції наведено на рис. 2.8, в. Нехай сигнал s(t) Заданий у вигляді неперіодичної функції, причому він існує тільки на інтервалі ( t 1 ,t 2) (приклад – одиночний імпульс). Виберемо довільний відрізок часу T, Що включає інтервал ( t 1 ,t 2) (див. рис.1). Позначимо періодичний сигнал, отриманий з s(t), у вигляді ( t). Тоді для нього можна записати низку Фур'є Для того, щоб перейти до функції s(t) слід у виразі ( t) спрямувати період до нескінченності. При цьому кількість гармонійних складових із частотами w=n 2p/Tбуде нескінченно велика, відстань між ними буде прагнути до нуля (до нескінченно малої величини: амплітуди складових також будуть нескінченно малі. Тому говорити про спектр такого сигналу вже не можна, тому що спектр стає суцільним. Внутрішній інтеграл є частотною функцією. Його називають спектральною щільністю сигналу, або частотною характеристикоюсигналу та позначають тобто. Межі інтегрування можна для спільності поставити нескінченними, оскільки однаково там, де s(t) дорівнює нулю, і інтеграл дорівнює нулю. Вираз для спектральної густини називають прямим перетворенням Фур'є. Зворотне перетворенняФур'є визначає тимчасову функцію сигналу з його спектральної щільності ряме (*) і зворотне (**) перетворення Фур'є разом називають парою перетворень Фур'є. Модуль спектральної густини визначає амплітудно-частотну характеристику (АЧХ) сигналу, а її аргумент Сенс модуля S(w) визначається як амплітуда сигналу (струму або напруги), що припадає на 1 Гц в нескінченно вузькій смузі частот, яка включає в себе розглянуту частоту w. Його розмірність – [сигнал/частота]. Енергетичний спектр сигналу.Якщо функція s(t) має фур'є-щільність потужності сигналу ( спектральна щільність енергії сигналу) визначається виразом: w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2 |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9) Спектр потужності W()-речова невід'ємна парна функція, яку зазвичай називають енергетичним спектром. Спектр потужності, як квадрат модуля спектральної щільності сигналу, не містить фазової інформації про його частотні складові, а, отже, відновлення сигналу по спектру потужності неможливе. Це також означає, що сигнали з різними фазовими характеристиками можуть мати однакові спектри потужності. Зокрема, зсув сигналу не відбивається з його спектрі потужності. Останнє дозволяє одержати вираз для енергетичного спектра безпосередньо з виразів (5.2.7). У межі, для однакових сигналів u(t) і v(t) при зсуві t 0, уявна частина спектра Wuv () прагне нульовим значенням, а реальна частина - до значень модуля спектра. При повному тимчасовому поєднанні сигналів маємо: тобто. енергія сигналу дорівнює інтегралу квадрата модуля його частотного спектру- сумі енергії його частотних складових, і є речовинної величиною. Для довільного сигналу s(t) рівність зазвичай називають рівністю Парсеваля (у математиці - теорема Планшереля, у фізиці - формулою Релея). Рівність очевидна, оскільки координатне і частотне уявлення сутнісно лише різні математичні відображення однієї й тієї ж сигналу. Аналогічно енергії взаємодії двох сигналів: З рівності Парсеваля випливає інваріантність скалярного добутку сигналів та норми щодо перетворення Фур'є: У ряді суто практичних завдань реєстрації та передачі сигналів енергетичний спектр сигналу має дуже важливе значення. Періодичні сигнали перетворюються на спектральну область у вигляді рядів Фур'є. Запишемо періодичний сигнал із періодом Т у вигляді ряду Фур'є в комплексній формі: Інтервал 0-Т містить цілу кількість періодів всіх підінтегральних експонент, і дорівнює нулю, за винятком експоненти при k = -m, для якої інтеграл дорівнює Т. Відповідно, середня потужність періодичного сигналу дорівнює сумі квадратів модулів коефіцієнтів його ряду Фур'є: Енергетичний спектр сигналу
– це розподіл енергії базисних сигналів, що становлять негармонічний сигнал, на осі частот. Математично енергетичний спектр сигналу дорівнює квадрату модуля спектральної функції: Відповідно амплітудно-частотний спектр показує безліч амплітуд складових базисних сигналів на частотній осі, а фазо-частотний – безліч фаз Модуль спектральної функції часто називають амплітудним спектром, А її аргумент - фазовим спектром. Крім того, існує і зворотне перетворення Фур'є, що дозволяє відновити вихідний сигнал, знаючи його спектральну функцію: Наприклад, візьмемо прямогульний імпульс: Ще один приклад спектрів: Частота Найквіста, теорема Котельникова
.
Частота Найквіста
- у цифровій обробці сигналів частота, що дорівнює половині частоти дискретизації. Названа на честь Гаррі Найквіста. З теореми Котельникова випливає, що з дискретизації аналогового сигналувтрат інформації буде лише у разі, якщо спектр (спектральна щільність)(найвища частота корисного сигналу) сигналу дорівнює чи нижче частоти Найквіста. В іншому випадку при відновленні аналогового сигналу буде місце накладення спектральних «хвостів» (підміна частот, маскування частот), і форма відновленого сигналу буде спотворена. Якщо спектр сигналу немає складових вище частоти Найквіста, він може бути (теоретично) продискретизирован і потім відновлено без спотворень. Фактично «оцифровка» сигналу (перетворення аналогового сигналу на цифровий) пов'язана з квантуванням відрахунків - кожен відлік записується у вигляді цифрового коду кінцевої розрядності, в результаті чого до відліків додаються помилки квантування (округлення), за певних умов розглядаються як «шум квантування». Реальні сигнали кінцевої тривалості завжди мають нескінченно широкий спектр, більш менш менш швидко зменшується зі зростанням частоти. Тому дискретизація сигналів завжди призводить до втрат інформації (спотворення форми сигналу при дискретизації-відновленні), як би не була високою частотою дискретизації. При вибраній частоті дискретизації спотворення можна зменшити, якщо забезпечити придушення спектральних складових аналогового сигналу (до дискретизації), що лежать вище за частоту Найквіста, для чого потрібен фільтр дуже високого порядку, щоб уникнути накладання «хвостів». Практична реалізаціятакого фільтра дуже складна, тому що амплітудно-частотні характеристики фільтрів мають не прямокутну, а гладку форму, і утворюється деяка перехідна смуга частот між смугою пропускання та смугою придушення. Тому частоту дискретизації вибирають із запасом, наприклад, в аудіо компакт-дисках використовується частота дискретизації 44100 Герц, тоді як найвищою частотоюу спектрі звукових сигналіввважається частота 20 000 Гц. Запас за частотою Найквіста в 44100/2 - 20000 = 2050 Гц дозволяє уникнути заміни частот при використанні фільтру, що реалізується, невисокого порядку. Теорема Котельникова Для того, щоб відновити вихідний безперервний сигнал дискретизованого з малими спотвореннями (похибками), необхідно раціонально вибрати крок дискретизації. Тому при перетворенні аналогового сигналу на дискретний обов'язково виникає питання про величину кроку дискретизації. Інтуїтивно неважко зрозуміти наступну ідею. Якщо аналоговий сигнал має низькочастотний спектр, обмежений деякою верхньою частотою Fe, (тобто функція u(t) має вигляд кривою, що плавно змінюється, без різких змін амплітуди), то навряд чи на деякому невеликому часовому інтервалі дискретизації ця функція може істотно змінюватися по амплітуді. Цілком очевидно, що точність відновлення аналогового сигналу за послідовністю його відліків залежить від величини інтервалу дискретизації Чим він коротший, тим менше відрізнятиметься функція u(t) від плавної кривої, що проходить через точки відліків. Однак із зменшенням інтервалу дискретизації суттєво зростає складність та обсяг обробної апаратури. При досить великому інтервалі дискретизації зростає можливість спотворення чи втрати інформації при відновленні аналогового сигналу. Оптимальна величина інтервалу дискретизації встановлюється теоремою Котельникова (інші назви - теорема відліків, теорема К. Шеннона, теорема X. Найквіста: вперше теорема була відкрита в математиці О. Коші, а потім описана повторно Д. Карсоном і Р. Хартлі), доведеною ним у 1933 Теорема В. А. Котельникова має важливе теоретичне і практичне значення: дає можливість правильно здійснити дискретизацію аналогового сигналу і визначає оптимальний спосіб його відновлення на приймальному кінці по відліковим значенням. Згідно з однією з найвідоміших і найпростіших інтерпретацій теореми Котельникова, довільний сигнал u(t), спектр якого обмежений деякою частотою Fe може бути повністю відновлений за послідовністю своїх відлікових значень, наступних з інтервалом часу Інтервал дискретизації та частоту Fe (1) у радіотехніці часто називають відповідно інтервалом та частотою Найквіста. Аналітично теорема Котельникова представляється поруч де k – номер відліку; - значення сигналу в точках відліку - верхня частотаспектр сигналу. Частотне представлення дискретних сигналів
.
Більшість сигналів можна подати у вигляді ряду Фур'є: Взаємна спектральна щільність потужності (взаємний спектр потужності)двох реалізацій та стаціонарних ергодичних випадкових процесів і визначається як пряме перетворення Фур'є над їхньою взаємною коваріаційною функцією або, з урахуванням співвідношення між круговою та циклічною частотами , Зворотне перетворення Фур'є пов'язує взаємну коварійну функцію та спектральну щільність потужності: Аналогічно (1.32), (1.33) вводиться спектральна щільність потужності (спектр потужності)
випадкового процесу Функція має властивість парності: Для взаємної спектральної щільності справедливе таке співвідношення: де - Функція, комплексно пов'язана до . Введені вище формули для спектральних щільностей визначені як для позитивних, так і для негативних частот і звуться двосторонніх спектральних щільностей
. Вони зручні при аналітичному вивченні систем та сигналів. На практиці ж користуються спектральними щільностями, визначеними тільки для невід'ємних частот та званими односторонніми
(Малюнок 1.14): Малюнок 1.14 – Одностороння та двостороння спектральні щільності Виведемо вираз, що пов'язує односторонню спектральну щільність стаціонарного СП з його функцією коварації: Врахуємо властивість парності для функції коварації стаціонарного СП і функції косинус, властивість непарності для функції синус, а також симетричність меж інтегрування. В результаті другий інтеграл в отриманому вище вираженні перетворюється на нуль, а в першому інтегралі можна скоротити вдвічі межі інтегрування, подвоївши при цьому коефіцієнт: Очевидно, що спектральна густина потужності випадкового процесу є дійсною функцією. Аналогічно можна отримати зворотне співвідношення: З виразу (1.42) слід, що Це означає, що загальна площа під графіком односторонньої спектральної густини дорівнює середньому квадрату випадкового процесу. Іншими словами, одностороння спектральна густина інтерпретується як розподіл середнього квадрата процесу за частотами. Площа під графіком односторонньої щільності, укладена між двома довільними значеннями частоти і дорівнює середньому квадрату процесу в цій смузі частот спектра (рисунок 1.15): Рисунок 1.15 – Властивість спектральної густини Взаємна спектральна щільність потужності є комплексною величиною, тому її можна подати у показовій формі запису через модуль
і фазовий кут
: де – модуль; – фазовий кут; , - Справжня і уявна частини функції відповідно. Модуль взаємної спектральної щільності входить у важливу нерівність Ця нерівність дозволяє визначити функцію когерентності
(квадрат когерентності), яка аналогічна квадрату нормованої кореляційної функції: Другий спосіб запровадження спектральних щільностей полягає у безпосередньому перетворенні Фур'є випадкових процесів. Нехай і – два стаціонарні ергодичні випадкові процеси, для яких фінітні перетворення Фур'є
-х реалізацій довжини визначають у вигляді Двостороння взаємна спектральна густина цих випадкових процесів вводиться з використанням твору через співвідношення де оператор математичного очікування означає операцію усереднення за індексом. Розрахунок двосторонньої спектральної щільності випадкового процесу здійснюють за співвідношенням Аналогічно вводяться і односторонні спектральні густини: Функції , визначені формулами (1.49), (1.50), ідентичні відповідним функціям, певним співвідношенням (1.32), (1.33) як перетворення Фур'є над функціями коварації. Це твердження має назву теореми Вінера-Хінчина.
1. Наведіть класифікацію детермінованих процесів. 2. У чому різниця між полігармонічними та майже періодичними процесами? 3. Сформулюйте визначення стаціонарного випадкового процесу. 4. Який спосіб усереднення показників ергодичного випадкового процесу кращий – усереднення по ансамблю вибіркових функцій чи усереднення у часі спостереження однієї реалізації? 5. Сформулюйте визначення густини розподілу ймовірності випадкового процесу. 6. Запишіть вираз, що пов'язує кореляційну та коварійну функції стаціонарного випадкового процесу. 7. У якому разі два випадкові процеси вважаються некорельованими? 8. Вкажіть методи розрахунку середнього квадрата стаціонарного випадкового процесу. 9. Яким перетворенням пов'язані спектральна щільність та коварійні функції випадкового процесу? 10. У яких межах змінюються значення функції когерентності двох довільних процесів? Література 1. Сергієнко, А.Б. Цифрова обробка сигналів/А.Б. Сергієнко. - М: Пітер, 2002. - 604 с. 2. Садовський, Г.А. Теоретичні основиінформаційно-вимірювальної техніки/Г.А. Садовський. - М.: Вища школа, 2008. - 480 с. 3. Бендат, Д. Застосування кореляційного та спектрального аналізу / Д. Бендат, А. Пірсол. - М.: Світ, 1983. - 312 с. 4. Бендат, Д. Вимірювання та аналіз випадкових процесів / Д. Бендат, А. Пірсол. - М.: Світ, 1974. - 464 с. Нижче наводиться короткий описдеяких сигналів та визначаються їх спектральні щільності. При визначенні спектральних густин сигналів, що задовольняють умову абсолютної інтегрованості, користуємося безпосередньо формулою (4.41). Спектральні густини ряду сигналів наведені в табл. 4.2. 1) Імпульс прямокутної форми (табл. 4.2, поз. 4). Коливання, зображене на рис. (4.28, а), можна записати у вигляді Його спектральна щільність Графік спектральної щільності (рис. 4.28 а) побудований на основі проведеного раніше аналізу спектра періодичної послідовності однополярних, прямокутних імпульсів (4.14). Як видно з (рис. 4.28 б), функція звертається в нуль при значеннях аргументу = n, де п
-
1,
2, 3, ... - будь-яке ціле число. У цьому кутові частоти рівні = . Мал. 4.28. Імпульс прямокутної форми (а) та його спектральна щільність (б) Спектральна щільність імпульсу при чисельно дорівнює його площі, тобто G(0)=A.
Це положення справедливе для імпульсу s(t)
довільної форми. Справді, вважаючи загалом (4.41) = 0, отримаємо тобто площа імпульсу s(t).
Таблиця 4.3. Сигнал s(t) Спектральна щільність При розтягуванні імпульсу відстань між нулями функції скорочується, тобто відбувається стиск спектру. Значення у своїй зростає. Навпаки, при стисканні імпульсу відбувається розширення його спектра, а значення зменшується. На (рис. 4.29, а, б) наведено графіки амплітудного та фазового іспектрів прямокутного імпульсу. Мал. 4.29. Графіки амплітудного (а) Мал. 4.30. Імпульс прямокутної форми, та фазового (б) спектрів зрушений на час При зрушенні імпульсу вправо (запізнення) тимчасово (рис. 4.30) фазовий спектр змінюється на величину, що визначається аргументом множникаexp() (табл. 4.2, поз. 9). Результуючий фазовий спектр імпульсу, що запізнюється, зображений на рис. 4.29 б пунктирною лінією. 2) Дельта-функція (табл. 4.3, поз. 9). Спектральну щільність – функції знаходимо за формулою (4.41), використовуючи фільтруючу властивість δ
-функції: Таким чином, амплітудний спектр рівномірний і визначається площею δ
-функції [= 1], а фазовий спектр дорівнює нулю [= 0]. Зворотним перетворенням Фур'є від функції = 1 користуються одним із визначень δ
-функції: Користуючись властивістю тимчасового зсуву (табл. 4.2, поз. 9), визначаємо спектральну щільність функції ,
запізнюється на час відносно :
Амплітудний та фазовий спектри функції показані в табл. 4.3 поз. 10. Зворотне перетворення Фур'є від функції має вигляд 3) Гармонічне коливання Тоді з урахуванням (4.47) отримуємо δ(ω)
- Дельта-функції, зміщені по осі частот на частоту, відповідно вправо і вліво щодо. Як видно з (4.48), спектральна щільність гармонійного коливання з кінцевою амплітудою набуває нескінченно великого значення на дискретних частотах. Виконуючи аналогічні перетворення, можна отримати спектральну щільність коливання 4) Функція виду Спектральна щільність сигналу як постійного рівня Авизначається за формулою (4.48), поклавши = 0: 5) Одинична функція (або одиничний стрибок) (табл. 4.3, поз. 8). Функція не є абсолютно інтегрованою. Якщо уявити як межу експоненційного імпульсу ,
тобто. то спектральну щільність функції можна визначити як межу спектральної щільності експоненційного імпульсу (табл. 4.3, поз. 1) при: Приперше доданок у правій частині цього виразу дорівнює нулю на всіх частотах, крім = 0, де воно перетворюється на нескінченність, а площа під функцією дорівнює постійній величині Тому межею першого доданку вважатимуться функцію . Межею другого доданку є функція. Остаточно отримаємо Наявність двох доданків у виразі (4.51) узгоджується з поданням функції
у вигляді 1/2+1/2sign( t).
Постійній складовій 1/2 згідно (4.50) відповідає спектральна щільність , а непарної функції
- Уявне значення спектральної щільності. При аналізі впливу одиничного стрибка на ланцюги, передатна функціяяких при = 0 дорівнює нулю (тобто на ланцюга, що не пропускають постійний струм), у формулі (4.51) можна враховувати тільки другий доданок, представляючи спектральну щільність одиничного стрибка у вигляді 6) Комплексний експонентний сигнал (табл. 4.3, поз. 16). Якщо уявити функцію у вигляді то на підставі лінійності перетворення Фур'є та з урахуванням виразів (4.48) та (4.49) спектральна щільність комплексного експоненційного сигналу Отже, комплексний сигнал має несиметричний спектр, представлений однією дельта-функцією, зміщеною на частоту право відносно. 7) Довільна періодична функція. Наведемо довільну періодичну функцію (рис. 4.31, а) комплексним рядом Фур'є де - Частота проходження імпульсів. Коефіцієнти ряду Фур'є виражаються через значення спектральної густини одиночного імпульсу s(t)
на частотах ( n=0,
±1, ±2, ...). Підставляючи (4.55) (4.54) і користуючись співвідношенням (4.53), визначаємо спектральну щільність періодичної функції: Відповідно до (4.56) спектральна щільність довільної періодичної функції має вигляд послідовності-функцій, зміщених один щодо одного, на частоту (рис. 4.31, б). Коефіцієнти при δ
-функціях змінюються відповідно до спектральної щільності одиночного імпульсу s(t) (пунктирна крива на рис. 4.31,б). 8) Періодична послідовність δ-функцій (табл. 4.3, поз. 17). Спектральна щільність періодичної послідовності -функцій визначається за формулою (4.56) як окремий випадок спектральної щільності періодичної функції при
=
1:
Рис.4.31. Довільна послідовність імпульсів (а) та її спектральна щільність (б) Мал. 4.32. Радіосигнал (а), спектральні щільності радіосигналу (в) та його огинаючої (б) і має вигляд періодичної послідовності δ
-функцій, помножених на коефіцієнт. 9) Радіосигнал з прямокутною огинаючою. Радіосигнал, поданий на (рис. 4.32,а), можна записати як Відповідно до поз. 11 табл.4.2 спектральна щільність радіосигналу виходить шляхом зсуву спектральної щільності прямокутної огинаючої по осі частот вправо і вліво зі зменшенням ординат вдвічі, тобто. Цей вираз виходить із (4.42) шляхом заміни частоти на частоти – зсув праворуч і зсув ліворуч. Перетворення спектра огинаючої показано на (рис. 4.32, б, в). Приклади розрахунку спектрів неперіодичних сигналів наведені також у .Функція автокореляції детермінованого сигналу
Автокореляційна функція
- межа відношення автокореляційної функції обмеженого в часі сигналу до значення цього часу та при прагненні його до нескінченності. Якщо це межа існує, він визначається зворотним перетворенням Фур'є від спектральної щільності потужності сигналу.
називають фазо-частотною характеристикою (ФЧХ) сигналу. АЧХ сигналу є парною функцією, а ФЧХ – непарною.
(Табл. 4.3, поз. 12). Гармонічне коливання є абсолютно інтегрованим сигналом. Проте визначення його спектральної щільності застосовують пряме перетворення Фур'є, записуючи формулу (4.41) як:
(табл. 4.3, поз. 13)
(табл. 4.3, поз. 11)
Завантаження...