Для упрощения методов решения задач анализа цепей, сигналы представляют в виде суммы определенных функций.
Этот процесс обосновывается понятием обобщенного ряда Фурье. В математике доказано, что любая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда:
Для определения умножим левую и правую части ряда на и возьмем интеграл от левой и правой части:
для интервала в котором выполняются условия ортогональности.
Видно, что.Получили выражение для обобщенного ряда Фурье:
Выделим конкретный вид функции, для разложения в ряд сигнала. В качестве такой функции выберем ортогональную систему функций:
Для определения ряда вычислим значение:
Таким образом, получим:
Графически данный ряд представляется в виде двух графиков амплитудных гармонических составляющих.
Полученное выражение можно представить в виде:
Получили вторую форму записи тригонометрического ряда Фурье. Графически данный ряд представляется в виде двух графиков - амплитудного и фазового спектров.
Найдем комплексную форму ряда Фурье, для этого воспользуемся формулами Эйлера:
Графически спектр в этой форме представлен на оси частот в диапазоне.
Очевидно, что спектр периодического сигнала, выраженный в комплексной или амплитудной форме - дискретный. Это значит, что в спектре имеются составляющие с частотами
Спектральные характеристики непериодического сигнала
Так как в качестве непериодического сигнала в радиотехнике рассматривают одиночный сигнал, то для нахождения его спектра представим сигнал как периодический с периодом. Воспользуемся преобразование ряда Фурье для данного периода. Получим для:
Анализ полученного выражения показывает, что при амплитуды составляющих становятся бесконечно малыми и на оси частот они расположены непрерывно. Тогда, что б выйти из этого положения воспользуемся понятием спектральной плотности:
Подставим полученное выражение в комплексный ряд Фурье, получим:
Окончательно получим:
Здесь - спектральная плотность, а само выражение - прямое преобразование Фурье. Для определения сигнала по его спектру используют обратное преобразование Фурье:
Свойства преобразования Фурье
Из формул прямого и обратного преобразований Фурье, очевидно, что если изменится сигнал, то изменится и его спектр. Следующие свойства устанавливают зависимость спектра измененного сигнала, от спектра сигнала до изменений.
1) Свойство линейности преобразования Фурье
Получили, что спектр суммы сигналов равен сумме их спектров.
2) Спектр сигнала сдвинутого во времени
Получили, что при сдвиге сигнала амплитудный спектр не изменяется, а изменяется только фазовый спектр на величину
3) Изменение масштаба времени
т.е при расширении(сужении) сигнала в несколько раз спектр этого сигнала сужается(расширяется).
4) Спектр смещения
5) Спектр производной от сигнала
Возьмем производную от левой и правой части обратного преобразования Фурье.
Видим, что спектр производной от сигнала равен спектру исходного сигнала умноженного на, то есть изменяется амплитудный спектр и меняется фазовый на.
6) Спектр интеграла сигнала
Возьмем интеграл от левой и правой части обратного преобразования Фурье.
Видим, что спектр производной от сигнала равен спектру исходного сигнала деленного на,
7) Спектр произведения двух сигналов
Таким образом, спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров умноженной на коэффициент
8) Свойство дуальности
Таким образом, если к какому-то сигналу соответствует спектр, то сигналу по форме совпадающему с вышеуказанным спектром соответствует спектр по форме совпадающий с вышеуказанным сигналом.
Общие замечания
Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления радиотехнических сигналов, исключительное место занимают гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) функции. Значение гармонических сигналов для радиотехники обусловлено рядом причин.
В радиотехнике приходится иметь дело с электрическими сигналами, которые связаны с передаваемыми сообщениями принятым способом кодирования.
Можно сказать, что электрический сигнал представляет собой физический (электрический) процесс, несущий в себе информацию. Количество информации, которое можно передать с помощью некоторого сигнала, зависит от основных его параметров: длительности, полосы частот, мощности и некоторых других характеристик. Важное значение имеет также уровень помех в канале связи: чем меньше этот уровень, тем большее количество информации можно передать с помощью сигнала с заданной мощностью. Прежде чем говорить об информационных возможностях сигнала, необходимо ознакомиться с его основными характеристиками. Целесообразно рассмотреть отдельно детерминированные и случайные сигналы.
Детерминированным называют любой сигнал, мгновенное значение которого в любой момент времени можно предсказать с вероятностью единица.
Примерами детерминированных сигналов могут служить импульсы или пачки импульсов, форма, величина и положение во времени которых известны, а также непрерывный сигнал с заданными амплитудными и фазовыми соотношениями внутри его спектра. Детерминированные сигналы можно подразделить на периодические и непериодические.
Периодическим называется любой сигнал, для которого выполняется условие
где период Т является конечным отрезком, а k - любое целое число.
Простейшим периодическим детерминированным сигналом является гармоническое колебание. Строго гармоническое колебание называют монохроматическим. Этот заимствованный из оптики термин подчёркивает, что спектр гармонического колебания состоит из одной спектральной линии. У реальных сигналов, имеющих начало и конец, спектр неизбежно размывается. Поэтому строго монохроматического колебания в природе не существует. В дальнейшем под гармоническим и монохроматическим сигналом условно будет подразумеваться колебание. Любой сложный периодический сигнал, как известно, можно представить в виде суммы гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте w = 2*Pi/T. Основной характеристикой сложного периодического сигнала является его спектральная функция, содержащая информацию об амплитудах и фазах отдельных гармоник.
Непериодическим детерминированным сигналом называется любой детерминированный сигнал, для которого выполняется условие s(t)s(t+kT).
Как правило, непериодический сигнал ограничен во времени. Примерами таких сигналов могут служить уже упоминавшиеся импульсы, пачки импульсов, «обрывки» гармонических колебаний и т.д. Непериодические сигналы представляют основной интерес, так как именно они преимущественно используются в практике.
Основной характеристикой непериодического, как и периодического сигнала, является его спектральная функция;
К случайным сигналам относят сигналы, значения которых заранее неизвестны и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью, меньшей единицы. Такими функциями являются, например, электрическое напряжение, соответствующее речи, музыке, последовательности знаков телеграфного кода при передаче неповторяющегося текста. К случайным сигналам относится также последовательность радиоимпульсов на входе радиолокационного приёмника, когда амплитуды импульсов и фазы их высокочастотного заполнения флуктуируют из-за изменения условий распространения, положения цели и некоторых других причин. Можно привести большое число других примеров случайных сигналов. По существу, любой сигнал, несущий в себе информацию, должен рассматриваться как случайный. Перечисленные детерминированные сигналы, «полностью известные», информации уже не содержат. В дальнейшем такие сигналы часто будут обозначаться термином «колебание».
Для характеристики и анализа случайных сигналов применяется статистический подход. В качестве основных характеристик случайных сигналов принимают:
а) закон распределения вероятностей.
б) спектральное распределение мощности сигнала.
На основе первой характеристики можно найти относительное время пребывания величины сигнала в определённом интервале уровней, отношение максимальных значений к среднеквадратическому и ряд других важных параметров сигнала. Вторая характеристика даёт лишь распределение по частотам средней мощности сигнала. Более подробной информации относительно отдельных составляющих спектра - об их амплитудах и фазах - спектральная характеристика случайного процесса не даёт.
Наряду с полезными случайными сигналами в теории и практике приходится иметь дело со случайными помехами - шумами. Как уже упоминалось выше, уровень шумов является основным фактором, ограничивающим скорость передачи информации при заданном сигнале.
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
НАПРАВЛЕНИЕ
«ПРИКЛАДНЫЕ МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА»
Методы определения
спектральных характеристик
электрических сигналов
Санкт-Петербург
Введение........................................................................................................................................ 3
Вещественная форма ряда Фурье................................................................................................ 3
Комплексная форма ряда Фурье.................................................................................................. 4
Спектр периодической функции................................................................................................. 5
Преобразование Фурье................................................................................................................. 6
Свойства преобразования Фурье................................................................................................. 7
Спектр дискретного сигнала....................................................................................................... 9
Дискретное преобразование Фурье........................................................................................... 12
Растекание спектра..................................................................................................................... 14
Лабораторная установка и выполнение измерений................................................................ 15
Задания......................................................................................................................................... 17
Приложение 1. Отрезок синусоиды.......................................................................................... 18
Литература................................................................................................................................... 19
Введение
Данная работа является первой в цикле лабораторных работ в учебной лаборатории «Методов обработки и передачи информации» (МОПИ) физического факультета СПбГУ. Лаборатория выполняется на втором курсе и поддерживает курс лекций "Физические основы методов обработки и передачи информации". К этому времени курс уже прослушан студентами, лаборатория предназначена для закрепления и расширения знаний в этой области.
Представление о спектре сигнала необходимо для разработки устройств передачи информации, оно находит применение для косвенного измерения других физических величин, и просто расчёта электрической цепи. Знание спектра сигнала позволяет лучше понять его природу и не случайно цикл лабораторных работ начинается именно с этой работы.
Работа будет иметь и расчетный, и экспериментальный характер. Экспериментальная часть работы содержит важный инновационный элемент – применение цифровой обработки сигнала, оцифрованного с помощью системы сбора данных. Кроме того, вся расчетная часть работы, а также обработка результатов экспериментов выполняется на базе современного математического пакета МАТЛАБ и его дополнительной библиотеки – Signal Processing Toolbox. Используются заложенные в них возможности математического моделирования разнообразных типов сигналов, обработки данных.
Предполагается, что читатель знаком с основными приемами работы в этом пакете. Программы расчетов и различные дополнения будут отнесены в Приложения к работе.
Вещественная форма ряда Фурье
Рассмотрим периодическую функцию с периодом, равным : 
, где – любое целое число. При выполнении определенных условий эта функция может быть представлена в виде суммы, конечной или бесконечной, гармонических функций вида 
, период которых совпадает с периодом исходной функции , где https://pandia.ru/text/78/330/images/image007_33.gif" width="19 height=24" height="24"> – константа..gif" width="15" height="17 src=">. Таким образом, мы будем решать задачу о разложении периодической функции в тригонометрический ряд:
(1)
Отдельное слагаемое этой суммы https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23">. Наша задача заключается в том, чтобы подобрать такие коэффициенты и , при которых ряд (1) будет сходиться к заданной функции https://pandia.ru/text/78/330/images/image013_18.gif" width="301 height=53" height="53"> (2)
где новые коэффициенты выражаются как https://pandia.ru/text/78/330/images/image015_16.gif" width="105" height="24 src=">.gif" width="273" height="117"> (3)
Можно доказать, что тригонометрический ряд будет сходиться равномерно к функции https://pandia.ru/text/78/330/images/image019_13.gif" width="48 height=53" height="53">.gif" width="28" height="23 src="> может быть приближена с определённой точностью тригонометрическим полиномом порядка N , то есть конечным числом слагаемых.
Комплексная форма ряда Фурье
Другая, комплексная форма тригонометрического ряда, получается, если записать синусы и косинусы в (2) через комплексные экспоненты:
(4)
Коэффициенты вещественной и комплексной формы связаны между собой соотношениями:
(5)
Используя формулы (5), из (3) получим выражения для коэффициентов комплексной формы тригонометрического ряда. Эти коэффициенты могут быть записаны для любого номера k следующим образом
(6)
Тригонометрический ряд в комплексной форме равномерно сходится к функции , если сходятся ряды и . Это будет выполнено, если исходная функция удовлетворяет условиям Дирихле.
Спектр периодической функции
Введем понятие спектра периодической функции. Оно основывается на возможности представления сигнала либо в виде вещественного ряда Фурье (1), либо в виде комплексного ряда (4). Это означает, что вещественные коэффициенты и , или комплексные коэффициенты несут полную информацию о периодической с известным периодом https://pandia.ru/text/78/330/images/image012_20.gif" width="21" height="24"> и называется вещественным спектром сигнала..gif" width="69" height="41 src=">). Поэтому набор называется амплитудным спектром..gif" width="20" height="24">. В отличие от вещественного спектра, комплексный спектр определен как для положительных, так и для отрицательных частот. Ниже мы покажем, что модули этих коэффициентов определяют амплитуды гармоник и поэтому могут называться амплитудным спектром, а аргументы (фазовый спектр) определяют начальные фазы гармоник..gif" width="61 height=29" height="29">. Из этого соотношения вытекает свойство четности для амплитудного комплексного спектра и нечетность для фазового.
Посмотрим, как связаны между собой вещественный и комплексный спектры. Запишем ряд (4) в виде
Слагаемые с отрицательными номерами могут быть выражены через слагаемые с положительными номерами, так как и 
. Тогда останется только сумма с положительными номерами
После суммирования экспонент с одинаковыми номерами https://pandia.ru/text/78/330/images/image035_4.gif" width="237" height="53"> (9)
Сравнивая ряды (1) и (9), получим искомую связь вещественного и комплексного спектров: и .
Так как спектр периодического сигнала состоит из отдельных гармоник, его называют дискретным или линейчатым. Частоты гармоник обратно пропорциональны периоду https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23"> – непрерывно дифференцируемая абсолютно интегрируемая на всей оси функция: . Непериодический сигнал может быть рассмотрен как периодический, но с бесконечно большим периодом. Сделав предельный переход от конечного к бесконечно большому периоду сигнала в формулах (6) и (4), получим формулы для прямого преобразования Фурье:
(10)
и обратного:
(11)
Функцию https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23 src=">. Таким образом, спектр непериодического сигнала – сплошной (в отличие от линейчатого спектра периодического сигнала), он определен на всей оси частот.
Свойства преобразования Фурье
Рассмотрим основные свойства преобразования Фурье.
Линейность . Рассмотрим функции и , имеющие спектры и :
Тогда спектр их линейной комбинации будет:
Задержка во времени ..gif" width="28" height="23 src=">
(14)
Рассчитаем спектр сигнала, сдвинутого во времени: https://pandia.ru/text/78/330/images/image050_1.gif" width="59" height="21">, тогда и
Получили, что задержка сигнала на время https://pandia.ru/text/78/330/images/image055_1.gif" width="41" height="25">.
Изменение масштаба. Считаем, что известен спектр https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23 src=">.gif" width="36" height="23">. Вводим новую переменную , делаем замену переменной интегрирования https://pandia.ru/text/78/330/images/image059_1.gif" width="312" height="61"> (16)
Умножение на https://pandia.ru/text/78/330/images/image041_3.gif" width="40 height=23" height="23"> сигнала . Найдем спектр этого сигнала, умноженного на .
Таким образом, умножение сигнала на https://pandia.ru/text/78/330/images/image062_1.gif" width="23" height="24">.
Спектр производной. В данном случае ключевым моментом является абсолютная интегрируемость функции. Из того, что интеграл от модуля функции должен быть ограничен, следует, что на бесконечности функция должна стремиться к нулю. Интеграл от производной функции берётся по частям, получившиеся внеинтегральные слагаемые равны нулю, так как на бесконечности функция стремится к нулю.
(18)
Спектр интеграла. Найдем спектр сигнала https://pandia.ru/text/78/330/images/image065_1.gif" width="81" height="57">, то есть у сигнала отсутствует постоянная составляющая. Это требование необходимо, чтобы внеинтегральные слагаемые были равны нулю, когда интеграл берётся по частям.
(19)
Теорема о свёртке. Известно, что https://pandia.ru/text/78/330/images/image067_1.gif" width="37" height="23 src="> спектры функций и https://pandia.ru/text/78/330/images/image069_1.gif" width="153" height="57"> через и . Для этого в интеграле Фурье от свёртки у одной из функций выполним замену переменой , тогда в показателе экспоненты можно сделать замену https://pandia.ru/text/78/330/images/image072_1.gif" width="449" height="181"> (20)
Преобразование Фурье свёртки двух сигналов даёт произведение спектров этих сигналов.
Произведение сигналов. Известно, что https://pandia.ru/text/78/330/images/image067_1.gif" width="37" height="23 src="> – спектры функций и https://pandia.ru/text/78/330/images/image073_1.gif" width="53" height="23"> через спектры и ..gif" width="409" height="123"> (21)
Спектр произведения сигналов есть свёртка спектров этих сигналов.
Спектр дискретного сигнала
Особое внимание стоит уделить дискретным сигналам, так как именно такие сигналы используются в цифровой обработке. Дискретный сигнал в отличие от непрерывного является последовательностью чисел, соответствующих значениям непрерывного сигнала в определённые моменты времени. Условно дискретный сигнал можно рассматривать как непрерывный сигнал, который в определённые моменты времени принимает какие-то значения, а в остальное время равен нулю..gif" width="28" height="23"> на последовательность периодически повторяющихся прямоугольных импульсов – тактирующих импульсов (рис.1).
https://pandia.ru/text/78/330/images/image078_1.gif" width="87" height="24"> (22)
Прямоугольные импульсы имеют длительность https://pandia.ru/text/78/330/images/image079_1.gif" width="19 height=24" height="24">:
(23)
Амплитуда импульса выбрана таким образом, чтобы интеграл импульса по периоду равнялся . При этом тактирующие импульсы безразмерны. Разложим последовательность таких импульсов в тригонометрический ряд:
(24)
Чтобы получить мгновенные отсчёты сигнала https://pandia.ru/text/78/330/images/image082_1.gif" width="44" height="19">. Такой тактирующий сигнал назовём идеальным. При этом коэффициенты разложения в ряд Фурье все будут равны 1.
(25)
Точно такой же вид имеет разложение в ряд Фурье функции:
(26)
Коэффициенты разложения в тригонометрический ряд тактирующего сигнала :
(27)
Тогда дискретный сигнал будет иметь вид:
При вычислении преобразования Фурье дискретного сигнала меняем местами операцию суммировании и интегрирования, а потом используем свойство δ -функции:
Спектр дискретного сигнала является периодической функцией. Рассмотрим экспоненту в отельном слагаемом как функцию частоты..gif" width="45" height="19">, и это, соответственно, будет периодом повторения всего спектра. То есть спектр дискретного сигнала имеет период повторения, равный частоте квантования
.
Получим ещё одно представление . В силу того, что является произведением функций и , спектр дискретного сигнала вычисляется как свёртка спектров непрерывного сигнала https://pandia.ru/text/78/330/images/image094_1.gif" width="37" height="23">.
(30)
Вычислим , используя (25). Так как периодическая функция, её спектр дискретный.
Таким образом, свёртка (30)
https://pandia.ru/text/78/330/images/image099_1.gif" width="39" height="23 src=">.
Сам факт того, что в результате дискретизации в спектре сигнала происходят качественные изменения, говорит о том, что исходный сигнал может быть искажён, так как он полностью определяется своим спектром. Однако с другой стороны периодическое повторение одного и того же спектра само по себе не вносит ничего нового в спектр, поэтому при определённых условиях, зная значения сигнала в отдельные моменты времени, можно найти какое значение этот сигнал принимал в любой другой момент времени, то есть получить исходный непрерывный сигнал. В этом состоит смысл теоремы Котельникова, которая накладывает условие на выбор частоты квантования в соответствии с максимальной частотой в спектре сигнала.
Если это условие нарушено, то после оцифровки сигнала произойдёт наложение периодически повторяющегося спектра (рис. 2). Получившийся в результате наложения спектр будет соответствовать другому сигналу.
Рис. 2. Перекрывание спектров.
Дискретное преобразование Фурье
В предыдущем разделе было сказано, что при выполнении условия теоремы Котельникова отсчёты дискретного сигнала хранят всю информацию об исходном непрерывном сигнале, а значит и о его спектре. Поэтому спектр сигнала может быть найден и по его дискретным отсчётам, что даёт широкие возможности для анализа сигналов в цифровой обработке. Ранее было показано, что спектр периодического сигнала дискретный, то есть сигнал может быть разложен по определённым гармоникам. Дискретный сигнал имеет периодический спектр. Дискретный периодический сигнал будет иметь дискретный периодический спектр . Дискретный сигнал представляется в виде последовательности значений сигнала в фиксированные моменты времени ..gif" width="19" height="19 src=">, то есть для любого выполняется . Обычно дискретное преобразование Фурье сигнала, заданного отсчётами в виде вектора из элементов, вычисляется по формуле:
(33)
Обратное преобразование Фурье по формуле:
(34)
Сравнивая (33) с (4) получаем, что комплексная амплитуда гармоники с номером https://pandia.ru/text/78/330/images/image110_1.gif" width="69" height="43 src="> и соответствует частоте 
или, что тоже самое 
, где частота квантования в герцах: https://pandia.ru/text/78/330/images/image114_0.gif" width="53" height="41 src="> – период квантования, период считается равным длительности записанного фрагмента сигнала.
В MATLAB дискретное преобразование Фурье выполняется с помощью команды fft (Fast Fourier Transform), которая производит вычисления по специальному алгоритму быстрого преобразования. Синтаксис команды:
y = fft(x, n, dim)
x – вектор с отсчётами сигнала;
y – вектор с результатом преобразования ;
n – необязательный параметр, определяющий количество отсчётов сигнала, используемое для выполнения преобразования. В этом случае вектор y будет состоять из n элементов;
dim – необязательный параметр, определяющий номер размерности, по которой выполняется преобразование. Используется, когда в переменной x содержится несколько сигналов, каждый в столбце или строке, на что указывает переменная dim.
Аналогичный интерфейс имеет команда, с помощью которой выполняется обратное преобразование:
x = ifft(н, n, dim)
Команда fft возвращает массив, в котором амплитуды гармоник соответствуют частотам гармоник в диапазоне https://pandia.ru/text/78/330/images/image117_0.gif" width="80" height="48 src=">, более привычным для восприятия. Вообще, если все значения вектора x вещественны, что характерно для любой измеряемой физической величины, то, как было показано выше (9), значение имеют только гармоники в диапазоне частот https://pandia.ru/text/78/330/images/image104_1.gif" width="20" height="24 src="> – это ровно один период сигнала. То есть в данном случае зарегистрированный отрезок периодического сигнала должен быть периодически продолжен, при этом периодом повторения должна быть длительность всей записи сигнала. Если длительность записи отлична от периода сигнала, который записывали, то при периодическом повторении записи сигнала произойдёт искажение формы сигнала, соответственно и его спектра.
Например, регистрировался синусоидальный сигнал с периодом , а длительность записи равна , причём , где – целое число. Тогда при периодическом повторении записи сигнала (рис. 3) появятся разрывы первого рода, так как значения сигнала в начале и конце записи разные.
https://pandia.ru/text/78/330/images/image054_1.gif" width="13" height="15">. Отрезок записанного сигнала можно также интерпретировать как исходный сигнал, свёрнутый с прямоугольным импульсом, определяющий отрезок времени, в который была сделана запись. Тогда согласно свойствам преобразования Фурье спектр записанного сигнала будет произведением исходного спектра со спектром прямоугольного импульса (рис. 4).
https://pandia.ru/text/78/330/images/image123.jpg" width="562" height="229 src=">
Рис. 5. Лабораторная установка.
Рассмотри каждый блок этой схемы подробнее.
1. Источником аналоговых модельных сигналов является Генератор модельных сигналов. В качестве него могут использоваться следующие приборы (по выбору преподавателя):
· Стандартный лабораторный генератор сигналов различной формы (синусоидальные и прямоугольные импульсы);
· Цифровой генератор, собранный на цифро-аналоговом преобразователе (ЦАП) устройства L-Card;
· С помощью MATLAB сигналы могут быть воспроизведены на звуковой карте компьютера.
С использованием MATLAB стало возможно воспроизводить сигналы практически любой формы, спектр которых находится в звуковом диапазоне, возможности ограничены лишь характеристиками звуковой карты, а именно частотой квантования, частотной характеристикой и максимально возможным значением напряжения. Звуковые карты, предназначенные в первую очередь для воспроизведения звука, имеют частотную характеристику, позволяющую воспроизводить сигнал в диапазоне частот приблизительно от 100Гц до 20кГц. Эти границы определяются внутренним устройством звуковой карты, обычно, там используются фильтры, ограничивающие спектр сигнала в этом диапазоне. Другая особенность звуковой карты состоит в том, что большинство из них могут работать только с определёнными частотами квантования: 8000Гц, 11025Гц, 22050Гц и 44100Гц. Выходное напряжение для разных звуковых карт может отличаться, но, обычно, максимально возможное значение около 1В. Преимущество звуковой карты:
Они есть практически в любом компьютере;
Поддерживаются многими программами, в том числе MATLAB и Simulink.
Недостатки:
Для разных плат характеристики могут сильно отличаться;
Как измерительный прибор они не имеют класса точности;
Отсутствие внутренних схем защиты (гальванических или оптических развязок), что может привести к выходу из строя.
2. Аналоговые сигналы, снимаемые с выхода какого-нибудь из перечисленных выше генераторов, визуально контролируются на экране электронно-лучевого осциллографа. Такой контроль необходим чтобы пронаблюдать форму генерируемых сигналов и установить их параметры – амплитуду, длительность, период повторения и т. д.
3. Следующим элементом экспериментальной установки является фильтр нижних частот (ФНЧ). Это аналоговое устройство, которое обычно используется в таких схемах. Его назначение – ограничить спектр исследуемых сигналов сверху, чтобы удовлетворить условиям теоремы Котельникова. Максимальная частота квантования L-Card составляет 125 кГц, тогда, из теоремы Котельникова для восстановления сигнала без искажений спектр сигнала не должен превосходить f гр :
По указанию преподавателя, следует спаять простейший фильтр нижних частот. Его схема приведена на рис. 6.
https://pandia.ru/text/78/330/images/image126_0.gif" width="85" height="41"> (36)
4. Аналого-цифровой преобразователь (АЦП) – устройство для превращения аналоговых сигналов в цифровые реализации, доступные обработке на компьютере. В нашей лаборатории используются АЦП фирмы L-Card типа L-761 и L-783, размещенной непосредственно в системном блоке компьютера.
Задания
1. Аналитически рассчитать спектральные функции заданных преподавателем периодических сигналов простой формы (прямоугольный видеоимпульс, треугольный импульс, экспоненциальный импульс и др.). Построить графики амплитудного и фазового спектра этих сигналов.
2. Выполнить Фурье–анализ перечисленных сигналов в MATLAB, используя быстрое преобразование Фурье (FFT). Построить соответствующие графики амплитудных и фазовых спектров в области положительных и отрицательных частот (используя функции fft, fftshift, stem, предварительно посмотрев их в документации). Амплитуды гармоник и их частоты на графиках должны соответствовать их значениям в заданном сигнале. Особое внимание обратить на влияние соотношения длительности импульсов и времени записи сигнала на спектр сигнала, объяснить результат. Для каждого типа сигнала в одних и тех же координатах построить графики амплитудных спектров, найденных аналитически (задание 1) и численно рассчитанных.
3. С помощью команды FFT найти и сравнить спектры отрезков синусоиды, состоящих из целого и не целого числа периодов.
4. Провести спектральный анализ отрезка синусоиды, состоящего из нескольких периодов. Проследить, как меняется спектр в зависимости от числа периодов.
5. С помощью цифрового осциллографа L-Graph пронаблюдать искажение сигнала в результате нарушения теоремы Котельникова. Для этого подключить аналоговый генератор гармонического сигнала к L-Card, задать частоту квантования, например, 20кГц, и, плавно меняя частоту генератора в диапазоне от 1кГц до 20кГц, наблюдать за частотой оцифрованного сигнала, объяснить наблюдаемые эффекты.
6. Установить частоту квантования 100кГц, частоту генератора гармонического сигнала 10кГц, амплитуду 1В. Записать отрезок гармонического сигнала длительностью 0,01с и построить в MATLAB его амплитудный спектр. При этом частоты и амплитуды на графике должны соответствовать тем, которые есть на самом деле.
7. Используя результаты, полученные в первом задании, аппроксимировать прямоугольный импульс конечным числом слагаемых тригонометрического ряда. Сравнить на одном графике исходный импульс и аппроксимированный двумя первыми гармониками, десятью первыми гармониками.
Приложение 1. Отрезок синусоиды
Для выполнения одного из заданий потребуется написать программу для вычисления спектра синусоиды, ниже приведён пример такой программы. В начале программы определяются параметры, задающие длительность сигнала в периодах и количество периодов. Меняя эти параметры можно получить различные варианты отрезка синусоиды.
clear, clc, close all
f0 = 1000; % частота синуса
N1 = 20; % длительность всего трезка в периодах
N2 = 10; % количество отсчётов на период
N3 = 2; % количество периодов
N = N1*N2; % количество отсчётов во всей записи
fs = f0*N2; % частота квантования
% создаём сигнал
t = (0:(N-1))/fs; % время
x(1:N2*N3) = sin(2*pi*(0:(N2*N3-1))/N2);
% вычисляем спетр
X = fftshift(abs(fft(x))/N);
f = (ceil(N/2)-N:ceil(N/2)-1)*fs/N;
subplot(2,1,1), plot(t, x,"k"), xlabel("t, с"), ylabel("x(t)")
subplot(2,1,2), stem(f, X,"k."), xlabel("f, Гц"), ylabel("|X|")
Литература
1. Будылин и интегралы Фурье. СПбГУ. 2002.
2. , Ромаданов преобразования в MATLAB. СПб. 2007
3. Смирнов высшей математики (том
Форма амплитудно-частотной характеристики есть не что иное как спектральное изображение затухающего синусоидального сигнала. Кроме того, как известно, подобную форму имеет амплитудно-частотная проходная характеристика одиночного электрического колебательного контура.
Зависимость между формой амплитудно-частотной характеристики тех или иных устройств и свойствами сигнала изучают в основах теоретической электротехники и теоретической радиотехники. Вкратце, то, что нас сейчас должно интересовать из этого, заключается в следующем.
Амплитудно-частотная характеристика колебательного контура по очертаниям совпадает с изображением частотного спектра сигнала, который возникает при ударном возбуждении этого колебательного контура. Для иллюстрации этого момента приведен рис.1-3, на котором изображена затухающая синусоида, которая возникает при ударном воздействии на колебательный контур. Этот сигнал приведен во временно м (а ) и спектральном (b ) изображении.
Рис. 1-3
Согласно разделу математики, называемому спектрально-времен-ными преобразованиями, спектральное и временное изображение одного и того же изменяющегося во времени процесса являются как бы синонимами, они эквивалентны и идентичны друг другу. Это можно сравнить с переводом одного и того же понятия с одного языка на другой. Любой человек, знакомый с этим разделом математики, скажет, что рисунки 1-3а и 1-3b эквивалентны друг другу. Кроме того, спектральное изображение этого сигнала, полученного при ударном возбуждении колебательной системы (колебательного контура) одновременно является геометрически подобным амплитудно-частотной характеристике этого самого контура.
Нетрудно заметить, что график (b ) на рис.1-3 геометрически подобен графику 3 на рис.1-1. То есть, увидев, что в результате измерений был получен график 3 , я сразу отнесся к нему не просто как к амплитудно-частотной характеристике затухания звука в породах кровли, но и как к свидетельству наличия в породной толще колебательной системы.
С одной стороны, наличие колебательных систем в горных породах, залегающих в кровле подземной выработки у меня не вызвало никаких вопросов, потому что другими способами получить синусоидальный (или, иначе говоря, гармонический) сигнал невозможно. С другой стороны, о наличии колебательных систем в земной толще я никогда раньше не слышал.
Для начала, напомним определение колебательной системы. Колебательная система - это объект, который на ударное (импульсное) воздействие реагирует затухающим гармоническим сигналом. Или, иначе говоря, это объект, обладающий механизмом преобразования импульса (удара) в синусоиду.
Параметры затухающего синусоидального сигнала - это частота f 0 и добротность Q , величина которой обратно пропорциональна коэффициенту затухания. Как видно из рис.1-3, оба эти параметра могут быть определены как из временного, так и из спектрального изображения этого сигнала.
Спектрально-временные преобразования - самостоятельный раздел математики, и один из выводов, который мы должны сделать из знания этого раздела, а также из формы амплитудно-частотной характеристики звукопроводности породного массива, изображенной на рис.1-1 (кривая 3), состоит в том, что по акустическим свойствам исследуемый породный массив проявил свойство колебательной системы.
Этот вывод является совершенно очевидным для любого, кто знаком со спектрально-временными преобразованиями, но категорически неприемлем для тех, кто профессионально занимается акустикой твердых сред, сейсморазведкой или вообще геофизикой. Так сложилось, что в курсе обучения студентов этих специальностей этот материал не дают.
Как известно, в сейсморазведке принято считать, что единственным механизмом, обуславливающим форму сейсмосигнала, является распространение поля упругих колебаний по законам геометрической оптики, отражение его от залегающих в земной толще границ и интерференция между отдельными составляющими сигнала. Считается, что форма сейсмосигналов обусловлена характером интерференции между множеством мелких эхо-сигналов, то есть отражений от множества мелких, залегающих в горном массиве границ. Кроме того, считается, что с помощью интерференции можно получить сигнал любой формы.
Да, это всё так, но в том-то и дело, что гармонический (в том числе, и гармонический затухающий) сигнал является исключением. Его интерференцией получить невозможно.
Синусоида - это элементарный информационный кирпичик, не подлежащий разложению на более простые составляющие, потому что проще, чем синусоида, сигнала в природе не существует. Именно поэтому, кстати, ряд Фурье - это совокупность именно синусоидальных членов. Будучи элементарным, неделимым информационным элементом, синусоида не может быть получена путем сложения (интерференции) каких бы то ни было других, еще более простых составляющих.
Получить гармонический сигнал можно одним-единственным путем - а именно, воздействием на колебательную систему. При ударном (импульсном) воздействии на колебательную систему возникает затухающая синусоида, а при периодическом или шумовом воздействии - незатухающая синусоида. А следовательно, увидев, что амплитудно-частотная характеристика некоего объекта геометрически подобна спектральному изображению гармонического затухающего сигнала, уже нельзя относиться к этому объекту иначе, как к колебательной системе.
Перед тем как проводить первые свои измерения в шахте, я, как и все остальные люди, функционирующие в области акустики твердых сред и сейсморазведки, был убежден, что никаких колебательных систем в породном массиве нет и быть не может. Однако обнаружив такую амплитудно-частотную характеристику затухания, я уже просто не имел права оставаться при этом мнении.
Проведение измерений, аналогичных описанным выше, весьма трудоемко, и обработка результатов этих измерений занимает много времени. Поэтому, увидев, что по характеру звукопроводности породный массив является колебательной системой, я понял, что следует использовать другую схему измерений, которую применяют при исследовании колебательных систем, и которую мы используем и по сей день. По этой схеме, источником зондирующего сигнала служит импульсное (ударное) воздействие на горный массив, а приемником - сейсмоприемник, специально предназначенный для проведения спектрально-сейсморазведочных измерений. Схема индикации и обработки сейсмосигнала позволяет наблюдать его как во временном, так и в спектральном виде.
Применив эту схему измерений в той же точке подземной выработки, что и при первом нашем измерении, мы убедились в том, что при ударном воздействии на породный массив кровли, сигнал, возникающий при этом, действительно имеет вид затухающей синусоиды, подобный показанному на рис.1-3a , а спектральное изображение ее подобно графику, показанному на рис.1-3b .
Чаще всего бывает, что сейсмосигнал содержит не одну, а несколько гармонических составляющих. Однако сколько бы ни было гармонических составляющих, они все возникают исключительно вследствие наличия соответствующего количества колебательных систем.
Многократные исследования сейсмосигналов, полученных в самых различных условиях - и в подземных выработках, и на земной поверхности, и в условиях осадочного чехла, и при исследовании пород кристаллического фундамента - показали, что во всех возможных случаях сигналов, полученных не в результате наличия колебательных систем, а в результате интерференционных процессов, не существует.
Фурье-изображения - комплексные коэффициенты ряда Фурье F (j w k ) периодического сигнала (1) и спектральная плотность F (j w) непериодического сигнала (2) - обладают рядом общих свойств.
1. Линейность . Интегралы (1) и (2) осуществляют линейное преобразование функции f (t ). Поэтому Фурье-изображение линейной комбинации функций равно аналогичной линейной комбинации их изображений. Если f (t ) = a 1 f 1 (t ) + a 2 f 2 (t ), то F (j w) = a 1 F 1 (j w) + a 2 F 2 (j w), где F 1 (j w) и F 2 (j w) - Фурье-изображения сигналов f 1 (t ) и f 2 (t ), соответственно.
2. Задержка (изменение начала отсчета времени для периодических функций). Рассмотрим сигнал f 2 (t ), задержанный на время t 0 относительно сигнала f 1 (t ), имеющего такую же форму: f 2 (t ) = f 1 (t – t 0). Если сигнал f 1 имеет изображение F 1 (j w), то Фурье-изображение сигнала f 2 равно F 2 (j w) = = . Домножив и разделив на , сгруппируем члены следующим образом:
Поскольку последний интеграл равен F 1 (j w), то F 2 (j w) = e -j wt 0 F 1 (j w). Таким образом, при задержке сигнала на время t 0 (изменении начала отсчета времени) модуль его спектральной плотности не изменяется, а аргумент уменьшается на величину wt 0 , пропорциональную времени задержки. Поэтому амплитуды спектра сигнала не зависят от начала отсчета, а начальные фазы при задержке на t 0 уменьшаются на wt 0 .
3. Симметрия . Для действительного f (t ) изображение F (j w) обладает сопряженной симметрией: F (– j w) = . Если f (t ) - четная функция, то Im F (j w) = 0; для нечетной функции Re F (j w) = 0. Модуль |F (j w)| и вещественная часть Re F (j w) - четные функции частоты, аргумент arg F (j w) и Im F (j w) - нечетные.
4. Дифференцирование . Из формулы прямого преобразования, интегрируя по частям, получим связь изображения производной сигнала f (t ) с изображением самого сигнала
Для абсолютно интегрируемой функции f (t ) внеинтегральный член равен нулю, и, следовательно, при , а последний интеграл представляет Фурье-изображение исходного сигнала F (j w). Поэтому Фурье-изображение производной df /dt связано с изображением самого сигнала соотношением j wF (j w) - при дифференцировании сигнала его Фурье-изображение умножается на j w. Это же соотношение справедливо и для коэффициентов F (j w k ), которые определяются интегрированием в конечных пределах от – T /2 до + T /2. Действительно, произведение в соответствующих пределах
Поскольку вследствие периодичности функции f (T /2) = f (– T /2), а = = = (– 1) k , то и в этом случае внеинтегральный член пропадает, и справедлива формула
где стрелкой символически обозначена операция прямого преобразования Фурье. Это соотношение обобщается и на многократное дифференцирование: для n -й производной имеем: d n f /dt n (j w) n F (j w).
Полученные формулы позволяют найти Фурье-изображение производных функции по ее известному спектру. Эти формулы удобно также применять в случаях, когда в результате дифференцирования приходим к функции, Фурье-изображение которой вычисляется более просто. Так, если f (t ) - кусочно-линейная функция, то ее производная df /dt - кусочно-постоянная, и для нее интеграл прямого преобразования находится элементарно. Для получения спектральных характеристик интеграла функции f (t ) ее изображение следует разделить на j w.
5. Дуальность времени и частоты . Сопоставление интегралов прямого и обратного преобразований Фурье приводит к выводу о их своеобразной симметрии, которая становится более очевидной, если формулу обратного преобразования переписать, перенося множитель 2p в левую часть равенства:
Для сигнала f (t ), являющегося четной функцией времени f (– t ) = f (t ), когда спектральная плотность F (j w) - вещественная величина F (j w) = F (w), оба интеграла можно переписать в тригонометрической форме косинус-преобразования Фурье:
При взаимной замене t и w интегралы прямого и обратного преобразований переходят друг в друга. Отсюда следует, что если F (w) представляет спектральную плотность четной функции времени f (t ), то функция 2pf (w) является спектральной плотностью сигнала F (t ). Для нечетных функций f (t ) [f (t ) = – f (t )] спектральная плотность F (j w) чисто мнимая [F (j w) = jF (w)]. Интегралы Фурье в этом случае приводятся к виду синус-преобразований, из которых следует, что если спектральная плотность jF (w) соответствует нечетной функции f (t ), то величина j 2pf (w) представляет спектральную плотность сигнала F (t ). Таким образом, графики временной зависимости сигналов указанных классов и его спектральной плотности дуальны друг другу.
Интеграл (1)
Интеграл (2)
В радиотехнике широко используется спектральное и временное представление сигналов. Хотя сигналы по своей природе являются случайными процессами, однако, отдельные реализации случайного процесса и некоторые специальные (например, измерительные) сигналы можно считать детерминированными (то есть известными) функциями. Последние принято делить на периодические и непериодические, хотя строго периодических сигналов не существует. Сигнал называется периодическим, если он удовлетворяет условию
на интервале времени ,где Т - постоянная величина, называемая периодом, а k-любое целое число.
Простейшим примером периодического сигнала является гармоническое колебание (или коротко гармоника).
где - амплитуда, = - частота, - круговая частота, - начальная фаза гармоники.
Важное значение понятия гармоники для теории и практики радиотехники объясняется рядом причин:
- гармонические сигналы сохраняют свою форму и частоту при прохождении через стационарные линейные электрические цепи (например, фильтры), меняя лишь амплитуду и фазу;
- гармонические сигналы достаточно просто вырабатываются (например, при помощи автогенераторов LC).
Непериодическим сигналом называется сигнал, который отличен от нуля на конечном интервале времени. Непериодический сигнал можно рассматривать как периодический, но с бесконечно большим периодом. Одной из основных характеристик непериодического сигнала является его спектр. Спектром сигнала называют функцию, показывающую зависимость интенсивности различных гармоник в составе сигнала, от частоты этих гармоник. Спектр периодического сигнала - это зависимость коэффициентов ряда Фурье от частоты гармоник, которым эти коэффициенты соответствуют. Для непериодического сигнала спектр - это прямое преобразование Фурье сигнала. Итак, спектр периодического сигнала - это дискретный спектр (дискретная функция частоты), в то время как для непериодического сигнала характерен сплошной спектр (непрерывный) спектр.
Обратим внимание на то, что дискретный и непрерывный спектры имеют разные размерности. Дискретный спектр имеет ту же размерность, что и сигнал, в то время как размерность непрерывного спектра равна отношению размерности сигнала к размерности частоты. Если, например, сигнал представлен электрическим напряжением, то дискретный спектр будет измеряться в вольтах [B], а непрерывный - в вольт на герц [ B/Гц]. Поэтому для непрерывного спектра употребляют также термин "спектральная плотность".
Рассмотрим сначала спектральное представление периодических сигналов. Из курса математики известно, что любую периодическую функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле (одним из необходимых является условие, чтобы энергия была конечной), можно представить рядом Фурье в тригонометрической форме:
где определяет среднее значение сигнала за период и называется постоянной составляющей. Частота называется основной частотой сигнала (частота первой гармоники), а кратные ей частоты - высшими гармониками. Выражение (3) можно представить в виде:
Обратные зависимости для коэффициентов а и b имеют вид
На рисунке 1 приведен типичный вид графика спектра амплитуд периодического сигнала для тригонометрической формы ряда (6):
С использованием выражения (формула Эйлера).
вместо (6) можно записать комплексную форму ряда Фурье:
где коэффициент называются комплексными амплитудами гармоник, значения которых, как следует из (4) и формулы Эйлера, определяется выражением:
Сравнивая (6) и (9), замечаем, что при использовании комплексной формы записи ряда Фурье отрицательные значения k позволяют говорить о составляющих с "отрицательными частотами". Однако, появление отрицательных частот имеет формальный характер и связано с использованием комплексной формы записи для представления действительного сигнала.
Тогда вместо (9) получим:
имеет размерность [амплитуда/герц] и показывает амплитуду сигнала, приходящуюся на полосу в 1 Герц. Поэтому эта непрерывная функция частоты S(jw) называется спектральной плотностью комплексных амплитуд или просто спектральной плотностью. Отметим одно важное обстоятельство. Сравнивая выражения (10) и (11) замечаем, что при w=kwo они отличаются лишь постоянным множителем, а
т.е. комплексные амплитуды периодической функции с периодом Т можно определить по спектральной характеристике непериодической функции такой же формы, заданной в интервале . Сказанное справедливо и по отношению к модулю спектральной плотности:
Из этого соотношения следует, что огибающая сплошного амплитудного спектра непериодического сигнала и огибающая амплитуд линейчатого спектра периодического сигнала совпадают по форме и отличаются лишь масштабом. Вычислим теперь энергию непериодического сигнала. Умножая обе части неравенства (14) на s(t) и интегрируя в бесконечных пределах, получим:
где S(jw) и S(-jw) - комплексно-сопряженные величины. Так как
Это выражение называется равенством Парсеваля для непериодического сигнала. Оно определяет полную энергию сигнала. Отсюда следует, что есть не что иное, как энергия сигнала, приходящаяся на 1 Гц полосы частот около частоты w. Поэтому функцию иногда называют спектральной плотностью энергии сигнала s(t). Приведем теперь без доказательства несколько теорем о спектрах, выражающих основные свойства преобразования Фурье.
Загрузка...