تتميز الأكواد الدورية بحقيقة أنه أثناء التقليب الدوري لجميع رموز مجموعة الكود الخاصة بكود معين ، يتم تكوين مجموعة كود أخرى من نفس الكود.

تركيبة الكود الدوري ؛

أيضا مجموعة رمز دوري.

عند التفكير في الرموز الدورية ، يتم تمثيل الأرقام الثنائية على أنها كثيرة الحدود ، ودرجتها ( ف - 1), ص- طول مجموعة التعليمات البرمجية.

على سبيل المثال ، المجموعة 1001111 ( ن = 7) سيتم تمثيله بواسطة كثير الحدود

باستخدام هذا التمثيل ، يتم تقليل العمليات على مجموعات التعليمات البرمجية إلى عمليات متعددة الحدود. يتم تنفيذ هذه العمليات وفقًا للجبر العادي ، باستثناء أن تقليل المصطلحات المماثلة يتم تنفيذه بالطريقة 2.

يتم ضمان الكشف عن الأخطاء باستخدام رمز دوري عن طريق اختيار المجموعات التي يتم تقسيمها بدون باقي بواسطة بعض متعدد الحدود المحدد مسبقًا كمجموعات مسموح بها جي(x). إذا كانت المجموعة المستلمة تحتوي على أحرف مشوهة ، فقم بالقسمة على كثير الحدود جي(x) مع الباقي. هذا يولد إشارة تشير إلى خطأ. متعدد الحدود G(x)يسمى التوليد.

يمكن تكوين مجموعات من الكود الدوري بضرب المجموعة الأصلية أ(X) لتوليد كثير الحدود جي(x) مع تقليل المصطلحات المماثلة ، المعيار 2:

• إذا كانت أعلى قوة للمنتج لا تتجاوز ( ف - 1) ، فإن كثير الحدود الناتج سيمثل تركيبة الشفرة للشفرة الدورية ؛
• إذا كانت أعلى قوة للمنتج أكبر من أو تساوي ص، فإن كثير الحدود للمنتج قابل للقسمة على درجة متعددة الحدود المختارة مسبقًا صونتيجة الضرب هي باقي القسمة.

وبالتالي ، فإن جميع كثيرات الحدود التي تمثل مجموعات من الكود الدوري سيكون لها درجة أدناه ص.

في كثير من الأحيان ، باعتبارها كثيرة الحدود التي يتم بها التقسيم ، يتم أخذ كثير الحدود جي(x)= +1. مع مثل هذا التشكيل لمجموعات الكود ، لا يمكن تحديد مواقع المعلومات ورموز التحكم مسبقًا.

من المزايا الكبيرة للرموز الدورية سهولة إنشاء أجهزة التشفير وفك التشفير ، والتي تمثل في بنيتها سجلات التحول مع التغذية الراجعة.

يتم اختيار عدد بتات السجل مساوية لدرجة تولد كثير الحدود.

تعليقمن إخراج السجل إلى بعض الأرقام من خلال أدوات الجمع ، والتي يتم اختيار عدد منها بواسطة واحد أقل من عدد الأعضاء غير الصفريين في كثير الحدود المولِّد. يتم تثبيت الإضافات عند مدخلات تلك البتات من السجل ، والتي تتوافق مع الأعضاء غير الصفريين في كثير الحدود المولِّد.

يبين الشكل 17 مخطط سجل التشفير لتحويل توليفة من أربع بتات إلى توليفة من سبع بتات.

الشكل 17 - مخطط سجل الترميز

في الجدول. يوضح الشكل 4 كيف يتم الحصول على تركيبة الكود الدوري 1010011 عن طريق تغيير المجموعة الأصلية 0101. ن = 7، ك= 4. مجموعة 0101 ، مفتاح في الموضع 1. خلال الدورات الأربع الأولى ، سيتم ملء السجل ، ثم يتم نقل المفتاح إلى الموضع 2. يتم إغلاق الملاحظات. تحت تأثير سبع دورات تحول ، يتم تشكيل كود دوري مكون من سبع بتات.

الجدول 4

خصائص الكود الدوري:

1) يكتشف الكود الدوري جميع الأخطاء الفردية إذا كان كثير الحدود المتولد يحتوي على أكثر من عضو واحد. لو جي(x)= س + 1 ، ثم يكتشف الرمز أخطاء فردية وجميع الأخطاء الفردية ؛

2) رمز دوري مع جي(x)= (x + 1)جي(x) يكتشف جميع الأخطاء الفردية والمزدوجة والثلاثية ؛

3) رمز دوري مع كثير حدود توليد جي(x) درجات ص = ن - كيكتشف جميع أخطاء المجموعة بمدة صالشخصيات.

أسئلة التحكم

تمت تسمية الرموز الدورية بهذا الاسم لأنه يمكن الحصول على بعض أو كل مجموعات الكود من خلال التحويل الدوري لمجموعة واحدة أو أكثر من الكود. يتم إجراء التحويل الدوري من اليمين إلى اليسار ، مع نقل الحرف الموجود في أقصى اليسار إلى نهاية المجموعة في كل مرة. تنتمي جميع الرموز الدورية ، عمليًا ، إلى أكواد نظامية ، حيث توجد وحدات التحكم والمعلومات في أماكن محددة بدقة. بالإضافة إلى ذلك ، تعد الرموز من بين رموز الحظر. يتم ترميز كل كتلة (حرف واحد هو حالة خاصة للكتلة) بشكل مستقل.

تعتمد فكرة إنشاء أكواد دورية على استخدام كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال في مجال الأعداد الثنائية. غير القابل للاختزالتسمى كثيرات الحدود التي لا يمكن تمثيلها كمنتج متعدد الحدود من الدرجات الدنيا مع معاملات من نفس الحقل ، تمامًا كما لا يمكن تمثيل الأعداد الأولية كمنتج لأرقام أخرى. بعبارة أخرى ، كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال قابلة للقسمة دون الباقي فقط من تلقاء نفسها أو بواحد.

تلعب كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال في نظرية الأكواد الدورية دورًا في توليد كثيرات الحدود. إذا تم ضرب تركيبة الكود المعطى بواسطة كثير الحدود غير القابل للاختزال المحدد ، فإننا نحصل على رمز دوري ، يتم تحديد قدرات تصحيحه بواسطة كثير الحدود غير القابل للاختزال.

لنفترض أنك تريد تشفير إحدى مجموعات رمز ثنائي مكون من أربعة أرقام. دعونا نفترض أيضا أن هذا المزيج G (x) = x 3 + x 2 + 1 ® 1011. بدون تبرير لخيارنا ، نأخذ من جدول كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال باعتبارها تولد كثيرات حدود الفوسفور (س) = س 3 + س + 1 ® 1011. ثم اضرب ز (س)في أحادية من نفس الدرجة مثل كثير الحدود المولد. من ضرب كثير الحدود بمحدود الدرجة نستزيد درجة كل حد من كثير الحدود بمقدار ن، وهو ما يعادل التنازل نالأصفار من الخانات ذات الترتيب المنخفض في كثير الحدود. نظرًا لأن درجة كثيرة الحدود المختارة غير القابلة للاختزال تساوي ثلاثة ، يتم ضرب مجموعة المعلومات الأصلية في أحادية من ثلاث درجات

G (x) x n =(× 3 + × 2 + 1) س 3 = س 6 + س 5 + س 3 = 1101000.

يتم ذلك بحيث يمكن كتابة بتات تصحيحية في مكان هذه الأصفار لاحقًا.

تم العثور على قيمة الأرقام التصحيحية من نتائج القسمة G (x) x nعلى ف (س):

x 6 + x 5 + 0 + x 3 + 0 + 0 + 0 ½x 3 + x + 1

x6 + 0 + x4 + x3

x 5 + x 4 + 0 + 0 x 3 + x 2 + x + 1 + x 5 + 0 + x 3 + x 2

x4 + x3 + x2 +0

س 4 + 0 + س 2 + س

س 3 + 0 + س + 0

س 3 + 0 + س + 1

هكذا،

أو في نظرة عامة

أين س (س)¾ الحاصل و ص (x)¾ باقي القسمة G (x) × xnعلى ص (x).

منذ ذلك الحين في ثنائي الحساب 1 Å 1 \ u003d 0 ، مما يعني -1 \ u003d 1 ، ثم عند إضافة أرقام ثنائية ، من الممكن نقل المصطلحات من جزء إلى آخر دون تغيير العلامة (إذا كان ذلك مناسبًا) ، وبالتالي ، المساواة في النموذج أ Å ب =يمكن أيضًا كتابة 0 كـ أ = بو كيف أ - ب = 0. جميع المساواة الثلاثة في هذه الحالة تعني ذلك أيضًا أو بهي 0 أو أو بتساوي 1 ، أي لها نفس التكافؤ.

وبالتالي ، يمكن كتابة التعبير (5.1) كـ

F (x) = Q (x) P (x) = G (x) x n + R (x) ،

الذي في حالة مثالنا سوف نعطي

و (س) =(س 3 + س 2 + س + 1) (x 3 + x + 1)= (× 3 + × 2 + 1)× 3 + 1,

و (س) = 1111 1011 = 1101000 + 001 = 1101001.

تعد كثيرة الحدود 1101001 المجموعة المرغوبة ، حيث 1101 هي جزء المعلومات و 001 هي أحرف التحكم. لاحظ أننا كنا سنحصل على التركيبة المرغوبة على حد سواء نتيجة لضرب إحدى مجموعات الكود الثنائي المكون من أربعة أرقام كاملة (في هذه الحالة 1111) بواسطة متعدد الحدود لتوليد ، وعن طريق ضرب مجموعة معينة في أحادية لها نفس الدرجة كما تم الحصول على كثير حدود التوليد المختار (في حالتنا ، المجموعة 1101000) بهذه الطريقة ، متبوعًا بإضافة ما تبقى من قسمة هذا المنتج إلى المنتج الناتج عن طريق توليد كثير الحدود (في مثالنا ، يحتوي الباقي على شكل 001).

وهنا تلعب خصائص التوليد دورًا حاسمًا ف (س). تتمثل طريقة إنشاء رمز دوري في أن يشارك كثير الحدود في تكوين كل مجموعة رموز ، لذلك يتم تقسيم أي متعدد الحدود للشفرة الدورية بواسطة المولد بدون باقي. ولكن فقط تلك كثيرات الحدود التي تنتمي إلى كود معين يتم تقسيمها بدون باقي ، أي أن متعدد الحدود يسمح لك باختيار التوليفات المسموح بها من كل التوليفات الممكنة. إذا تم الحصول على الباقي عند قسمة الكود الدوري على كثير الحدود المولِّد ، فإما أن حدث خطأ في الكود ، أو أن هذا مزيج من بعض الكودات الأخرى (تركيبة غير قانونية). بالباقي وتم الكشف عن وجود مجموعة محظورة ، أي تم الكشف عن خطأ. الباقي من تقسيم كثيرات الحدود هو معرفات الأخطاء في الأكواد الدورية.

من ناحية أخرى ، تُستخدم الباقي من قسمة أحد الأصفار على كثير حدود لتكوين أكواد دورية.

عند قسمة وحدة بأصفار على كثير حدود لتوليد ، يجب أن نتذكر أن طول الباقي يجب ألا يقل عن عدد بتات التحكم ، لذلك ، في حالة وجود نقص في وحدات البت في الباقي ، يجب أن يكون العدد المطلوب من الأصفار تُنسب إلى الباقي على اليمين.

01100 11111+

ابتداء من الثامن ، سوف تتكرر الباقي.

تُستخدم البقايا من التقسيم لإنشاء مصفوفات توليد ، والتي ، نظرًا لرؤيتها وملاءمتها في الحصول على مجموعات مشتقة ، تُستخدم على نطاق واسع لإنشاء أكواد دورية. يتم تقليل إنشاء مصفوفة توليد إلى تجميع مصفوفة منقولة واحدة ومصفوفة إضافية ، عناصرها هي بقايا قسمة وحدة بأصفار عن طريق توليد متعدد الحدود ف (س). تذكر أن مصفوفة منقول الهوية هي مصفوفة مربعة، جميع عناصرها عبارة عن أصفار ، باستثناء العناصر الموجودة قطريًا من اليمين إلى اليسار من أعلى إلى أسفل (في المصفوفة غير المنقولة ، يقع القطر مع عناصر الوحدة من اليسار إلى اليمين من أعلى إلى أسفل). يتم تعيين عناصر المصفوفة الإضافية إلى يمين مصفوفة منقولة الهوية. فقط تلك البقايا ، وزنها W³d0- 1 أين د 0- الحد الأدنى لمسافة الرمز. يجب أن يكون طول البقايا على الأقل عدد بتات التحكم ، ويجب أن يكون عدد البقايا مساوياً لعدد بتات المعلومات.

صفوف المصفوفة المولدة هي المجموعات الأولى مصدر الرمز. يتم الحصول على مجموعات الكود المتبقية نتيجة لتجميع النموذج 2 لجميع المجموعات الممكنة من صفوف مصفوفة التوليد.

مثال.

أنشئ مصفوفة توليد كاملة لرمز دوري يكتشف جميع الأخطاء الفردية والمزدوجة عند إرسال مجموعات ثنائية 10 بت.

حل.

وفقًا للجدول 5.12 ، اختر أقرب قيمة ك ³ 10.

الجدول 5.12 - العلاقات بين المعلومات ورموز الفحص لكود يصل طوله إلى 16 بتة

ن	ك	ρ	ن	ك	ρ

وفقًا للجدول ، ستكون هذه القيمة ك = 11 ، بينما ص = 4, أ

ن = 15. نختار أيضًا توليد كثير الحدود × 4 + × 3 +1.

نقوم ببناء مصفوفة المولد الكاملة من المصفوفة المنقولة للوحدة في شكل أساسي ومصفوفة إضافية تتوافق مع أرقام الفحص.

مصفوفة منقول ل ك = 11 يشبه:

يمكن إنشاء مصفوفة إضافية من خلال ما تبقى من قسمة المجموعة في شكل وحدة ذات أصفار (الصف الأخير من مصفوفة منقولة الهوية) بواسطة كثير حدود التوليد المحدد.

ستبدو مصفوفة التوليد الكاملة كما يلي:

طريقة إنشاء المصفوفات الموصوفة أعلاه ليست الوحيدة. يمكن إنشاء مصفوفة التوليد كنتيجة للضرب المباشر لعناصر مصفوفة الهوية عن طريق توليد كثير الحدود. غالبًا ما يكون هذا أكثر ملاءمة من إيجاد باقي القسمة. لا تختلف الرموز الناتجة بأي شكل من الأشكال عن الأكواد التي تم إنشاؤها من إنشاء المصفوفات ، حيث تتكون المصفوفة الإضافية من بقايا قسمة واحد بأصفار من خلال إنشاء كثير الحدود.

يمكن أيضًا إنشاء مصفوفة التوليد عن طريق التحويل الدوري للمجموعة التي تم الحصول عليها بضرب صف مصفوفة الهوية الخاصة بالرتبة كلتوليد كثير الحدود.

يتم الكشف عن الأخطاء في الأكواد الدورية باستخدام الباقي من قسمة التركيبة الناتجة عن طريق توليد كثير الحدود. ما تبقى من القسمة هي معرفات خطأ ، لكنها لا تشير مباشرة إلى موقع الخطأ في الكود الدوري.

تستند فكرة تصحيح الخطأ إلى حقيقة أن التركيبة الخاطئة ، بعد عدد معين من التحولات الدورية ، "يتم تعديلها" إلى الباقي بطريقة تعطي ، مع الباقي ، تركيبة رمز مصححة. الباقي في هذه الحالة ليس سوى الفرق بين المشوه و الرموز الصحيحة، فإن الوحدات الموجودة في الباقي موجودة بالضبط في أماكن البتات المشوهة في المجموعة التي تم ضبطها بواسطة التحولات الدورية. يتم ضبط التركيبة المشوهة حتى يتساوى عدد الوحدات في الباقي مع عدد الأخطاء في الكود. في هذه الحالة ، بطبيعة الحال ، يمكن أن يكون عدد الوحدات مساويًا لعدد الأخطاء س،مصححًا بواسطة هذا الرمز (يصحح الرمز 3 أخطاء و 3 أخطاء في تركيبة مشوهة) ، أو أقل س(الكود يصحح 3 أخطاء ، وفي التركيبة المستلمة 1 خطأ).

لا يهم مكان الخطأ في مجموعة التعليمات البرمجية. لو k³ (ن / 2)، ثم بعد عدد معين من التحولات ، ستكون جميع الأخطاء في منطقة الإجراء "الفردي" لكثير الحدود المولِّد ، أي يكفي الحصول على واحد متبقي ، وزنه W £ s، وسيكون هذا كافياً بالفعل لتصحيح التركيبة المشوهة.

تتم مناقشة عملية تصحيح الخطأ بالتفصيل أدناه باستخدام أمثلة لإنشاء رموز محددة.

كود دوري

تعتبر الرموز الدورية من بين الرموز النظامية للكتلة التي يتم فيها ترميز كل مجموعة بشكل مستقل (في شكل كتلة) بطريقة يتم فيها العثور دائمًا على المعلومات k وأحرف التحكم t.

ارتداء الملابس في أماكن معينة. إن إمكانية اكتشاف أي أخطاء وتصحيحها عمليًا بتكرار ضئيل نسبيًا مقارنةً بالرموز الأخرى ، فضلاً عن بساطة تنفيذ الدائرة لمعدات التشفير وفك التشفير ، جعلت هذه الرموز منتشرة على نطاق واسع. تستند نظرية الأكواد الدورية على نظرية المجموعة والجبر متعدد الحدود على مجال جالوا.

الكود الدوري هو رمز يتم فيه ترتيب توزيع مجموعات الكود بطريقة تجعل مسافة شفرة هامنج ثابتة في كل مرة عند المرور من أي مجموعة إلى أخرى مجاورة.

الأكواد الدورية هي مجموعة كاملة من أكواد تصحيح الأخطاء ، بما في ذلك أكواد هامنج كأحد الأصناف ، ولكن بشكل عام توفر قدرًا أكبر من المرونة من حيث إمكانية تنفيذ الأكواد مع القدرة اللازمة على اكتشاف وتصحيح الأخطاء التي تحدث عند إرسال مجموعات الكود. عبر قناة اتصال. يشير الكود الدوري إلى أكواد الكتل النظامية (n ، k) ، حيث تكون بتات k الأولى مزيجًا من الكود الأساسي ، والبتات اللاحقة (n × k) هي بتات فحص.

يعتمد بناء الأكواد الدورية على عملية تقسيم كلمة المرور المرسلة عن طريق توليد كثير الحدود غير القابل للاختزال من الدرجة r. يتم استخدام ما تبقى من القسمة في تشكيل بتات الاختيار. في هذه الحالة ، تسبق عملية القسمة عملية ضرب تُزيح مجموعة كود معلومات k-bit إلى اليسار بمقدار r بتات.

يُطلق على كثير الحدود (متعدد الحدود) ، الذي يمكن تمثيله كمنتج متعدد الحدود من الدرجات الدنيا ، إمكانية الاختزال (في حقل معين) ، وإلا فإنه غير قابل للاختزال. تلعب كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال دورًا مشابهًا للأعداد الأولية في نظرية الأعداد. يمكن كتابة كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال P (X) كأرقام عشرية أو ثنائية ، أو كثرة حدود جبرية.

عملية الترميز الدوري

يعتمد الترميز الدوري على استخدام متعدد الحدود غير قابل للاختزال P (X) ، والذي ، فيما يتعلق بالرموز الدورية ، يسمى توليد أو توليد أو توليد كثير الحدود (متعدد الحدود).

كرموز معلومات k لإنشاء أكواد دورية ، يتم أخذ مجموعات من الكود الثنائي لجميع التركيبات. في الحالة العامة ، إذا تم ضرب تركيبة كود معينة Q (x) بواسطة توليد متعدد الحدود P (x) ، نحصل على كود دوري له خصائص تصحيحية معينة اعتمادًا على اختيار P (x). ومع ذلك ، في هذا الرمز ، سيتم وضع رموز التحكم m في مجموعة متنوعة من الأماكن في كلمة الشفرة. مثل هذا الرمز ليس منهجيًا ، مما يجعل من الصعب تنفيذه في الدوائر. يمكن تبسيط الموقف إلى حد كبير إذا تم تعيين أحرف التحكم في النهاية ، أي بعد أحرف المعلومات. لهذا الغرض ، يُنصح باستخدام الطريقة التالية:

اضرب كلمة المرور G (x) ليتم تشفيرها بواسطة أحادي X m له نفس الدرجة مثل متعدد الحدود P (x) ؛

نقسم المنتج G (x) X m على كثير الحدود المتولد P (x m):

حيث Q (x) هو حاصل القسمة ؛ R (x) - الباقي.

بضرب التعبير (2.1) بواسطة Р (х) ونقل R (x) إلى الجزء الآخر من المساواة دون عكس الإشارة ، نحصل على:

وبالتالي ، وفقًا للمساواة (2.2) ، يمكن تشكيل الكود الدوري ، أي الرسالة المشفرة F (x) ، بطريقتين:

مضاعفة تركيبة رمز واحد من رمز ثنائي لجميع التوليفات عن طريق توليد متعدد الحدود P (x) ؛

بضرب كلمة السر المعطاة G (x) في كثير الحدود X m له نفس الدرجة مثل متعدد الحدود P (x) ، مع إضافة الباقي R (x) الذي تم الحصول عليه بعد قسمة المنتج G (x) X m على تولد كثير الحدود P (X).

ترميز الرسالة

مطلوب لتشفير كلمة السر 1100 ، والتي تتوافق مع G (x) = x 3 + x 2 مع P (x) = x 3 + x + 1.

نضرب G (x) في X m ، التي لها درجة ثالثة ، نحصل على:

قسمة الناتج G (x) X m عن طريق توليد كثير الحدود P (x m) ، وفقًا لـ (2.1) نحصل على:

أو ما يعادله ثنائي:

وبالتالي ، نتيجة لذلك ، نحصل على حاصل قسمة Q (x) من نفس درجة G (x):

ق (س) = س 3 + س 2 + س> 1110

و البقية:

نتيجة لذلك ، ستتخذ تركيبة الشفرة الثنائية المشفرة بواسطة الكود الدوري ، وفقًا لـ (2.2) ، الشكل:

و (س) = 1110 1011 = 1100010

نظرًا لأن كل مجموعة رمز مسموح بها من الكود الدوري تمثل جميع المبالغ الممكنة لتوليد متعدد الحدود G (x) ، يجب أن تكون قابلة للقسمة بدون الباقي بواسطة P (x). لذلك ، يتم تقليل التحقق من صحة توليفة الشفرة المستلمة لتعريف الباقي عند تقسيمه على مُنشئ متعدد الحدود.

يشير استلام الباقي إلى وجود خطأ. يلعب ما تبقى من الانقسام في الشفرات الدورية دور المتلازمة.

على سبيل المثال ، مجموعة الشفرة المرسلة F (x) = 1100010 ، التي تم إنشاؤها باستخدام متعدد الحدود لتوليد P (x) = 1011. تحت تأثير التداخل ، تم تحويل مجموعة الشفرات إلى مجموعة F "(x) = 1000010

نقسم المجموعة المستلمة على كثير حدود التوليد

يشير وجود الباقي R (x) = 001 إلى وجود خطأ. ومع ذلك ، فإنه لا يشير مباشرة إلى موقع الخطأ في المجموعة. لتحديد الخطأ ، هناك عدة طرق تعتمد على تحليل المتلازمة.

دعنا نحدد موقع الخطأ ، لهذا نقسم الوحدة بعدد عشوائي من الأصفار على P (x) = 1011.

حدث خطأ في العنصر رقم:

عدد المخلفات -2> 4-2 = 2

أي أن الخطأ موجود في العنصر الثاني.

جامعة ولاية بيلاروسيا لعلوم المعلومات والإلكترونيات اللاسلكية

قسم RES

ملخص عن الموضوع:

الرموز الدورية. رموز BCH "

مينسك ، 2009

الرموز الدورية

الكود الدوري هو كود بلوك خطي (n ، k) ، والذي يتميز بخاصية الدورية ، أي يعطي التحول إلى اليسار بخطوة واحدة من أي كلمة شفرة مسموح بها أيضًا كلمة رمز مسموح بها تنتمي إلى نفس الرمز والتي يتم تمثيل مجموعة كلمات الكود فيها بمجموعة من كثيرات الحدود من الدرجة (n-1) أو أقل ، يمكن القسمة على بعض كثير الحدود g (x) من الدرجة r = n-k ، وهو عامل ذو الحدين x n +1.

كثير الحدود g (x) يسمى توليد.

على النحو التالي من التعريف ، يتم تمثيل كلمات الكود في الكود الدوري على أنها متعددة الحدود

حيث n هو طول الرمز ؛ - معاملات من المجال GF (q).

إذا تم إنشاء الكود فوق الحقل GF (2) ، فإن المعاملات تأخذ القيم 0 أو 1 ويسمى الرمز ثنائي.
مثال.إذا كانت كلمة السر الخاصة بالشفرة الدورية

ثم كثير الحدود المقابل

على سبيل المثال ، إذا تم إنشاء الكود فوق الحقل GF (q) = GF (2 3) ، وهو امتداد لـ GF (2) modulo وهو متعدد الحدود غير قابل للاختزال f (z) = z 3 + z + 1 ، والعناصر من هذا المجال لديك النموذج المعروض في الجدول 1 ،

ثم المعاملات

خذ قيم عناصر هذا الحقل ، وبالتالي يتم عرضها على أنها ذات حدود متعددة الحدود بالشكل التالي
حيث m هي درجة كثير الحدود التي يتم من خلالها الحصول على امتداد المجال GF (2) ؛ أ - المعاملات التي تأخذ قيمة عناصر GF (2) ، أي 0 و 1. يسمى هذا الرمز q-th.

يُطلق على طول الكود الدوري اسم بدائي ويُطلق على الكود نفسه اسم بدائي إذا كان طوله n = q m -1 على GF (q).

إذا كان طول الكود أقل من طول الكود البدائي ، فإن الكود يسمى اختصارًا أو غير بدائي.

على النحو التالي من التعريف ، فإن الخاصية المشتركة لكلمات الشفرة في الكود الدوري هي قابليتها للقسمة دون الباقي بواسطة بعض متعدد الحدود g (x) ، يسمى المولد.

نتيجة قسمة ذي الحدين x n +1 على كثير الحدود g (x) هو اختبار متعدد الحدود h (x).

عند فك الرموز الدورية ، يتم استخدام الخطأ متعدد الحدود e (x) ومتلازمة كثير الحدود S (x).

يتم تحديد كثير حدود الخطأ من الدرجة التي لا تزيد عن (n-1) من التعبير

حيث تمثل كثيرات الحدود الكلمات الشفرية المستلمة (بالخطأ) والمرسلة ، على التوالي.

المعاملات غير الصفرية في e (x) تشغل مواضع تتوافق مع الأخطاء.

مثال.

يُعرَّف كثير الحدود المتلازم المستخدم في فك شفرة الكود الدوري على أنه باقي قسمة كلمة المرور المستلمة بواسطة متعدد الحدود للمولد ، أي

أو

لذلك ، فإن متلازمة كثيرة الحدود تعتمد بشكل مباشر على خطأ متعدد الحدود e (x). يستخدم هذا الحكم في بناء جدول المتلازمة المستخدم في عملية فك التشفير. يحتوي هذا الجدول على قائمة كثيرات حدود الخطأ وقائمة بالمتلازمات المقابلة المحددة من التعبير

(انظر الجدول 2).

في عملية فك التشفير ، يتم حساب المتلازمة من كلمة الكود المستلمة ، ثم تم العثور على متعدد الحدود المقابل e (x) في الجدول ، والذي يعطي تجميعه بكلمة الكود المستلمة الكلمة الشفرية المصححة ، أي

يمكن إضافة كثيرات الحدود المدرجة وضربها وتقسيمها باستخدام قواعد الجبر المعروفة ، ولكن مع النتيجة المخفضة 2 ، ثم تعديل x n +1 إذا كانت درجة النتيجة تتجاوز الدرجة (n-1).

لنفترض أن طول الكود هو n = 7 ، ثم نعطي النتيجة mod x 7 +1.

عند إنشاء الرموز الدورية وفك تشفيرها ، نتيجة لتقسيم كثيرات الحدود ، من الضروري عادةً عدم وجود حاصل قسمة ، ولكن ما تبقى من القسمة.
لذلك ، يوصى باستخدام طريقة قسمة أبسط ، لا تستخدم كثير الحدود ، ولكن فقط معاملاتها (الخيار 2 في المثال).

مثال.

تخصيص المصفوفة من الرموز

يمكن إعطاء الكود الدوري عن طريق إنشاء وفحص المصفوفات. لتكوينها ، يكفي معرفة المولد g (x) واختبار h (x) متعدد الحدود. بالنسبة للشفرة الدورية غير المنتظمة ، يتم إنشاء المصفوفات عن طريق التحول الدوري لتوليد وفحص كثيرات الحدود ، أي بضربهم في x

و

عند إنشاء المصفوفة H (n ، k) ، يقع المعامل الرئيسي لكثير الحدود h (x) على اليمين.

مثال.بالنسبة إلى الكود الدوري (7،4) مع توليد متعدد الحدود g (x) = x 3 + x + 1 ، فإن المصفوفات G (n ، k) و H (n ، k) لها الشكل:

أين

بالنسبة للشفرة الدورية المنتظمة ، يتم تحديد المصفوفة G (n ، k) من التعبير

حيث I k هي مصفوفة الهوية ؛ ص ك ، ص - مصفوفة مستطيلة. يتم تحديد صفوف المصفوفة R k، r من التعبيرات أو حيث a i (x) هي قيمة الصف i من المصفوفة I k ؛ أنا - رقم صف المصفوفة R k ، r.

مثال.المصفوفة G (n، k) للشفرة (7،4) بناءً على توليد كثير الحدود g (x) = x 3 + x + 1 مبنية في التسلسل التالي

أو

تم تحديد R 4.3 باستخدام

لأن

بطريقة مماثلة ، يتم تحديده