) لقد واجهنا بالفعل بشكل متكرر مشتقات جزئية لوظائف معقدة مثل أمثلة أكثر صعوبة. إذن ماذا يمكنك أن تقول؟ ... وكل شيء يشبه الحياة - لا يوجد مثل هذا التعقيد الذي لا يمكن أن يكون معقدًا =) لكن الرياضيات هي الغرض من الرياضيات ، لتلائم تنوع عالمنا في أطر صارمة. وأحيانًا يمكن إجراؤها بجملة واحدة:
بشكل عام ، الوظيفة المعقدة لها الشكل 
، أين، مرة على الأقلمن الحروف وظيفة، والتي قد تعتمد على اِعتِباطِيّعدد المتغيرات.
النسخة الأصغر والأبسط هي الدالة المعقدة المعروفة لمتغير واحد ، مشتقهاتعلمنا أن نجد الفصل الدراسي الماضي. لديك أيضًا المهارات اللازمة للتمييز بين الوظائف (ألق نظرة على نفس الوظائف 
)
.
وبالتالي ، الآن سنكون مهتمين بالقضية فقط. نظرًا للتنوع الكبير في الوظائف المعقدة ، فإن الصيغ العامة لمشتقاتها مرهقة للغاية وسوء الهضم. في هذا الصدد ، سأقتصر على أمثلة محددة يمكنك من خلالها فهم المبدأ العام لإيجاد هذه المشتقات:
مثال 1
بالنظر إلى دالة معقدة ، أين 
. مطلوب:
1) ابحث عن مشتقها واكتب التفاضل الإجمالي من الرتبة الأولى ؛
2) احسب قيمة المشتق عند.
حل: أولاً ، دعنا نتعامل مع الوظيفة نفسها. نقدم لنا وظيفة تعتمد على و ، والتي بدورها هي وظائفمتغير واحد: 
ثانيًا ، دعنا نولي اهتمامًا وثيقًا للمهمة نفسها - نحن مطالبون بالعثور عليها المشتقأي أننا لا نتحدث عن المشتقات الجزئية إطلاقاً التي تعودنا على إيجادها! منذ الوظيفة 
يعتمد في الواقع على متغير واحد فقط ، ثم تعني كلمة "مشتق" المشتق الكلي. كيف تجدها؟
أول ما يتبادر إلى الذهن هو الاستبدال المباشر والمزيد من التفاضل. بديل 
في وظيفة: 
وبعد ذلك لا توجد مشاكل مع المشتق المطلوب:
وبناءً عليه ، فإن الفرق الكلي: 
هذا الحل صحيح رياضيًا ، ولكن هناك فارق بسيط هو أنه عندما تتم صياغة المشكلة بالطريقة التي صيغت بها ، لا يتوقع أحد منك مثل هذه البربرية =) ولكن بجدية ، يمكنك حقًا العثور على خطأ هنا. تخيل أن الوظيفة تصف طيران نحلة ، وتتغير الوظائف المتداخلة اعتمادًا على درجة الحرارة. إجراء الاستبدال المباشر 
، نحصل عليه فقط معلومات خاصة، الذي يميز الرحلة ، على سبيل المثال ، فقط في الطقس الحار. علاوة على ذلك ، إذا تم تقديم نتيجة نهائية لشخص ليس على دراية بالنحل الطنان وحتى ذكر نوع الوظيفة ، فلن يتعلم أي شيء عن القانون الأساسي للطيران!
وهكذا ، وبشكل غير متوقع ، ساعد شقيقنا الصاخب في إدراك معنى وأهمية الصيغة العالمية: 
تعتاد على تدوين المشتقات "المكون من طابقين" - في المهمة قيد الدراسة ، فهي قيد الاستخدام. في نفس الوقت ، يجب أن يكون أنيق جدافي التسجيلة: المشتقات ذات العلامات المباشرة "دي" هي المشتقات الكلية، والمشتقات ذات العلامات المستديرة هي المشتقات الجزئية. لنبدأ بالأخير: 
حسنًا ، مع "ذيول" بشكل عام ، كل شيء أساسي:
نعوض بالمشتقات الموجودة في صيغتنا:
عندما يتم اقتراح وظيفة في البداية بطريقة معقدة ، سيكون ذلك منطقيًا (وأوضح أعلاه!)اترك النتائج كما هي: 
في الوقت نفسه ، في الإجابات "الفاخرة" ، من الأفضل الامتناع حتى عن الحد الأدنى من التبسيط. (هنا ، على سبيل المثال ، يطلب إزالة 3 سلبيات)- ولديك عمل أقل للقيام به ، وسيسعد صديقك الفروي بمراجعة المهمة بسهولة.
ومع ذلك ، فإن الفحص التقريبي لن يكون غير ضروري. بديل 
في المشتق الموجود ونفذ التبسيط: 
(في الخطوة الأخيرة التي استخدمناها الصيغ المثلثية 
, 
)
نتيجة لذلك ، تم الحصول على نفس النتيجة كما هو الحال مع طريقة الحل "البربرية".
دعنا نحسب المشتق عند النقطة. أولاً ، من الملائم معرفة قيم "العبور" (قيم الوظيفة 
)
:
نقوم الآن بإعداد الحسابات النهائية ، والتي في هذه الحالة يمكن إجراؤها بطرق مختلفة. أستخدم أسلوبًا مثيرًا للاهتمام حيث لا يتم تبسيط "الطوابق" 3 و 4 وفقًا للقواعد المعتادة ، ولكن يتم تحويلها إلى حاصل قسمة رقمين:
وبالطبع ، من الخطيئة عدم التحقق باستخدام تدوين أكثر إحكاما 
:
إجابة: 
يحدث أن يتم اقتراح المهمة في شكل "شبه عام":
"أوجد مشتق الوظيفة ، أين 
»
أي أن الوظيفة "الرئيسية" غير معطاة ، لكن "إدخالاتها" محددة تمامًا. يجب أن تعطى الإجابة بنفس الأسلوب:
علاوة على ذلك ، يمكن تشفير الشرط قليلاً:
"أوجد مشتق دالة 
»
في هذه الحالة ، أنت بحاجة على المرءتشير إلى وظائف متداخلة مع بعض الأحرف المناسبة ، على سبيل المثال ، من خلال 
واستخدم نفس الصيغة:
بالمناسبة ، حول تسميات الحروف. لقد حثثت مرارًا وتكرارًا على عدم "التشبث بالحروف" كشرط نجاة ، والآن هذا صحيح بشكل خاص! عند تحليل المصادر المختلفة حول هذا الموضوع ، كان لدي انطباع بشكل عام أن المؤلفين "خرجوا عن طريقهم" وبدأوا في إلقاء الطلاب بلا رحمة في هاوية الرياضيات العاصفة =) لذا سامحني :))
مثال 2
أوجد مشتق دالة 
، لو 
يجب ألا تؤدي التسميات الأخرى إلى الارتباك! في كل مرة تواجه مهمة مثل هذه ، تحتاج إلى الإجابة عن سؤالين بسيطين:
1) ما الذي تعتمد عليه الوظيفة "الرئيسية"؟في هذه الحالة ، تعتمد الدالة "z" على وظيفتين ("y" و "ve").
2) ما هي المتغيرات التي تعتمد عليها الوظائف المتداخلة؟في هذه الحالة ، يعتمد كلا "الإدخالين" على "x" فقط.
وبالتالي ، لن تجد صعوبة في تكييف الصيغة مع هذه المشكلة!
حل قصير والإجابة في نهاية الدرس.
يمكن العثور على أمثلة إضافية من النوع الأول في كتاب المشكلة Ryabushko (IDZ 10.1)حسنًا ، نحن نتجه إليه دالة من ثلاثة متغيرات:
مثال 3
إعطاء وظيفة حيث.
احسب المشتق عند نقطة
صيغة مشتق دالة معقدة ، كما يعتقد كثير من الناس ، لها شكل مرتبط: 
قرر ما إذا كنت تفكر في ذلك =)
فقط في حالة حدوث ذلك ، سأقدم الصيغة العامة للوظيفة:
، على الرغم من أنه من غير المحتمل عمليًا أن ترى أي شيء أطول من المثال 3.
بالإضافة إلى ذلك ، من الضروري أحيانًا التمييز بين إصدار "مبتور" - كقاعدة عامة ، وظيفة في النموذج أيضًا. أترك هذا السؤال لك للدراسة بمفردك - ابتكر بعض الأمثلة البسيطة ، فكر ، جرب واشتق الصيغ المختصرة للمشتقات.
إذا كان هناك أي شيء لا تفهمه ، فالرجاء تخصيص وقتك لإعادة قراءة الجزء الأول من الدرس وفهمه ، لأن المهمة الآن ستصبح أكثر صعوبة:
مثال 4
أوجد المشتقات الجزئية لدالة معقدة ، أين 
حل: هذه الوظيفة لها شكل وبعد الاستبدال المباشر نحصل على الوظيفة المعتادة لمتغيرين: 
لكن هذا الخوف ليس شيئًا غير مقبول ، لكن المرء لا يريد حتى التفريق =) لذلك ، سوف نستخدم الصيغ الجاهزة. لكي تتمكن من التقاط النموذج بسرعة ، سأقوم بتدوين بعض الملاحظات: 
انظر بعناية إلى الصورة من أعلى إلى أسفل ومن اليسار إلى اليمين ....
أولاً ، لنجد المشتقات الجزئية للدالة "main":
الآن نجد مشتقات "X" من "إدراج":
واكتب مشتق "X" النهائي:
وبالمثل مع "اللعبة":
و
يمكنك الالتزام بنمط آخر - اعثر فورًا على كل "ذيول" 
ثم اكتب كلا المشتقتين.
إجابة:
حول الاستبدال 
بطريقة ما لا أعتقد ذلك على الإطلاق =) =) ، ولكن يمكنك تمشيط النتائج قليلاً. لكن مرة أخرى ، لماذا؟ - فقط اجعل من الصعب على المعلم التحقق.
إذا لزم الأمر ، إذن مجموع الفرقهنا مكتوب وفقًا للصيغة المعتادة ، وبالمناسبة ، فقط في هذه الخطوة ، تصبح مستحضرات التجميل الخفيفة مناسبة: 
هذا ... .... نعش على عجلات.
في ضوء شعبية المجموعة المتنوعة المدروسة للوظيفة المعقدة ، هناك مهمتان لحل مستقل. مثال أبسط بصيغة "شبه عامة" - لفهم الصيغة نفسها ؛-):
مثال 5
أوجد المشتقات الجزئية للدالة ، أين 
وأكثر صعوبة - مع ربط تقنيات التمايز:
مثال 6
أوجد التفاضل الكامل للدالة 
، أين 
لا ، أنا لا أحاول "إرسالك إلى القاع" على الإطلاق - كل الأمثلة مأخوذة من عمل حقيقي ، و "في أعالي البحار" يمكنك أن تصادف أي أحرف تريدها. في أي حال ، تحتاج إلى تحليل الوظيفة (بعد الإجابة على سؤالين - انظر أعلاه)، قدمه في شكل عام وقم بتعديل صيغ المشتقات الجزئية بعناية. قد تكون مرتبكًا بعض الشيء الآن ، لكنك ستفهم مبدأ تصميمها! لأن العمل الحقيقي بدأ للتو :)
مثال 7
أوجد المشتقات الجزئية وكوّن التفاضل الكلي لدالة معقدة
، أين
حل: الدالة "main" لها الشكل ولا تزال تعتمد على متغيرين - "x" و "y". لكن بالمقارنة مع المثال 4 ، تمت إضافة دالة متداخلة أخرى ، وبالتالي يتم أيضًا إطالة الصيغ المشتقة الجزئية. كما في هذا المثال ، من أجل رؤية أفضل للنمط ، سأبرز المشتقات الجزئية "الأساسية" بألوان مختلفة: 
ومرة أخرى - ادرس بعناية السجل من أعلى إلى أسفل ومن اليسار إلى اليمين.
نظرًا لأن المشكلة تمت صياغتها في شكل "شبه عام" ، فإن كل عملنا يقتصر أساسًا على إيجاد مشتقات جزئية للوظائف المتداخلة: 
سوف يقوم طالب الصف الأول بما يلي: 
وحتى التفاضل الكامل اتضح أنه لطيف للغاية:
لم أعرض عليك عمدا أي وظيفة محددة - حتى لا تتداخل الأكوام غير الضرورية مع الفهم الجيد لمفهوم المشكلة.
إجابة: 
في كثير من الأحيان يمكنك العثور على استثمارات "متنوعة" ، على سبيل المثال:
هنا ، فإن الوظيفة "main" ، على الرغم من أنها تحتوي على الشكل ، لا تزال تعتمد على كل من "x" و "y". وبالتالي ، فإن نفس الصيغ تعمل - فقط بعض المشتقات الجزئية ستساوي صفرًا. علاوة على ذلك ، هذا صحيح أيضًا لوظائف مثل 
، حيث يعتمد كل "إدراج" على متغير واحد.
يحدث موقف مشابه في المثالين الأخيرين من الدرس:
المثال 8
أوجد الفرق الكلي لدالة مركبة عند نقطة ما
حل: تمت صياغة الشرط بطريقة "الميزانية" ، ويجب علينا تعيين الوظائف المتداخلة بأنفسنا. أعتقد أنه اختيار جيد:
في "إدراج" هناك ( انتباه!) ثلاثة أحرف هي "x-y-z" القديمة الجيدة ، مما يعني أن الوظيفة "الرئيسية" تعتمد في الواقع على ثلاثة متغيرات. يمكن إعادة كتابتها رسميًا كـ ، ويتم تعريف المشتقات الجزئية في هذه الحالة بالصيغ التالية: 
نحن نفحص ، نتعمق ، نلتقط ...
في مهمتنا: 
وظائف للعديد من المتغيرات
§1. مفهوم دالة للعديد من المتغيرات.
يجب ألا يكون هناك نالمتغيرات. كل مجموعة 
يدل على نقطة ن-
مجموعة الأبعاد 
(صناقلات الأبعاد).
دع المجموعات 
و 
.
المساعدة الإنمائية الرسمية. إذا كانت كل نقطة 
متطابقة مع رقم واحد 
، ثم نقول أنه تم إعطاء دالة عددية نالمتغيرات:
.
يسمى مجال التعريف ، 
- مجموعة قيم هذه الوظيفة.
متى ن= 2 بدلاً من ذلك 
يكتب عادة x,
ذ,
ض. ثم وظيفة متغيرين لها الشكل:
ض= F(x, ذ).
على سبيل المثال، 
- وظيفة متغيرين ؛
- وظيفة من ثلاثة متغيرات ؛
دالة خطية نالمتغيرات.
المساعدة الإنمائية الرسمية. رسم بياني وظيفي نالمتغيرات تسمى ن-
الأبعاد السطحية في الفضاء 
، يتم إعطاء كل نقطة من خلال الإحداثيات
على سبيل المثال ، رسم بياني لوظيفة من متغيرين ض=
F(x,
ذ)
هو سطح في فضاء ثلاثي الأبعاد ، كل نقطة تعطى بالإحداثيات ( x,
ذ,
ض)
، أين 
، و 
.
نظرًا لأنه من غير الممكن تصوير رسم بياني لوظيفة من ثلاثة متغيرات أو أكثر ، فسننظر بشكل أساسي (من أجل الوضوح) في وظائف متغيرين.
يعد رسم وظائف متغيرين مهمة صعبة للغاية. يمكن تقديم مساعدة كبيرة في حلها من خلال إنشاء ما يسمى بخطوط المستوى.
المساعدة الإنمائية الرسمية. خط المستوى لوظيفة من متغيرين ض= F(x, ذ) تسمى مجموعة النقاط في المستوى كيف، وهي إسقاط قسم الرسم البياني للوظيفة بمستوى موازٍ لها كيف.في كل نقطة من خط المستوى ، يكون للوظيفة نفس القيمة. يتم وصف خطوط المستوى بالمعادلة F(x, ذ) = ق، أين مع- بعض الأرقام. هناك عدد لا نهائي من خطوط المستوى ، ويمكن رسم أحدها من خلال كل نقطة من مجال التعريف.
المساعدة الإنمائية الرسمية. سطح مستوى الوظيفة نالمتغيرات ذ=
F
(
) يسمى سطح مفرط في الفضاء 
، في كل نقطة تكون فيها قيمة الوظيفة ثابتة وتساوي بعض القيمة مع. معادلة سطح المستوى: F
(
)= ق.
مثال. ارسم دالة من متغيرين
.
.
مع ج = 1: 
;
.
مع ج = 4: 
;
.
مع ج = 9: 
;
.
خطوط المستوى هي دوائر متحدة المركز ، يتناقص نصف قطرها مع الزيادة ض.
§2. حد واستمرارية دالة من عدة متغيرات.
بالنسبة للوظائف ذات المتغيرات المتعددة ، يتم تعريف نفس المفاهيم لوظائف متغير واحد. على سبيل المثال ، يمكن تحديد حد واستمرارية دالة.
المساعدة الإنمائية الرسمية. الرقم أ يسمى حد دالة من متغيرين ض=
F(x,
ذ)
في 
,
والمشار إليها 
إذا كان لأي رقم موجب 
هناك رقم موجب 
، مثل هذا إذا كانت النقطة 
بعيدا عن النقطة 
مسافة أقل 
ثم الكميات F(x,
ذ)
وتختلف بنسبة أقل من 
.
المساعدة الإنمائية الرسمية. إذا كانت الوظيفة ض=
F(x,
ذ)
محددة عند نقطة 
وله حد عند هذه النقطة يساوي قيمة الدالة 
، ثم يطلق عليه مستمر عند نقطة معينة.
.
§3. المشتقات الجزئية لوظائف متعددة المتغيرات.
ضع في اعتبارك دالة من متغيرين 
.
إصلاح قيمة إحدى الحجج الخاصة به ، على سبيل المثال 
وضع 
. ثم الوظيفة 
هي دالة لمتغير واحد 
. دعها تحصل على مشتق عند نقطة معينة 
:
.
يسمى هذا المشتق بالمشتق الجزئي (أو المشتق الجزئي من الدرجة الأولى) للدالة 
بواسطة 
في هذه النقطة 
ويشار إليه: 
;
;
;
.
يسمى الاختلاف زيادة جزئية في 
والمشار إليها 
:
بالنظر إلى الترميز أعلاه ، يمكننا الكتابة
.
تعريف بالمثل
.
مشتق خاصتسمى دوال المتغيرات المتعددة في أحد هذه المتغيرات حد نسبة الزيادة الجزئية للدالة إلى الزيادة في المتغير المستقل المقابل ، عندما تميل هذه الزيادة إلى الصفر.
عند إيجاد المشتق الجزئي فيما يتعلق بأي حجة ، تعتبر الحجج الأخرى ثابتة. جميع القواعد والصيغ الخاصة بتمييز وظائف متغير واحد صالحة للمشتقات الجزئية لدالة للعديد من المتغيرات.
لاحظ أن المشتقات الجزئية للوظائف هي وظائف من نفس المتغيرات. هذه الوظائف ، بدورها ، يمكن أن يكون لها مشتقات جزئية ، والتي تسمى المشتقات الجزئية الثانية(أو مشتقات جزئية من الدرجة الثانية) للدالة الأصلية.
على سبيل المثال ، الوظيفة 
لديها أربعة مشتقات جزئية من الدرجة الثانية ، والتي يشار إليها على النحو التالي:
;
;
;
.
و 
- المشتقات الجزئية المختلطة.
مثال.أوجد مشتقات جزئية من الرتبة الثانية لدالة
.
حل.
,
.
,
.
, 
.
يمارس.
1. ابحث عن المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية للوظائف
,
;
2. للوظيفة 
اثبت ذلك 
.
تفاضل كامل دوال للعديد من المتغيرات.
مع تغيير متزامن في القيم Xو فيوظيفة 
سيتغير بقيمة تسمى الزيادة الإجمالية للدالة ض
في هذه النقطة 
. تمامًا كما في حالة دالة لمتغير واحد ، تنشأ مشكلة استبدال تقريبي للزيادة 
لدالة خطية من 
و 
. يتم لعب دور التقريب الخطي مجموع الفرقسمات:
مجموع الفرق من الدرجة الثانية:
=
.
=
.
بشكل عام ، تفاضل كامل صالترتيب له الشكل:
مشتق اتجاهي. الانحدار.
دع الوظيفة ض=
F(x,
ذ)
يتم تعريفه في بعض المناطق المجاورة للنقطة M ( x,
ذ) و 
- بعض الاتجاه الذي قدمه متجه الوحدة 
. يتم التعبير عن إحداثيات متجه الوحدة من حيث جيب التمام للزوايا التي شكلها المتجه ومحاور الإحداثيات ويطلق عليها اسم جيب التمام:
,
.
عند تحريك النقطة M ( x,
ذ) في هذا الاتجاه ل
بالضبط 
وظيفة ضسوف تحصل على زيادة
يسمى زيادة الوظيفة في الاتجاه المحدد ل.
إذا كان MM 1 = ∆ ل، الذي - التي
تي
عن
المهام ض=
F(x,
ذ)
تجاه
يسمى حد نسبة زيادة الوظيفة في هذا الاتجاه إلى مقدار الإزاحة ∆ ل
لأن الأخير يميل إلى الصفر:
يميز المشتق الاتجاهي معدل تغير الوظيفة في اتجاه معين. من الواضح أن المشتقات الجزئية 
و 
هي مشتقات في اتجاهات موازية للمحاور ثور
و أوي. من السهل إظهار ذلك
مثال. احسب مشتق دالة 
عند النقطة (1 ؛ 1) في الاتجاه 
.
المساعدة الإنمائية الرسمية. الانحدارالمهام ض= F(x, ذ) يسمى متجهًا بإحداثيات تساوي المشتقات الجزئية:
.
ضع في اعتبارك المنتج القياسي للناقلات 
و 
:
من السهل رؤية ذلك 
، أي. المشتق الاتجاهي يساوي حاصل الضرب القياسي للتدرج ومتجه اتجاه الوحدة 
.
بسبب ال 
، يكون حاصل الضرب النقطي هو الحد الأقصى عندما تكون المتجهات في نفس الاتجاه. وبالتالي ، فإن التدرج اللوني لوظيفة عند نقطة ما يحدد اتجاه أسرع زيادة للدالة عند هذه النقطة ، ومعامل التدرج اللوني يساوي أقصى معدل نمو للدالة.
بمعرفة التدرج اللوني للوظيفة ، يمكن للمرء أن يبني محليًا خطوطًا لمستوى الوظيفة.
نظرية. دعونا نعطي وظيفة التفاضل ض=
F(x,
ذ)
وفي هذه النقطة 
انحدار الوظيفة غير صفري: 
. ثم يكون التدرج عموديًا على خط المستوى الذي يمر عبر نقطة معينة.
وبالتالي ، إذا قمنا ، بدءًا من نقطة معينة ، ببناء تدرج الوظيفة وجزء صغير من خط المستوى عموديًا عليها عند نقاط الإغلاق ، فيمكننا (مع وجود بعض الأخطاء) إنشاء خطوط المستوى.
الطرف المحلي لدالة من متغيرين
دع الوظيفة 
محدد ومستمر في بعض المناطق المجاورة للنقطة 
.
المساعدة الإنمائية الرسمية. نقطة 
تسمى النقطة القصوى المحلية للدالة 
، إذا كان هناك مثل هذا الحي للنقطة 
، أين لأي نقطة 
تحمل عدم المساواة التالية:
.
يتم تقديم فكرة الحد الأدنى المحلي بالمثل.
نظرية (شرط ضروري للأقصى المحلي).
من أجل وظيفة قابلة للتفاضل 
كان له طرف محلي عند هذه النقطة 
، من الضروري أن تكون جميع المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى في هذه المرحلة مساوية للصفر:
لذا ، فإن نقاط التواجد المحتمل للنقطة القصوى هي تلك النقاط التي تكون فيها الوظيفة قابلة للاشتقاق ، وتدرجها يساوي 0: 
. كما في حالة دالة لمتغير واحد ، تسمى هذه النقاط ثابتة.
تعريف. عامل ض(مع منطقة التغيير ض) مُسَمًّى دالة لمتغيرين مستقلين س ، صفي وفرة م، إذا كان كل زوج ( س ، ص) من المجموعة م ضمن Z.
تعريف. مجموعة من م، حيث يتم تعيين المتغيرات س ، ص ،مُسَمًّى نطاق الوظيفة، المجموعة Z هي نطاق الوظيفة، وأنفسهم س ، ص- ها الحجج.
التعيينات: ض = و (س ، ص) ، ض = ض (س ، ص).
أمثلة.
تعريف . عامل ض(مع منطقة التغيير ض) مُسَمًّى دالة لعدة متغيرات مستقلةفي وفرة م، إذا كانت كل مجموعة من الأرقام من المجموعة موفقًا لبعض القواعد أو القانون ، ترتبط قيمة واحدة محددة ضمن Z.يتم تقديم مفاهيم الحجج ومجال التعريف ومجال القيمة بنفس الطريقة التي يتم بها تقديم وظيفة من متغيرين.
التعيينات: ض = و, ض = ض.
تعليق. منذ بضعة أرقام ( س ، ص) يمكن اعتبارها إحداثيات نقطة ما على المستوى ، ثم سنستخدم المصطلح "نقطة" لاحقًا لزوج من الوسائط لوظيفة من متغيرين ، وكذلك لمجموعة مرتبة من الأرقام التي تمثل وسيطات دالة من عدة متغيرات.
التمثيل الهندسي لدالة من متغيرين
ضع في اعتبارك الوظيفة
ض = و (س ، ص), (15.1)
المحددة في بعض المجالات معلى متن الطائرة O هو. ثم مجموعة النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد مع إحداثيات ( س ، ص ، ض)، حيث ، هو الرسم البياني لوظيفة من متغيرين. نظرًا لأن المعادلة (15.1) تحدد سطحًا معينًا في مساحة ثلاثية الأبعاد ، فسيكون التمثيل الهندسي للوظيفة قيد الدراسة.
نطاق الوظيفة ض = و (س ، ص)في أبسط الحالات ، يكون إما جزءًا من المستوى يحده منحنى مغلق ، وقد تنتمي نقاط هذا المنحنى (حدود المنطقة) أو لا تنتمي إلى مجال التعريف ، أو المستوى بأكمله ، أو أخيرًا ، مجموعة من عدة أجزاء من الطائرة xOy.
ض = و (س ، ص)
الأمثلة هي المعادلات المستوية ض = الفأس + ب + ج
وأسطح الدرجة الثانية: ض = س² + ذ² (مكافئ للثورة) ،
(مخروط) ، إلخ.
تعليق. لدالة تتكون من ثلاثة متغيرات أو أكثر ، سنستخدم المصطلح "السطح في ن- فضاء الأبعاد "، على الرغم من أنه من المستحيل تصوير مثل هذا السطح.
خطوط المستوى والأسطح
لدالة من متغيرين تعطينا المعادلة (15.1) ، يمكن للمرء أن يأخذ في الاعتبار مجموعة من النقاط ( س ، ص)الطائرة O هو، لأي منهم ضيأخذ نفس القيمة الثابتة ، أي ض= const. تشكل هذه النقاط خطًا في المستوى يسمى خط المستوى.
مثال.
ابحث عن خطوط مستوية للسطح ض = 4 – x² - ذ². معادلاتهم x² + ذ² = 4 - ج(ج= const) هي معادلات الدوائر متحدة المركز المتمركزة في الأصل ومع نصف القطر. على سبيل المثال ، متى مع= 0 نحصل على دائرة x² + ذ² = 4.
لدالة من ثلاثة متغيرات ش = ش (س ، ص ، ض)المعادلة ش (س ، ص ، ض) = جيحدد السطح في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، وهو ما يسمى مستوى السطح.
مثال.
للوظيفة ش = 3x + 5ذ – 7ضسطوح مستوى 12 ستكون عائلة من المستويات المتوازية المعطاة بواسطة المعادلات 3 x + 5ذ – 7ض –12 + مع = 0.
حد واستمرارية دالة من عدة متغيرات
نقدم المفهوم δ الحينقاط م 0 (× 0 ، ص 0)على متن الطائرة O هوكدائرة نصف قطرها δ تتمحور عند نقطة معينة. وبالمثل ، يمكن للمرء تحديد-جوار في الفضاء ثلاثي الأبعاد على أنه كرة نصف قطرها δ تتمحور عند النقطة م 0 (س 0 ، ص 0 ، ض 0). ل نسيطلق على الفضاء ذي البعد-المجاور للنقطة م 0 نقطة محددة مبإحداثيات تفي بالشرط
أين إحداثيات النقطة م 0. في بعض الأحيان تسمى هذه المجموعة "الكرة" في نمساحة الأبعاد.
تعريف. الرقم أ يسمى حددوال من عدة متغيرات Fفي هذه النقطة م 0 إذا كان هذا | و (م) - أ| < ε для любой точки ممن حي م 0 .
التعيينات:.
يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن النقطة مقد تقترب م 0 ، نسبيًا ، على طول أي مسار داخل حي للنقطة م 0. لذلك ، يجب على المرء أن يميز بين حد دالة لعدة متغيرات بالمعنى العام لما يسمى حدود متكررة، التي تم الحصول عليها من خلال مقاطع متتالية إلى الحد الأقصى لكل وسيطة على حدة.
أمثلة.
تعليق. يمكن إثبات أنه من وجود حد عند نقطة معينة بالمعنى المعتاد ووجود حدود في هذه النقطة فيما يتعلق بالحجج الفردية ، يتبع ذلك وجود ومساواة الحدود المتكررة. والعكس ليس صحيحا.
تعريف وظيفة Fمُسَمًّى مستمرفي هذه النقطة م 0 إذا (15.2)
إذا قدمنا الترميز ، فيمكن إعادة كتابة الشرط (15.2) بالشكل (15.3)
تعريف . نقطة داخلية م 0نطاق الوظيفة ض = و (م)مُسَمًّى نقطة الانهيارتعمل إذا لم يتم استيفاء الشروط (15.2) ، (15.3) في هذه المرحلة.
تعليق. يمكن أن تتشكل مجموعة من نقاط عدم الاستمرارية على مستوى أو في الفضاء خطوطأو أسطح الكسر.
أمثلة.
خصائص الحدود والوظائف المستمرة
نظرًا لأن تعريفات الحد والاستمرارية لوظيفة من عدة متغيرات تتطابق عمليًا مع التعريفات المقابلة لوظيفة متغير واحد ، ثم بالنسبة لوظائف المتغيرات المتعددة ، يتم الاحتفاظ بجميع خصائص الحدود والوظائف المستمرة المثبتة في الجزء الأول من الدورة ، يسمى:
1) إن وجدت ، ثم موجودة و (إذا).
2) إذا أ ولأي أناهناك حدود ويوجد فيها م 0، ثم هناك أيضًا حد للدالة المعقدة عند إحداثيات النقطة ص 0 .
3) إذا كانت الوظائف و (م)و ز (م)مستمر عند النقطة م 0 ، ثم الوظائف f (M) + g (M) ، kf (M) ، f (M) g (M) ، f (M) / g (M)(لو ز (م 0) ≠ 0).
4) إذا كانت الوظائف مستمرة عند نقطة ما ص 0، والدالة متصلة عند النقطة م 0، حيث ، تكون الدالة المعقدة متصلة عند النقطة ص 0.
5) الوظيفة مستمرة في منطقة مغلقة محدودة د، يأخذ قيمه القصوى والدنيا في هذه المنطقة.
6) إذا كانت الوظيفة مستمرة في منطقة مغلقة محدودة د، يأخذ قيمًا في هذا النطاق أو في، ثم يأخذ في المنطقة دوأي قيمة وسيطة بين أو في.
7) إذا كانت الوظيفة مستمرة في منطقة مغلقة محدودة د، يأخذ قيم علامات مختلفة في هذه المنطقة ، ثم هناك نقطة واحدة على الأقل من المنطقة د، حيث F = 0.
المشتقات الجزئية
ضع في اعتبارك تغيير دالة عند زيادة وسيطة واحدة فقط من وسيطاتها - س ط، ودعونا نسميها.
تعريف . مشتق خاصوظائف بالحجة س طمُسَمًّى .
التعيينات:.
وبالتالي ، فإن المشتق الجزئي لوظيفة من عدة متغيرات يتم تعريفه في الواقع على أنه مشتق من الوظيفة متغير واحد - x i. لذلك ، فإن جميع خصائص المشتقات المثبتة لوظيفة ذات متغير واحد صالحة لها.
تعليق. في الحساب العملي للمشتقات الجزئية ، نستخدم القواعد المعتادة لتمييز دالة لمتغير واحد ، بافتراض أن الحجة المتعلقة بالتفاضل هي متغيرة ، وأن الحجج المتبقية ثابتة.
أمثلة .
1. ض = 2x² + 3 س ص –12ذ² + 5 x – 4ذ +2,
2. ض = س ص ،
التفسير الهندسي للمشتقات الجزئية لدالة لمتغيرين
ضع في اعتبارك معادلة السطح ض = و (س ، ص)وارسم طائرة س =مقدار ثابت. دعونا نختار نقطة على خط تقاطع المستوى مع السطح م (س ، ص). إذا قمت بتعيين الحجة فيزيادة Δ فيوالنظر في النقطة T على المنحنى مع الإحداثيات ( س ، ص +Δ y، z +Δy ض) ، ثم ظل الزاوية التي شكلها القاطع MT بالاتجاه الإيجابي للمحور O في، سوف تساوي. بالمرور إلى الحد عند ، نحصل على أن المشتق الجزئي يساوي ظل الزاوية التي شكلها الظل للمنحنى الناتج عند النقطة ممع الاتجاه الإيجابي للمحور O ذ.وفقًا لذلك ، فإن المشتق الجزئي يساوي ظل الزاوية مع المحور O Xمماس للمنحنى الناتج عن قطاع السطح ض = و (س ، ص)طائرة ص =مقدار ثابت.
تفاضل دالة من عدة متغيرات
عند التحقيق في الأسئلة المتعلقة بالتفاضل ، نقصر أنفسنا على حالة دالة من ثلاثة متغيرات ، حيث يتم تنفيذ جميع البراهين لعدد أكبر من المتغيرات بنفس الطريقة.
تعريف . زيادة كاملةالمهام ش = و (س ، ص ، ض)مُسَمًّى
نظرية 1. إذا كانت المشتقات الجزئية موجودة عند النقطة ( س 0 ، ص 0 ، ع 0) وفي بعض جوارها ومستمر عند النقطة ( x0 ، y0 ، z0) ، ثم يتم تقييدها (لأن معاييرها لا تتجاوز 1).
ثم يمكن تمثيل الزيادة في الوظيفة التي تفي بشروط النظرية 1 على النحو التالي: ، (15.6)
تعريف . إذا زادت الوظيفة ش = و (س ، ص ، ض)عند نقطة ( x0 ، y0 ، z0)يمكن تمثيلها بالصيغة (15.6) ، (15.7) ، ثم تسمى الوظيفة قابل للتفاضلعند هذه النقطة ، والتعبير - الجزء الخطي الرئيسي من الزيادةأو تفاضل كاملالوظيفة المعنية.
التعيينات: du، df (x 0، y 0، z 0).
تمامًا كما في حالة دالة لمتغير واحد ، فإن فروق المتغيرات المستقلة هي زياداتها التعسفية ، لذلك
ملاحظة 1. لذلك ، فإن عبارة "الوظيفة قابلة للتفاضل" لا تعادل عبارة "الوظيفة لها مشتقات جزئية" - تتطلب التفاضل أيضًا استمرارية هذه المشتقات عند النقطة قيد الدراسة.
.ضع في اعتبارك الوظيفة واختر س 0 = 1, ص 0 = 2. ثم Δ س = 1.02 - 1 = 0.02 ؛ Δ ص = 1.97 - 2 = -0.03. لنجد ،
لذلك ، بالنظر إلى ذلك F( 1، 2) = 3 نحصل عليها.
حتى الآن ، نظرنا في أبسط نموذج وظيفي ، والذي فيه وظيفةيعتمد على فقط دعوى. ولكن عند دراسة الظواهر المختلفة للعالم المحيط ، غالبًا ما نواجه تغييرًا متزامنًا بأكثر من كميتين ، ويمكن إضفاء الطابع الرسمي على العديد من العمليات بشكل فعال دالة من عدة متغيرات، أين - الحججأو المتغيرات المستقلة. لنبدأ في تطوير موضوع مع الأكثر شيوعًا في الممارسة وظائف متغيرين .
دالة لمتغيرينمُسَمًّى قانون، لكل زوج من القيم المتغيرات المستقلة(الحجج) من المجالاتيتوافق مع قيمة المتغير التابع (الوظيفة).
تم تحديد هذه الوظيفة على النحو التالي:
إما أو حرف قياسي آخر:
نظرًا لأن زوج القيم المرتب "x" و "y" يحدد نقطة على متن الطائرة، ثم تتم كتابة الوظيفة أيضًا من حيث ، حيث توجد نقطة من المستوى ذات إحداثيات. يستخدم هذا التعيين على نطاق واسع في بعض المهام العملية.
المعنى الهندسي لدالة من متغيرينبسيط جدا. إذا كانت دالة لمتغير واحد تتوافق مع خط معين على المستوى (على سبيل المثال ، المكافئ المدرسي المألوف) ، فإن الرسم البياني لوظيفة متغيرين يقع في مساحة ثلاثية الأبعاد. في الممارسة العملية ، غالبًا ما يتعين على المرء أن يتعامل معها سطح، ولكن في بعض الأحيان يمكن أن يكون الرسم البياني لوظيفة ما ، على سبيل المثال ، خطًا مكانيًا (خطوطًا) أو حتى نقطة واحدة.
نحن على دراية جيدة بمثال أولي لسطح من الدورة الهندسة التحليلية- هذا طائرة. بافتراض ذلك ، يمكن إعادة كتابة المعادلة بسهولة في شكل وظيفي:
السمة الأكثر أهمية لوظيفة من متغيرين هي التي تم التعبير عنها بالفعل اِختِصاص.
مجال دالة ذات متغيرينيسمى مجموعة الجميعالأزواج التي لها قيمة.
بيانيا ، مجال التعريف الطائرة بأكملها أو جزء منها. إذن ، نطاق الوظيفة 
هو مستوى الإحداثيات بأكمله - لهذا السبب لأيقيمة موجودة.
لكن مثل هذه المحاذاة الخاملة ، بالطبع ، ليست دائمًا:
مثل متغيرين؟
عند النظر في مفاهيم مختلفة لوظيفة من عدة متغيرات ، من المفيد رسم مقارنات مع المفاهيم المقابلة لوظيفة متغير واحد. على وجه الخصوص ، عند التوضيح المجالاتلقد أولينا اهتمامًا خاصًا لتلك الوظائف التي لها كسور ، وحتى جذور ، ولوغاريتمات ، وما إلى ذلك. كل شيء هو نفسه تمامًا هنا!
مهمة العثور على مجال دالة لمتغيرين من المرجح أن تقابلك بنسبة 100 ٪ تقريبًا في العمل الموضوعي ، لذلك سأحلل عددًا لائقًا من الأمثلة:
مثال 1
أوجد نطاق الدالة 
حل: بما أن المقام لا يمكن أن يذهب إلى الصفر ، إذن:
إجابة: مستوى الإحداثيات بأكمله باستثناء النقاط التي تنتمي إلى الخط
نعم ، نعم ، من الأفضل كتابة الإجابة بهذا الأسلوب. نادراً ما يتم الإشارة إلى مجال دالة لمتغيرين بأي رمز ، وغالبًا ما يستخدمان الوصف اللفظيو / أو رسم.
إذا حسب الشرط مطلوبلإكمال الرسم ، سيكون من الضروري تصوير مستوى الإحداثيات و خط منقطارسم خطًا مستقيمًا. يشير الخط المنقط إلى أن الخط مستبعدفي مجال التعريف.
كما سنرى لاحقًا ، في الأمثلة الأكثر صعوبة ، لا غنى عن الرسم.
مثال 2
أوجد نطاق الدالة 
حل: يجب أن يكون التعبير الجذري غير سالب:
إجابة: نصف طائرة
الصورة الرسومية هنا بدائية أيضًا: نرسم نظام إحداثيات ديكارتي ، صلبارسم خطًا مستقيمًا وافتح الجزء العلوي نصف الطائرة. يشير الخط الصلب إلى حقيقة ذلك متضمنفي مجال التعريف.
انتباه!إذا كنت لا تفهم أي شيء عن المثال الثاني ، يرجى دراسة / إعادة الدرس بالتفصيل المتباينات الخطية- بدونها سيكون الأمر صعبًا جدًا!
صورة مصغرة لحل مستقل:
مثال 3
أوجد نطاق الدالة
حل ذو سطرين والإجابة في نهاية الدرس.
نواصل التمدد:
مثال 4
وصوره في الرسم 
حل: من السهل أن نفهم أن مثل هذه الصيغة للمشكلة يتطلبتنفيذ الرسم (حتى لو كان النطاق بسيطًا جدًا). لكن أولاً ، التحليلات: يجب أن يكون التعبير الراديكالي غير سلبي: وبالنظر إلى أن المقام لا يمكن أن يتلاشى ، فإن عدم المساواة تصبح صارمة:
كيف نحدد المساحة التي تحددها المتباينة؟ أوصي بنفس خوارزمية الإجراءات كما في الحل المتباينات الخطية.
ارسم أولاً خطالذي يحدد المساواة المقابلة. تحدد المعادلة دائرةتتمحور حول أصل نصف القطر ، والذي يقسم مستوى الإحداثي إلى اثنينالأجزاء - "داخل" و "خارج" الدائرة. لأن لدينا عدم المساواة حازم، فمن المؤكد أن الدائرة نفسها لن تدخل مجال التعريف وبالتالي يجب رسمها خط منقط.
الآن نحن نأخذ اِعتِباطِيّنقطة الطائرة لا يملكهدائرة ، وعوض بإحداثياتها في المتباينة. أسهل طريقة بالطبع هي اختيار أصل الإحداثيات:
تلقى عدم المساواة الخاطئة، لذا فإن النقطة لا يرضيعدم المساواة. علاوة على ذلك ، لا يتم إرضاء هذا التفاوت بأي نقطة تقع داخل الدائرة ، وبالتالي ، فإن مجال التعريف المطلوب هو الجزء الخارجي منها. مجال التعريف يفقس تقليديا: 
أولئك الذين يرغبون يمكنهم أخذ أي نقطة تنتمي إلى المنطقة المظللة والتأكد من أن إحداثياتها تلبي المتباينة. بالمناسبة ، تحدد عدم المساواة المعاكسة دائرةتتمحور في الأصل ، نصف القطر.
إجابة: الجزء الخارجي من الدائرة
لنعد إلى المعنى الهندسي للمشكلة: هنا وجدنا مجال التعريف وقمنا بتظليله ، ماذا يعني هذا؟ هذا يعني أنه في كل نقطة من المنطقة المظللة توجد قيمة "z" والوظيفة بيانياً 
ما يلي سطح:
يوضح الرسم التخطيطي بوضوح أن هذا السطح يقع في بعض الأماكن فوقطائرة (ثمانينات قريبة منا وبعيدة عنا)، في أماكن - تحتطائرة (اليسار واليمين بالنسبة لنا الثمانيات). أيضا ، السطح يمر عبر المحاور. لكن سلوك الوظيفة على هذا النحو ليس مثيرًا للاهتمام بالنسبة لنا الآن - من المهم ذلك كل هذا يحدث فقط في مجال التعريف.. إذا أخذنا أي نقطة تنتمي إلى الدائرة ، فلن يكون هناك سطح هناك (لأنه لا يوجد Z)، والتي تدل على الفجوة المستديرة في منتصف الشكل.
من فضلك ، فكر مليًا في المثال الذي تم تحليله ، لأنني أوضحت فيه جوهر المشكلة بأكثر الطرق تفصيلاً.
المهمة التالية لاتخاذ قرار مستقل:
مثال 5
حل موجز ورسم في نهاية الدرس. بشكل عام ، في الموضوع قيد النظر ، بين خطوط الترتيب الثانيالدائرة هي الأكثر شيوعًا ، ولكن كخيار ، يمكنهم "الدفع" إلى المهمة الشكل البيضاوي, مقارنة مبالغ فيهاأو القطع المكافئ.
لنصعد:
مثال 6
أوجد نطاق الدالة
حل: يجب أن يكون التعبير الجذر غير سالب: ولا يمكن أن يكون المقام صفراً:. وبالتالي ، يتم تعيين مجال التعريف من قبل النظام.
نتعامل مع الشرط الأول وفقًا للمخطط القياسي الذي تمت مناقشته في الدرس المتباينات الخطية: ارسم خطًا مستقيمًا وحدد نصف المستوى الذي يتوافق مع المتباينة. لأن عدم المساواة غير صارم، فسيكون الخط نفسه حلاً أيضًا.
مع الشرط الثاني للنظام ، كل شيء بسيط أيضًا: تحدد المعادلة المحور الصادي ، وبمجرد أن يتم استبعاده من مجال التعريف.
دعنا نكمل الرسم ، دون أن ننسى أن الخط الصلب يشير إلى دخوله إلى منطقة التعريف ، والخط المنقط - الاستبعاد من هذه المنطقة: 
وتجدر الإشارة إلى أننا هنا بالفعل قسريجعل الرسم. ومثل هذا الموقف نموذجي - في العديد من المهام ، يكون الوصف اللفظي للمنطقة صعبًا ، وحتى لو وصفته ، فمن المرجح أنك ستفهم جيدًا وستضطر إلى تصوير المنطقة.
إجابة: اِختِصاص:
بالمناسبة ، تبدو هذه الإجابة بدون رسم رطبة حقًا.
مرة أخرى ، نكرر المعنى الهندسي للنتيجة التي تم الحصول عليها: في المنطقة المظللة يوجد رسم بياني للدالة ، وهو سطح الفضاء ثلاثي الأبعاد. يمكن أن يكون هذا السطح أعلى / أسفل المستوى ، ويمكن أن يتقاطع مع المستوى - في هذه الحالة ، كل هذا موازٍ لنا. حقيقة وجود السطح مهمة ، ومن المهم العثور بشكل صحيح على المنطقة التي يوجد فيها.
مثال 7
أوجد نطاق الدالة 
هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". عينة تقريبية من التصميم النهائي للمهمة في نهاية الدرس.
ليس من غير المألوف أن تؤدي الوظائف التي تبدو بسيطة المظهر إلى حل بعيد كل البعد عن التسرع:
المثال 8
أوجد نطاق الدالة
حل: استخدام فرق صيغة المربعات، نقوم بتحليل التعبير الراديكالي إلى عوامل: 
.
حاصل ضرب عاملين غير سالب 
، متى كلاهماالمضاعفات غير سلبية: أومتى كلاهماغير إيجابي:. هذه ميزة نموذجية. وبالتالي ، علينا حل اثنين أنظمة المتباينات الخطيةو توحدالمناطق المستلمة. في حالة مماثلة ، بدلاً من الخوارزمية القياسية ، تعمل طريقة الوخز العلمي ، أو بالأحرى العملية ، بشكل أسرع بكثير =)
نرسم خطوطًا مستقيمة تقسم مستوى الإحداثيات إلى 4 "زوايا". نأخذ بعض النقاط التي تنتمي إلى "الزاوية" العليا ، على سبيل المثال ، نقطة ونستبدل إحداثياتها في معادلات النظام الأول: 
. يتم الحصول على التفاوتات الصحيحة ، مما يعني أن حل النظام هو الكلالزاوية العليا. نحن نظلل.
الآن نأخذ النقطة التي تنتمي إلى "الزاوية" اليمنى. يبقى النظام الثاني ، حيث نستبدل إحداثيات هذه النقطة: 
. المتباينة الثانية خاطئة ، لذا وكل"الزاوية" الصحيحة ليست حلاً للنظام. 
قصة مماثلة مع "الزاوية" اليسرى ، والتي لن يتم تضمينها أيضًا في منطقة التعريف.
وأخيرًا ، استبدلنا بإحداثيات النقطة التجريبية للركن السفلي في النظام الثاني: 
. كلا التفاوتان صحيحان ، مما يعني أن الحل للنظام هو وكل"الزاوية" السفلية ، والتي يجب أن تكون مظللة أيضًا.
في الواقع ، بالطبع ، ليس من الضروري الرسم بمثل هذه التفاصيل - يتم تنفيذ جميع الإجراءات المعلقة بسهولة شفهيًا!
إجابة: النطاق اتحادحلول الأنظمة 
.
كما قد تتخيل ، بدون رسم ، من غير المرجح أن تمر مثل هذه الإجابة ، وهذا الظرف يجبرك على التقاط مسطرة بقلم رصاص ، على الرغم من أن هذا لم يكن مطلوبًا من قبل الشرط.
وهذا هو الجوز الخاص بك:
المثال 9
أوجد نطاق الدالة
يفقد الطالب الجيد دائمًا اللوغاريتمات:
المثال 10
أوجد نطاق الدالة 
حل: حجة اللوغاريتم موجبة تمامًا ، لذلك يتم إعطاء المجال بواسطة النظام.
تشير المتباينة إلى نصف المستوى الأيمن وتستبعد المحور.
مع الشرط الثاني ، يكون الوضع أكثر تعقيدًا ، ولكنه أيضًا شفاف. نحن نتذكر جيبي. تعمل "Y" كحجة ، لكن لا ينبغي أن يكون هذا محرجًا - y، so y، shu، so syu. أين الجيب أكبر من الصفر؟ الجيب أكبر من الصفر ، على سبيل المثال ، في الفترة الزمنية. نظرًا لأن الوظيفة دورية ، فهناك عدد لا نهائي من هذه الفواصل الزمنية ، وفي صورة مطوية يمكن كتابة حل المتباينة على النحو التالي: 
، أين هو عدد صحيح تعسفي.
بالطبع ، لا يمكن تصوير عدد لا حصر له من الفجوات ، لذلك سنقتصر على الفاصل الزمني 
وجيرانها: 
دعنا نكمل الرسم ، دون أن ننسى أنه وفقًا للشرط الأول ، يقتصر مجال نشاطنا على نصف مستوى يمين تمامًا: 
حسنًا ... تحول نوع من شبح الرسم ... نوع من أنواع الرياضيات العليا ...
إجابة: 
اللوغاريتم التالي لك:
المثال 11
أوجد نطاق الدالة 
أثناء الحل ، سيكون عليك البناء القطع المكافئ، والتي ستقسم الطائرة إلى جزأين - "الداخل" ، الموجود بين الفروع ، والجزء الخارجي. ظهرت تقنية العثور على الجزء المطلوب مرارًا وتكرارًا في المقالة المتباينات الخطيةوالأمثلة السابقة في هذا الدرس.
الحل والرسم والإجابة في نهاية الدرس.
تم تخصيص المكسرات النهائية للفقرة لـ "الأقواس":
المثال 12
أوجد نطاق الدالة 
حل: يجب أن تكون وسيطة القوسين ضمن الحدود التالية: 
ثم هناك احتمالان تقنيان: قراء أكثر استعدادًا ، عن طريق القياس مع الأمثلة الأخيرة من الدرس نطاق دالة لمتغير واحديمكن أن "ترمي" متباينة مزدوجة وتترك "ص" في المنتصف. بالنسبة لأباريق الشاي ، أوصي بتحويل "القطار" إلى ما يعادله نظام عدم المساواة:
تم حل النظام كالمعتاد - نبني خطوطًا مستقيمة ونجد أنصاف المستويات اللازمة. نتيجة ل: 
لاحظ أنه هنا يتم تضمين الحدود في منطقة التعريف ويتم رسم الخطوط المستقيمة كخطوط متصلة. يجب دائمًا مراقبة ذلك بعناية لتجنب الأخطاء الجسيمة.
إجابة: مجال التعريف هو حل النظام
المثال 13
أوجد نطاق الدالة
يستخدم حل العينة تقنية متقدمة لتحويل متباينة مزدوجة.
من الناحية العملية ، توجد أحيانًا مهام للعثور على مجال تعريف وظيفة من ثلاثة متغيرات. يمكن أن يكون مجال تعريف دالة من ثلاثة متغيرات الجميعفضاء ثلاثي الأبعاد ، أو جزء منه. في الحالة الأولى ، يتم تحديد الوظيفة لأينقاط الفضاء ، في الثانية - فقط لتلك النقاط التي تنتمي إلى كائن مكاني ، في أغلب الأحيان - جسم. يمكن أن يكون متوازي خط مستطيل ، بيضاوي، "داخل" اسطوانة مكافئإلخ. تتمثل مهمة إيجاد مجال دالة ذات ثلاثة متغيرات عادةً في إيجاد هذا الجسم وعمل رسم ثلاثي الأبعاد. ومع ذلك ، فإن مثل هذه الأمثلة نادرة جدًا. (وجدت زوجين فقط)، وبالتالي سأقتصر على هذه الفقرة العامة.
خطوط المستوى
لفهم هذا المصطلح بشكل أفضل ، سنقارن المحور بـ ارتفاع: كلما كانت قيمة Z أكبر ، كلما زاد الارتفاع ؛ كلما كانت قيمة Z أصغر ، كلما كان الارتفاع أصغر. يمكن أن يكون الارتفاع أيضًا سالبًا.
الوظيفة في مجال تعريفها هي الرسم البياني المكاني ، من أجل التحديد والوضوح الأكبر ، سنفترض أن هذا سطح تافه. ما هي خطوط المستوى؟ من الناحية المجازية ، خطوط المستوى هي "شرائح" أفقية من السطح عند ارتفاعات مختلفة. هذه "الشرائح" ، أو الأصح ، أقسامتتم بواسطة الطائرات ، ثم إسقاطها على مستوى .
تعريف: خط مستوى الوظيفة هو خط على المستوى ، تحتفظ الوظيفة بقيمة ثابتة عند كل نقطة:.
وبالتالي ، تساعد خطوط المستوى في معرفة شكل سطح معين - وتساعد دون إنشاء رسم ثلاثي الأبعاد! لنفكر في مهمة محددة:
المثال 14
ابحث عن خطوط مستوى متعددة لرسم بياني مميز ورسمها 
حل: استكشف شكل سطح معين باستخدام خطوط المستوى. للراحة ، دعنا نوسع السجل "من الخلف إلى الأمام": 
من الواضح أنه في هذه الحالة ، "Z" (الارتفاع) بالتأكيد لا يمكن أن تأخذ قيمًا سالبة. (لأن مجموع المربعات غير سالب). وبالتالي ، يقع السطح في النصف العلوي من الفضاء (فوق المستوى).
نظرًا لأن الشرط لا يشير إلى الارتفاعات المحددة التي تحتاج خطوط المستوى إلى "قطعها" ، فنحن أحرار في اختيار عدة قيم "Z" وفقًا لتقديرنا.
نقوم بفحص السطح عند ارتفاع صفري ، ولهذا نضع القيمة على قدم المساواة 
:
حل هذه المعادلة هو النقطة. هذا هو ، في خط المستوى هو نقطة.
نرتفع إلى وحدة ارتفاع و "نقطع" سطحنا 
طائرة (استبدل في معادلة السطح):
هكذا، بالنسبة للارتفاع ، فإن خط المستوى عبارة عن دائرة تتمركز عند نقطة من نصف قطر الوحدة.
أذكرك بذلك يتم إسقاط جميع "الشرائح" على المستوىولذلك أكتب إحداثيات اثنين وليس ثلاثة للنقاط!
الآن نأخذ ، على سبيل المثال ، طائرة و "نقطعها" السطح قيد الدراسة 
(نحن نستبدلإلى معادلة السطح):
هكذا، للارتفاعخط المستوى عبارة عن دائرة تتمركز عند نقطة نصف قطرها.
ودعونا نبني خط مستوى آخر ، لنفترض :
–تتمحور الدائرة عند نقطة نصف قطرها 3.
توجد خطوط المستوى ، كما أشرت بالفعل ، على المستوى ، ولكن يتم توقيع كل سطر - ما هو الارتفاع الذي يتوافق معه: 
من السهل أن نفهم أن خطوط المستوى الأخرى للسطح قيد النظر هي أيضًا دوائر ، وكلما صعدنا لأعلى (زيادة قيمة Z) ، أصبح نصف القطر أكبر. هكذا، السطح نفسهعبارة عن وعاء لا نهاية له بقاع على شكل بيضة ، يقع الجزء العلوي منه على المستوى. هذا "الوعاء" ، جنبًا إلى جنب مع المحور ، "يتجه نحوك مباشرة" من شاشة العرض ، أي أنك تنظر إلى أسفلها =) وهذا ليس من قبيل الصدفة! فقط أنا القاتل صب على الموظفين =) =)
إجابة: خطوط المستوى لهذا السطح هي دوائر متحدة المركز من الشكل
ملحوظة : عندما تحصل على دائرة متدهورة نصف قطرها صفر (نقطة)
يأتي مفهوم خط المستوى ذاته من رسم الخرائط. لإعادة صياغة عبارة رياضية راسخة ، يمكننا قول ذلك خط المستوى هو موقع جغرافي لنقاط من نفس الارتفاع. تخيل جبلًا معينًا بخطوط مستوية 1000 و 3000 و 5000 متر: 
يوضح الشكل بوضوح أن المنحدر الأيسر العلوي للجبل أكثر انحدارًا من المنحدر الأيمن السفلي. وبالتالي ، تسمح لك خطوط المستوى بعكس التضاريس على خريطة "مسطحة". بالمناسبة ، تكتسب القيم السلبية للارتفاع أيضًا معنى محددًا هنا - بعد كل شيء ، تقع بعض أجزاء سطح الأرض تحت مستوى الصفر في محيطات العالم.
(محاضرة 1)
دوال من متغيرين.
يسمى المتغير z دالة من متغيرين f (x ، y) إذا تم تخصيص قيمة معينة للمتغير z لأي زوج من القيم (x ، y) G.
ديف.المجاور للنقطة p 0 عبارة عن دائرة مركزها عند النقطة p 0 ونصف قطرها. = (x-x 0 ) 2 + (ص ص 0 ) 2
رقم صغير بشكل تعسفي ، يمكنك تحديد مثل هذا الرقم ()> 0 بحيث يكون لكل قيم x و y ، حيث تكون المسافة من m. p إلى p0 أقل ، تكون التفاوتات التالية صحيحة: f (x، y ) أ ، أي بالنسبة لجميع النقاط p التي تقع بالقرب من النقطة p 0 مع نصف القطر ، تختلف قيمة الوظيفة عن A بمقدار أقل من القيمة المطلقة. وهذا يعني أنه عندما تقترب النقطة p من النقطة p 0 على طول أي واحد
استمرارية الوظيفة.
دع الدالة z = f (x ، y) معطاة ، p (x ، y) هي النقطة الحالية ، p 0 (x 0 ، y 0) هي النقطة قيد الدراسة.
ديف.
3) الحد يساوي قيمة الوظيفة في هذه المرحلة: = f (x 0، y 0) ؛
ليم و (س ، ص) = و (س 0 ، ذ 0 );
ص 0
المشتق الخاص.
دعونا نعطي السعة x زيادة في x ؛ x + x ، نحصل على النقطة p 1 (x + x ، y) ، نحسب الفرق بين قيم الدالة عند النقطة p:
x z = f (p1) -f (p) = f (x + x، y) - f (x، y) زيادة جزئية للدالة المقابلة لزيادة وسيطة x.
ض= ليم x ض
ض = ليم و (س + س ، ص) - و (س ، ص)
X x0 X
تحديد وظيفة المتغيرات المتعددة
عند التفكير في العديد من الأسئلة من مختلف مجالات المعرفة ، يتعين على المرء أن يدرس هذه العلاقات بين المتغيرات عندما يتم تحديد القيم العددية لأحدها تمامًا من خلال قيم العديد من المتغيرات الأخرى.
على سبيل المثالعند دراسة الحالة الفيزيائية للجسم ، يجب على المرء أن يلاحظ التغيير في خصائصه من نقطة إلى أخرى. كل نقطة من الجسم مُعطاة بثلاثة إحداثيات: x ، y ، z. لذلك ، بدراسة توزيع الكثافة على سبيل المثال ، نستنتج أن كثافة الجسم تعتمد على ثلاثة متغيرات: x ، y ، z. إذا تغيرت الحالة المادية للجسم أيضًا بمرور الوقت t ، فإن نفس الكثافة ستعتمد على قيم أربعة متغيرات: x ، y ، z ، t.
مثال آخر: يتم دراسة تكلفة الإنتاج لتصنيع وحدة من نوع معين من المنتجات. اسمحوا ان:
س - تكاليف المواد ،
ذ - نفقات دفع الأجور للموظفين ،
ض - رسوم الاستهلاك.
من الواضح أن تكاليف الإنتاج تعتمد على قيم المعلمات المسماة x ، y ، z.
التعريف 1.1إذا كانت كل مجموعة من قيم المتغيرات "n"
من مجموعة D من هذه المجموعات تتوافق مع قيمتها الفريدة مع المتغير z ، ثم نقول أن الوظيفة معطاة في المجموعة D
متغيرات "n".
المجموعة D المحددة في التعريف 1.1 تسمى مجال التعريف أو مجال وجود هذه الوظيفة.
إذا تم النظر في دالة من متغيرين ، ثم مجموعات الأرقام
يتم الإشارة إليها ، كقاعدة عامة ، (x ، y) ويتم تفسيرها على أنها نقاط من المستوى الإحداثي Oxy ، وسيتم تصوير مجال الوظيفة z = f (x ، y) لمتغيرين كمجموعة معينة من النقاط على الطائرة أوكسي.
لذلك ، على سبيل المثال ، نطاق الوظيفة
هي مجموعة النقاط في مستوى Oxy التي تلبي إحداثياتها العلاقة
على سبيل المثال ، إنها دائرة نصف قطرها r تتمحور حول الأصل.
للوظيفة
مجال التعريف هو النقاط التي تفي بالشرط
أي خارجي فيما يتعلق بدائرة معينة.
في كثير من الأحيان ، يتم إعطاء وظائف متغيرين ضمنيًا ، أي كمعادلة
ربط ثلاثة متغيرات. في هذه الحالة ، يمكن اعتبار كل من القيم x و y و z كدالة ضمنية للقيمتين الأخريين.
الصورة الهندسية (الرسم البياني) لدالة متغيرين z = f (x ، y) هي مجموعة من النقاط P (x ، y ، z) في الفضاء ثلاثي الأبعاد Oxyz ، إحداثياتها تلبي المعادلة z = f ( س ، ص).
الرسم البياني لوظيفة الحجج المستمرة ، كقاعدة عامة ، هو بعض السطح في الفضاء Oxyz ، والذي يُسقط على مستوى الإحداثيات Oxy في مجال الوظيفة z = f (x ، y).
لذلك ، على سبيل المثال ، (الشكل 1.1) الرسم البياني للدالة
هو النصف العلوي من الكرة والرسم البياني للدالة
النصف السفلي من الكرة.
الرسم البياني للدالة الخطية z = ax + by + с هو مستوى في الفضاء Oxyz ، والرسم البياني للدالة z = сonst هو مستوى موازٍ لمستوى الإحداثيات Oxyz.
لاحظ أنه لا يمكن تصور وظيفة ثلاثة متغيرات أو أكثر كرسم بياني في مساحة ثلاثية الأبعاد.
في ما يلي ، سنقتصر بشكل أساسي على النظر في وظائف متغيرين أو ثلاثة متغيرات ، حيث يتم النظر في حالة عدد أكبر (ولكن محدود) من المتغيرات بطريقة مماثلة.
تعريف دالة لعدة متغيرات.
(محاضرة 1)
يسمى المتغير u f (x ، y ، z ، .. ، t) إذا ارتبطت قيمة محددة جيدًا للمتغير u لأي مجموعة من القيم (x ، y ، z ، .. ، t).
تسمى مجموعة مجموعات قيمة المتغير مجال تعريف الوظيفة.
G - المجموعة (x ، y ، z ، .. ، t) - مجال التعريف.
دوال من متغيرين.
يسمى المتغير z دالة من متغيرين f (x ، y) إذا تم تخصيص قيمة معينة للمتغير z لأي زوج من القيم (x ، y) Î G.
حد دالة من متغيرين.
دع الدالة z = f (x ، y) معطاة ، p (x ، y) هي النقطة الحالية ، p 0 (x 0 ، y 0) هي النقطة قيد الدراسة.
ديف.المنطقة المجاورة للنقطة p 0 عبارة عن دائرة تتمركز عند النقطة p 0 ونصف القطر r. ص= Ö (x-x 0 ) 2 + (ص ص 0 ) 2 Ø
الرقم أ يسمى حد الوظيفة | عند النقطة ص 0 إن وجد
رقم صغير بشكل تعسفي e ، يمكنك تحديد هذا الرقم r (e)> 0 بحيث يكون لكل قيم x و y ، حيث تكون المسافة من p إلى p0 أقل من r ، تكون عدم المساواة التالية صحيحة: ½f (x ، y) - A½0 ، مع نصف القطر r ، تختلف قيمة الدالة عن A بأقل من e في القيمة المطلقة. وهذا يعني أنه عندما تقترب النقطة p من النقطة p 0 على طول أي واحدالمسار ، تقترب قيمة الوظيفة إلى أجل غير مسمى من الرقم أ.
استمرارية الوظيفة.
دع الدالة z = f (x ، y) معطاة ، p (x ، y) هي النقطة الحالية ، p 0 (x 0 ، y 0) هي النقطة قيد الدراسة.
ديف.تسمى الوظيفة z = f (x، y) بشكل مستمر في r 0 إذا تم استيفاء 3 شروط:
1) يتم تحديد الوظيفة في هذه المرحلة. و (ص 0) = و (س ، ص) ؛
2) لدى f-i حد في هذه المرحلة.
3) الحد يساوي قيمة الوظيفة في هذه المرحلة: ب \ u003d و (س 0 ، ص 0) ؛
ليم و (س ، ص)= و (x 0 ، ذ 0 ) ;
صà ص 0
إذا تم انتهاك شرط واحد على الأقل من شروط الاستمرارية ، فإن النقطة p تسمى نقطة انقطاع. بالنسبة للوظائف ذات المتغيرين ، يمكن أن تكون هناك نقاط فصل منفصلة وخطوط فاصلة كاملة.
يتم تعريف مفهوم الحد والاستمرارية لوظائف عدد أكبر من المتغيرات بالمثل.
لا يمكن تمثيل دالة من ثلاثة متغيرات بيانياً ، على عكس دالة متغيرين.
لوظيفة ذات 3 متغيرات ، يمكن أن تكون هناك نقاط كسر وخطوط وأسطح كسر.
المشتق الخاص.
ضع في اعتبارك الوظيفة z = f (x ، y) ، p (x ، y) هي النقطة قيد الدراسة.
دعنا نعطي المتغير x زيادة Dx؛ x + Dx ، نحصل على النقطة p 1 (x + Dx ، y) ، نحسب الفرق بين قيم الوظيفة عند النقطة p:
D x z \ u003d f (p1) - f (p) \ u003d f (x + Dx، y) - f (x، y) - زيادة جزئية للوظيفة المقابلة لزيادة الوسيطة x.
ديف. المشتق الجزئي للدالة z \ u003d f (x، y) فيما يتعلق بالمتغير x هو حد نسبة الزيادة الجزئية لهذه الوظيفة فيما يتعلق بالمتغير x إلى هذه الزيادة عندما تميل الأخيرة إلى الصفر.
¶ ض= ليم د x ض
à ¶ ض = ليم و (س + د س ، ص) - و (س ، ص)
¶ x دx® 0 دx
وبالمثل ، نحدد المشتق الجزئي بالنسبة إلى المتغير y.
إيجاد المشتقات الجزئية.
عند تحديد المشتقات الجزئية ، يتغير متغير واحد فقط في كل مرة ، ويتم التعامل مع باقي المتغيرات على أنها ثوابت. نتيجة لذلك ، في كل مرة نأخذ فيها في الاعتبار دالة لمتغير واحد فقط ، ويتزامن المشتق الجزئي مع المشتق العادي لهذه الوظيفة لمتغير واحد. ومن هنا جاءت قاعدة إيجاد المشتقات الجزئية: المشتق الجزئي فيما يتعلق بالمتغير قيد الدراسة مطلوب باعتباره المشتق المعتاد لوظيفة هذا المتغير الواحد ، ويتم توزيع المتغيرات المتبقية على شكل ثوابت. في هذه الحالة ، فإن جميع الصيغ الخاصة بتمييز دالة لمتغير واحد (مشتق مجموع ، منتج ، حاصل قسمة) تصبح صالحة.
مفهوم دالة من عدة متغيرات
إذا كانت كل نقطة X = (x 1، x 2، ... x n) من المجموعة (X) من نقاط الفضاء ذي الأبعاد n تم تعيين قيمة واحدة محددة جيدًا للمتغير z ، فإننا نقول ذلك دالة المتغيرات nض \ u003d و (س 1 ، س 2 ، ... س ن) \ u003d و (X).
في هذه الحالة ، المتغيرات x 1 ، x 2 ، ... x n تسمى المتغيرات المستقلةأو الحججوظائف ، ض - المتغير التابع، والرمز f يرمز إلى قانون المراسلات. المجموعة (X) تسمى مجال التعريفوظائف (هذه مجموعة فرعية معينة من الفضاء ذي الأبعاد n).
على سبيل المثال ، الدالة z = 1 / (x 1 x 2) هي دالة لمتغيرين. وسيطاتها هي المتغيرات x 1 و x 2 ، و z هي المتغير التابع. مجال التعريف هو مستوى الإحداثيات بأكمله ، باستثناء الخطوط المستقيمة x 1 \ u003d 0 و x 2 \ u003d 0 ، أي بدون محاور إحداثية وتنسيق. باستبدال الوظيفة بأي نقطة من مجال التعريف ، وفقًا لقانون المراسلات ، نحصل على رقم معين. على سبيل المثال ، أخذ النقطة (2 ؛ 5) ، أي × 1 = 2 ، × 2 = 5 ، نحصل على
ض = 1 / (2 * 5) = 0.1 (أي ض (2 ؛ 5) = 0.1).
دالة على الشكل z \ u003d a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n + b ، حيث a 1 ، a 2 ، ... ، و n ، b أرقام ثابتة ، تسمى خطي. يمكن اعتباره مجموع n وظائف خطية للمتغيرات x 1 ، x 2 ، ... x n. يتم استدعاء جميع الوظائف الأخرى غير خطي.
على سبيل المثال ، الوظيفة z \ u003d 1 / (x 1 x 2) غير خطية ، والوظيفة z \ u003d
\ u003d x 1 + 7x 2-5 - خطي.
يمكن ربط أي دالة z \ u003d f (X) \ u003d f (x 1، x 2، ... x n) بوظائف n لمتغير واحد إذا قمت بإصلاح قيم جميع المتغيرات باستثناء واحد.
على سبيل المثال ، يمكن ربط وظائف ثلاثة متغيرات z \ u003d 1 / (x 1 x 2 x 3) بثلاث وظائف لمتغير واحد. إذا قمنا بإصلاح x 2 \ u003d a و x 3 \ u003d b ، فستأخذ الوظيفة الشكل z \ u003d 1 / (abx 1) ؛ إذا قمت بإصلاح x 1 \ u003d a و x 3 \ u003d b ، فسيأخذ الشكل z \ u003d 1 / (abx 2) ؛ إذا أصلحنا x 1 = a و x 2 = b ، فسيأخذ الشكل z = 1 / (abx 3). في هذه الحالة ، جميع الوظائف الثلاثة لها نفس الشكل. انها ليست دائما كذلك. على سبيل المثال ، إذا أصلحنا x 2 = a لدالة من متغيرين ، فسيأخذ الشكل z = 5x 1 a ، أي وظيفة الطاقة ، وإذا قمت بإصلاح x 1 = a ، فستأخذ الشكل ، أي دالة أسية.
جدولدوال متغيرين z = f (x ، y) هي مجموعة نقاط الفضاء ثلاثي الأبعاد (x ، y ، z) ، يرتبط تطبيق z منها بـ الإحداثي x والإحداثيات y بالعلاقة الوظيفية
ض = و (س ، ص). يمثل هذا الرسم البياني سطحًا معينًا في مساحة ثلاثية الأبعاد (على سبيل المثال ، كما في الشكل 5.3).
يمكن إثبات أنه إذا كانت الوظيفة خطية (أي z = ax + by + c) ، فإن رسمها البياني هو مستوى في الفضاء ثلاثي الأبعاد. يوصى بدراسة أمثلة أخرى للرسوم البيانية ثلاثية الأبعاد بشكل مستقل في الكتاب المدرسي بواسطة كريمر (ص 405-406).
إذا كان هناك أكثر من متغيرين (متغيرات n) ، إذن جدولالوظيفة عبارة عن مجموعة من النقاط (n + 1) فضاء الأبعاد ، والتي يتم حساب الإحداثي x n + 1 وفقًا لقانون وظيفي معين. يسمى هذا المخطط فوق السطح(لوظيفة خطية - مستوي مفرط) ، كما أنه يمثل تجريدًا علميًا (من المستحيل تصويره).
الشكل 5.3 - رسم بياني لدالة متغيرين في فضاء ثلاثي الأبعاد
مستوى السطحدالة المتغيرات n هي مجموعة من النقاط في فضاء ذو أبعاد n ، بحيث تكون قيمة الوظيفة في جميع هذه النقاط هي نفسها وتساوي C. الرقم C نفسه في هذه الحالة يسمى مستوى.
عادة ، لنفس الوظيفة ، من الممكن بناء عدد لا نهائي من الأسطح المستوية (المقابلة لمستويات مختلفة).
لدالة ذات متغيرين ، يتخذ سطح المستوى الشكل خطوط المستوى.
على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك z = 1 / (x 1 x 2). لنأخذ C = 10 ، أي 1 / (x 1 x 2) \ u003d 10. ثم x 2 \ u003d 1 / (10x 1) ، أي على المستوى ، سيأخذ خط المستوى الشكل الموضح في الشكل 5.4 بخط متصل. بأخذ مستوى آخر ، على سبيل المثال ، C \ u003d 5 ، نحصل على خط مستوى في شكل رسم بياني للوظيفة x 2 \ u003d 1 / (5x 1) (كما هو موضح في الخط المنقط في الشكل 5.4).
الشكل 5.4 - خطوط مستوى الوظيفة z \ u003d 1 / (x 1 x 2)
لنفكر في مثال آخر. دع z \ u003d 2x 1 + x 2. لنأخذ C = 2 ، أي 2x 1 + x 2 \ u003d 2. ثم x 2 \ u003d 2-2x 1 ، أي على المستوى ، سيأخذ خط المستوى شكل خط مستقيم ، كما هو موضح في الشكل 5.5 بخط متصل. بأخذ مستوى آخر ، على سبيل المثال ، C \ u003d 4 ، نحصل على خط مستوى على شكل خط مستقيم × 2 \ u003d 4 - 2x 1 (كما هو موضح في الخط المنقط في الشكل 5.5). يظهر خط المستوى 2x 1 + x 2 = 3 في الشكل 5.5 كخط منقط.
من السهل ملاحظة أنه بالنسبة للدالة الخطية لمتغيرين ، فإن أي خط مستوى سيكون خطًا مستقيمًا على المستوى ، وستكون جميع خطوط المستوى موازية لبعضها البعض.
الشكل 5.5 - خطوط مستوى الوظيفة z = 2x 1 + x 2
تحميل...