الأسس النظرية لتركيب المرشح. عناصر تركيب الدوائر الخطية الثابتة عناصر نظرية تركيب مرشحات التردد الخطي

هدف: إتقان تقنية تركيب المرشحات الخطية (تمرير منخفض ، تمرير عالي وتمرير نطاق) بناءً على تقديرات الحد الأقصى المسطح وتقريب Chebyshev.

معلومات نظرية موجزة: يتطلب هذا العمل القدرة على التحليل أنواع مختلفةالدوائر الخطية والعثور على خصائصها الرئيسية (معامل نقل التردد ، وظيفة النقل وأقطابها) ؛ معرفة مبادئ تركيب مرشحات تمرير الترددات المنخفضة الخطية على أساس تقريب الحد الأقصى المسطح و Chebyshev ومبادئ الانتقال من دوائر الترشيح المنخفضة التمريرات المعروفة إلى دوائر التصفية عالية التمرير ومرشحات تمرير النطاق.

تم تصميم مرشحات التمرير المنخفض للإرسال بأقل قدر من التوهين للتذبذبات التي لا تتجاوز تردداتها تردد قطع معين ، وهو ما يسمى تردد القطع، بينما يجب تخفيف التذبذبات ذات الترددات الأكبر من تردد القطع بشكل كبير.

خصائص وظيفة النقل الرباعي :

يجب وضع أقطاب وظيفة النقل للرباعي في المستوى النصف الأيسر للتردد المعقد p. يمكن أن تكون حقيقية أو تشكل أزواج مترافقة معقدة.

يجب أن يتجاوز عدد أعمدة وظيفة النقل دائمًا عدد الأصفار.

على عكس القطبين ، يمكن وضع أصفار وظيفة النقل في أي نصف مستوى ، أي على مستوى كامل للتردد المعقد ص.

مراحل تركيب المرشح :

صياغة المتطلبات التقنية لخصائص المرشحات اعتمادًا على عرض النطاق الترددي المحدد. في هذه الحالة ، لا توجد قيود مفروضة على هيكل المرشح. هذا النهج يسمى التوليف وفقًا لاستجابة ترددية معينة. كقاعدة عامة ، لا يمكن تحقيق الخاصية المثالية في الممارسة العملية.

تقريب خاصية مثالية باستخدام مثل هذه الوظيفة التي قد تنتمي إلى دائرة يمكن تحقيقها ماديًا.

تنفيذ الوظيفة التقريبية المختارة والحصول عليها مخطط الرسم البيانيالتصفية بقيم العناصر المكونة لها.

الأكثر انتشارًا نوعان من التقريب: الحد الأقصى المسطح و Chebyshev.

أقصى تقريب مسطح يعتمد على استخدام دالة معامل نقل طاقة التردد المعطاة على النحو التالي:

أين
هو التردد الطبيعي بلا أبعاد.

يسمى المرشح الذي تفي استجابة التردد التي تفي بهذه الوظيفة مرشح مع أقصى استجابة مسطحة أو مرشح بتروورث.

يبدأ إجراء التوليف بتحديد أقطاب وظيفة نقل المرشح ، والتي من الضروري الانتقال إلى التردد المعقد المقيس ص نوتحديد أقطاب وظيفة كسب طاقة مرشح التردد:

;

في الحالة العامة ، يمكن تحديد جذور هذه المعادلة باستخدام صيغة Moivre (حساب الجذور نال القوة من عدد مركب). في هذه الحالة ، من الضروري مراعاة قيمة مرحلة الرقم المركب ض= - 1 ( = ).

عند إيجاد جذور هذه المعادلة لأي ترتيب للمرشح نيجب القيام بما يلي عام انتظام: تقع جميع الأقطاب على نفس المسافة الزاوية من بعضها البعض وهذه المسافة دائمًا تساوي ؛ لو نغريب ، فالقطب الأول يكون دائمًا 1 إذا نحتى ، ثم القطب الأول
.

باستخدام خاصية التناظر الرباعي لموقع أقطاب وظيفة معامل نقل طاقة التردد وظروف الاستقرار والجدوى المادية لأربعة أقطاب ، من أجل وظيفة نقل المرشح ، من الضروري تحديد الأقطاب الموجودة فقط في النصف الأيسر من التردد المعقد واكتب لهم تمثيل قطب الصفروظيفة النقل.

المرشحات الكهربائية عبارة عن شبكات ذات أربع محطات ، مع توهين ضئيل ∆A ، تنقل التذبذبات في نطاقات تردد معينة f 0 ... f 1 (نطاقات المرور) ولا تنقل التذبذبات عمليًا في النطاقات الأخرى f 2 ... f 3 (توقف أو نطاقات غير الإرسال).

أرز. 2.1.1. مرشح تمرير منخفض (LPF). أرز. 2.1.2. مرشح التمرير العالي (HPF).

هناك العديد من الأنواع المختلفة لتطبيقات المرشحات الكهربائية: مرشحات LC السلبية (تحتوي الدوائر على عناصر استقرائية وسعوية) ، ومرشحات RC السلبية (تحتوي الدوائر على عناصر مقاومة وسعوية) ، والمرشحات النشطة (تحتوي الدوائر على مكبرات الصوت التنفيذية، العناصر المقاومة والسعة) ، الدليل الموجي ، المرشحات الرقمية وغيرها. من بين جميع أنواع المرشحات ، تحتل مرشحات LC موقعًا خاصًا ، حيث يتم استخدامها على نطاق واسع في معدات الاتصالات السلكية واللاسلكية في نطاقات التردد المختلفة. توجد تقنية تجميع راسخة لمرشحات من هذا النوع ، ويستخدم توليف أنواع أخرى من المرشحات هذا إلى حد كبير

المنهجية. لذلك ، في ورقة مصطلحينصب التركيز على التوليف

أرز. 2.1.3. مرشح تمرير النطاق (PF). مرشحات LC السلبية.

مهمة التوليفالمرشح الكهربائي هو تحديد دائرة التصفية بأقل عدد ممكن من العناصر ، استجابة الترددمما يرضي المعطى متطلبات تقنية. غالبًا ما يتم وضع المتطلبات على خاصية التوهين التشغيلي. في الأشكال 2.1.1 و 2.1.2 و 2.1.3 ، تُعطى متطلبات التوهين التشغيلي من خلال مستويات التوهين الأقصى المسموح به في نطاق التمرير A ومستويات التوهين الأدنى المسموح به في نطاق الإيقاف As. تنقسم مهمة التوليف إلى مرحلتين: مشكلة التقريبمتطلبات التوهين التشغيلي من خلال وظيفة منفذة ماديًا و مهمة التنفيذوجدت دالة تقريبية بواسطة دائرة كهربائية.

يتمثل حل مشكلة التقريب في إيجاد مثل هذه الوظيفة بأدنى ترتيب ممكن ، والتي ، أولاً ، تفي بالمتطلبات الفنية المحددة لاستجابة التردد للمرشح ، وثانيًا ، تفي بشروط الجدوى المادية.

الحل لمشكلة التنفيذ هو تحديد دائرة كهربائية، تتطابق استجابة التردد مع الوظيفة الموجودة نتيجة حل مشكلة التقريب.

2.1. أسس تركيب الفلاتر وفقًا لمعلمات العمل.

دعونا نفكر في بعض العلاقات التي تميز شروط نقل الطاقة من خلال مرشح كهربائي. كقاعدة عامة ، يتم استخدام مرشح كهربائي في الظروف التي يتم فيها توصيل الأجهزة من جانب أطراف الإدخال الخاصة بها ، والتي يمكن تمثيلها في الدائرة المكافئة كشبكة نشطة ثنائية الطرف مع المعلمات E (jω) و R1 والأجهزة المقدمة على الدائرة المكافئة متصلة من جانب مقاومة مقاومة أطراف الخرج R2. تظهر دائرة تشغيل المرشح الكهربائي في الشكل 2.2.1.

يوضح الشكل 2.2.2 مخططًا يتم فيه ، بدلاً من المرشح والمقاومة R2 ، توصيل مقاومة الحمل بمولد مكافئ (مع المعلمات E (jω) ، R1) ، والتي تساوي قيمتها مقاومة المولد R1. كما تعلم ، يوفر المولد أقصى طاقة لحمل مقاوم إذا كانت مقاومة الحمل مساوية لمقاومة الخسارة الداخلية للمولد R1.

يتميز مرور الإشارة عبر شبكة ذات أربعة أطراف بوظيفة نقل عاملة T (jω). عمل وظيفة الإرساليسمح لك بمقارنة الطاقة S 0 (jω) التي يوفرها المولد بالحمل R1 (بما يتوافق مع المعلمات الخاصة به) ، مع الطاقة S 2 (jω) المقدمة للحمل R2 بعد المرور عبر الفلتر:

حجة دالة نقل العمل (T (jω)) تميز علاقة الطور بين emf. E (jω) والجهد الناتج U 2 (jω). يطلق عليه ثابت نقل مرحلة العمل (يُشار إليه بالحرف اليوناني "بيتا"):

عندما تنتقل الطاقة عبر شبكة ذات أربعة أطراف ، فإن التغيرات في الطاقة والجهد والتيار بالقيمة المطلقة تتميز بمعامل وظيفة نقل العمل. عند تقييم الخصائص الانتقائية للمرشحات الكهربائية ، يتم استخدام مقياس يتم تحديده بواسطة دالة لوغاريتمية. هذا المقياس هو توهين العمل (المشار إليه بالحرف اليوناني "alpha") ، والذي يرتبط بالوحدة النمطية لوظيفة النقل العاملة بالنسب:

، (Np) ؛ أو (2.2)

، (ديسيبل). (2.3)

عند استخدام الصيغة (2.2) ، يتم التعبير عن التوهين التشغيلي بالنيبر ، وعند استخدام الصيغة (2.3) بالديسيبل.

تسمى القيمة بثابت الإرسال العامل للرباعي (يُشار إليه بالحرف اليوناني "جاما"). يمكن تمثيل وظيفة نقل العمل باستخدام توهين العمل ومرحلة العمل على النحو التالي:

في الحالة التي تكون فيها مقاومة الخسارة الداخلية للمولد R1 ومقاومة الحمل R2 مقاومة ، تكون القوى S 0 (jω) و S 2 (jω) نشطة. من الملائم وصف مرور الطاقة عبر الفلتر باستخدام معامل نقل الطاقة ، المحدد على أنه نسبة الحد الأقصى للطاقة P max المستلمة من المولد بحمل مطابق له ، إلى القدرة P 2 التي تدخل الحمولة R2:

لا تستهلك الشبكة التفاعلية ذات الأربعة أطراف طاقة نشطة. ثم الطاقة النشطة P 1 التي يعطيها المولد تساوي الطاقة P 2 التي يستهلكها الحمل:

دعونا نعبر عن قيمة معامل تيار الإدخال: ، ونستبدلها بـ (2.5).

باستخدام التحويلات الجبرية ، نمثل (2.5) بالصيغة:

نمثل بسط الجانب الأيمن من المعادلة بالصيغة:

الجانب الأيسر من المعادلة (2.6) هو مقلوب نسبة نقل القدرة:

التعبير التالي هو معامل انعكاس القدرة من أطراف الإدخال لرباعي الأقطاب:

معامل الانعكاس (الجهد أو التيار) من أطراف الإدخال للشبكة ذات الأربعة أطراف ، يساوي

يميز مطابقة معاوقة دخل المرشح مع المقاومة R1.

لا يمكن للشبكة السلبية ذات الأربعة أطراف أن توفر كسبًا للطاقة ، أي.

لذلك ، بالنسبة لمثل هذه الدوائر ، يُنصح باستخدام الوظيفة المساعدة التي يحددها التعبير:

دعنا نمثل توهين العمل في شكل مختلف ، أكثر ملاءمة لحل مشكلة تركيب المرشح:

من الواضح أن طبيعة الاعتماد على التردد لتوهين العمل مرتبطة بالاعتماد على التردد للوظيفة ، التي تسمى وظيفة الترشيح: تتطابق أصفار وأقطاب وظيفة الترشيح مع أصفار وأقطاب التوهين.

استنادًا إلى الصيغتين (2.7) و (2.9) ، من الممكن تمثيل معامل انعكاس القدرة من أطراف الإدخال للرباعي:

دعنا ننتقل إلى كتابة صور عامل التشغيل وفقًا لابلاس ، مع الأخذ في الاعتبار أن p = jω ، وأيضًا أنه يتم التعبير عن مربع معامل القيمة المركبة ، على سبيل المثال ،. التعبير (2.10) في شكل عامل له الشكل

تعبيرات العملية ، هي وظائف عقلانية للمتغير المعقد "p" ، وبالتالي يمكن كتابتها كـ

حيث ، ، - هي كثيرات الحدود ، على سبيل المثال:

من الصيغة (2.11) ، مع الأخذ في الاعتبار (2.12) ، يمكننا الحصول على العلاقة بين كثيرات الحدود:

في مرحلة حل مشكلة التقريب ، يتم تحديد التعبير عن وظيفة الترشيح ، أي يتم تحديد كثيرات الحدود h (p) ، w (p) ؛ من المعادلة (2.13) يمكن للمرء أن يجد كثير الحدود v (p).

إذا تم تقديم التعبير (2.8) في شكل عامل ، فيمكن الحصول على وظيفة معاوقة الإدخال للمرشح في شكل عامل:

شروط التحقيق المادي هي كما يلي:

1. v (p) - يجب أن تكون كثيرة حدود Hurwitz ، أي أن جذورها تقع في النصف الأيسر من مستوى المتغير المعقد p = α + j Ω (شرط استقرار السلسلة) ؛

2. w (p) - يجب أن يكون متعدد الحدود زوجيًا أو فرديًا (لـ LPF w (p) - حتى في حالة عدم وجود قطب توهين عند ω = 0 ؛ لـ HPF w (p) - فردي) ؛

3. h (p) هي أي كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية.

2.2. لائحة المقاومة والتردد.

يمكن أن تأخذ القيم العددية لمعلمات العناصر L و C و R وترددات القطع للفلاتر الحقيقية ، اعتمادًا على تحديد، قيم مختلفة. يؤدي استخدام الكميات الصغيرة والكبيرة في وقت واحد في العمليات الحسابية إلى خطأ حسابي كبير.

من المعروف أن طبيعة تبعيات التردد للمرشح لا تعتمد على القيم المطلقة لمعاملات الوظائف التي تصف هذه التبعيات ، ولكنها تحدد فقط بنسبها. يتم تحديد قيم المعاملات من خلال قيم المعلمات L و C و R الخاصة بالمرشحات. لذلك ، فإن تطبيع (التغيير بنفس عدد المرات) لمعاملات الوظائف يؤدي إلى تطبيع قيم معلمات عناصر المرشح. وبالتالي ، بدلاً من القيم المطلقة لمقاومات عناصر المرشح ، يتم أخذها القيم النسبية، المتعلقة بمقاومة الحمل R2 (أو R1).

بالإضافة إلى ذلك ، إذا تم ضبط قيم التردد بالنسبة إلى تردد القطع لعرض النطاق الترددي (غالبًا ما تستخدم هذه القيمة) ، فسيؤدي ذلك إلى تضييق نطاق انتشار القيم المستخدمة في الحسابات وزيادة دقة العمليات الحسابية. تتم كتابة قيم التردد المقيسة في النموذج وهي كميات بلا أبعاد ، والقيمة المعيارية لتردد القطع لعرض النطاق الترددي.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك مقاومة العناصر المتصلة بالسلسلة L و C و R:

المقاومة المقدرة:.

دعونا نقدم قيم التردد المقيسة في التعبير الأخير: حيث تكون المعلمات المقيسة:.

يتم تحديد القيم الحقيقية (غير الطبيعية) لمعلمات العنصر من خلال:

من خلال تغيير قيم f 1 و R2 ، يمكن الحصول على دوائر جديدة من الأجهزة التي تعمل في نطاقات تردد أخرى وتحت أحمال أخرى من الدائرة الأصلية. أتاح إدخال التطبيع إنشاء كتالوجات من المرشحات ، والتي تقلل في كثير من الحالات المشكلة الصعبة المتعلقة بتوليف المرشح للعمل مع الجداول.

2.3 بناء المخططات المزدوجة.

الكميات المزدوجة ، كما هو معروف ، هي المقاومة والتوصيل. يمكن العثور على دائرة مزدوجة لكل دائرة من دارات الفلتر الكهربائي. في هذه الحالة ، ستكون مقاومة الإدخال للدائرة الأولى مساوية لموصلية الإدخال للثانية ، مضروبة في المعامل. من المهم ملاحظة أن وظيفة النقل العاملة T (p) لكلا المخططين ستكون هي نفسها. يظهر مثال لبناء دائرة مزدوجة في الشكل 2.3.

غالبًا ما تكون هذه التحولات مريحة ، لأنها تتيح تقليل عدد العناصر الاستقرائية. كما تعلم ، فإن المحرِّضات ، بالمقارنة مع المكثفات ، هي عناصر ضخمة ومنخفضة الجودة.

يتم تحديد المعلمات الطبيعية لعناصر الدائرة المزدوجة (عندما = 1):

2.4 التقريب لخصائص التردد.

توضح الأشكال 2.1.1 - 2.1.3 الرسوم البيانية لوظائف التوهين العامل لمرشح تمرير الترددات المنخفضة (LPF) ، ومرشح التمرير العالي (HPF) ، ومرشح تمرير النطاق (BPF). تظهر نفس الرسوم البيانية مستويات التوهين المطلوب. في نطاق التمرير f 0 ... f 1 ، يتم تعيين الحد الأقصى لقيمة التوهين المسموح بها (ما يسمى تفاوت التوهين) ΔА ؛ في نطاق الإيقاف f 2 ... f 3 ، يتم تعيين الحد الأدنى لقيمة التوهين المسموح بها A S ؛ في المنطقة الانتقالية للترددات f 1 ... f 2 لا تُفرض متطلبات التوهين.

قبل الشروع في حل مشكلة التقريب ، يتم تطبيع الخصائص المطلوبة للتوهين التشغيلي في التردد ، على سبيل المثال ، لمرشح التمرير المنخفض ومرشح التمرير العالي:

يجب أن تفي وظيفة التقريب المرغوبة بشروط الجدوى المادية وأن تُعيد بدقة كافية الاعتماد على التردد المطلوب لتوهين التشغيل. هناك معايير مختلفة لتقدير خطأ التقريب ، والتي تستند إليها أنواع مختلفة من التقريب. في مشاكل تقريب خصائص السعة والتردد ، غالبًا ما تستخدم معايير تايلور وتشيبيشيف المثلى.

2.4.1. التقريب بمعيار تايلور.

في حالة تطبيق معيار تايلور ، فإن وظيفة التقريب المطلوبة لها الشكل التالي (القيمة الطبيعية):

أين هو مربع معامل وظيفة الترشيح ؛

- ترتيب كثير الحدود (يأخذ قيمة عددية) ؛

ε هو معامل عدم الانتظام. ترتبط قيمته بقيمة A - تفاوت التوهين في نطاق التمرير (الشكل 2.4). منذ تردد القطع لنطاق المرور Ω 1 = 1 ، لذلك

تسمى المرشحات مع تبعيات التردد للتوهين (2.16) مرشحات ذات توهين خصائص التوهين المسطحة للغاية، أو المرشحات ذات الامتداد خصائص بتروورث، الذي كان أول من استخدم التقريب بمعيار تايلور في حل مشكلة تركيب المرشح.

يتم تحديد ترتيب دالة التقريب بناءً على الحالة التي يكون فيها توهين التشغيل عند تردد القطع لنطاق الإيقاف 2 يتجاوز الحد الأدنى للقيمة المسموح بها:

أين . (2.19)

نظرًا لأن ترتيب كثير الحدود يجب أن يكون عددًا صحيحًا ، فإن القيمة الناتجة

الشكل 2.4. يتم تقريبه إلى أقرب أعلى

قيمة عدد صحيح.

يمكن تمثيل التعبير (2.18) في شكل عامل باستخدام التحويل jΩ →:

لنجد جذور كثير الحدود: ، من أين

ك = 1 ، 2 ، ... ، ملحوظة (2.20)

تأخذ الجذور قيمًا مترافقة معقدة وتقع في دائرة نصف قطرها. لتشكيل كثير حدود Hurwitz ، من الضروري استخدام تلك الجذور الموجودة في النصف الأيسر فقط طائرة معقدة:

يوضح الشكل 2.5 مثالاً على وضع جذور كثير حدود من الدرجة التاسعة بمكون حقيقي سلبي في المستوى المركب. مربع الوحدة

أرز. 2.5 وظيفة التصفية حسب (2.16) تساوي:

متعدد الحدود مع معاملات حقيقية ؛ هي كثيرة الحدود من أجل زوجي. وبالتالي ، يتم استيفاء شروط التحقيق المادي.

2.4.2. التقريب بمعيار Chebyshev.

عند استخدام كثيرات الحدود للقدرة Ω 2 N B لتقريب تايلور ، يتم الحصول على تقريب جيد للوظيفة المثالية بالقرب من النقطة Ω = 0 ، ولكن من أجل ضمان انحدار كافٍ لوظيفة التقريب لـ Ω> 1 ، من الضروري زيادة الترتيب من كثير الحدود (وبالتالي ، ترتيب المخطط).

يمكن الحصول على أفضل انحدار في منطقة تردد الانتقال إذا لم نختار ، كدالة تقريبية ، وظيفة رتيبة (الشكل 2.4) ، ولكن وظيفة تتأرجح في نطاق القيم 0 ... А في نطاق التمرير في 0<Ω<1 (рис. 2.7).

يتم توفير أفضل تقدير بمعيار Chebyshev من خلال استخدام Chebyshev متعدد الحدود P N (x) (الشكل 2.6). في الفاصل الزمني -1< x < 1 отклонения аппроксимирующих функций от нулевого уровня равны ±1 и чередуются по знаку.

في الفاصل الزمني -1< x < 1 полином Чебышёва порядка N описывается выражением

الفوسفور N (x) = cos (N arccos (x)) ، (2.21)

لـ N = 1 P 1 (x) = cos (arccos (x)) = x ،

لـ N = 2 P 2 (x) = cos (2 arccos (x)) = 2 cos 2 (arccos (x)) - 1 = 2 x 2-1 ،

بالنسبة لـ N≥3 ، يمكن حساب كثير الحدود P N (x) باستخدام الصيغة المتكررة

P N +1 (x) = 2 x P N (x) - P N -1 (x).

بالنسبة إلى x> 1 ، تزيد قيم كثيرات حدود Chebyshev بشكل رتيب ويتم وصفها بالتعبير

P N (x) = ch (N قوس (x)). (2.22)

يوصف التعبير دالة توهين العمل (الشكل 2.7)

حيث ε هو معامل عدم الانتظام الذي تحدده الصيغة (2.17) ؛

مربع وحدة تصفية وظيفة ؛

P N (Ω) هو متعدد حدود Chebyshev من أجل N.

يجب أن يتجاوز التوهين التشغيلي في نطاق التوقف قيمة A S:

باستبدال التعبير (2.22) لقيم ترددات النطاق الموقوف في هذه المتباينة ، نقوم بحلها فيما يتعلق بالقيمة N = NЧ - ترتيب متعدد الحدود Chebyshev:

يجب أن يكون ترتيب كثير الحدود عددًا صحيحًا ، لذلك يجب تقريب القيمة الناتجة إلى قيمة العدد الصحيح الأعلى التالية.

مربع معامل وظيفة نقل العمل (القيمة المعيارية)

نظرًا لأن أصفار التوهين (هي جذور Hurwitz متعدد الحدود) موجودة في نطاق المرور ، يجب استبدال التعبير (2.21) لترددات نطاق التمرير في هذا التعبير.

يمكن تمثيل التعبير (2.25) في شكل عامل باستخدام التحويل jΩ →:

يتم تحديد جذور كثير الحدود بالصيغة:

ك = 1 ، 2 ، ... ، ن ، (2.26)

توجد الجذور المترافقة المعقدة في المستوى المعقد على القطع الناقص. كثير حدود Hurwitz يتكون فقط من جذور ذات مكون حقيقي سلبي:

مربع معامل وظيفة التصفية ؛ لذلك ، نجد كثير الحدود باستخدام الصيغة العودية:

هي كثيرة الحدود ذات معاملات حقيقية ؛ هي كثيرة الحدود لدرجة زوجية. تم استيفاء شروط التحقيق المادي.

2.5 تنفيذ الوظيفة التقريبية بالدائرة الكهربائية.

تعتمد إحدى طرق حل مشكلة التنفيذ على توسيع الكسر المستمر لوظيفة مقاومة الإدخال

تم وصف إجراء التحلل في الأدبيات:،. يمكن شرح توسيع الكسر المستمر باختصار على النحو التالي.

الوظيفة هي نسبة متعددة الحدود. أولا ، البسط كثير الحدود مقسوم على كثير الحدود المقام. ثم يصبح كثير الحدود الذي كان المقسوم عليه قابلاً للقسمة ، والباقي الناتج يصبح القاسم ، وهكذا. تشكل حواصل القسمة جزءًا مستمرًا. بالنسبة للدائرة في الشكل 2.8 ، يكون للكسر المستمر الشكل (= 1):

إذا لزم الأمر ، يمكنك من المستلم

مخططات تذهب إلى المزدوج.

2.6. طريقة التحويل المتغير التردد.

يتم استخدام طريقة التحويل المتغير التردد لتركيب HPF و PF. لا ينطبق التحويل إلا على الترددات المعيارية Ω.

2.6.1. توليف HPF. بمقارنة خصائص LPF و HPF في الشكلين 2.9 و 2.10 ، يمكنك أن ترى أنها معكوسة بشكل متبادل. هذا يعني أننا إذا قمنا بتغيير متغير التردد

في التعبير عن خاصية مرشح التمرير المنخفض ، سيتم الحصول على خاصية التمرير العالي. على سبيل المثال ، لمرشح بخاصية Butterworth

استخدام هذا التحويل يكافئ استبدال العناصر السعوية بأخرى استقرائية والعكس صحيح:

إنه

إنه .

لتجميع مرشح تمرير عالي باستخدام طريقة تحويل متغير التردد ، يجب عليك القيام بما يلي.

أرز. 2.9 LPF مع الشكل الطبيعي. 2.10. HPF مع تطبيع

صفة مميزة. صفة مميزة.

1. تطبيع متغير التردد.

2. طبق المعادلة (2.27) لتحويل متغير التردد

متطلبات التوهين التشغيلي المعاد حسابها هي متطلبات التوهين التشغيلي لما يسمى بالنموذج الأولي LPF.

3. تجميع النموذج الأولي LPF.

4. تطبيق الصيغة (2.27) للانتقال من النموذج الأولي LPF إلى HPF المطلوب.

5. إجراء عدم تسوية من معلمات عناصر HPF توليفها.

2.6.2. توليف PF. الشكل 2.1.3. تظهر الخاصية المتماثلة للتوهين التشغيلي لمرشح تمرير النطاق. هذا هو اسم الخاصية المتناظرة هندسيًا حول متوسط ​​التردد.

لتجميع PF باستخدام طريقة تحويل متغير التردد ، يجب عليك القيام بما يلي.

1. للانتقال من الخاصية المتماثلة المطلوبة لـ PF إلى الخاصية المقيسة للنموذج الأولي لـ LPF (واستخدام تقنية التوليف المعروفة بالفعل) ، من الضروري استبدال متغير التردد (الشكل 2.11)

2.7. فلاتر نشطة.

تتميز المرشحات النشطة بغياب المحاثات ، حيث يمكن إعادة إنتاج خصائص العناصر الحثية باستخدام دوائر نشطة تحتوي على عناصر نشطة (op-amps) ومقاومات ومكثفات. يتم تعيين هذه المخططات: مخططات ARC. عيوب المحاثات هي عامل الجودة المنخفض (خسائر كبيرة) ، الأبعاد الكبيرة ، تكلفة الإنتاج العالية.

2.7.1. أساسيات نظرية مرشحات ARC. بالنسبة لشبكة خطية ذات أربعة أطراف (بما في ذلك مرشح ARC الخطي) ، يتم التعبير عن النسبة بين جهد الدخل والخرج (في شكل المشغل) بواسطة وظيفة نقل الجهد:

حيث w (p) هو زوجي (K p 0 لـ LPF) أو فردي (لـ HPF) متعدد الحدود ،

v (p) هو Hurwitz متعدد الحدود من أجل N.

بالنسبة إلى LPF ، يمكن تمثيل وظيفة النقل (القيمة المعيارية) كمنتج من العوامل

حيث K \ u003d H U (0) \ u003d K2 1 K2 2 ... ... K2 (N / 2) - قيمة الوظيفة H U (p) (لمرشح الترتيب الزوجي) عند إرسال جهد ثابت ( أي عند f \ u003d 0 أو ، في شكل عامل ، عند p = 0) ؛

تتكون العوامل في المقام من ناتج الجذور المترافقة المعقدة

في حالة مرشح الترتيب الفردي ، هناك عامل واحد يتكون باستخدام جذر Hurwitz كثير الحدود مع القيمة الحقيقية.

يمكن تنفيذ كل عامل وظيفة نقل باستخدام مرشح تمرير منخفض نشط من الدرجة الثانية أو الأولى (ARC). ووظيفة النقل المعطاة بالكامل H U (p) هي اتصال متسلسل لهذه الشبكات ذات الأربعة أطراف (الشكل 2.13).

يتميز الجهاز النشط المكون من أربعة أطراف والذي يعتمد على مضخم تشغيلي بخاصية مفيدة للغاية - حيث تكون مقاومة المدخلات الخاصة به أكبر بكثير من مقاومة الخرج. لا يؤثر الاتصال بشبكة من أربع محطات كحمولة مقاومة كبيرة جدًا (وضع التشغيل هذا قريبًا من وضع الخمول) على خصائص الشبكة ذات الأربعة أطراف.

H U (p) = H1 U (p) H2 U (p) ... Hk U (p)

على سبيل المثال ، يمكن تنفيذ مرشح تمرير منخفض نشط من الدرجة الخامسة بواسطة دائرة عبارة عن اتصال متسلسل مكون من رباعيتين من الدرجة الثانية ورباعي أقطاب من الدرجة الأولى (الشكل 2.14) ، ويتكون مرشح تمرير منخفض من الدرجة الرابعة لوصلة متسلسلة لرباعي أقطاب من الدرجة الثانية. يتم توصيل الأقطاب الرباعية ذات عامل الجودة الأعلى أولاً بمسار إرسال الإشارة ؛ يتم توصيل الجهاز ذي الأربعة أطراف من الدرجة الأولى (بأقل عامل جودة وأدنى ميل لاستجابة التردد) أخيرًا.

2.7.2. توليف مرشح ARCأنتجت باستخدام وظيفة نقل الجهد (2.29). يتم إجراء تطبيع التردد بالنسبة إلى تردد القطع f c. عند تردد القطع ، تكون قيمة وظيفة نقل الجهد أقل من الحد الأقصى Hmax بمعامل 3 ، وقيمة التوهين 3 ديسيبل

أرز. 2.14. مرشح الترددات المنخفضة من الدرجة الخامسة من ARC.

تتم تسوية خصائص التردد بالنسبة إلى f c. إذا حللنا المعادلتين (2.16) و (2.23) فيما يتعلق بتردد القطع ، فإننا نحصل على التعبيرات

ل LPF مع خاصية بتروورث ؛

مع خاصية Chebyshev.

اعتمادًا على نوع خاصية المرشح - Butterworth أو Chebyshev - يتم تحديد ترتيب دالة التقريب بواسطة الصيغ (2.19) أو (2.26).

يتم تحديد جذور Hurwitz كثير الحدود بواسطة الصيغ (2.20) أو (2.26). يمكن تشكيل وظيفة نقل الجهد لرباعي الأقطاب من الدرجة الثانية باستخدام زوج من الجذور المترافقة المعقدة ، وبالإضافة إلى ذلك ، يمكن التعبير عنها من حيث معلمات عناصر الدائرة (الشكل 2.14). لم يتم إعطاء تحليل الدائرة واشتقاق التعبير (2.31). التعبير (2.32) عن رباعي القطب من الدرجة الأولى مكتوب بطريقة مماثلة.

نظرًا لأن قيمة مقاومة الحمل لا تؤثر على خصائص المرشح النشط ، يتم تنفيذ إلغاء التطابق بناءً على ما يلي. أولاً ، يتم تحديد القيم المقبولة لمقاومات المقاومة (10 ... 30 كيلو أوم). ثم يتم تحديد القيم الحقيقية لمعلمات السعة ؛ لهذا ، تم استخدام f c في التعبير (2.15).

لم يتم تضمين النظرية العامة لتركيب الدوائر الكهربائية الخطية في مهمة دورة "دوائر الراديو والإشارات".

يناقش هذا الفصل فقط بعض الأسئلة الخاصة والمحددة لتركيب دارات الراديو:

توليف رباعي القطب النشط في شكل اتصال متسلسل للروابط الأولية غير المتفاعلة (المنفصلة) من الدرجة الأولى أو الثانية ؛

بناء دوائر انتقائية لا تحتوي على محاثات (دوائر متكاملة) ؛

عناصر تركيب الدوائر (الرقمية) المنفصلة والعلاقة بين استجابة التردد واستجابة الطور للمرشحات الرقمية.

يتم توليف الدوائر التناظرية في هذا الفصل فقط في مجال التردد ، أي وفقًا لوظيفة نقل معينة ؛ بالنسبة للدوائر الرقمية ، يعتبر التوليف أيضًا لاستجابة نبضية معينة (باختصار).

من المعروف أن وظيفة النقل للرباعي الخطي يتم تحديدها بشكل فريد من خلال أصفارها وأقطابها على المستوى (الدوائر التماثلية) أو على المستوى z (الدوائر الرقمية). لذلك ، فإن التعبير "توليف بواسطة دالة نقل معينة" يعادل التعبير "توليف بواسطة أصفار وأعمدة معطاة لوظيفة النقل". تعتبر النظرية الحالية للتوليف الرباعي الأقطاب الدوائر التي تحتوي وظيفتها التحويلية على عدد محدود من الأصفار والأعمدة ، وبعبارة أخرى ، الدوائر التي تتكون من عدد محدود من الروابط ذات المعلمات المجمعة. تركز المواد المعروضة أدناه على رباعي الأقطاب مع عدد صغير من الروابط ، والتي تعتبر نموذجية لمرشحات التمرير المنخفض ، والمرشحات عالية التمرير ، ومرشحات الحاجز ، وما إلى ذلك ، والتي تُستخدم على نطاق واسع في الأجهزة الإلكترونية.

عدد المحاضرة 15.

تصميم (توليف) المرشحات الرقمية الخطية.

يُفهم تصميم (توليف) المرشح الرقمي على أنه اختيار مثل هذه المعاملات لوظيفة النظام (النقل) ، حيث تفي خصائص المرشح الناتج بالمتطلبات المحددة. بالمعنى الدقيق للكلمة ، تتضمن مهمة التصميم أيضًا اختيار هيكل مرشح مناسب (انظر المحاضرة 14) ، مع مراعاة الدقة المحدودة للحسابات. هذا صحيح بشكل خاص عند تنفيذ المرشحات في شكل أجهزة (في شكل LSI المتخصصة أو معالجات الإشارات الرقمية). لذلك ، بشكل عام ، يتكون تصميم المرشح الرقمي من الخطوات التالية:

1. حل مشكلة التقريب من أجل تحديد معاملات المرشح ووظيفة النظام التي تلبي متطلبات محددة.
2. اختيار مخطط بناء المرشح ، أي تحويل وظيفة النظام إلى مخطط كتلة مرشح محدد.
3. تقييم تأثيرات التكميم ، أي التأثيرات المرتبطة بالدقة المحدودة لتمثيل الأرقام في الأنظمة الرقمية بعمق بت محدود.
4. التحقق من خلال طرق المحاكاة ما إذا كان المرشح الناتج يفي بالمتطلبات المحددة.

يمكن تصنيف طرق تركيب المرشحات الرقمية وفقًا لمعايير مختلفة:

1. حسب نوع الفلتر:
   • طرق لتركيب المرشحات باستجابة نبضية محدودة ؛
   • طرق لتجميع المرشحات مع استجابة نبضية لانهائية ؛
2. من خلال وجود نموذج أولي تناظري:
   • طرق التوليف باستخدام النموذج التمثيلي ؛
   • طرق التركيب المباشر (بدون استخدام نموذج أولي تناظري).

من الناحية العملية ، غالبًا ما تُفضل مرشحات FIR للأسباب التالية. أولاً ، توفر مرشحات FIR القدرة على حساب إشارة الخرج بدقة مع إدخال محدود على الالتواء الذي لا يتطلب اقتطاع استجابة النبضة. ثانيًا ، يمكن أن تتمتع المرشحات ذات الاستجابة النبضية المحدودة باستجابة طور خطي صارم في نطاق المرور ، مما يسمح لك بتصميم مرشحات ذات استجابة سعة لا تشوه إشارات الإدخال. ثالثًا ، تكون مرشحات FIR ثابتة دائمًا ، ومع إدخال تأخير محدود مناسب ، يمكن تحقيقها ماديًا. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن تنفيذ مرشحات FIR ليس فقط في المخططات غير العودية ، ولكن أيضًا باستخدام النماذج العودية.

لاحظ عيوب مرشحات FIR:

1. لتقريب المرشحات التي تحتوي استجابات ترددها على انقطاعات حادة ، يلزم استجابة نبضية مع عدد كبير من العينات. لذلك ، عند استخدام الالتواء التقليدي ، من الضروري إجراء قدر كبير من العمليات الحسابية. فقط تطوير طرق الالتواء السريع على أساس خوارزمية FFT عالية الأداء سمح لمرشحات FIR بالتنافس بنجاح مع مرشحات IIR التي لها انقطاعات حادة في استجابة التردد.
2. التأخير في مرشحات FIR مع استجابة طور خطي لا يساوي دائمًا عددًا صحيحًا لفترات أخذ العينات. في بعض التطبيقات ، قد يكون هذا التأخير المتعدد مشكلة.

يرتبط أحد خيارات تصميم المرشحات الرقمية بتسلسل معين من عينات الاستجابة النبضية ، والتي تُستخدم للحصول على استجابة التردد الخاصة بها (كسب التردد) وتحليلها.

نحصل على الحالة التي بموجبها يكون للمرشح غير التكراري استجابة طورية خطية تمامًا. وظيفة النظام لمثل هذا المرشح لها الشكل:

, (15.1)

حيث تكون معاملات المرشح عينات استجابة اندفاعية. تحويل فورييه هو استجابة التردد للمرشح ، دوري في التردد مع فترة. نحن نمثلها لتسلسل حقيقي في النموذج: نحصل على الشروط التي بموجبها ستضمن الاستجابة النبضية للمرشح الخطية الصارمة لاستجابة طورها. هذا الأخير يعني أن خاصية المرحلة يجب أن تبدو كما يلي:

(15.2)

حيث يتم التعبير عن تأخر الطور الثابت من حيث عدد فترات أخذ العينات. نكتب استجابة التردد بالصيغة:

(15.3)

بمساواة الأجزاء الحقيقية والخيالية ، نحصل على:

, (15.4)

. (15.5)

أين:

. (15.6)

هناك نوعان من الحلول الممكنة للمعادلة (15.6). أحدهما (عندما) لا يهم ، والآخر يتوافق مع الحالة. بضرب شروط المعادلة (15.6) ، نحصل على:

(15.7)

نظرًا لأن المعادلة (15.7) لها شكل سلسلة فورييه ، يجب أن يفي حل المعادلة بالشروط التالية:

, (15.8)

و (15.9)

ويترتب على الشرط (15.8) أنه يوجد تأخير واحد فقط لكل مرحلة ، والتي يمكن بموجبها تحقيق خطية صارمة لخاصية طور المرشح. من (15.9) يتبع ذلك أنه بالنسبة لواحد معين يلبي الشرط (15.8) ، يجب أن يكون للاستجابة النبضية تناظر محدد جيدًا.

من المناسب النظر في استخدام الشرطين (15.8) و (15.9) بشكل منفصل للحالات الزوجية والفردية. إذا كان عددًا فرديًا ، ثم عددًا صحيحًا ، أي أن التأخير في المرشح يساوي عددًا صحيحًا لفترات أخذ العينات. في هذه الحالة ، يقع مركز التناظر على المرجع. إذا كان رقمًا زوجيًا ، فهو رقم كسري ، ويكون التأخير في المرشح مساويًا لعدد غير صحيح لفترات أخذ العينات. على سبيل المثال ، نحصل عليه ، ويقع مركز تناظر الاستجابة النبضية في المنتصف بين قراءتين.

تُستخدم قيم معاملات الاستجابة النبضية لحساب استجابة التردد لمرشحات FIR. يمكن إثبات أنه بالنسبة للاستجابة النبضية المتماثلة مع عدد فردي من العينات ، فإن التعبير عن دالة حقيقية تأخذ قيمًا موجبة وسالبة هو:

, (15.10)

أين

في أغلب الأحيان ، عند تصميم مرشح FIR ، يبدأ المرء من استجابة التردد المطلوبة (أو المرغوبة) ثم يحسب معاملات المرشح. هناك عدة طرق لحساب هذه المرشحات:طريقة تصميم النوافذ ، طريقة أخذ العينات التكرارية ، طريقة حساب المرشح الأمثل (وفقًا لـ Chebyshev).ضع في اعتبارك فكرة تصميم النوافذ باستخدام مرشح التمرير المنخفض FIR كمثال.

بادئ ذي بدء ، يتم ضبط استجابة التردد المطلوبة للمرشح المصمم. على سبيل المثال ، لنأخذ استجابة ترددية مستمرة مثالية لمرشح تمرير منخفض بكسب يساوي الوحدة عند الترددات المنخفضة ويساوي صفرًا عند ترددات تتجاوز بعضًاتردد القطع . التمثيل المنفصل لمرشح التمرير المنخفض المثالي هو خاصية دورية يمكن تعيينها بواسطة عينات على فاصل زمني مساو لتردد أخذ العينات. يؤدي تحديد معاملات مرشح التمرير المنخفض باستخدام طرق DFT العكسية (إما بشكل تحليلي أو باستخدام برنامج DFT العكسي) إلى إنتاج سلسلة من عينات الاستجابة النبضية غير المحدودة في كلا الاتجاهين ، والتي لها شكل دالة كلاسيكية.

للحصول على مرشح غير متكرر قابل للتنفيذ لترتيب معين ، يتم اقتطاع هذا التسلسل ، ويتم تحديد جزء مركزي من الطول المطلوب منه. يتوافق الاقتطاع البسيط لعينات الاستجابة النبضية مع الاستخدامنافذة مستطيلة، نظرًا لوظيفة خاصة نظرًا لاقتطاع العينات ، فإن استجابة التردد المعطاة في البداية مشوهة ، لأنها عبارة عن التفاف في مجال التردد لاستجابة التردد المنفصلة و DFT لوظيفة النافذة:

, (15.11)

حيث DFT نتيجة لذلك ، يحدث تموج في نطاق تمرير استجابة التردد بسبب الفصوص الجانبية.

للتخفيف من التأثيرات المذكورة أعلاه ، وقبل كل شيء ، لتقليل مستوى الفصوص في نطاق التوقف ، يتم ضرب استجابة النبضات المقطوعة بوظيفة الوزن (النافذة) التي تتناقص تدريجياً نحو الحواف. وبالتالي ، فإن طريقة تصميم مرشحات FIR بالنوافذ هي طريقة لتقليل فجوات النوافذ باستخدام نوافذ غير مستطيلة. في هذه الحالة ، يجب أن تحتوي وظيفة الوزن (النافذة) على الخصائص التالية:

• يجب أن يكون عرض الفص الرئيسي لاستجابة التردد للنافذة التي تحتوي على أكبر قدر ممكن من الطاقة الكلية صغيرًا ؛
• يجب أن تنخفض الطاقة في الفصوص الجانبية لاستجابة تردد النافذة بسرعة مع اقتراب k.

يتم استخدام نوافذ Hamming و Kaiser و Blackman و Chebyshev وما إلى ذلك كوظائف للوزن.