Unter welchen Aktionen ändert sich die Determinante der Matrix nicht. Matrixdeterminante und ihre Eigenschaften

Die meisten mathematischen Modelle in den Wirtschaftswissenschaften werden mit Matrizen und Matrizenrechnung beschrieben.

Matrix ist eine rechteckige Tabelle, die Zahlen, Funktionen, Gleichungen oder andere mathematische Objekte enthält, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind.

Die Objekte, aus denen die Matrix besteht, rufen sie auf Elemente . Matrizen werden mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet

und ihre Elemente sind inline.

Symbol
bedeutet, dass die Matrix Es hat
Linien u Säulen Element an der Kreuzung -te Zeile und -te Spalte
.

.

Sie sagen, dass die Matrix SONDERN ist gleich der Matrix BEIM : A=B wenn sie die gleiche Struktur haben (d. h. die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten) und ihre entsprechenden Elemente identisch gleich sind
, für alle
.

Bestimmte Arten von Matrizen

In der Praxis begegnet man recht häufig Matrizen einer Sonderform. Einige Verfahren beinhalten auch Transformationen von Matrizen von einem Typ zu einem anderen. Die gebräuchlichsten Arten von Matrizen sind unten aufgeführt.

	quadratische Matrix, Anzahl der Zeilen n gleich der Anzahl der Spalten n
	Spaltenmatrix
	Matrix-Zeile
	untere Dreiecksmatrix
	obere Dreiecksmatrix
	Nullmatrix
	diagonale Matrix
E =	Identitätsmatrix E(Quadrat)
	unitäre Matrix
	Schrittmatrix
	Leere Matrix

Elemente der Matrix, also mit gleicher Anzahl von Zeilen und Spalten a ii bilden die Hauptdiagonale der Matrix.

Operationen auf Matrizen.

.

Eigenschaften von Operationen auf Matrizen

Vorgangsspezifische Eigenschaften

Wenn das Matrixprodukt
existiert, dann das Produkt
möglicherweise nicht vorhanden. Allgemein gesagt,
. Das heißt, die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ. Ob
, dann und heißen kommutativ. Beispielsweise sind Diagonalmatrizen gleicher Ordnung kommutativ.

Wenn ein
, dann optional
oder
. Das heißt, das Produkt von Nicht-Null-Matrizen kann eine Null-Matrix ergeben. zum Beispiel

Potenzierungsoperation nur für quadratische Matrizen definiert. Wenn ein
, dann

.

Per Definition wird davon ausgegangen
, und das ist leicht zu zeigen
,
. Beachten Sie das von
daraus folgt nicht
.

Elementweise Potenzierung SONDERN. m =
.

Vorgang transponieren Matrix soll die Zeilen der Matrix durch ihre Spalten ersetzen:

,

zum Beispiel

,
.

Eigenschaften transponieren:

Determinanten und ihre Eigenschaften.

Für quadratische Matrizen wird das Konzept häufig verwendet bestimmend - eine Zahl, die aus den Elementen der Matrix nach fest definierten Regeln berechnet wird. Diese Zahl ist ein wichtiges Merkmal der Matrix und wird durch die Symbole gekennzeichnet

.

Matrix Determinante
ist sein Element .

Matrixdeterminante
berechnet nach der Regel:

d.h. das Produkt der Elemente der zusätzlichen Diagonale wird von dem Produkt der Elemente der Hauptdiagonale subtrahiert.

Um Determinanten höherer Ordnung zu berechnen (
) ist es notwendig, die Konzepte des kleinen und algebraischen Komplements eines Elements einzuführen.

Unerheblich
Element die Determinante genannt wird, die aus der Matrix erhalten wird , durchstreichen -te Zeile und -te Spalte.

Betrachten Sie die Matrix Größe
:

,

dann bspw.

Algebraische Addition Element Nennen Sie es ein Moll multipliziert mit
.

,

Satz von Laplace: Die Determinante einer quadratischen Matrix ist gleich der Summe der Produkte der Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) und ihrer algebraischen Ergänzungen.

Zum Beispiel zusammenbrechen
durch die Elemente der ersten Zeile erhalten wir:

Der letzte Satz gibt einen universellen Weg, Determinanten jeder Ordnung zu berechnen, beginnend mit dem zweiten. Als Zeile (Spalte) immer diejenige wählen, in der die meisten Nullen vorkommen. Beispielsweise ist es erforderlich, die Determinante vierter Ordnung zu berechnen

In diesem Fall können Sie die Determinante in der ersten Spalte erweitern:

oder die letzte Zeile:

Dieses Beispiel zeigt auch, dass die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix gleich dem Produkt ihrer Diagonalelemente ist. Es ist leicht zu beweisen, dass dieser Schluss für beliebige Dreiecks- und Diagonalmatrizen gilt.

Der Satz von Laplace ermöglicht es, die Berechnung der Determinante zu reduzieren -te Ordnung zu berechnen Determinanten
Ordnung und schließlich zur Berechnung von Determinanten zweiter Ordnung.

- Befreie den Vogel in den sicheren Tod!
Lass die Freiheit sie streicheln!
Und das Schiff segelt, und der Reaktor brüllt...
- Pash, bist du stur?

Ich erinnere mich, dass ich Algebra vor der 8. Klasse nicht mochte. Hat überhaupt nicht gefallen. Sie hat mich angepisst. Weil ich nichts verstanden habe.

Und dann änderte sich alles, weil ich einen Chip durchtrennte:

In der Mathematik im Allgemeinen (und Algebra im Besonderen) basiert alles auf einem kompetenten und konsistenten Definitionssystem. Sie kennen die Definitionen, Sie verstehen ihre Essenz - es wird nicht schwierig sein, den Rest herauszufinden.

Das ist das Thema der heutigen Lektion. Wir werden einige verwandte Themen und Definitionen im Detail betrachten, dank derer Sie sich ein für alle Mal mit Matrizen, Determinanten und all ihren Eigenschaften befassen werden.

Determinanten sind ein zentrales Konzept in der Matrizenalgebra. Wie abgekürzte Multiplikationsformeln werden sie dich während deines fortgeschrittenen Mathematikkurses verfolgen. Daher lesen, schauen und verstehen wir gründlich. :)

Und wir beginnen mit dem Intimsten – was ist eine Matrix? Und wie man damit arbeitet.

Korrekte Platzierung der Indizes in der Matrix

Eine Matrix ist nur eine mit Zahlen gefüllte Tabelle. Neo ist nicht hier.

Eines der wichtigsten Merkmale einer Matrix ist ihre Dimension, d.h. die Anzahl der Zeilen und Spalten, aus denen es besteht. Eine Matrix $A$ hat normalerweise die Größe $\left[ m\times n \right]$, wenn sie $m$ Zeilen und $n$ Spalten hat. Schreibe es so auf:

Oder so:

Es gibt andere Bezeichnungen - alles hängt von den Vorlieben des Dozenten / Seminaristen / Autors des Lehrbuchs ab. Aber in jedem Fall tritt bei all diesen $\left[ m\times n \right]$ und $((a)_(ij))$ das gleiche Problem auf:

Welcher Index macht was? Erst Zeilennummer, dann Spaltennummer? Oder umgekehrt?

Beim Lesen von Vorlesungen und Lehrbüchern wird die Antwort offensichtlich erscheinen. Aber wenn bei der Prüfung nur ein Blatt mit einer Aufgabe vor dir liegt, kannst du dir Sorgen machen und plötzlich verwirrt sein.

Befassen wir uns also ein für alle Mal mit diesem Thema. Erinnern wir uns zunächst an das übliche Koordinatensystem aus dem Schulmathematikkurs:

Einführung eines Koordinatensystems in einer Ebene

Erinnere dich an sie? Sie hat einen Ursprung (Punkt $O=\left(0;0 \right)$) der Achsen $x$ und $y$, und jeder Punkt auf der Ebene ist eindeutig durch die Koordinaten bestimmt: $A=\left( 1;2 \ rechts)$, $B=\links(3;1 \rechts)$ usw.

Und jetzt nehmen wir diese Konstruktion und legen sie so neben die Matrix, dass der Ursprung in der oberen linken Ecke liegt. Warum dort? Ja, denn wenn wir ein Buch aufschlagen, beginnen wir von der oberen linken Ecke der Seite aus zu lesen – es ist einfacher denn je, sich daran zu erinnern.

Aber wohin mit den Achsen? Wir werden sie so lenken, dass unsere gesamte virtuelle "Seite" von diesen Achsen abgedeckt wird. Dafür müssen wir unser Koordinatensystem zwar drehen. Die einzig mögliche Option für diesen Ort:

Abbildung eines Koordinatensystems auf eine Matrix

Jetzt hat jede Zelle der Matrix die einwertigen Koordinaten $x$ und $y$. Beispielsweise bedeutet der Eintrag $((a)_(24))$, dass wir auf das Element mit den Koordinaten $x=2$ und $y=4$ zugreifen. Auch die Dimensionen der Matrix werden durch ein Zahlenpaar eindeutig angegeben:

Indizes in einer Matrix definieren

Schauen Sie sich dieses Bild einfach genau an. Spielen Sie mit Koordinaten herum (insbesondere wenn Sie mit reellen Matrizen und Determinanten arbeiten) – und sehr bald werden Sie feststellen, dass Sie selbst bei den komplexesten Theoremen und Definitionen perfekt verstehen, worum es geht.

Ich habs? Kommen wir nun zum ersten Schritt der Aufklärung - der geometrischen Definition der Determinante. :)

Geometrische Definition

Zunächst möchte ich anmerken, dass die Determinante nur für quadratische Matrizen der Form $\left[ n\times n \right]$ existiert. Die Determinante ist eine Zahl, die nach bestimmten Regeln berechnet wird und eine der Eigenschaften dieser Matrix ist (es gibt noch andere Eigenschaften: Rang, Eigenvektoren, aber dazu mehr in anderen Lektionen).

Nun, was ist diese Eigenschaft? Was bedeutet das? Es ist einfach:

Die Determinante einer quadratischen Matrix $A=\left[ n\times n \right]$ ist das Volumen eines $n$-dimensionalen Parallelepipeds, das entsteht, wenn wir die Zeilen der Matrix als Vektoren betrachten, die die Kanten von bilden dieses Parallelepiped.

Beispielsweise ist die Determinante einer 2x2-Matrix nur die Fläche eines Parallelogramms, und bei einer 3x3-Matrix ist es bereits das Volumen eines 3-dimensionalen Parallelepipeds – genau das, was alle Gymnasiasten so wütend macht viel im Stereometrieunterricht.

Auf den ersten Blick mag diese Definition völlig unzureichend erscheinen. Aber lassen Sie uns keine voreiligen Schlüsse ziehen – schauen wir uns Beispiele an. Eigentlich ist alles elementar, Watson:

Aufgabe. Finden Sie die Matrixdeterminanten:

\[\links| \begin(matrix) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\end(matrix) \right|\quad \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\end(matrix) \right|\quad \left| \begin(matrix)2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\end(matrix) \right|\]

Entscheidung. Die ersten beiden Determinanten sind 2x2. Das sind also nur die Bereiche von Parallelogrammen. Lassen Sie uns sie zeichnen und die Fläche berechnen.

Das erste Parallelogramm besteht aus den Vektoren $((v)_(1))=\left(1;0 \right)$ und $((v)_(2))=\left(0;3 \right) $:

Die 2x2-Determinante ist die Fläche des Parallelogramms

Offensichtlich ist dies nicht nur ein Parallelogramm, sondern ein ziemliches Rechteck. Seine Fläche ist gleich

Das zweite Parallelogramm ist aus den Vektoren $((v)_(1))=\left(1;-1 \right)$ und $((v)_(2))=\left(2;2 \right) aufgebaut )$. Na so was? Dies ist auch ein Rechteck:

Eine weitere 2x2-Determinante

Die Seiten dieses Rechtecks ​​(eigentlich die Längen von Vektoren) lassen sich leicht mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

\[\begin(align) & \left| ((v)_(1)) \right|=\sqrt(((1)^(2))+((\left(-1 \right))^(2)))=\sqrt(2); \\ & \links| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(((2)^(2))+((2)^(2)))=\sqrt(8)=2\sqrt(2); \\ & S=\links| ((v)_(1)) \right|\cdot \left| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(2)\cdot 2\sqrt(2)=4. \\\end(align)\]

Es bleibt die letzte Determinante zu behandeln - es gibt bereits eine 3x3-Matrix. Wir müssen uns an die Stereometrie erinnern:

Die 3x3-Determinante ist das Volumen des Parallelepipeds

Es sieht überwältigend aus, aber tatsächlich reicht es aus, sich an die Formel für das Volumen eines Parallelepipeds zu erinnern:

wobei $S$ die Fläche der Basis ist (in unserem Fall ist es die Fläche des Parallelogramms auf der $OXY$-Ebene), $h$ ist die Höhe, die zu dieser Basis gezogen wird (tatsächlich ist die $ z$-Koordinate des Vektors $((v)_(3) )$).

Die Fläche des Parallelogramms (wir haben es separat gezeichnet) lässt sich ebenfalls leicht berechnen:

\[\begin(align) & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\end(align)\]

Das ist alles! Wir schreiben die Antworten auf.

Antwort: 3; 4; 24.

Eine kleine Anmerkung zum Notationssystem. Jemand wird es wahrscheinlich nicht mögen, dass ich die "Pfeile" über Vektoren ignoriere. Angeblich kann man auf diese Weise einen Vektor mit einem Punkt oder etwas anderem verwechseln.

Aber mal im Ernst: Wir sind ja schon erwachsene Jungs und Mädels, also verstehen wir aus dem Zusammenhang perfekt, wenn es um einen Vektor geht, und wenn es um einen Punkt geht. Pfeile verunreinigen nur die Erzählung, die bereits mit mathematischen Formeln vollgestopft ist.

Und weiter. Grundsätzlich hindert uns nichts daran, die Determinante einer 1x1-Matrix zu berücksichtigen - eine solche Matrix besteht nur aus einer Zelle, und die in diese Zelle geschriebene Zahl ist die Determinante. Aber hier ist ein wichtiger Hinweis:

Im Gegensatz zum klassischen Band gibt uns die Determinante den sogenannten " orientiertes Volumen“, d.h. Volumen unter Berücksichtigung der Reihenfolge der Betrachtung von Zeilenvektoren.

Und wenn Sie das Volumen im klassischen Sinne des Wortes erhalten möchten, müssen Sie den Modul der Determinante nehmen, aber jetzt sollten Sie sich darüber keine Gedanken machen - jedenfalls werden wir in ein paar Sekunden lernen, wie man jede Determinante zählt mit irgendwelchen Zeichen, Größen usw. :)

Algebraische Definition

Bei aller Schönheit und Klarheit des geometrischen Ansatzes hat er einen schwerwiegenden Nachteil: Er sagt uns nichts darüber, wie genau diese Determinante zu berechnen ist.

Deshalb analysieren wir jetzt eine alternative Definition - algebraisch. Dazu brauchen wir eine kurze theoretische Vorbereitung, aber als Ergebnis erhalten wir ein Werkzeug, mit dem wir alles in Matrizen berechnen können, was wir wollen.

Stimmt, es wird ein neues Problem geben ... aber der Reihe nach.

Permutationen und Inversionen

Lassen Sie uns eine Reihe von Zahlen von 1 bis $n$ schreiben. Sie erhalten so etwas:

Lassen Sie uns jetzt (aus Spaß) ein paar Zahlen tauschen. Sie können den Nachbarn ändern

Oder vielleicht nicht sehr benachbart:

Und weisst du was? Aber nichts! In der Algebra nennt man diesen Mist Permutation. Und es hat viele Eigenschaften.

Definition. Eine Permutation der Länge $n$ ist eine Folge von $n$ verschiedenen Zahlen, die in beliebiger Reihenfolge geschrieben sind. Normalerweise werden die ersten $n$ natürlichen Zahlen betrachtet (also nur die Zahlen 1, 2, ..., $n$) und dann gemischt, um die gewünschte Permutation zu erhalten.

Permutationen werden wie Vektoren bezeichnet - nur ein Buchstabe und eine fortlaufende Aufzählung ihrer Elemente in Klammern. Zum Beispiel: $p=\left(1;3;2 \right)$ oder $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. Der Buchstabe kann alles sein, aber lass es $p$ sein. :)

Außerdem werden wir zur Vereinfachung der Darstellung mit Permutationen der Länge 5 arbeiten – sie sind bereits ernst genug, um verdächtige Effekte zu beobachten, aber noch nicht so schwerwiegend für ein zerbrechliches Gehirn wie Permutationen der Länge 6 und mehr. Hier sind Beispiele für solche Permutationen:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3;4;5 \right) \\ & ((p)_(2))=\left(1 ;3;2;5;4 \right) \\ & ((p)_(3))=\left(5;4;3;2;1 \right) \\\end(align)\]

Natürlich kann eine Permutation der Länge $n$ als eine Funktion betrachtet werden, die auf der Menge $\left\( 1;2;...;n \right\)$ definiert ist und diese Menge bijektiv auf sich selbst abbildet. Zurück zu den Permutationen von $((p)_(1))$, $((p)_(2))$ und $((p)_(3))$, die wir gerade aufgeschrieben haben, können wir rechtmäßig schreiben :

\[((p)_(1))\left(1 \right)=1;((p)_(2))\left(3 \right)=2;((p)_(3))\ links(2\rechts)=4;\]

Die Anzahl der verschiedenen Permutationen der Länge $n$ ist immer begrenzt und gleich $n!$ — das ist eine leicht beweisbare Tatsache aus der Kombinatorik. Wenn wir zum Beispiel alle Permutationen der Länge 5 aufschreiben wollen, werden wir lange zögern, da es solche Permutationen geben wird

Eines der Schlüsselmerkmale jeder Permutation ist die Anzahl der Inversionen darin.

Definition. Umkehrung in Permutation $p=\left(((a)_(1));((a)_(2));...;((a)_(n)) \right)$ — beliebiges Paar $ \left(((a)_(i));((a)_(j)) \right)$ so dass $i \lt j$ aber $((a)_(i)) \gt ( (a )_(j))$. Einfach ausgedrückt, Inversion ist, wenn eine größere Zahl links von einer kleineren steht (nicht unbedingt eine benachbarte).

Wir werden $N\left(p \right)$ verwenden, um die Anzahl der Inversionen in der Permutation $p$ zu bezeichnen, aber seien Sie darauf vorbereitet, andere Notationen in verschiedenen Lehrbüchern und von verschiedenen Autoren zu treffen - hier gibt es keine einheitlichen Standards. Das Thema Inversionen ist sehr umfangreich und wird ihm in einer eigenen Lektion gewidmet. Jetzt ist unsere Aufgabe einfach zu lernen, wie man sie in echten Problemen zählt.

Zählen wir zum Beispiel die Anzahl der Umkehrungen in der Permutation $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$:

\[\left(4;3 \right);\left(4;2 \right);\left(5;3 \right);\left(5;2 \right);\left(3;2 \right ).\]

Also $N\links(p \rechts)=5$. Wie Sie sehen können, ist daran nichts auszusetzen. Ich muss gleich sagen: Uns interessiert im Folgenden nicht so sehr die Zahl $N\left(p \right)$, sondern ihre Gerade/Ungerade. Und hier gehen wir nahtlos zum Schlüsselbegriff der heutigen Lektion über.

Was ist eine determinante

Sei $A=\left[ n\times n \right]$ eine quadratische Matrix. Dann:

Definition. Die Determinante der Matrix $A=\left[ n\times n \right]$ ist die algebraische Summe von $n!$ Termen, die sich wie folgt zusammensetzt. Jeder Term ist das Produkt von $n$ Matrixelementen, eines aus jeder Zeile und jeder Spalte, multipliziert mit (−1) hoch der Anzahl der Inversionen:

\[\links| A \right|=\sum\limits_(n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

Der grundlegende Punkt bei der Auswahl von Faktoren für jeden Term in der Determinante ist die Tatsache, dass sich keine zwei Faktoren in derselben Zeile oder derselben Spalte befinden.

Aufgrund dessen können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die Indizes $i$ der Faktoren $((a)_(i;j))$ die Werte 1, ..., $n$ "durchlaufen". , und die Indizes $j$ sind eine Permutation von first:

Und wenn es eine Permutation $p$ gibt, können wir leicht die Umkehrungen von $N\left(p \right)$ berechnen - und schon ist der nächste Term der Determinante fertig.

Natürlich verbietet es niemand, Faktoren in irgendeiner Form (oder auf einmal - warum sich mit Kleinigkeiten zu beschäftigen?) zu tauschen, und dann werden die ersten Indizes auch eine Art Permutation darstellen. Aber am Ende wird sich nichts ändern: Die Gesamtzahl der Inversionen in den Indizes $i$ und $j$ bleibt unter solchen Perversionen gleich, was ganz im Einklang mit der guten alten Regel steht:

Durch die Umordnung der Faktoren ändert sich das Produkt der Zahlen nicht.

Aber Sie müssen diese Regel nicht auf die Matrixmultiplikation ziehen – im Gegensatz zur Multiplikation von Zahlen ist sie nicht kommutativ. Aber ich schweife ab. :)

Matrix 2x2

Tatsächlich können Sie auch eine 1x1-Matrix in Betracht ziehen - es wird eine Zelle sein, und ihre Determinante ist, wie Sie sich vorstellen können, gleich der in diese Zelle geschriebenen Zahl. Nichts Interessantes.

Betrachten wir also eine quadratische 2x2-Matrix:

\[\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end(matrix) \right]\]

Da die Anzahl der Zeilen darin $n=2$ ist, enthält die Determinante $n!=2!=1\cdot 2=2$ Terme. Schreiben wir sie auf:

\[\begin(align) & ((\left(-1 \right))^(N\left(1;2 \right)))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a) _(22))=((\left(-1 \right))^(0))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a)_(22))=((a)_ (11))((a)_(22)); \\ & ((\left(-1 \right))^(N\left(2;1 \right)))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21)) =((\left(-1 \right))^(1))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21))=((a)_(12))( (a)_(21)). \\\end(align)\]

Offensichtlich gibt es keine Umkehrungen in der Permutation $\left(1;2 \right)$, die aus zwei Elementen besteht, also $N\left(1;2 \right)=0$. Aber in der Permutation $\left(2;1 \right)$ gibt es eine Umkehrung (eigentlich 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

Insgesamt sieht die universelle Formel zur Berechnung der Determinante für eine 2x2-Matrix so aus:

\[\links| \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end( Matrix) \right|=((a)_(11))((a)_(22))-((a)_(12))((a)_(21))\]

Grafisch kann dies als Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen abzüglich des Produkts der Elemente auf der Sekundärseite dargestellt werden:

2x2-Matrix-Determinante

Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

\[\links| \begin(matrix) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matrix) \right|;\quad \left| \begin(matrix) 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\end(matrix) \right|.\]

Entscheidung. Alles wird in einer Zeile betrachtet. Erste Matrix:

Und das zweite:

Antwort: -3; -161.

Es war jedoch zu einfach. Schauen wir uns 3x3-Matrizen an – da ist es schon interessant.

Matrix 3x3

Betrachten Sie nun eine quadratische 3x3-Matrix:

\[\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33) ) \\\end(matrix) \right]\]

Wenn wir seine Determinante berechnen, erhalten wir $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$-Terme - nicht zu viel, um in Panik zu geraten, aber genug, um nach einigen Mustern zu suchen. Lassen Sie uns zuerst alle Permutationen der drei Elemente aufschreiben und die Inversionen in jedem von ihnen berechnen:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(1)) \right)=N\ links(1;2;3\rechts)=0; \\ & ((p)_(2))=\left(1;3;2 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(2)) \right)=N\left(1;3 ;2\right)=1; \\ & ((p)_(3))=\left(2;1;3 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(3)) \right)=N\left(2;1 ;3\right)=1; \\ & ((p)_(4))=\left(2;3;1 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(4)) \right)=N\left(2;3 ;1\rechts)=2; \\ & ((p)_(5))=\left(3;1;2 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(5)) \right)=N\left(3;1 ;2\rechts)=2; \\ & ((p)_(6))=\left(3;2;1 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(6)) \right)=N\left(3;2 ;1\rechts)=3. \\\end(align)\]

Wie erwartet gibt es insgesamt 6 Permutationen $((p)_(1))$, ... $((p)_(6))$ (man könnte sie natürlich auch in einer anderen Reihenfolge schreiben - dem Punkt ändert sich nicht), und die Anzahl der Inversionen in ihnen variiert von 0 bis 3.

Im Allgemeinen haben wir drei Plusterme (wobei $N\left(p \right)$ gerade ist) und drei weitere Minusterme. Im Allgemeinen wird die Determinante nach der Formel berechnet:

\[\links| \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a) _(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33)) \\\end (Matrix) \right|=\begin(Matrix) ((a)_(11))((a)_(22))((a)_(33))+((a)_(12))( (a)_(23))((a)_(31))+((a)_(13))((a)_(21))((a)_(32))- \\ -( (a)_(13))((a)_(22))((a)_(31))-((a)_(12))((a)_(21))((a)_ (33))-((a)_(11))((a)_(23))((a)_(32)) \\\end(matrix)\]

Setzen Sie sich jetzt nicht einfach hin und stopfen Sie all diese Indizes wie wild voll! Anstelle unverständlicher Zahlen sollte man sich besser folgende Merkregel merken:

Dreiecksregel. Um die Determinante einer 3x3-Matrix zu finden, müssen Sie drei Produkte der Elemente auf der Hauptdiagonale und an den Eckpunkten gleichschenkliger Dreiecke mit einer Seite parallel zu dieser Diagonale addieren und dann dieselben drei Produkte subtrahieren, jedoch auf der Nebendiagonale . Schematisch sieht das so aus:

3x3-Matrix-Determinante: Dreiecksregel

Es sind diese Dreiecke (oder Pentagramme - wie Sie möchten), die sie gerne in alle möglichen Lehrbücher und Handbücher der Algebra zeichnen. Reden wir jedoch nicht über traurige Dinge. Lassen Sie uns besser eine solche Determinante berechnen - zum Aufwärmen vor einer echten Dose. :)

Aufgabe. Berechnen Sie die Determinante:

\[\links| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\end(matrix) \right|\]

Entscheidung. Wir arbeiten nach der Dreiecksregel. Lassen Sie uns zunächst drei Terme berechnen, die aus Elementen auf der Hauptdiagonale und parallel dazu bestehen:

\[\begin(align) & 1\cdot 5\cdot 1+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8= \\ & =5+84+96=185 \\\end(align) \]

Kommen wir nun zur Seitendiagonalen:

\[\begin(align) & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\end(align) \]

Es bleibt nur die zweite von der ersten Zahl zu subtrahieren - und wir erhalten die Antwort:

Das ist alles!

Die Determinanten von 3x3-Matrizen sind jedoch noch nicht der Gipfel des Könnens. Das Interessanteste wartet weiter auf uns. :)

Allgemeines Schema zur Berechnung von Determinanten

Wie wir wissen, ist die Anzahl der Terme in der Determinante mit zunehmender Dimension der Matrix $n$ gleich $n!$ und wächst schnell. Schließlich ist die Fakultät eine ziemlich schnell wachsende Funktion.

Schon bei 4x4-Matrizen wird es irgendwie nicht gut, die Determinanten vorauszuzählen (zB durch Permutationen). Ich schweige im Allgemeinen über 5x5 und mehr. Daher sind einige Eigenschaften der Determinante mit dem Fall verbunden, aber es bedarf ein wenig theoretischer Vorbereitung, um sie zu verstehen.

Bereit? Gehen!

Was ist eine Nebenmatrix

Gegeben sei eine beliebige Matrix $A=\left[ m\times n \right]$. Hinweis: nicht unbedingt quadratisch. Im Gegensatz zu Determinanten sind Minderjährige niedliche Dinger, die nicht nur in harten quadratischen Matrizen existieren. Wir wählen mehrere (z. B. $k$) Zeilen und Spalten in dieser Matrix, mit $1\le k\le m$ und $1\le k\le n$. Dann:

Definition. Der Minor der $k$-Ordnung ist die Determinante der quadratischen Matrix, die am Schnittpunkt der ausgewählten $k$-Spalten und -Zeilen erscheint. Wir werden diese neue Matrix selbst auch als Minor bezeichnen.

Ein solcher Minor wird mit $((M)_(k))$ bezeichnet. Natürlich kann eine Matrix eine ganze Reihe von Minoren der Ordnung $k$ haben. Hier ist ein Beispiel für eine 2-Minor-Ordnung für die $\left[ 5\times 6 \right]$-Matrix:

Auswählen von $k = 2$ Spalten und Zeilen, um einen Untersatz zu bilden

Es ist nicht erforderlich, dass die ausgewählten Zeilen und Spalten nebeneinander liegen, wie im obigen Beispiel. Die Hauptsache ist, dass die Anzahl der ausgewählten Zeilen und Spalten gleich ist (dies ist die Anzahl $k$).

Es gibt eine andere Definition. Vielleicht gefällt es jemandem mehr:

Definition. Gegeben sei eine rechteckige Matrix $A=\left[ m\times n \right]$. Wenn nach dem Löschen einer oder mehrerer Spalten und einer oder mehrerer Zeilen darin eine quadratische Matrix der Größe $\left[ k\times k \right]$ gebildet wird, dann ist ihre Determinante die kleine $((M)_(k) ) $ . Wir werden manchmal auch die Matrix selbst als Moll bezeichnen - dies wird aus dem Kontext klar.

Wie meine Katze immer sagte, manchmal ist es besser, einmal Futter aus dem 11. Stock zu holen, als auf dem Balkon zu miauen.

Beispiel. Lassen Sie die Matrix

Indem wir Zeile 1 und Spalte 2 wählen, erhalten wir den Moll erster Ordnung:

\[((M)_(1))=\links| 7\right|=7\]

Wenn wir die Zeilen 2, 3 und die Spalten 3, 4 auswählen, erhalten wir einen Moll zweiter Ordnung:

\[((M)_(2))=\links| \begin(matrix) 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\end(matrix) \right|=5-18=-13\]

Und wenn Sie alle drei Zeilen sowie die Spalten 1, 2, 4 auswählen, wird es einen Unterton dritter Ordnung geben:

\[((M)_(3))=\links| \begin(matrix) 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\end(matrix) \right|\]

Es wird für den Leser nicht schwierig sein, andere Minderjährige der Ordnungen 1, 2 oder 3 zu finden. Deshalb gehen wir weiter.

Algebraische Additionen

"Nun, ok, und was geben uns Minderjährigen diese Schergen?" Sie werden sicherlich fragen. Allein nichts. Aber in quadratischen Matrizen hat jeder Moll einen "Begleiter" - einen zusätzlichen Moll sowie eine algebraische Addition. Und zusammen werden diese beiden Slapsticks es uns ermöglichen, die Determinanten wie Nüsse anzuklicken.

Definition. Gegeben sei eine quadratische Matrix $A=\left[ n\times n \right]$, in der der Minor $((M)_(k))$ gewählt wird. Dann ist der zusätzliche Minor für den Minor $((M)_(k))$ ein Stück der ursprünglichen Matrix $A$, das nach dem Löschen aller Zeilen und Spalten übrig bleibt, die an der Erstellung des Minors $((M )_(k))$:

Zusätzliche Moll zu Moll $((M)_(2))$

Lassen Sie uns einen Punkt klarstellen: Das zusätzliche Moll ist nicht nur ein "Stück der Matrix", sondern die Determinante dieses Stücks.

Weitere Minderjährige sind mit einem Sternchen gekennzeichnet: $M_(k)^(*)$:

wobei die Operation $A\nabla ((M)_(k))$ wörtlich "lösche aus $A$ die in $((M)_(k))$ enthaltenen Zeilen und Spalten" bedeutet. Diese Operation ist in der Mathematik nicht allgemein akzeptiert - ich habe sie mir nur aus Gründen der Schönheit der Geschichte selbst ausgedacht. :)

Komplementäre Untertöne werden selten alleine verwendet. Sie sind Teil einer komplexeren Konstruktion - der algebraischen Addition.

Definition. Das algebraische Komplement des Minors $((M)_(k))$ ist das komplementäre Minor $M_(k)^(*)$ multipliziert mit $((\left(-1 \right))^(S)) $ , wobei $S$ die Summe der Nummern aller Zeilen und Spalten ist, die an dem ursprünglichen Minor $((M)_(k))$ beteiligt sind.

In der Regel wird das algebraische Komplement des Molls $((M)_(k))$ mit $((A)_(k))$ bezeichnet. So:

\[((A)_(k))=((\left(-1 \right))^(S))\cdot M_(k)^(*)\]

Kompliziert? Auf den ersten Blick ja. Aber es ist nicht genau. Weil es wirklich einfach ist. Betrachten Sie ein Beispiel:

Beispiel. Gegeben eine 4x4-Matrix:

Wir wählen ein Moll zweiter Ordnung

\[((M)_(2))=\links| \begin(matrix) 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\end(matrix) \right|\]

Captain Evidence weist uns gewissermaßen darauf hin, dass die Zeilen 1 und 4 sowie die Spalten 3 und 4 an der Zusammenstellung dieses Minors beteiligt waren.Wir streichen sie durch - wir erhalten ein zusätzliches Minor:

Es bleibt, die Zahl $S$ zu finden und das algebraische Komplement zu erhalten. Da wir die Nummern der beteiligten Zeilen (1 und 4) und Spalten (3 und 4) kennen, ist alles einfach:

\[\begin(align) & S=1+4+3+4=12; \\ & ((A)_(2))=((\left(-1 \right))^(S))\cdot M_(2)^(*)=((\left(-1 \right) )^(12))\cdot \left(-4 \right)=-4\end(align)\]

Antwort: $((A)_(2))=-4$

Das ist alles! Tatsächlich liegt der ganze Unterschied zwischen einem zusätzlichen Moll und einer algebraischen Addition nur im Minus vorne, und selbst dann nicht immer.

Satz von Laplace

Und so kamen wir zu dem Punkt, warum eigentlich all diese Minoren und algebraischen Additionen benötigt wurden.

Satz von Laplace über die Zerlegung der Determinante. Es seien $k$ Zeilen (Spalten) in einer Matrix der Größe $\left[ n\times n \right]$ mit $1\le k\le n-1$ ausgewählt. Dann ist die Determinante dieser Matrix gleich der Summe aller Minderprodukte der Ordnung $k$, die in den ausgewählten Zeilen (Spalten) und ihren algebraischen Komplementen enthalten sind:

\[\links| A \right|=\sum(((M)_(k))\cdot ((A)_(k)))\]

Außerdem wird es genau $C_(n)^(k)$ solcher Terme geben.

Okay, okay: ungefähr $C_(n)^(k)$ - ich zeige schon, dass es im ursprünglichen Laplace-Theorem nichts dergleichen gab. Aber niemand hat die Kombinatorik abgesagt, und ein buchstäblich flüchtiger Blick auf die Bedingung ermöglicht es Ihnen, sich selbst davon zu überzeugen, dass es genau so viele Begriffe geben wird. :)

Wir werden es nicht beweisen, obwohl dies nicht besonders schwierig ist - alle Berechnungen laufen auf die guten alten Permutationen und geraden / ungeraden Umkehrungen hinaus. Der Beweis wird jedoch in einem separaten Absatz präsentiert, und heute haben wir eine rein praktische Lektion.

Daher wenden wir uns einem Sonderfall dieses Satzes zu, wenn die Minoren separate Zellen der Matrix sind.

Zeilen- und Spaltenerweiterung der Determinante

Worüber wir jetzt sprechen werden, ist genau das Hauptwerkzeug für die Arbeit mit Determinanten, für das all dieses Spiel mit Permutationen, Minoren und algebraischen Additionen gestartet wurde.

Lesen und genießen:

Folgerung aus dem Satz von Laplace (Zerlegung der Determinante in Zeile/Spalte). Es sei eine Zeile in der Matrix $\left[ n\times n \right]$ ausgewählt. Die Minderjährigen in dieser Zeile sind $n$ einzelne Zellen:

\[((M)_(1))=((a)_(ij)),\quad j=1,...,n\]

Zusätzliche Minoren sind ebenfalls einfach zu berechnen: Nehmen Sie einfach die ursprüngliche Matrix und streichen Sie die Zeile und Spalte mit $((a)_(ij))$ durch. Wir nennen solche Minoren $M_(ij)^(*)$.

Für die algebraische Addition wird auch die Zahl $S$ benötigt, aber im Fall eines Minors der Ordnung 1 ist das einfach die Summe der "Koordinaten" der Zelle $((a)_(ij))$:

Und dann kann die ursprüngliche Determinante gemäß dem Satz von Laplace in Form von $((a)_(ij))$ und $M_(ij)^(*)$ geschrieben werden:

\[\links| A \right|=\sum\limits_(j=1)^(n)(((a)_(ij))\cdot ((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot ((M)_(ij)))\]

Das ist es Zeilenerweiterungsformel. Aber das gleiche gilt für Spalten.

Aus dieser Folgerung lassen sich mehrere Schlussfolgerungen ziehen:

1. Dieses Schema funktioniert gleichermaßen gut für Zeilen und Spalten. Tatsächlich verläuft die Zerlegung meistens genau entlang der Spalten und nicht entlang der Zeilen.
2. Die Anzahl der Terme in der Erweiterung ist immer genau $n$. Das ist viel weniger als $C_(n)^(k)$ und sogar weniger als $n!$.
3. Statt einer einzigen Determinante $\left[ n\times n \right]$ müssen Sie mehrere Determinanten der Größe eins weniger zählen: $\left[ \left(n-1 \right)\times \left(n- 1 \right) \right ]$.

Die letzte Tatsache ist besonders wichtig. Anstelle der brutalen 4x4-Determinante reicht es jetzt beispielsweise aus, mehrere 3x3-Determinanten zu zählen - wir werden damit irgendwie fertig. :)

Aufgabe. Finden Sie die Determinante:

\[\links| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\end(matrix) \right|\]

Entscheidung. Erweitern wir diese Determinante um die erste Zeile:

\[\begin(align)\left| A \right|=1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matrix) \right|+ & \\ 2\cdot ((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \links| \begin(matrix) 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\end(matrix) \right|+ & \\ 3\cdot ((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \links| \begin(matrix) 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\end(matrix) \right|= & \\\end(align)\]

\[\begin(align) & =1\cdot \left(45-48 \right)-2\cdot \left(36-42 \right)+3\cdot \left(32-35 \right)= \\ & =1\cdot \left(-3 \right)-2\cdot \left(-6 \right)+3\cdot \left(-3 \right)=0. \\\end(align)\]

Aufgabe. Finden Sie die Determinante:

\[\links| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right|\ ]

Entscheidung. Arbeiten wir zur Abwechslung diesmal mit Spalten. In der letzten Spalte befinden sich beispielsweise zwei Nullen gleichzeitig - dies wird die Berechnungen natürlich erheblich reduzieren. Jetzt werden Sie sehen, warum.

Also erweitern wir die Determinante in der vierten Spalte:

\[\begin(align)\left| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right|= 0\cdot ((\left(-1 \right))^(1+4))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \ rechts))^(2+4))\cdot \links| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \ rechts))^(3+4))\cdot \links| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|+ & \\ +0\cdot ((\left(-1 \ rechts))^(4+4))\cdot \links| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right| &\\\end(align)\]

Und dann - oh, ein Wunder! - Zwei Terme fliegen sofort den Bach runter, da sie einen „0“-Multiplikator haben. Es gibt zwei weitere 3x3-Determinanten, mit denen wir leicht umgehen können:

\[\begin(align) & \left| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \links| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\\end(align)\]

Wir kehren zur Quelle zurück und finden die Antwort:

\[\links| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right|= 1\cdot \left(-1 \right)+\left(-1 \right)\cdot 1=-2\]

Das ist es. Und keine 4! = 24 Begriffe mussten nicht gezählt werden. :)

Antwort: -2

Grundlegende Eigenschaften der Determinante

In der letzten Aufgabe haben wir gesehen, wie das Vorhandensein von Nullen in den Zeilen (Spalten) einer Matrix die Erweiterung der Determinante und im Allgemeinen alle Berechnungen drastisch vereinfacht. Eine natürliche Frage stellt sich: Ist es möglich, diese Nullen sogar in der Matrix erscheinen zu lassen, wo sie ursprünglich nicht vorhanden waren?

Die Antwort ist klar: kann. Und hier kommen uns die Eigenschaften der Determinante zu Hilfe:

1. Wenn Sie zwei Zeilen (Spalten) an Stellen vertauschen, ändert sich die Determinante nicht;
2. Wird eine Zeile (Spalte) mit der Zahl $k$ multipliziert, so wird auch die gesamte Determinante mit der Zahl $k$ multipliziert;
3. Wenn Sie eine Zeichenfolge nehmen und beliebig oft von einer anderen addieren (subtrahieren), ändert sich die Determinante nicht;
4. Wenn zwei Zeilen der Determinante gleich oder proportional sind oder eine der Zeilen mit Nullen gefüllt ist, dann ist die gesamte Determinante gleich Null;
5. Alle oben genannten Eigenschaften gelten auch für Spalten.
6. Das Transponieren einer Matrix ändert die Determinante nicht;
7. Die Determinante des Produkts von Matrizen ist gleich dem Produkt der Determinanten.

Von besonderem Wert ist die dritte Eigenschaft: Wir können subtrahieren Sie von einer Zeile (Spalte) eine andere, bis Nullen an den richtigen Stellen erscheinen.

In den meisten Fällen laufen Berechnungen darauf hinaus, die gesamte Spalte überall mit Ausnahme eines Elements „auf Null zu setzen“ und dann die Determinante entlang dieser Spalte zu erweitern, wodurch eine Matrix der Größe 1 kleiner erhalten wird.

Mal sehen, wie das in der Praxis funktioniert:

Aufgabe. Finden Sie die Determinante:

\[\links| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matrix) \right|\ ]

Entscheidung. Nullen werden hier sozusagen überhaupt nicht beobachtet, sodass Sie in jeder Zeile oder Spalte „aushöhlen“ können - die Anzahl der Berechnungen ist ungefähr gleich. Seien wir keine Kleinigkeiten und "nullen" die erste Spalte: Sie hat bereits eine Zelle mit einer Einheit, also nehmen Sie einfach die erste Zeile und subtrahieren Sie sie 4 Mal von der zweiten, 3 Mal von der dritten und 2 Mal von der letzten.

Als Ergebnis erhalten wir eine neue Matrix, aber ihre Determinante ist dieselbe:

\[\begin(matrix)\left| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matrix) \right|\ begin(matrix) \downarrow \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\end(matrix)= \\ =\left| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \ \\end(matrix) \right|= \\ =\left| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ \end(matrix)\right| \\\end(matrix)\]

Nun, mit dem Gleichmut von Ferkel, zerlegen wir diese Determinante in der ersten Spalte:

\[\begin(matrix) 1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matrix) \right|+0\cdot ((\ left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| ... \right|+ \\ +0\cdot ((\left(-1 \right))^(3+1))\cdot \left| ... \right|+0\cdot ((\left(-1 \right))^(4+1))\cdot \left| ... \richtig| \\\end(matrix)\]

Es ist klar, dass nur der erste Term „überleben“ wird - im Rest habe ich die Determinanten nicht einmal ausgeschrieben, da sie immer noch mit Null multipliziert werden. Der Koeffizient vor der Determinante ist gleich eins, d.h. es darf nicht aufgezeichnet werden.

Aber Sie können die "Minuspunkte" aus allen drei Zeilen der Determinante herausnehmen. Tatsächlich haben wir den Faktor (−1) dreimal herausgenommen:

\[\links| \begin(matrix) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matrix) \right|=\cdot \left| \begin(matrix) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrix) \right|\]

Wir haben eine kleine Determinante 3x3, die sich bereits nach der Dreiecksregel berechnen lässt. Aber wir werden versuchen, es in der ersten Spalte zu zerlegen - der Vorteil in der letzten Zeile ist stolz einer:

\[\begin(align) & \left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrix) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrix) \right|\begin(matrix) -7 \\ -2 \\ \uparrow \ \\end(matrix)=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrix) \right|= \\ & =\cdot \left| \begin(matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrix) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrix) \right| \\\end(align)\]

Sie können natürlich immer noch Spaß haben und die 2x2-Matrix in einer Zeile (Spalte) zerlegen, aber wir sind mit Ihnen ausreichend, also berechnen wir einfach die Antwort:

\[\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrix) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left(16+144 \right)=-160\ ]

So werden Träume zerstört. Nur -160 in der Antwort. :)

Antwort: -160.

Ein paar Anmerkungen, bevor wir zur letzten Aufgabe übergehen:

1. Die ursprüngliche Matrix war bezüglich der sekundären Diagonale symmetrisch. Alle Minderjährigen in der Zerlegung sind auch in Bezug auf dieselbe Nebendiagonale symmetrisch.
2. Genau genommen könnten wir gar nichts auslegen, sondern die Matrix einfach auf eine obere Dreiecksform bringen, wenn unter der Hauptdiagonalen durchgezogene Nullen stehen. Dann ist (übrigens genau nach der geometrischen Interpretation) die Determinante gleich dem Produkt von $((a)_(ii))$ — den Zahlen auf der Hauptdiagonale.

Aufgabe. Finden Sie die Determinante:

\[\links| \begin(matrix) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matrix) \right|\ ]

Entscheidung. Nun, hier bittet die erste Zeile nur um "Nullen". Wir nehmen die erste Spalte und subtrahieren genau einmal von allen anderen:

\[\begin(align) & \left| \begin(matrix) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matrix) \right|= \\&=\links| \begin(matrix) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & ​​25-5 & 125-5 & 625-5 \\\end(matrix) \right|= \\ & =\left| \begin(matrix) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\end(matrix) \right| \\\end(align)\]

Erweitern Sie die erste Zeile und nehmen Sie dann die gemeinsamen Faktoren aus den verbleibenden Zeilen heraus:

\[\cdot\links| \begin(matrix) 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\end(matrix) \right|=\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matrix) \right|\]

Wieder beobachten wir „schöne“ Zahlen, aber schon in der ersten Spalte - wir zerlegen die Determinante danach:

\[\begin(align) & 240\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matrix) \right|\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \ \\end(matrix)=240\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\end(matrix) \right|= \\ & =240\cdot ((\left(-1 \ rechts))^(1+1))\cdot \links| \begin(matrix) 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\end(matrix) \right|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \right)=1440 \\\end( ausrichten)\]

Befehl. Problem gelöst.

Antwort: 1440

Das wichtigste numerische Merkmal einer quadratischen Matrix ist ihre Determinante. Betrachten Sie eine quadratische Matrix zweiter Ordnung

Die Determinante oder Determinante zweiter Ordnung ist die nach folgender Regel berechnete Zahl

Zum Beispiel,

Betrachten wir nun eine quadratische Matrix dritter Ordnung

.

Eine Determinante dritter Ordnung ist eine Zahl, die nach der folgenden Regel berechnet wird

Um sich die Kombination von Begriffen zu merken, die in Ausdrücken enthalten sind, um die Determinante dritter Ordnung zu bestimmen, verwenden sie normalerweise Sarrus-Regel: der erste der drei auf der rechten Seite mit einem Pluszeichen versehenen Terme ist das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen der Matrix , und jeder der anderen beiden ist das Produkt der Elemente, die auf der Parallele zu dieser Diagonale liegen, und der Element aus der gegenüberliegenden Ecke der Matrix.

Die letzten drei Terme, die mit einem Minuszeichen eintreten, werden auf ähnliche Weise definiert, nur in Bezug auf die Nebendiagonale.

Beispiel:

Grundlegende Eigenschaften von Matrixdeterminanten

1. Der Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn die Matrix transponiert wird.

2. Beim Umordnen der Zeilen oder Spalten der Matrix ändert die Determinante nur das Vorzeichen, während der Betrag beibehalten wird.

3. Die Determinante, die proportionale Zeilen oder Spalten enthält, ist gleich Null.

4. Der gemeinsame Teiler der Elemente einer Reihe oder Spalte kann aus dem Vorzeichen der Determinante entnommen werden.

5. Wenn alle Elemente einer Reihe oder Spalte gleich Null sind, dann ist die Determinante selbst gleich Null.

6. Wenn wir zu den Elementen einer separaten Reihe oder Spalte der Determinante die Elemente einer anderen Reihe oder Spalte addieren, multipliziert mit einem beliebigen nicht entarteten Faktor , dann ändert sich der Wert der Determinante nicht.

Unerheblich Matrix ist die Determinante, die durch Löschen der gleichen Anzahl von Spalten und Zeilen aus einer quadratischen Matrix erhalten wird.

Wenn alle Minoren der Ordnung darüber, die aus der Matrix zusammengesetzt werden können, gleich Null sind und unter den Minoren der Ordnung mindestens eine von Null verschieden ist, dann wird die Zahl aufgerufen Rang diese Matrix.

Algebraische Addition Element der Ordnungsdeterminante nennen wir seine Ordnungsminorität, erhalten durch Löschen der entsprechenden Zeile und Spalte, an deren Schnittpunkt sich ein Element befindet, das mit einem Pluszeichen genommen wird, wenn die Summe der Indizes gleich einer geraden Zahl und mit a ist Minuszeichen sonst.

Auf diese Weise

,

wo ist die entsprechende Minor-Ordnung.

Berechnung der Determinante einer Matrix durch Zerlegung über die Elemente einer Zeile oder Spalte

Die Matrixdeterminante ist gleich der Summe der Produkte der Elemente einer beliebigen Zeile (einer beliebigen Spalte) der Matrix und der entsprechenden algebraischen Komplemente der Elemente dieser Zeile (dieser Spalte). Bei der Berechnung der Determinante einer Matrix auf diese Weise sollte man sich an folgender Regel orientieren: Wähle die Zeile oder Spalte mit der größten Anzahl von Nullelementen. Diese Technik kann die Menge an Berechnungen erheblich reduzieren.

Beispiel: .

Bei der Berechnung dieser Determinante haben wir die Methode der Erweiterung um die Elemente der ersten Spalte verwendet. Wie aus der obigen Formel ersichtlich ist, muss die letzte der Determinanten zweiter Ordnung nicht berechnet werden, da es multipliziert sich mit null.

Inverse Matrixberechnung

Beim Lösen von Matrixgleichungen wird häufig die inverse Matrix verwendet. Sie ersetzt gewissermaßen die Divisionsoperation, die in expliziter Form in der Matrizenalgebra fehlt.

Quadratische Matrizen gleicher Ordnung, deren Produkt die Identitätsmatrix ergibt, heißen reziprok oder invers. Die inverse Matrix wird bezeichnet und es gilt dafür

Sie können die inverse Matrix nur für eine solche Matrix berechnen, für die .

Der klassische Algorithmus zur Berechnung der inversen Matrix

1. Schreiben Sie die zur Matrix transponierte Matrix auf.

2. Ersetzen Sie jedes Element der Matrix durch die Determinante, die Sie erhalten, indem Sie die Zeile und die Spalte löschen, an deren Schnittpunkt sich dieses Element befindet.

3. Diese Determinante wird von einem Pluszeichen begleitet, wenn die Summe der Elementindizes gerade ist, andernfalls von einem Minuszeichen.

4. Teilen Sie die resultierende Matrix durch die Matrixdeterminante.

Quadratische Matrix SONDERN Befehl n Sie können die Nummer det abgleichen SONDERN(oder | EIN|, oder ), rief sie an bestimmend , auf die folgende Weise:

Matrixdeterminante EIN ruf sie auch an bestimmend . Die Regel zur Berechnung der Determinante für die Ordnungsmatrix N ist ziemlich schwer zu verstehen und anzuwenden. Es sind jedoch Verfahren bekannt, die es ermöglichen, die Berechnung von Determinanten höherer Ordnung auf Basis von Determinanten niedrigerer Ordnung durchzuführen. Eine der Methoden basiert auf der Eigenschaft, die Determinante nach Elementen einer bestimmten Reihe zu erweitern (Eigenschaft 7). Gleichzeitig stellen wir fest, dass es wünschenswert ist, Determinanten niedriger Ordnungen (1, 2, 3) gemäß der Definition berechnen zu können.

Die Berechnung der Determinante 2. Ordnung wird durch das Diagramm veranschaulicht:

Beispiel 4.1. Finden Sie Determinanten von Matrizen

Bei der Berechnung der Determinante 3. Ordnung ist es bequem zu verwenden Dreiecksregel (oder Sarrus), was symbolisch wie folgt geschrieben werden kann:

Beispiel 4.2. Matrixdeterminante berechnen

det SONDERN = 5*1*(-3) + (-2)*(-4)*6 + 3*0*1 — 6*1*1 — 3*(-2)*(-3) — 0*(-4)*5 = -15+48-6-18 = 48-39 = 9.

Lassen Sie uns die Haupteigenschaften von Determinanten formulieren, die Determinanten aller Ordnungen innewohnen. Lassen Sie uns einige dieser Eigenschaften anhand von Determinanten dritter Ordnung erklären.

Eigentum 1 ("Gleichheit von Zeilen und Spalten"). Die Determinante ändert sich nicht, wenn ihre Zeilen durch Spalten ersetzt werden und umgekehrt. Mit anderen Worten,

Zeilen und Spalten werden im Folgenden einfach genannt Zeilen der Determinante .

Eigenschaft 2 . Wenn zwei parallele Zeilen vertauscht werden, ändert die Determinante das Vorzeichen.

Eigenschaft 3 . Eine Determinante mit zwei identischen Zeilen ist Null.

Eigenschaft 4 . Der gemeinsame Teiler der Elemente einer beliebigen Reihe der Determinante kann aus dem Vorzeichen der Determinante entnommen werden.

Aus Eigenschaften 3 und 4 folgt das dass, wenn alle Elemente einer bestimmten Reihe proportional zu den entsprechenden Elementen einer parallelen Reihe sind, eine solche Determinante gleich Null ist.

Wirklich,

Eigenschaft 5 . Wenn die Elemente einer beliebigen Zeile einer Determinante Summen zweier Terme sind, kann die Determinante in die Summe zweier entsprechender Determinanten zerlegt werden.

Zum Beispiel,

Eigenschaft 6. ("Elementare Transformationen der Determinante"). Die Determinante ändert sich nicht, wenn wir zu den Elementen einer Reihe die entsprechenden Elemente der parallelen Reihe addieren, multipliziert mit einer beliebigen Zahl.

Beispiel 4.3. Beweise das

Lösung: In der Tat, indem wir die Eigenschaften 5, 4 und 3 verwenden, lernen wir

Weitere Eigenschaften von Determinanten sind mit den Begriffen Moll und algebraisches Komplement verbunden.

Unerheblich irgendein Element aij bestimmend n- th Ordnung heißt Determinante n- 1. Ordnung, erhalten aus dem Original durch Streichen der Zeile und Spalte, an deren Schnittpunkt sich das ausgewählte Element befindet. Bezeichnet mij

Algebraische Addition Element aij Determinante heißt ihr Minor, genommen mit einem Pluszeichen, wenn die Summe ich + j eine gerade Zahl, und mit einem Minuszeichen, wenn diese Summe ungerade ist. Bezeichnet Aij:

Eigenschaft 7 ("Zerlegung der Determinante in Bezug auf die Elemente einer bestimmten Reihe"). Die Determinante ist gleich der Summe der Produkte von Elementen einer bestimmten Reihe und ihrer entsprechenden algebraischen Komplemente.

Es gebe eine Tabelle (Matrix genannt), die aus vier Zahlen besteht:

Die Matrix hat zwei Zeilen und zwei Spalten.Die Zahlen, aus denen diese Matrix besteht, werden durch einen Buchstaben mit zweiIndizes bezeichnet. Der erste Index gibt die Zeilennummer und der zweite Index die Spaltennummer an, in der sich die angegebene Nummer befindet. Zum Beispiel bedeutet die Zahl in der ersten Reihe und zweiten Spalte; die Zahl in der zweiten Reihe und ersten Spalte. Die Zahlen werden Elemente der Matrix genannt.

Die Determinante (oder Determinante) zweiter Ordnung, die der gegebenen Matrix entspricht, ist die wie folgt erhaltene Zahl:

Die Determinante wird durch das Symbol gekennzeichnet

Auf diese Weise,

Die Zahlen heißen Elemente der Determinante.

Lassen Sie uns die Eigenschaften der Determinante zweiter Ordnung darstellen.

Eigenschaft 1. Die Determinante ändert sich nicht, wenn ihre Zeilen mit den entsprechenden Spalten vertauscht werden, d.h.

Eigenschaft 2.

Wenn zwei Zeilen (oder Spalten) vertauscht werden, ändert die Determinante das Vorzeichen in das Gegenteil, wobei der Absolutwert erhalten bleibt, d.h.

Eigenschaft 3. Eine Determinante mit zwei identischen Zeilen (oder Spalten) ist gleich Null.

Eigenschaft 4. Der gemeinsame Faktor aller Elemente einer Zeile (oder Spalte) kann aus dem Determinantenzeichen entnommen werden:

Eigenschaft 5. Wenn alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) gleich Null sind, dann ist die Determinante gleich Null.

Eigenschaft 6. Wenn wir zu einer Zeile (oder Spalte) der Determinante die entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (oder Spalte) hinzufügen, multipliziert mit derselben Zahl y, dann ändert die Determinante ihren Wert nicht, d.h.