Эффекты конечной разрядности цифровых фильтров
При анализе ЛДС предполагалось, что сигналы дискретизируются только по времени и дискретные отсчеты и коэффициенты фильтров представлялись с неограниченной точностью. Однако в реальных или цифровых системах точность вычислений ограничена и зависит от числа разрядов используемых устройств: АЦП, регистров, сумматоров, умножителей. Это обстоятельство приводит к следующим эффектам:
Шум квантования при аналого-цифровом преобразовании;
Округление результатов промежуточных вычислений;
Искажения частотных характеристик из-за квантования коэффициентов цифровых фильтров;
Переполнение разрядной сетки в процессе вычислений;
Предельные циклы малого уровня.
Шум квантования
Под шумами квантования понимают случайные ошибки между дискретными во времени отсчетами сигналов и их цифровым представлением с ограниченной разрядностью.
Соседние отсчеты шумов квантования предполагаются некоррелированными между собой. И шум квантования является «белым».
Плотность вероятности шума квантования соответствует равномерному закону распределения:
, (2.1)
где - интервал квантования по уровню.
Дисперсия шумов квантования определяется законом распределения:
. (2.2)
Если максимальное значение квантованного сигнала равно , то интервал квантования равен:
,
где - число разрядов цифрового устройства.
Спектральная плотность мощности шумов квантования определяется выражением:
,
где DТ – интервал дискретизации.
Например, коэффициент усиления приемного устройства до входа АЦП выбирается таким образом, чтобы уровень тепловых приемного устройства превышал спектральную плотность шумов квантования.
Вклад входных шумов квантования в выходной сигнал цифрового фильтра определяется выражением:
.
Соответственно, дисперсия выходного шума квантования:
Литература
Маркович И.И. Цифровая обработка сигналов в системах и устройствах: монография / И.И. Маркович; Южный федеральный университет. – Ростов н/Д: Издательство Южного федерального университета, 2012. – 236 с.
Основы цифровой обработки сигналов: учебное пособие / Ю.А. Брюханов, А.А. Приоров, В.И. Джиган, В.В. Хрящев; Яросл. гос. ун-т им. П.Г. Демидова. - Ярославль: ЯрГУ, 2013. – 344 с. (с. 152)
Карташов В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров. – М.: Высш. школа, 1982. – 109. (с. 86)
При правильно выбранной частоте дискретизации, исходя из теоремы Котельникова, точность преобразования аналогового ЗС в цифровой определяется величиной шага квантования.Погрешность преобразования тем меньше, чем меньше шаг квантования. Разность между исходным и квантованным значениями сигнала в дискретные моменты времени называется шумом квантования (ошибкой квантования).
Шум квантования в отличие от флуктуационного шума, в общем случае, носит неслучайный характер. Поэтому правильнее говорить об искажениях сигнала при его аналого-цифровом преобразовании. При фиксированном максимальном уровне входного аналогового ЗС шум квантования определяется числом уровней квантования – разрядностью аналого-цифрового преобразователя (АЦП).
При кодировании двоичными числами и длине кодового слова в m разрядов количество двоичных кодовых слов r (разрешающая способность) составляет. Так при m=16, r=65536.
Поток кодовых слов на выходе АЦП характеризуется скоростью передачи данных – число бит информации переданных за 1 секунду. Скорость передачи данных есть произведение числа разрядов кодового слова на частоту дискретизации (в герцах). Объем памяти необходимый для хранения информации о реализации ЗС длительностью, определяется как произведение скорости потока данных на длительность сигнала.
При линейной импульсно-кодовой модуляции (ИКМ), т.е. при равномерном шаге квантования, мощность шума квантования определяется только шагом квантования:
где - общий динамический диапазон сигнала.
Эффективное значение ошибки квантования:
Шум квантования представляет собой, при линейной ИКМ, случайный процесс с равномерным расширением в пределах, с плотностью вероятности. Спектр шума квантования равномерный в полосе частот.
Шум квантования проявляется только при наличии сигнала. При отсутствии сигнала на входе АЦП на выходе АЦП будут иметь место квантование колебания в младшем разряде АЦП. Объясняется это наличием теплового шума входных аналоговых частей АЦП, нестабильностью питающего напряжения, дрейфом постоянной составляющей в усилителях постоянного тока и другими причинами. На выходе ЦАП (цифро-аналогового преобразователя) это квантованное колебание превращается в шум, называемый шумом паузы. Шум паузы менее равномерный, чем белый шум, характерный для аналоговых устройств, и его часто называют гранулированным. Мощность шума паузы:
на 4,7 дБ больше шума квантования.
Поскольку не зависит от уровня входного сигнала, с увеличением мощности входного отношение линейно растет до тех пор пока не возникают шумы ограничения. Уровень ограничения по входу АЦП определяется максимальным входным рабочим напряжением АЦП. Шумом ограничения называется разность между исходным и ограниченным сигналами. Система АЦП рассчитывается таким образом, чтобы ограничения не возникало т.е.
здесь R- пик-фактор сигнала; S СР – среднеквадратическое значение сигнала.
Число шагов можно определить из соотношения:
где - максимальное и минимальное значения сигнала на входе АЦП;
Шаг квантования.
С учетом выражений (9.6), (9.9),(9.10) получим выражение для мощности шума
Мощность сигнала на сопротивлении 1 Ом,тогда
или в децибелах
При m- разрядном кодировании, тогда
У гармонического сигнала пик-фактор, в этом случае
Для сигналов вещания пик-фактор зависит от жанра программы. Если в среднем считать R=13 дБ то
Если учитывать неодинаковую чувствительность слуха слушателя к составляющим шума разных частот, то отношение сигнал/шум квантования уменьшается на 8.5 дБ для сигнала в полосе частот до 15 кГц и составляет
Динамический диапазон цифрового сигнала оценивают величиной, дБ с учетом того, что получаем
Из выражения (9.15) видно, что увеличение числа разрядов на единицу приводит к улучшению отношения сигнал/шум на 6 дБ.
На рис.9.2. изображены зависимости отношения сигнал/шум для сигналов 3В при разных значениях m от уровня входного сигнала (9.17).
При 16-разрядном квантовании имеем для гармонического сигнала D=90 дБ, С-Ш=98 Б (из выражений 9.15, 9.18). Отношение С-Ш при расчете по формуле (9.17) получается равным 80дБ при кодировании сигнала максимального по уровню. При кодировании слабых сигналов отношение С-Ш меньше на величину динамического диапазона сигнала и оказывается весьма малым при D=50…60 дБ.
80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0
Рис.9.2. Отношение сигнал/шум при ИКМ
Квантование сигнала по уровню является главной операцией аналого-цифрового преобразования сигнала и заключается в округлении его мгновенных значений до ближайших разрешенных. При равномерном квантовании, расстояние между уровнями квантования одинаково. При квантовании сигнала возникают ошибки, величина которых случайна и имеет равномерное распределение, не превышая значения половины шага квантования. Сигнал после квантования представляет собой сумму исходного сигнала и сигнала ошибки, который воспринимается как флуктуационный шум.
Защищенность от шумов квантования для наиболее слабых сигналов при равномерном квантовании:
–псофометрический коэффициент, равный для канала ТЧ величине 0,75;
–динамический
диапазон сигнала, равный
,
дБ;
m – число разрядов в двоичном коде.
Таблица 5.2. Исходные данные
Уровни сигнала:
Динамический диапазон сигнала:
Необходимое число разрядов:
–разрядность кода при равномерном квантовании.
Число шагов для равномерного квантования будет:
Вывод: чтобы закодировать равномерным кодом с заданной защищенностью потребуется код с разрядностью .
5.2.2. Шумы неравномерного квантования
В реальных системах ИКМ используется неравномерное квантование. Неравномерное квантование – уменьшение наклона характеристики путем уменьшения величины шагов квантования для малых мгновенных значений сигнала за счет увеличения шагов для больших значений.
При неравномерном кодировании используются 8-ми разрядные коды, т.е. число уровней квантования равно 256.
Сжатие динамического диапазона осуществляется при помощи А - или m - характеристики компрессирования. В нашем случае используется характеристика компрессии , которая описывается следующим выражением:
Рис. 5.2.2. Характеристика компрессии
В ЦСП применяются сегментные неравномерные характеристики квантования, т.к. они достаточно просто реализуются на цифровой основе. Характеристика симметрична относительно 0, положительна и отрицательная ее ветви состоят из 8-ми сегментов, каждый сегмент поделен на 16 одинаковых шагов (внутри каждого сегмента квантование равномерное).
Сегменты аппроксимируют гладкую кривую характеристики компрессирования типа А. в нулевом и в первом сегменте шаг минимален, а в каждом последующем сегменте величина шага удваивается по отношению к предыдущему.
Выражение для защищенности от шумов квантования в двух первых сегментах будет иметь вид:
Для 2–7 сегментов:
где i - номер сегмента.
Начало графика – наклонная прямая – соответствует нулевому и первому сегментам. Это зона равномерного квантования, поэтому защищенность возрастает пропорционально увеличению уровня сигнала. При переходе ко второму сегменту защищенность скачком уменьшается на 6 дБ. При достижении верхней границы 7 сегмента наступает зона перегрузки.
Практически во всех ЦСП используется дискретизация сигналов с постоянным периодом Т д, а отклонения от этого периода?t i носят случайный характер. Эти отклонения приводят к изменению формы принимаемого сигнала, что субъективно воспринимается как характерная помеха, называемая шумами дискретизации.
Величины?t i определяются главным образом низкочастотными фазовыми флуктуациями импульсов, вызванными неточностью работы линейных регенераторов станции передачи.
Защищенность сигнала от шумов дискретизации:
Допустимые относительные величины смещений моментов дискретизации;
где - величина отклонения, вызванная нестабильностью задающих генераторов;
где - величина отклонения, вызванная фазовыми флуктуациями.
Период дискретизации
63 дБ - требуемая защищенность от шумов дискретизации
Т.к. , то:
Вывод: чтобы обеспечить допустимую защищенность от шумов дискретизации, период дискретизации не должен отклоняться на более 20 нс.
Шумы квантования
Шумы равномерного квантования
Квантование сигнала по уровню является главной операцией аналого-цифрового преобразования сигнала и заключается в округлении его мгновенных значений до ближайших разрешенных. При равномерном квантовании, расстояние между уровнями квантования одинаково. При квантовании сигнала возникают ошибки, величина которых случайна и имеет равномерное распределение, не превышая значения половины шага квантования. Сигнал после квантования представляет собой сумму исходного сигнала и сигнала ошибки, который воспринимается как флуктуационный шум.
Защищенность от шумов квантования для наиболее слабых сигналов при равномерном квантовании:
Псофометрический коэффициент, равный для канала ТЧ величине 0,75;
Динамический диапазон сигнала, равный, дБ;
m - число разрядов в двоичном коде.
Таблица 5.2. Исходные данные
Уровни сигнала:
Динамический диапазон сигнала:
Необходимое число разрядов:
Разрядность кода при равномерном квантовании.
Число шагов для равномерного квантования будет:
Вывод: чтобы закодировать равномерным кодом с заданной защищенностью потребуется код с разрядностью.
Шумы неравномерного квантования
В реальных системах ИКМ используется неравномерное квантование. Неравномерное квантование - уменьшение наклона характеристики путем уменьшения величины шагов квантования для малых мгновенных значений сигнала за счет увеличения шагов для больших значений.
При неравномерном кодировании используются 8-ми разрядные коды, т.е. число уровней квантования равно 256.
Сжатие динамического диапазона осуществляется при помощи А - или - характеристики компрессирования. В нашем случае используется характеристика компрессии, которая описывается следующим выражением:
Рис. 5.2.2. Характеристика компрессии
В ЦСП применяются сегментные неравномерные характеристики квантования, т.к. они достаточно просто реализуются на цифровой основе. Характеристика симметрична относительно 0, положительна и отрицательная ее ветви состоят из 8-ми сегментов, каждый сегмент поделен на 16 одинаковых шагов (внутри каждого сегмента квантование равномерное).
Сегменты аппроксимируют гладкую кривую характеристики компрессирования типа А. в нулевом и в первом сегменте шаг минимален, а в каждом последующем сегменте величина шага удваивается по отношению к предыдущему.
Выражение для защищенности от шумов квантования в двух первых сегментах будет иметь вид:
Для 2-7 сегментов:
где i - номер сегмента.
Начало графика - наклонная прямая - соответствует нулевому и первому сегментам. Это зона равномерного квантования, поэтому защищенность возрастает пропорционально увеличению уровня сигнала. При переходе ко второму сегменту защищенность скачком уменьшается на 6 дБ. При достижении верхней границы 7 сегмента наступает зона перегрузки.
Инструментальные шумы
В процессе преобразования аналогового сигнала в цифровой в оконечном оборудовании появляются шумы, определяемые отклонением характеристик преобразователя от идеальной. Указанные отклонения вызываются ограниченным быстродействием и конечной точностью работы отдельных узлов, изменением параметров преобразователей при колебаниях температуры, старении приборов и т.п. Уровень инструментальных шумов возрастает при увеличении скорости передачи и разрядности кода.
Соотношение между шумами квантования и инструментальными шумами:
Среднеквадратичное значение приведенной инструментальной погрешности преобразования;
Разрядность кода.
Для неравномерного квантования:
Для равномерного квантования:
Вывод: при неравномерном квантовании мощность инструментальных шумов на много меньше, чем при равномерном, следовательно, лучше использовать неравномерное квантование.
Шумы незанятого канала
При отсутствии входных сигналов на входе кодера действуют слабые помехи, к которым относятся собственные шумы и переходные помехи, несбалансированные остатки импульсов и т.д. Если характеристика кодера оказывается смещенной таким образом, что уровень нулевого входного сигнала совпадает с уровнем решения кодера, то помеха с любой сколь угодно малой амплитудой приводит к изменению кодовой комбинации. В этом случае выходной сигнал декодера представляет собой импульсы прямоугольной формы с размахом (- величина минимального шага квантования) и со случайными моментами перехода через ноль. Возникающие при этом шумы, называются шумами незанятого канала. Несмотря на небольшую величину, эти шумы как бы не «маскируются» сигналом, что заметно для абонентов.
Защищенность от шумов незанятого канала должна быть не менее:
где, а - пик-фактор сигнала, - минимальный шаг квантования при равномерном и неравномерном квантовании.
Равномерное квантование:
Неравномерное квантование:
Вывод: при неравномерном квантовании защищённость от помех незанятого канала выше на 12.1 дБ, чем при равномерном.
Погрешности преобразования входного сигнала из аналоговой формы в цифровую возникает при квантовании сигнала на конечное, ограниченное число уровней. Чтобы выявить характер этой погрешности приведем структурную схему (рис.1.10) и выделим из нее два устройства: аналогово-цифровой преобразователь (АЦП) и цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП).
Рис.1.10. Функциональная схема преобразования аналог-цифра и обратно – цифра-аналог
Рассмотрим сначала совместную работу этих устройств без учета цифрового фильтра при подаче на вход АЦП постоянного напряжения различного уровня u 1 (рис. 1.11, а).
Рис. 1.11 Преобразование аналог-цифра и цифра-аналог (а), характеристика квантования (б) и ошибка квантования (в)
Основным параметром АЦП является число разрядов, используемых для кодирования входного напряжения. При двоичном коде число разрядов определяется числом триггеров регистра, каждый из которых может находиться в одном из двух состояний: с нулевым или ненулевым напряжением на выходе. Одному из этих состояний условно приписывается нуль, а другому - единица. При числе двоичных элементов r на выходе АЦП получается комбинация (кодовое число) из r символов, каждый из которых может принимать одно из двух значений (нуль или единица).
Число возможных различных комбинаций L= 2 r и определяет число дискретных уровней, на которое может быть разбит диапазон изменения входного напряжения.
В ЦАП осуществляется обратное преобразование. Каждой комбинации нулей и единиц, поступающих на вход ЦАП, соответствует определенный дискретный уровень выходного напряжения. В результате при равномерном шаге квантования А зависимость u 2 от u 1 приобретает вид ломаной линии, показанной на рис. 1.11, б.
Устройство, обладающее подобной характеристикой, должно рассматриваться как нелинейное, а разность u 2 -u 1 =q - как ошибка, погрешность квантования. Видно, что наибольшая ошибка, по абсолютной величине не превышающая Δ/2, с возрастанием u 2 остается неизменной (рис. 1.11, в).
Предположим, что входное колебание s(t) является гармоническим (рис. 1.12, а). Колебание s вы x (t) приобретает ступенчатую форму, отличающуюся от входного колебания s (t) (рис. 1.12, б, тонкая линия), а ошибка квантования принимает вид функции
представленной на рис. 1.12, в.
Рис 1.12. Сигнал на входе (а) и выходе (б) квантующего устройства; помеха квантования
При изменении в широких пределах амплитуды и частоты гармонического колебания s(t) изменяется только частота следования зубцов: форма их остается близкой к треугольной при неизменной амплитуде Δ/2. Функцию q (t) можно назвать помехой или шумом квантования. Нетрудно вычислить среднюю мощность шума квантования. При допущении треугольной формы зубцов (рис. 1.11, в) с амплитудой Δ/2 средняя длительность одного зубца мощность равна (1/3) (Δ/2) 2 = Δ 2 /12. Так как эта величина не зависит от длительности зубца, можно считать, что средняя мощность шума квантования
Этот результат, выведенный для гармонического сигнала, можно распространить и на любой другой сигнал, в том числе и случайный. Отличие лишь в том, что функция q (t) будет случайным процессом из-за случайной длительности зубцов.
Нетрудно вычислить и отношение сигнал/помеха при квантовании. При высоте ступени Δ и общем числе ступеней, укладывающихся в пределах характеристики АЦП, равном L, амплитуда гармонического сигнала не должна превышать величины LΔ/2, а средняя мощность сигнала - величины 1/2(LΔ/2) 2 (во избежание ограничения сигнала). Следовательно, отношение сигнал/помеха при квантовании гармонического колебания
Так как число уровней L связано с числом двоичных разрядов r соотношением L = 2 r , то последнее выражение можно представить в виде
Это соотношение можно рассматривать как частный случай общего выражения
где K пф - пик фактор сигнала, т. е. отношение максимального значения к среднеквадратическому.
При гармоническом колебании , что и приводит к выражению (1.26); при случайном сигнале с нормальным законом распределения K пф может быть принят 2,5-3. В этом случае , a среднеквадратическое напряжение сигнала не должно превышать ~LΔ/6.
Физический смысл выражения (1.27) очевиден: с увеличением числа разрядов r очень быстро возрастает число дискретных уровней, приходящихся на заданный диапазон изменения s(t), и, следовательно, снижается перепад Δ двух соседних уровней.
При грубой оценке превышения сигнала над шумом квантования исходят из соотношения или, в децибелах:
В современных АЦП число разрядов достигает десяти и более. При этом величина , характеризующая динамический дапазон АЦП, равна примерно 60 д Б (6 д Б на один разряд).
Другой важной характеристикой шума квантования является его спектральная характеристика. При гармоническом колебании на входе АЦП помеха квантования является периодической функцией времени. Спектр ее является линейчатым, содержащим только частоты, кратные частоте входного колебания. Из-за зубчатой формы функции q (t) (см. рис. 1.12, в) спектр шума содержит высшие гармоники.
При входном воздействии типа случайного процесса с дисперсией и со среднеквадратической шириной спектра f SCK статистические характеристика шума квантования зависят не только от характеристик исходного процесса s(t), но и от соотношения между и Δ. В частности, при ширина f q CK спектра шума квантования W q (ω) во много раз больше ширины f S CK спектра процесса s (t).
Введем в рассмотрение дискретизацию входного сигнала. На рис. 1.13 представлены одна из реализаций случайного сигнала s(t) и совокупность выборок, взятых с шагом Т. В АЦП каждая выборка преобразуется в цифровой код.
Загрузка...