อินทิกรัลเชิงซ้อน

บทความนี้จะสรุปหัวข้อของปริพันธ์ที่ไม่แน่นอน และรวมอินทิกรัลที่ฉันคิดว่าค่อนข้างยาก บทเรียนถูกสร้างขึ้นตามคำขอซ้ำ ๆ ของผู้เยี่ยมชมที่แสดงความปรารถนาที่จะวิเคราะห์ตัวอย่างที่ยากขึ้นบนเว็บไซต์

สันนิษฐานว่าผู้อ่านข้อความนี้มีความพร้อมและรู้วิธีใช้เทคนิคพื้นฐานของการรวมเข้าด้วยกัน หุ่นและคนที่ไม่ค่อยมั่นใจในปริพันธ์ควรอ้างถึงบทเรียนแรก - อินทิกรัลไม่มีกำหนด ตัวอย่างโซลูชันที่ซึ่งคุณสามารถเรียนรู้หัวข้อนี้ได้ตั้งแต่เริ่มต้น นักเรียนที่มีประสบการณ์มากขึ้นสามารถทำความคุ้นเคยกับเทคนิคและวิธีการบูรณาการ ซึ่งยังไม่เคยพบในบทความของฉัน

อินทิกรัลใดจะได้รับการพิจารณา?

อันดับแรก เราพิจารณาอินทิกรัลที่มีราก สำหรับวิธีแก้ปัญหาที่เราใช้อย่างต่อเนื่อง การแทนที่ตัวแปรและ บูรณาการตามส่วนต่างๆ. กล่าวคือ ในตัวอย่างหนึ่ง มีการรวมสองวิธีในคราวเดียว และมากยิ่งขึ้น

แล้วเราจะมาทำความรู้จักกับสิ่งที่น่าสนใจและเป็นต้นฉบับ วิธีการลดอินทิกรัลให้กับตัวเอง. มีอินทิกรัลไม่กี่ตัวที่แก้ด้วยวิธีนี้

หมายเลขที่สามของโปรแกรมจะเป็นอินทิกรัลของเศษส่วนที่ซับซ้อนซึ่งบินผ่านเครื่องบันทึกเงินสดในบทความก่อนหน้า

ประการที่สี่ อินทิกรัลเพิ่มเติมจากฟังก์ชันตรีโกณมิติจะถูกวิเคราะห์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีวิธีการที่หลีกเลี่ยงการแทนที่ตรีโกณมิติสากลที่ใช้เวลานาน

(2) ในปริพันธ์ เราหารตัวเศษด้วยเทอมตัวส่วนด้วยเทอม

(3) เราใช้คุณสมบัติของลิเนียริตี้ของอินทิกรัลไม่จำกัด ในอินทิกรัลสุดท้าย ทันที นำฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายของดิฟเฟอเรนเชียล.

(4) เราหาอินทิกรัลที่เหลือ โปรดทราบว่าคุณสามารถใช้วงเล็บในลอการิทึม ไม่ใช่โมดูลัส เพราะ .

(5) เราดำเนินการเปลี่ยนกลับโดยแสดงจากการแทนที่โดยตรง "te":

นักเรียนมาโซคิสต์สามารถแยกแยะคำตอบและรับอินทิกรัลดั้งเดิมได้เหมือนที่ฉันเพิ่งทำ ไม่ ไม่ ฉันตรวจสอบถูกต้องแล้ว =)

อย่างที่คุณเห็น ในระหว่างการแก้ปัญหา ต้องใช้วิธีการแก้ปัญหามากกว่าสองวิธี ดังนั้นในการจัดการกับอินทิกรัลดังกล่าว คุณต้องมีทักษะการบูรณาการที่มั่นใจและไม่ใช่ประสบการณ์น้อยที่สุด

ในทางปฏิบัติ สแควร์รูทเป็นเรื่องธรรมดามากกว่า ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างสามตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่าง 2

หา ปริพันธ์ไม่แน่นอน

ตัวอย่างที่ 3

หาอินทิกรัลไม่จำกัด

ตัวอย่างที่ 4

หาอินทิกรัลไม่จำกัด

ตัวอย่างเหล่านี้เป็นประเภทเดียวกัน ดังนั้นคำตอบที่สมบูรณ์ในตอนท้ายของบทความจึงมีไว้สำหรับตัวอย่างที่ 2 เท่านั้น ในตัวอย่างที่ 3-4 - หนึ่งคำตอบ ฉันคิดว่าการแทนที่ใดที่จะใช้ในช่วงเริ่มต้นของการตัดสินใจนั้นชัดเจน เหตุใดฉันจึงเลือกตัวอย่างประเภทเดียวกัน มักพบในบทบาทของตน บ่อยขึ้นบางทีแค่บางอย่างเช่น .

แต่ไม่เสมอไป เมื่อรูทของฟังก์ชันเชิงเส้นอยู่ภายใต้อาร์กแทนเจนต์ ไซน์ โคไซน์ เลขชี้กำลัง และฟังก์ชันอื่นๆ จะต้องใช้วิธีหลายวิธีพร้อมกัน ในหลายกรณี เป็นไปได้ที่จะ "เลิกง่าย" นั่นคือทันทีหลังจากการแทนที่จะได้รับอินทิกรัลอย่างง่ายซึ่งถูกนำมาใช้ในเบื้องต้น งานที่ง่ายที่สุดที่เสนอข้างต้นคือตัวอย่างที่ 4 ซึ่งหลังจากการแทนที่จะได้อินทิกรัลที่ค่อนข้างง่าย

วิธีการลดอินทิกรัลให้กับตัวเอง

วิธีที่ชาญฉลาดและสวยงาม มาดูความคลาสสิกของประเภทกัน:

ตัวอย่างที่ 5

หาอินทิกรัลไม่จำกัด

มีทวินามกำลังสองอยู่ใต้รูท และเมื่อพยายามรวมตัวอย่างนี้ กาน้ำชาอาจทนได้หลายชั่วโมง อินทิกรัลดังกล่าวถูกยึดโดยชิ้นส่วนและลดลงสู่ตัวมันเอง โดยหลักการก็ไม่ยาก ถ้าคุณรู้วิธี

ให้เราแสดงอินทิกรัลที่พิจารณาด้วยตัวอักษรละตินและเริ่มวิธีแก้ปัญหา:

บูรณาการตามส่วนต่างๆ:

(1) เราเตรียมอินทิกรัลสำหรับการแบ่งภาคตามภาคเรียน

(2) เราแบ่งเทอมอินทิกรัลตามเทอม บางทีอาจไม่ใช่ทุกคนที่เข้าใจฉันจะเขียนรายละเอียดเพิ่มเติม:

(3) เราใช้คุณสมบัติของลิเนียริตี้ของอินทิกรัลไม่จำกัด

(4) เราหาอินทิกรัลสุดท้าย (ลอการิทึม "ยาว")

ทีนี้มาดูที่จุดเริ่มต้นของวิธีแก้ปัญหา:

และสำหรับตอนจบ:

เกิดอะไรขึ้น อันเป็นผลมาจากการจัดการของเรา อินทิกรัลลดลงถึงตัวมันเอง!

เท่ากับจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด:

เราย้ายไปทางด้านซ้ายพร้อมเปลี่ยนเครื่องหมาย:

และเราทำลายผีสางไปทางด้านขวา ผลที่ตามมา:

ควรเพิ่มค่าคงที่ที่พูดอย่างเคร่งครัดก่อนหน้านี้ แต่ฉันเพิ่มในตอนท้าย ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้อ่านสิ่งที่เป็นความรุนแรงที่นี่:

บันทึก: เคร่งครัดยิ่งขึ้น ขั้นตอนสุดท้ายของการแก้ปัญหามีลักษณะดังนี้:

ทางนี้:

ค่าคงที่สามารถเปลี่ยนชื่อเป็น . ทำไมคุณถึงเปลี่ยนชื่อได้? เพราะมันยังคงต้องใช้เวลา ใดๆค่า และในแง่นี้ไม่มีความแตกต่างระหว่างค่าคงที่กับ
ผลที่ตามมา:

เคล็ดลับที่คล้ายกันกับการเปลี่ยนชื่อคงที่ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายใน สมการเชิงอนุพันธ์. และที่นั่นฉันจะเข้มงวด และที่นี่ฉันอนุญาตเสรีภาพดังกล่าวเท่านั้นเพื่อไม่ให้คุณสับสนกับสิ่งที่ไม่จำเป็นและมุ่งเน้นไปที่วิธีการรวมเข้าด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 6

หาอินทิกรัลไม่จำกัด

อินทิกรัลทั่วไปอีกตัวหนึ่งสำหรับโซลูชันอิสระ คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน ข้อแตกต่างกับคำตอบของตัวอย่างที่แล้วจะเป็น!

หากมีสแควร์ไทรโนเมียลอยู่ใต้สแควร์รูท ไม่ว่าในกรณีใด สารละลายจะลดเหลือตัวอย่างที่วิเคราะห์แล้วสองตัวอย่าง

ตัวอย่างเช่น พิจารณาปริพันธ์ . สิ่งที่คุณต้องทำคือล่วงหน้า เลือกสี่เหลี่ยมเต็ม:
.
ถัดไปดำเนินการเปลี่ยนเชิงเส้นซึ่งจัดการ "โดยไม่มีผลกระทบใด ๆ ":
ส่งผลให้เป็นอินทิกรัล สิ่งที่คุ้นเคยใช่มั้ย?

หรือตัวอย่างนี้ ที่มีทวินามกำลังสอง:
การเลือกตารางเต็ม:
และหลังจากการแทนที่เชิงเส้น เราได้อินทิกรัล ซึ่งถูกแก้ไขโดยอัลกอริทึมที่พิจารณาแล้ว

ลองพิจารณาตัวอย่างทั่วไปอีกสองตัวอย่างเกี่ยวกับวิธีการลดอินทิกรัลให้กับตัวเอง:
เป็นอินทิกรัลของเลขชี้กำลังคูณด้วยไซน์
เป็นอินทิกรัลของเลขชี้กำลังคูณด้วยโคไซน์

ในอินทิกรัลที่แสดงตามส่วนต่างๆ คุณจะต้องรวมสองครั้งแล้ว:

ตัวอย่าง 7

หาอินทิกรัลไม่จำกัด

อินทิกรัลคือเลขชี้กำลังคูณด้วยไซน์

เรารวมเข้าด้วยกันโดยส่วนต่างๆ สองครั้งและลดอินทิกรัลให้กับตัวเอง:

อันเป็นผลมาจากการรวมเป็นสองเท่าโดยส่วนต่างๆ ปริพันธ์จะลดลงเหลือตัวมันเอง เท่ากับจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของการแก้ปัญหา:

เราย้ายไปทางด้านซ้ายด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมายและแสดงอินทิกรัลของเรา:

พร้อม. ระหว่างทางแนะนำให้หวีด้านขวา กล่าวคือ นำเลขชี้กำลังออกจากวงเล็บ และวางไซน์และโคไซน์ในวงเล็บตามลำดับ "สวยงาม"

ตอนนี้ ให้กลับไปที่จุดเริ่มต้นของตัวอย่าง หรือมากกว่า เพื่อบูรณาการตามส่วนต่างๆ:

เพราะเราได้กำหนดให้ผู้แสดงสินค้า เกิดคำถามขึ้นว่า มันคือเลขชี้กำลังที่ควรเขียนแทนด้วย ? ไม่จำเป็น. อันที่จริงในปริพันธ์ที่พิจารณาแล้ว โดยพื้นฐานแล้ว ไม่เป็นไร, สิ่งที่จะแสดงสำหรับ, หนึ่งสามารถไปในทางอื่น:

ทำไมสิ่งนี้ถึงเป็นไปได้? เนื่องจากเลขชี้กำลังกลายเป็นตัวมันเอง (เมื่อสร้างความแตกต่างและรวมเข้าด้วยกัน) ไซน์และโคไซน์จึงเปลี่ยนซึ่งกันและกัน (อีกครั้ง ทั้งเมื่อสร้างความแตกต่างและการรวมเข้าด้วยกัน)

นั่นคือสามารถแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติได้เช่นกัน แต่ในตัวอย่างที่พิจารณา นี่เป็นเหตุผลที่น้อยกว่า เนื่องจากเศษส่วนจะปรากฏขึ้น หากคุณต้องการ คุณสามารถลองแก้ตัวอย่างนี้ด้วยวิธีที่สอง คำตอบจะต้องเหมือนกัน

ตัวอย่างที่ 8

หาอินทิกรัลไม่จำกัด

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง ก่อนตัดสินใจ ลองนึกถึงสิ่งที่ทำกำไรได้มากกว่าในกรณีนี้เพื่อกำหนดฟังก์ชันเลขชี้กำลังหรือฟังก์ชันตรีโกณมิติ คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

และแน่นอน อย่าลืมว่าคำตอบส่วนใหญ่ในบทเรียนนี้ง่ายพอที่จะตรวจสอบด้วยการแยกความแตกต่าง!

ตัวอย่างถือว่าไม่ยากที่สุด ในทางปฏิบัติ ปริพันธ์จะพบได้บ่อยกว่า โดยที่ค่าคงที่เป็นทั้งเลขชี้กำลังและในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตัวอย่างเช่น หลายคนจะต้องสับสนในปริพันธ์และตัวฉันเองมักจะสับสน ความจริงก็คือว่าในการแก้ปัญหามีความเป็นไปได้สูงที่การปรากฏตัวของเศษส่วนและมันง่ายมากที่จะสูญเสียบางสิ่งบางอย่างเนื่องจากการไม่ตั้งใจ นอกจากนี้ มีความเป็นไปได้สูงที่จะเกิดข้อผิดพลาดในเครื่องหมาย โปรดทราบว่ามีเครื่องหมายลบในเลขชี้กำลัง ซึ่งจะทำให้เกิดปัญหาเพิ่มเติม

ในขั้นตอนสุดท้ายมักจะเป็นดังนี้:

แม้แต่ตอนท้ายของการแก้ปัญหา คุณควรระมัดระวังอย่างมากและจัดการกับเศษส่วนอย่างถูกต้อง:

การรวมเศษส่วนที่ซับซ้อน

เรากำลังเข้าใกล้เส้นศูนย์สูตรของบทเรียนอย่างช้าๆ และเริ่มพิจารณาอินทิกรัลของเศษส่วน อีกครั้ง ไม่ใช่ทุกอันจะซับซ้อนอย่างยิ่ง เพียงด้วยเหตุผลใดก็ตาม ตัวอย่างก็ "นอกประเด็น" เล็กน้อยในบทความอื่นๆ

ดำเนินเรื่องต่อจากรากเหง้า

ตัวอย่างที่ 9

หาอินทิกรัลไม่จำกัด

ในตัวส่วนใต้รูท จะมีไตรนามกำลังสองบวกนอกรูท "ส่วนต่อท้าย" ในรูปของ "X" อินทิกรัลของแบบฟอร์มนี้ได้รับการแก้ไขโดยใช้การแทนที่มาตรฐาน

เราตัดสินใจ:

การแทนที่ที่นี่ทำได้ง่าย:

มองชีวิตหลังเปลี่ยน:

(1) หลังจากการแทนที่ เราจะลดเงื่อนไขภายใต้รูทเป็นตัวส่วนร่วม
(2) เราเอามันออกจากใต้ราก
(3) เราลดตัวเศษและตัวส่วนด้วย ในเวลาเดียวกัน ภายใต้รูท ฉันจัดเรียงเงื่อนไขใหม่ตามลำดับที่สะดวก ด้วยประสบการณ์บางอย่าง คุณสามารถข้ามขั้นตอน (1), (2) ได้โดยดำเนินการแสดงความคิดเห็นด้วยวาจา
(4) อินทิกรัลที่เป็นผลลัพธ์ตามที่คุณจำได้จากบทเรียน การรวมเศษส่วนบางส่วน, แก้ได้ วิธีการเลือกตารางเต็ม. เลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสเต็ม
(5) โดยการรวมเข้าด้วยกัน เราจะได้ลอการิทึม "ยาว" ธรรมดา
(6) เราดำเนินการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ ถ้าในตอนแรก ให้กลับ: .
(7) การกระทำขั้นสุดท้ายมุ่งเป้าไปที่การรวมผลลัพธ์: ภายใต้รูท เรานำเงื่อนไขไปยังตัวส่วนร่วมอีกครั้งและนำออกจากใต้รูท

ตัวอย่าง 10

หาอินทิกรัลไม่จำกัด

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง ในที่นี้ ค่าคงที่จะถูกเพิ่มไปยัง x โลน และการแทนที่เกือบจะเหมือนกัน:

สิ่งเดียวที่ต้องทำเพิ่มเติมคือการแสดง "x" จากการแทนที่:

คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

บางครั้งในอินทิกรัลดังกล่าว อาจมีสแควร์ทวินามอยู่ใต้รูท ซึ่งไม่ได้เปลี่ยนวิธีการแก้ปัญหา แต่จะยิ่งง่ายยิ่งขึ้นไปอีก รู้สึกถึงความแตกต่าง:

ตัวอย่าง 11

หาอินทิกรัลไม่จำกัด

ตัวอย่าง 12

หาอินทิกรัลไม่จำกัด

คำตอบสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน ควรสังเกตว่าตัวอย่างที่ 11 ตรงกันทุกประการ ปริพันธ์ทวินาม, วิธีการแก้ปัญหาที่ได้รับการพิจารณาในบทเรียน ปริพันธ์ของฟังก์ชันอตรรกยะ.

ปริพันธ์ของพหุนามแยกไม่ออกของดีกรีที่ 2 ถึงดีกรี

(พหุนามในตัวส่วน)

หายากกว่า แต่ถึงกระนั้น เกิดขึ้นในตัวอย่างเชิงปฏิบัติของอินทิกรัล

ตัวอย่างที่ 13

หาอินทิกรัลไม่จำกัด

แต่ลองกลับไปดูตัวอย่างเลขเด็ด 13 กัน (บอกตรงๆ ว่าไม่ได้เดา) อินทิกรัลนี้มาจากหมวดหมู่ที่คุณสามารถทนทุกข์ได้หากคุณไม่ทราบวิธีแก้ปัญหา

การแก้ปัญหาเริ่มต้นด้วยการแปลงโฉม:

ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจวิธีการหารตัวเศษด้วยเทอมตัวส่วนตามเทอมแล้ว

อินทิกรัลที่ได้จะถูกนำมาเป็นส่วน ๆ :

สำหรับอินทิกรัลของรูปแบบ ( เป็นจำนวนธรรมชาติ) เราได้มา กำเริบสูตรการปรับลดรุ่น:
, ที่ไหน เป็นอินทิกรัลของดีกรีที่ต่ำกว่า

ให้เราตรวจสอบความถูกต้องของสูตรนี้สำหรับอินทิกรัลที่แก้ไขแล้ว
ในกรณีนี้: , , เราใช้สูตร:

อย่างที่คุณเห็น คำตอบก็เหมือนกัน

ตัวอย่าง 14

หาอินทิกรัลไม่จำกัด

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง สารละลายตัวอย่างใช้สูตรข้างต้นสองครั้งติดต่อกัน

ถ้าอยู่ภายใต้ระดับคือ ย่อยสลายไม่ได้ทริโนเมียลกำลังสอง จากนั้นสารละลายจะลดลงเป็นทวินามโดยแยกกำลังสองเต็ม ตัวอย่างเช่น

เกิดอะไรขึ้นถ้ามีพหุนามเพิ่มเติมในตัวเศษ? ในกรณีนี้ จะใช้วิธีการของสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน และอินทิกรัลจะขยายเป็นผลรวมของเศษส่วน แต่ในการปฏิบัติของฉันของตัวอย่างดังกล่าว ไม่เคยเจอดังนั้นฉันจึงข้ามกรณีนี้ในบทความ ปริพันธ์ของฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ, ฉันจะข้ามมันไปเดี๋ยวนี้ หากอินทิกรัลดังกล่าวยังคงเกิดขึ้น ดูหนังสือเรียน - ทุกอย่างนั้นง่ายที่นั่น ฉันไม่คิดว่ามันสมควรที่จะรวมเนื้อหา (แม้ง่าย ๆ ) ความน่าจะเป็นที่จะพบกับซึ่งมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์

การรวมฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ซับซ้อน

คำคุณศัพท์ "ยาก" สำหรับตัวอย่างส่วนใหญ่จะมีเงื่อนไขเป็นส่วนใหญ่อีกครั้ง เริ่มจากแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ใน องศาสูง. จากมุมมองของวิธีการที่ใช้ในการแก้แทนเจนต์และโคแทนเจนต์นั้นเกือบจะเหมือนกัน ดังนั้นผมจะพูดถึงแทนเจนต์มากขึ้น ซึ่งหมายความว่าวิธีการที่แสดงให้เห็นในการแก้ปัญหาอินทิกรัลก็ใช้ได้กับโคแทนเจนต์ด้วย

ในบทเรียนข้างต้น เราดูที่ การแทนที่ตรีโกณมิติสากลสำหรับการแก้อินทิกรัลบางประเภทของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ข้อเสียของการแทนที่ตรีโกณมิติสากลคือการที่แอปพลิเคชันมักนำไปสู่อินทิกรัลที่ยุ่งยากด้วยการคำนวณที่ยาก และในบางกรณีสามารถหลีกเลี่ยงการแทนที่ตรีโกณมิติสากลได้!

ลองพิจารณาตัวอย่างที่เป็นที่ยอมรับอีกอันหนึ่ง ปริพันธ์ของเอกภาพหารด้วยไซน์:

ตัวอย่าง 17

หาอินทิกรัลไม่จำกัด

คุณสามารถใช้การแทนค่าตรีโกณมิติสากลและรับคำตอบได้ แต่ยังมีวิธีที่มีเหตุผลมากกว่านี้ ฉันจะให้คำตอบที่สมบูรณ์พร้อมความคิดเห็นสำหรับแต่ละขั้นตอน:

(1) เราใช้สูตรตรีโกณมิติสำหรับไซน์ของมุมคู่
(2) เราดำเนินการแปลงประดิษฐ์: ในตัวส่วน เราหารและคูณด้วย .
(3) ตามสูตรที่รู้จักกันดีในตัวส่วน เราเปลี่ยนเศษส่วนให้เป็นแทนเจนต์
(4) เรานำฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายของดิฟเฟอเรนเชียล
(5) เราหาอินทิกรัล

คู่ ตัวอย่างง่ายๆสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่าง 18

หาอินทิกรัลไม่จำกัด

คำแนะนำ: ขั้นตอนแรกสุดคือการใช้สูตรลดขนาด และดำเนินการอย่างรอบคอบคล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้านี้

ตัวอย่าง 19

หาอินทิกรัลไม่จำกัด

นี่เป็นตัวอย่างที่ง่ายมาก

กรอกคำตอบและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ฉันคิดว่าตอนนี้จะไม่มีใครมีปัญหากับปริพันธ์:
ฯลฯ

แนวคิดเบื้องหลังวิธีการคืออะไร? แนวคิดคือการใช้การแปลง, สูตรตรีโกณมิติเพื่อจัดระเบียบเฉพาะแทนเจนต์และอนุพันธ์ของแทนเจนต์ในอินทิกรัล นั่นคือเรากำลังพูดถึงการแทนที่: . ในตัวอย่างที่ 17-19 เราใช้การแทนที่นี้จริง ๆ แต่อินทิกรัลนั้นง่ายมากจนใช้การกระทำที่เท่ากัน นำฟังก์ชันมาไว้ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล

เหตุผลที่คล้ายคลึงกันดังที่ได้กล่าวไปแล้วนั้นสามารถทำได้สำหรับโคแทนเจนต์

นอกจากนี้ยังมีข้อกำหนดเบื้องต้นอย่างเป็นทางการสำหรับการใช้การทดแทนข้างต้น:

ผลรวมของยกกำลังของโคไซน์และไซน์เป็นจำนวนเต็มลบ เลขคู่, ตัวอย่างเช่น:

สำหรับอินทิกรัล เป็นจำนวนเต็มลบ EVEN จำนวนเต็ม

! บันทึก : หากอินทิกรัลประกอบด้วยไซน์เท่านั้นหรือโคไซน์เท่านั้น ปริพันธ์จะถูกนำมาแม้มีดีกรีเป็นลบ (กรณีที่ง่ายที่สุดอยู่ในตัวอย่างที่ 17, 18)

พิจารณางานที่มีความหมายมากกว่าสองสามอย่างสำหรับกฎนี้:

ตัวอย่าง 20

หาอินทิกรัลไม่จำกัด

ผลรวมของดีกรีของไซน์และโคไซน์: 2 - 6 \u003d -4 - จำนวนเต็มลบ EVEN ซึ่งหมายความว่าอินทิกรัลสามารถลดลงเป็นแทนเจนต์และอนุพันธ์ของมันได้:

(1) ลองแปลงตัวส่วนกัน
(2) ตามสูตรที่รู้จักกันดี เราได้รับ .
(3) ลองแปลงตัวส่วนกัน
(4) เราใช้สูตร .
(5) เรานำฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายอนุพันธ์
(6) เราดำเนินการเปลี่ยน นักเรียนที่มีประสบการณ์มากกว่าอาจไม่ดำเนินการแทนที่ แต่ก็ยังดีกว่าที่จะแทนที่แทนเจนต์ด้วยตัวอักษรเดียว - มีความเสี่ยงน้อยกว่าที่จะเกิดความสับสน

ตัวอย่าง 21

หาอินทิกรัลไม่จำกัด

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง

เดี๋ยวนะ รอบชิงแชมป์เริ่มแล้ว =)

บ่อยครั้งในจำนวนเต็มมี "ส่วนผสม":

ตัวอย่าง 22

หาอินทิกรัลไม่จำกัด

อินทิกรัลนี้ในขั้นต้นประกอบด้วยแทนเจนต์ ซึ่งแนะนำความคิดที่คุ้นเคยอยู่แล้วในทันที:

ฉันจะทิ้งการเปลี่ยนแปลงประดิษฐ์ไว้ที่จุดเริ่มต้นและขั้นตอนที่เหลือโดยไม่มีความคิดเห็น เนื่องจากทุกอย่างได้กล่าวไว้ข้างต้นแล้ว

ตัวอย่างความคิดสร้างสรรค์สองสามตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่าง 23

หาอินทิกรัลไม่จำกัด

ตัวอย่าง 24

หาอินทิกรัลไม่จำกัด

ใช่ แน่นอน คุณสามารถลดระดับของไซน์ โคไซน์ ใช้การแทนที่ตรีโกณมิติสากลได้ แต่วิธีแก้ปัญหาจะมีประสิทธิภาพและสั้นกว่ามากหากวาดผ่านแทนเจนต์ คำตอบและคำตอบที่สมบูรณ์ในตอนท้ายของบทเรียน

ปริพันธ์หลักที่นักเรียนทุกคนควรรู้

อินทิกรัลที่ระบุไว้เป็นพื้นฐานซึ่งเป็นพื้นฐานของฐานราก แน่นอนว่าควรจำสูตรเหล่านี้ไว้ เมื่อคำนวณอินทิกรัลที่ซับซ้อนมากขึ้น คุณจะต้องใช้พวกมันอย่างต่อเนื่อง

จ่าย ความสนใจเป็นพิเศษเป็นสูตร (5), (7), (9), (12), (13), (17) และ (19) อย่าลืมเพิ่มค่าคงที่ตามอำเภอใจ C ให้กับคำตอบเมื่อรวมเข้าด้วยกัน!

ปริพันธ์ของค่าคงที่

∫ A d x = A x + C (1)

การรวมฟังก์ชั่นพลังงาน

อันที่จริง เราอาจจำกัดตัวเองให้อยู่ในสูตร (5) และ (7) แต่อินทิกรัลที่เหลือจากกลุ่มนี้เป็นเรื่องธรรมดามากจนควรค่าแก่การใส่ใจเพียงเล็กน้อย

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = บันทึก | x | +ซี(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

ปริพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก

แน่นอนสูตร (8) (อาจจะจำสะดวกที่สุด) ถือเป็นกรณีพิเศษของสูตร (9) สูตร (10) และ (11) สำหรับอินทิกรัลของไฮเพอร์โบลิกไซน์และไฮเปอร์โบลิกโคไซน์นั้นได้มาจากสูตร (8) อย่างง่ายดาย แต่จะดีกว่าถ้าจำความสัมพันธ์เหล่านี้ไว้

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x บันทึก a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

อินทิกรัลพื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ข้อผิดพลาดที่นักเรียนมักทำ: พวกเขาสับสนเครื่องหมายในสูตร (12) และ (13) จำไว้ว่าอนุพันธ์ของไซน์เท่ากับโคไซน์ ด้วยเหตุผลบางอย่าง หลายคนเชื่อว่าอินทิกรัลของฟังก์ชันไซน์เท่ากับ cosx นี่ไม่เป็นความจริง! อินทิกรัลของไซน์คือ "ลบโคไซน์" แต่อินทิกรัลของ cosx คือ "แค่ไซน์":

∫ บาป x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = บาป x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 บาป 2 x d x = − c t g x + C (15)

ปริพันธ์ที่ลดฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

สูตร (16) ซึ่งนำไปสู่อาร์คแทนเจนต์ เป็นกรณีพิเศษของสูตร (17) สำหรับ a=1 ในทำนองเดียวกัน (18) เป็นกรณีพิเศษของ (19)

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

อินทิกรัลที่ซับซ้อนมากขึ้น

สูตรเหล่านี้ยังเป็นที่พึงปรารถนาที่จะจำ พวกเขายังใช้ค่อนข้างบ่อยและผลลัพธ์ของพวกเขาค่อนข้างน่าเบื่อ

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

กฎการรวมทั่วไป

1) อินทิกรัลของผลรวมของสองฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของอินทิกรัลที่เกี่ยวข้อง: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) อินทิกรัลของผลต่างของฟังก์ชันทั้งสองมีค่าเท่ากับผลต่างของอินทิกรัลที่สอดคล้องกัน: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายปริพันธ์ได้: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าคุณสมบัติ (26) เป็นเพียงการรวมกันของคุณสมบัติ (25) และ (27)

4) ปริพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน ถ้าฟังก์ชันภายในเป็นเส้นตรง: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

โดยที่ F(x) คือแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน f(x) โปรดทราบว่าสูตรนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อฟังก์ชันภายในคือ Ax + B

สำคัญ: ไม่มีสูตรสากลสำหรับอินทิกรัลของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน เช่นเดียวกับอินทิกรัลของเศษส่วน:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (สามสิบ)

นี้ไม่ได้หมายความ ว่า เศษส่วนหรือผลิตภัณฑ์ไม่สามารถรวม ทุกครั้งที่คุณเห็นอินทิกรัลเช่น (30) คุณต้องคิดค้นวิธีที่จะ "ต่อสู้" กับมัน ในบางกรณี การบูรณาการตามส่วนต่างๆ จะช่วยคุณได้ ในบางที่คุณจะต้องทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร และบางครั้งแม้แต่สูตร "โรงเรียน" ของพีชคณิตหรือตรีโกณมิติก็สามารถช่วยได้

ตัวอย่างง่ายๆ สำหรับการคำนวณอินทิกรัลไม่จำกัด

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาอินทิกรัล: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

เราใช้สูตร (25) และ (26) (อินทิกรัลของผลรวมหรือผลต่างของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมหรือผลต่างของอินทิกรัลที่สอดคล้องกัน เราได้รับ: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 วัน x

จำได้ว่าสามารถนำค่าคงที่ออกจากเครื่องหมายปริพันธ์ (สูตร (27)) นิพจน์จะถูกแปลงเป็นรูปแบบ

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ บาป x d x − 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

ทีนี้ลองใช้ตารางอินทิกรัลพื้นฐานกัน เราจะต้องใช้สูตร (3), (12), (8) และ (1) มารวมฟังก์ชันกำลัง ไซน์ เลขชี้กำลัง และค่าคงที่ 1 กัน อย่าลืมเติมค่าคงที่ C ที่ส่วนท้าย:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

หลังจากการแปลงเบื้องต้น เราได้คำตอบสุดท้าย:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

ทดสอบตัวเองด้วยการสร้างความแตกต่าง: หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผลลัพธ์และตรวจสอบให้แน่ใจว่ามีค่าเท่ากับอินทิกรัลดั้งเดิม

ตารางสรุปปริพันธ์

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = บันทึก | x | + C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ บาป x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = บาป x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 บาป 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | + C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

ดาวน์โหลดตารางอินทิกรัล (ตอนที่ II) จากลิงค์นี้

หากคุณเรียนที่มหาวิทยาลัย หากคุณมีปัญหาใด ๆ กับคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น (การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ พีชคณิตเชิงเส้น ทฤษฎีความน่าจะเป็น สถิติ) หากคุณต้องการบริการของครูที่มีคุณสมบัติเหมาะสม ไปที่หน้าของติวเตอร์ในวิชาคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น มาแก้ปัญหาของคุณด้วยกัน!

คุณอาจสนใจเช่นกัน