คุณสมบัติบางประการของการดำเนินการบนเมทริกซ์
นิพจน์เมทริกซ์

และตอนนี้ความต่อเนื่องของหัวข้อจะตามมาซึ่งเราจะพิจารณาไม่เพียง วัสดุใหม่แต่เราจะทำงาน การดำเนินการเมทริกซ์.

คุณสมบัติบางประการของการดำเนินการบนเมทริกซ์

มีคุณสมบัติค่อนข้างน้อยที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการกับเมทริกซ์ ในวิกิพีเดียเดียวกัน คุณสามารถชื่นชมลำดับที่เรียวของกฎที่เกี่ยวข้องได้ อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติคุณสมบัติหลายอย่างมีความหมายว่า "ตาย" เนื่องจากมีเพียงบางส่วนเท่านั้นที่ใช้ในการแก้ปัญหาจริง เป้าหมายของฉันคือการพิจารณาการใช้คุณสมบัติบน ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมและถ้าคุณต้องการทฤษฎีที่เข้มงวด โปรดใช้แหล่งข้อมูลอื่น

พิจารณาบางส่วน ข้อยกเว้นของกฎจำเป็นต้องปฏิบัติงานจริง

ถ้า เมทริกซ์สี่เหลี่ยมมีอยู่ เมทริกซ์ผกผันดังนั้นการคูณของพวกมันจะสลับที่:

เมทริกซ์เอกลักษณ์เรียกว่าเมทริกซ์จตุรัสด้วย เส้นทแยงมุมหลักหน่วยตั้งอยู่และองค์ประกอบที่เหลือมีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวอย่างเช่น , เป็นต้น

ในนั้น คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง: หากมีการคูณเมทริกซ์โดยพลการ ซ้ายหรือขวาโดยเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีขนาดเหมาะสม ผลลัพธ์ที่ได้คือเมทริกซ์ดั้งเดิม:

อย่างที่คุณเห็น การสับเปลี่ยนของการคูณเมทริกซ์ก็เกิดขึ้นที่นี่เช่นกัน

ลองใช้เมทริกซ์กันบ้าง สมมติว่าเมทริกซ์จากปัญหาที่แล้ว: .

ผู้ที่สนใจสามารถตรวจสอบและตรวจสอบให้แน่ใจว่า:

เมทริกซ์เอกลักษณ์สำหรับเมทริกซ์เป็นแอนะล็อกของหน่วยตัวเลขสำหรับตัวเลข ซึ่งเห็นได้ชัดเจนเป็นพิเศษจากตัวอย่างที่เพิ่งพิจารณา

การสับเปลี่ยนของปัจจัยตัวเลขที่เกี่ยวข้องกับการคูณเมทริกซ์

คุณสมบัติต่อไปนี้ถือเป็นเมทริกซ์และจำนวนจริง:

นั่นคือ ปัจจัยที่เป็นตัวเลขสามารถ (และควร) ก้าวไปข้างหน้าเพื่อไม่ให้ "รบกวน" กับการคูณเมทริกซ์

บันทึก : โดยทั่วไปแล้ว การใช้ถ้อยคำของคุณสมบัติไม่สมบูรณ์ - "แลมบ์ดา" สามารถวางไว้ที่ใดก็ได้ระหว่างเมทริกซ์ แม้แต่ในตอนท้าย กฎยังคงใช้ได้หากมีการคูณเมทริกซ์ตั้งแต่สามรายการขึ้นไป

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณสินค้า

สารละลาย:

(1) ตามคุณสมบัติ เลื่อนตัวประกอบตัวเลขไปข้างหน้า เมทริกซ์ไม่สามารถจัดเรียงใหม่ได้!

(2) - (3) ดำเนินการคูณเมทริกซ์

(4) ที่นี่คุณสามารถแบ่งแต่ละหมายเลข 10 ได้ แต่จากนั้นเศษส่วนทศนิยมจะปรากฏในองค์ประกอบของเมทริกซ์ซึ่งไม่ดี อย่างไรก็ตาม เราสังเกตเห็นว่าตัวเลขทั้งหมดในเมทริกซ์หารด้วย 5 ลงตัว เราจึงคูณแต่ละองค์ประกอบด้วย

คำตอบ:

ปริศนาเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่ต้องแก้ไขด้วยตัวคุณเอง:

ตัวอย่างที่ 5

คำนวณถ้า

เฉลยและเฉลยท้ายบทเรียน.

เทคนิคใดมีความสำคัญในการแก้ปัญหาตัวอย่างดังกล่าว การจัดการกับตัวเลข ล่าสุด .

มาติดเกวียนอีกคันเข้ากับหัวรถจักร:

วิธีการคูณสามเมทริกซ์?

ก่อนอื่น ผลลัพธ์ของการคูณสามเมทริกซ์ควรเป็นอย่างไร แมวจะไม่ให้กำเนิดหนู ถ้าการคูณเมทริกซ์เป็นไปได้ ผลลัพธ์ก็จะเป็นเมทริกซ์ด้วย ครูสอนพีชคณิตของฉันไม่เห็นวิธีที่ฉันอธิบายความปิดของโครงสร้างพีชคณิตที่เกี่ยวกับองค์ประกอบของมัน =)

ผลคูณของเมทริกซ์สามตัวสามารถคำนวณได้สองวิธี:

1) ค้นหาแล้วคูณด้วยเมทริกซ์ "ce": ;

2) หาก่อน จากนั้นทำการคูณ

ผลลัพธ์จะต้องตรงกันและในทางทฤษฎี คุณสมบัตินี้เรียกว่าการเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์:

ตัวอย่างที่ 6

คูณเมทริกซ์ในสองวิธี

อัลกอริทึม โซลูชั่นสองขั้นตอน: หาผลคูณของสองเมทริกซ์ แล้วหาผลคูณของสองเมทริกซ์อีกครั้ง

1) ใช้สูตร

การกระทำที่หนึ่ง:

การกระทำที่สอง:

2) ใช้สูตร

การกระทำที่หนึ่ง:

การกระทำที่สอง:

คำตอบ:

แน่นอนว่าความคุ้นเคยและมาตรฐานเป็นวิธีแรกในการแก้ปัญหา "ราวกับว่าทุกอย่างเป็นไปตามลำดับ" โดยวิธีการเกี่ยวกับการสั่งซื้อ ในงานที่กำลังพิจารณา ภาพลวงตามักจะเกิดขึ้นว่าเรากำลังพูดถึงการเปลี่ยนแปลงของเมทริกซ์บางประเภท พวกเขาไม่ได้อยู่ที่นี่ ฉันขอเตือนคุณอีกครั้งว่า โดยทั่วไป อย่าแทนที่เมทริกซ์. ดังนั้นในย่อหน้าที่สอง เราทำการคูณในขั้นตอนที่สอง แต่ไม่ว่าในกรณีใด ด้วยตัวเลขธรรมดา ตัวเลขดังกล่าวจะผ่านไปได้ แต่ไม่ใช่กับเมทริกซ์

คุณสมบัติของการเชื่อมโยงของการคูณนั้นใช้ได้ไม่เพียง แต่สำหรับกำลังสองเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเมทริกซ์ตามอำเภอใจด้วย - ตราบใดที่พวกมันถูกคูณ:

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาผลคูณของเมทริกซ์สามตัว

นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง ในโซลูชันตัวอย่าง การคำนวณดำเนินการในสองวิธี วิเคราะห์ว่าวิธีใดมีกำไรมากกว่าและสั้นกว่า

คุณสมบัติของการเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์เกิดขึ้นจากปัจจัยจำนวนมากขึ้น

ตอนนี้ได้เวลากลับสู่พลังของเมทริกซ์แล้ว กำลังสองของเมทริกซ์จะพิจารณาที่จุดเริ่มต้นและในวาระการประชุมคือคำถาม:

จะคิวบ์เมทริกซ์และพลังที่สูงขึ้นได้อย่างไร?

การดำเนินการเหล่านี้กำหนดไว้สำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมเท่านั้น ในการยกเมทริกซ์จัตุรัสเป็นลูกบาศก์ คุณต้องคำนวณผลคูณ:

อันที่จริง นี่เป็นกรณีพิเศษของการคูณเมทริกซ์สามตัว ตามคุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์: และเมทริกซ์คูณด้วยตัวมันเองคือกำลังสองของเมทริกซ์:

ดังนั้นเราจึงได้สูตรการทำงาน:

นั่นคืองานจะดำเนินการในสองขั้นตอน: ขั้นแรก เมทริกซ์จะต้องยกกำลังสอง จากนั้น เมทริกซ์ผลลัพธ์จะถูกคูณด้วยเมทริกซ์

ตัวอย่างที่ 8

ยกเมทริกซ์เป็นลูกบาศก์

นี่เป็นปัญหาเล็กน้อยที่ต้องแก้ไขด้วยตัวคุณเอง

การเพิ่มเมทริกซ์เป็นยกกำลังสี่นั้นเป็นไปตามธรรมชาติ:

ด้วยการใช้ความสัมพันธ์ของการคูณเมทริกซ์ เราได้สูตรการทำงานสองสูตร อันดับแรก: เป็นผลคูณของเมทริกซ์สามตัว

1) . กล่าวอีกนัยหนึ่งคือก่อนอื่นเราพบแล้วคูณด้วย "be" - เราจะได้ลูกบาศก์และสุดท้ายเราทำการคูณอีกครั้ง - จะมีระดับที่สี่

2) แต่มีวิธีแก้ปัญหาที่สั้นกว่าหนึ่งขั้นตอน: . นั่นคือในขั้นตอนแรกเราพบสี่เหลี่ยมจัตุรัสและทำการคูณข้ามลูกบาศก์

งานเพิ่มเติมสำหรับตัวอย่างที่ 8:

ยกเมทริกซ์ยกกำลังสี่.

ดังที่กล่าวไว้ สามารถทำได้สองวิธี:

1) ทันทีที่ทราบคิวบ์ เราก็ทำการคูณ

2) อย่างไรก็ตาม ถ้าตามเงื่อนไขของปัญหา จำเป็นต้องสร้างเมทริกซ์ ในระดับที่สี่เท่านั้นจากนั้นจะเป็นประโยชน์ในการทำให้เส้นทางสั้นลง - ค้นหากำลังสองของเมทริกซ์และใช้สูตร

ทั้งคำตอบและคำตอบอยู่ที่ส่วนท้ายของบทเรียน

ในทำนองเดียวกันเมทริกซ์จะเพิ่มขึ้นเป็นห้าหรือมากกว่านั้น ระดับสูง. จากประสบการณ์จริงฉันสามารถพูดได้ว่าบางครั้งมีตัวอย่างของการยกระดับเป็นระดับที่ 4 แต่ฉันจำบางอย่างในระดับที่ห้าไม่ได้แล้ว แต่ในกรณีนี้ ฉันจะให้อัลกอริทึมที่ดีที่สุด:

1) ค้นหา;
2) ค้นหา ;
3) ยกเมทริกซ์เป็นยกกำลังห้า: .

นี่อาจเป็นคุณสมบัติหลักทั้งหมดของการดำเนินการของเมทริกซ์ที่อาจเป็นประโยชน์ในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ

ในส่วนที่สองของบทเรียนคาดว่าจะมีปาร์ตี้ที่มีสีสันไม่น้อย

นิพจน์เมทริกซ์

ลองทำซ้ำการแสดงออกของโรงเรียนตามปกติด้วยตัวเลข นิพจน์ตัวเลขประกอบด้วยตัวเลข สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ และวงเล็บ ตัวอย่างเช่น . ในการคำนวณ ลำดับความสำคัญเชิงพีชคณิตที่คุ้นเคยนั้นถูกต้อง: อันดับแรก, the วงเล็บแล้วดำเนินการ การยกกำลัง / การสกัดราก, แล้ว คูณ / หารและสุดท้าย - การบวก/ลบ.

หากนิพจน์ตัวเลขสมเหตุสมผล ผลลัพธ์ของการประเมินจะเป็นตัวเลข, ตัวอย่างเช่น:

นิพจน์เมทริกซ์เกือบจะเหมือนกันทุกประการ! โดยมีความแตกต่างตรงที่ตัวแสดงหลักเป็นเมทริกซ์ รวมถึงการดำเนินการเมทริกซ์เฉพาะบางอย่าง เช่น การขนย้ายและการค้นหา เมทริกซ์ผกผัน.

พิจารณานิพจน์เมทริกซ์ เมทริกซ์บางตัวอยู่ที่ไหน นิพจน์เมทริกซ์นี้มีคำศัพท์สามคำและการดำเนินการบวก/ลบจะดำเนินการครั้งสุดท้าย

ในเทอมแรก คุณต้องย้ายเมทริกซ์ "be" ก่อน จากนั้นทำการคูณและเพิ่ม "สอง" ให้กับเมทริกซ์ผลลัพธ์ โปรดทราบว่า การดำเนินการเปลี่ยนตำแหน่งมีความสำคัญสูงกว่าการดำเนินการคูณ. วงเล็บในนิพจน์ตัวเลขเปลี่ยนลำดับของการดำเนินการ: - ที่นี่ก่อนอื่นทำการคูณจากนั้นเมทริกซ์ผลลัพธ์จะถูกย้ายและคูณด้วย 2

ในพจน์ที่สอง การคูณเมทริกซ์จะดำเนินการก่อน และพบเมทริกซ์ผกผันจากผลคูณแล้ว หากถอดวงเล็บ: ก่อนอื่นคุณต้องหาเมทริกซ์ผกผัน แล้วจึงคูณเมทริกซ์: การหาเมทริกซ์ผกผันมีความสำคัญมากกว่าการคูณ.

ด้วยพจน์ที่สาม ทุกอย่างชัดเจน: เรายกเมทริกซ์เป็นลูกบาศก์และเพิ่ม "ห้า" ลงในเมทริกซ์ผลลัพธ์

หากนิพจน์เมทริกซ์สมเหตุสมผล ผลลัพธ์ของการประเมินก็คือเมทริกซ์.

งานทั้งหมดจะเป็นของจริง ควบคุมการทำงานและเราจะเริ่มด้วยวิธีที่ง่ายที่สุด:

ตัวอย่างที่ 9

ข้อมูลเมทริกซ์ . หา:

สารละลาย: ลำดับของการดำเนินการนั้นชัดเจน การคูณจะดำเนินการก่อน แล้วจึงทำการบวก

เพิ่มไม่ได้เนื่องจากเมทริกซ์มีขนาดต่างกัน

อย่าแปลกใจที่มักเสนอการกระทำที่เป็นไปไม่ได้อย่างเห็นได้ชัดในงานประเภทนี้

ลองคำนวณนิพจน์ที่สอง:

ทุกอย่างเรียบร้อยดีที่นี่

คำตอบ: ไม่สามารถดำเนินการได้ .

พีชคณิตเชิงเส้นสำหรับ Dummies

หากต้องการศึกษาพีชคณิตเชิงเส้น คุณสามารถอ่านและเจาะลึกหนังสือ "เมทริกซ์และตัวกำหนด" ของ I. V. Belousov อย่างไรก็ตาม มันเขียนด้วยภาษาคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดและแห้งแล้ง ซึ่งยากสำหรับคนที่มีจิตใจธรรมดาจะเข้าใจ ดังนั้นฉันจึงได้เล่าเรื่องราวที่เข้าใจยากที่สุดในหนังสือเล่มนี้อีกครั้งโดยพยายามนำเสนอเนื้อหาให้ชัดเจนที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้โดยใช้ภาพวาดให้มากที่สุดสำหรับสิ่งนี้ ฉันละเว้นการพิสูจน์ทฤษฎีบท พูดตามตรงฉันไม่ได้เข้าไปหาพวกเขาด้วยตัวเอง ฉันเชื่อนาย Belousov! ตัดสินจากผลงานของเขา เขาเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีความสามารถและชาญฉลาด สามารถดาวน์โหลดหนังสือได้ที่ http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdfหากคุณจะเจาะลึกงานของฉันต้องทำสิ่งนี้เพราะฉันมักจะอ้างถึง Belousov

เริ่มต้นด้วยคำจำกัดความ เมทริกซ์คืออะไร? เป็นตารางสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีตัวเลข ฟังก์ชัน หรือนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิต เหตุใดจึงจำเป็นต้องมีเมทริกซ์ ช่วยอำนวยความสะดวกในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนอย่างมาก เมทริกซ์สามารถแบ่งออกเป็นแถวและคอลัมน์ (รูปที่ 1)

แถวและคอลัมน์จะมีหมายเลขโดยเริ่มจากด้านซ้าย

ด้านบน (รูปที่ 1-1) เมื่อพวกเขาพูดว่า: เมทริกซ์ขนาด mn (หรือ m คูณ n) พวกเขาหมายถึง ม. จำนวนบรรทัด, และภายใต้ n จำนวนคอลัมน์. ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ในรูปที่ 1-1 คือ 4 คูณ 3 ไม่ใช่ 3 คูณ 4

ดูรูปที่ 1-3 เมทริกซ์คืออะไร ถ้าเมทริกซ์ประกอบด้วยหนึ่งแถว เรียกว่า เมทริกซ์แถว และถ้าประกอบด้วยหนึ่งคอลัมน์ จะเรียกว่า เมทริกซ์คอลัมน์ เมทริกซ์เรียกว่ากำลังสองของลำดับที่ n หากจำนวนแถวในนั้นเท่ากับจำนวนคอลัมน์และเท่ากับ n ถ้าองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์เป็นศูนย์ แสดงว่าเมทริกซ์นั้นเป็นศูนย์ เมทริกซ์สี่เหลี่ยมเรียกว่าเส้นทแยงมุมหากองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ยกเว้นองค์ประกอบที่อยู่บนเส้นทแยงมุมหลัก

ฉันจะอธิบายทันทีว่าเส้นทแยงมุมหลักคืออะไร มีหมายเลขแถวและคอลัมน์เดียวกัน มันไปจากซ้ายไปขวา บนลงล่าง (รูปที่ 3) องค์ประกอบต่างๆ เรียกว่า เส้นทแยงมุม หากองค์ประกอบเหล่านั้นอยู่บนเส้นทแยงมุมหลัก หากองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่ง (และส่วนที่เหลือเท่ากับศูนย์) เมทริกซ์นั้นเรียกว่าเอกลักษณ์ เมทริกซ์ A และ B สองตัวที่มีขนาดเท่ากันจะเท่ากันหากองค์ประกอบทั้งหมดเหมือนกัน

2 การดำเนินการเมทริกซ์และคุณสมบัติ

ผลคูณของเมทริกซ์คูณด้วยจำนวน x คือเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน ในการรับผลิตภัณฑ์นี้ คุณต้องคูณแต่ละองค์ประกอบด้วยตัวเลขนี้ (รูปที่ 4) ในการรับผลรวมของสองเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน คุณต้องเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกัน (รูปที่ 4) เพื่อให้ได้ความแตกต่าง A - B ของสองเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน คุณต้องคูณเมทริกซ์ B ด้วย -1 แล้วบวกเมทริกซ์ผลลัพธ์เข้ากับเมทริกซ์ A (รูปที่ 4) สำหรับการดำเนินการบนเมทริกซ์ คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง: A+B=B+A (คุณสมบัติของการสลับที่)

(A + B)+C = A+(B + C) (คุณสมบัติการเชื่อมโยง) กล่าวง่ายๆ คือ ผลรวมจะไม่เปลี่ยนแปลงจากการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของข้อกำหนด สำหรับการดำเนินการกับเมทริกซ์และตัวเลข คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง:

(ให้แสดงตัวเลขเป็น x และ y และเมทริกซ์เป็น A และ B) x(yA)=(xy)A

คุณสมบัติเหล่านี้คล้ายกับคุณสมบัติที่ทำงานบนการดำเนินการกับตัวเลข ดู

ตัวอย่างในรูปที่ 5 ดูตัวอย่าง Belousov 2.4 - 2.6 ในหน้า 9

การคูณเมทริกซ์

การคูณเมทริกซ์สองตัวจะถูกกำหนดก็ต่อเมื่อ (แปลเป็นภาษารัสเซีย: เมทริกซ์สามารถคูณได้ก็ต่อเมื่อ) เมื่อจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์แรกในผลคูณเท่ากับจำนวนแถวของวินาที (รูปที่ 7 ด้านบน วงเล็บสีน้ำเงิน) เพื่อให้จำได้ดีขึ้น: เลข 1 เป็นเหมือนคอลัมน์จากการคูณจะได้เมทริกซ์ขนาด (ดูรูปที่ 6) เพื่อให้จำง่ายขึ้นว่าจะคูณอะไร ฉันขอเสนออัลกอริทึมต่อไปนี้ ดูรูปที่ 7 เราคูณเมทริกซ์ A ด้วยเมทริกซ์ B

เมทริกซ์ A สองคอลัมน์

เมทริกซ์ B มีสองแถว - คุณสามารถคูณได้

1) มาจัดการกับคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ B (เธอมีเพียงคอลัมน์เดียว) เราเขียนคอลัมน์นี้ในบรรทัด (transpose

คอลัมน์เกี่ยวกับการย้ายที่ต่ำกว่าเล็กน้อย)

2) เราคัดลอกบรรทัดนี้เพื่อให้ได้เมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากับเมทริกซ์ A

3) เราคูณองค์ประกอบของเมทริกซ์นี้ด้วยองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ A

4) เราเพิ่มผลิตภัณฑ์ที่ได้ในแต่ละบรรทัดและรับเมทริกซ์ผลคูณของสองแถวและหนึ่งคอลัมน์

รูปที่ 7-1 แสดงตัวอย่างการคูณเมทริกซ์ซึ่งมีขนาดใหญ่กว่า

1) เมทริกซ์แรกมีสามคอลัมน์ ดังนั้นเมทริกซ์ที่สองควรมีสามแถว อัลกอริทึมจะเหมือนกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ทุกประการ เพียงแต่มีสามคำในแต่ละบรรทัด ไม่ใช่สองคำ

2) เมทริกซ์ที่สองมีสองคอลัมน์ ขั้นแรก เราทำอัลกอริทึมกับคอลัมน์แรก จากนั้นใช้คอลัมน์ที่สอง และเราจะได้เมทริกซ์แบบสองคูณสอง

3) ที่นี่ คอลัมน์ของเมทริกซ์ที่สองประกอบด้วยหนึ่งองค์ประกอบ คอลัมน์จะไม่เปลี่ยนจากการขนย้าย และคุณไม่จำเป็นต้องเพิ่มอะไร เนื่องจากเมทริกซ์แรกมีเพียงคอลัมน์เดียว เราทำอัลกอริทึมสามครั้งและได้เมทริกซ์สามคูณสาม

คุณสมบัติต่อไปนี้เกิดขึ้น:

1. ถ้าผลรวม B + C และผลคูณ AB มีอยู่ ดังนั้น A (B + C) = AB + AC

2. หากมีผลิตภัณฑ์ AB แล้ว x (AB) = (xA) B = A (xB)

3. หากมีผลิตภัณฑ์ AB และ BC ดังนั้น A (BC) = (AB) C

หากมีเมทริกซ์ผลิตภัณฑ์ AB อยู่แล้ว ผลิตภัณฑ์ BA ก็ไม่จำเป็นต้องมีอยู่ แม้ว่าจะมีผลิตภัณฑ์ AB และ BA อยู่ ก็อาจกลายเป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดต่างกันได้

ทั้งสองผลิตภัณฑ์ AB และ BA มีอยู่และเป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันเฉพาะในกรณีของเมทริกซ์กำลังสอง A และ B ที่มีลำดับเดียวกัน อย่างไรก็ตาม แม้ในกรณีนี้ AB อาจไม่เท่ากับ BA

ยกกำลัง

การเพิ่มเมทริกซ์ให้เป็นกำลังนั้นสมเหตุสมผลสำหรับเมทริกซ์กำลังสองเท่านั้น (คิดว่าทำไม?) จากนั้นจำนวนเต็มบวกกำลัง m ของเมทริกซ์ A คือผลคูณของเมทริกซ์ m เท่ากับ A เช่นเดียวกับตัวเลข กำลังศูนย์ของเมทริกซ์กำลังสอง A คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับเดียวกับ A หากคุณลืมว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์คืออะไร ลองดูรูปที่ 3.

เช่นเดียวกับตัวเลข ความสัมพันธ์ต่อไปนี้เกิดขึ้น:

A mA k=A m+k (Am)k=A mk

ดูตัวอย่างจาก Belousov ในหน้า 20

การขนย้ายเมทริกซ์

การขนย้ายคือการแปลงเมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์ AT

ซึ่งแถวของเมทริกซ์ A ถูกเขียนลงในคอลัมน์ของ AT โดยรักษาลำดับไว้ (รูปที่ 8) อาจกล่าวได้อีกนัยหนึ่งว่า

คอลัมน์ของเมทริกซ์ A ถูกเขียนลงในแถวของเมทริกซ์ AT ด้วยการรักษาลำดับ สังเกตว่าการย้ายตำแหน่งเปลี่ยนขนาดของเมทริกซ์อย่างไร ซึ่งก็คือจำนวนแถวและคอลัมน์ โปรดทราบว่าองค์ประกอบในแถวแรก คอลัมน์แรก และแถวสุดท้าย คอลัมน์สุดท้ายยังคงอยู่

คุณสมบัติต่อไปนี้ถือ: (AT )T =A (transpose

เมทริกซ์สองครั้ง - คุณได้เมทริกซ์เดียวกัน)

(xA)T \u003d xAT (x หมายถึงตัวเลข A แน่นอนว่าเป็นเมทริกซ์) (ถ้าคุณต้องการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขแล้วทรานสโพส คุณสามารถคูณก่อน แล้วจึงทรานสโพส หรือในทางกลับกันก็ได้)

(A+B)T = AT +BT (AB)T =BT AT

เมทริกซ์สมมาตรและแอนติสมมาตร

รูปที่ 9 แสดงเมทริกซ์สมมาตรที่ด้านบนซ้าย องค์ประกอบที่มีความสมมาตรรอบเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากัน และตอนนี้คำจำกัดความ: เมทริกซ์สแควร์

A เรียกว่าสมมาตรถ้า AT =A นั่นคือ เมทริกซ์สมมาตรจะไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการย้ายตำแหน่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมทริกซ์แนวทแยงใด ๆ มีความสมมาตร (เมทริกซ์ดังกล่าวแสดงในรูปที่ 2)

ตอนนี้ดูที่เมทริกซ์แอนติสมมาตร (รูปที่ 9, ด้านล่าง) แตกต่างจากสมมาตรอย่างไร? โปรดทราบว่าองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ที่ เมทริกซ์ที่ไม่สมมาตรองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ คิดว่าทำไม? คำจำกัดความ: เราเรียกเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส A

แอนติสมมาตร ถ้า AT = -A . ให้เราสังเกตคุณสมบัติบางอย่างของการดำเนินการบนสมมาตรและแอนติสมมาตร

เมทริกซ์ 1. ถ้า A และ B เป็นเมทริกซ์สมมาตร (ไม่สมมาตร) ดังนั้น A + B ก็เป็นเมทริกซ์สมมาตร (แอนติสมมาตร) ด้วย

2. ถ้า A เป็นเมทริกซ์สมมาตร (แอนติสมมาตร) ดังนั้น xA ก็เป็นเมทริกซ์สมมาตร (แอนติสมมาตร) ด้วย (อันที่จริง หากคุณคูณเมทริกซ์จากรูปที่ 9 ด้วยจำนวนจำนวนหนึ่ง ความสมมาตรจะยังคงอยู่)

3. ผลคูณ AB ของเมทริกซ์สมมาตรหรือแอนติสมมาตรสองตัว A และ B เป็นเมทริกซ์ที่สมมาตรสำหรับ AB = BA และแอนติสมมาตรสำหรับ AB =-อ.บ.

4. ถ้า A เป็นเมทริกซ์สมมาตร แล้ว A m (m = 1, 2, 3, . . .) เป็นเมทริกซ์สมมาตร ถ้า ก

เมทริกซ์แอนติสมมาตร จากนั้น Am (m = 1, 2, 3, . . .) เป็นเมทริกซ์สมมาตรสำหรับ m คู่และแอนติสมมาตรสำหรับ m คี่

5. เมทริกซ์กำลังสองโดยพลการ A สามารถแสดงเป็นผลรวมของสองเมทริกซ์ (ขอเรียกเมทริกซ์เหล่านี้ เช่น A(s) และ A(a) )

ก=ก(s)+ก(ก)

ควรสังเกตว่ามีเพียงเมทริกซ์สี่เหลี่ยมเท่านั้นที่คล้อยตามการดำเนินการนี้ จำนวนแถวและคอลัมน์ที่เท่ากันเป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับการเพิ่มเมทริกซ์ให้เป็นเลขยกกำลัง ในระหว่างการคำนวณ เมทริกซ์จะถูกคูณด้วยตัวมันเองตามจำนวนครั้งที่ต้องการ

เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้ออกแบบมาเพื่อดำเนินการเพิ่มเมทริกซ์ให้เป็นกำลัง ด้วยการใช้งานคุณจะไม่เพียงรับมือกับงานนี้ได้อย่างรวดเร็ว แต่ยังได้รับแนวคิดที่ชัดเจนและมีรายละเอียดเกี่ยวกับขั้นตอนการคำนวณอีกด้วย สิ่งนี้จะช่วยในการรวมวัสดุที่ได้รับในทางทฤษฎีได้ดีขึ้น เมื่อเห็นอัลกอริทึมการคำนวณโดยละเอียดต่อหน้าคุณ คุณจะเข้าใจรายละเอียดปลีกย่อยทั้งหมดได้ดีขึ้น และหลังจากนั้นจะสามารถหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในการคำนวณด้วยตนเองได้ นอกจากนี้ การตรวจสอบการคำนวณของคุณอีกครั้งไม่ใช่เรื่องเสียหาย และนี่เป็นวิธีที่ควรทำที่นี่ด้วย

ในการยกระดับเมทริกซ์สู่พลังออนไลน์ คุณต้องมีซีรีส์ การกระทำที่เรียบง่าย. ก่อนอื่น ระบุขนาดของเมทริกซ์โดยคลิกที่ไอคอน "+" หรือ "-" ทางด้านซ้าย จากนั้นป้อนตัวเลขในช่องเมทริกซ์ คุณต้องระบุกำลังที่จะยกเมทริกซ์ด้วย จากนั้นคุณเพียงแค่คลิกที่ปุ่ม: "คำนวณ" ที่ด้านล่างของฟิลด์ ผลลัพธ์จะเชื่อถือได้และแม่นยำหากคุณป้อนค่าทั้งหมดอย่างระมัดระวังและถูกต้อง คุณจะได้รับรายละเอียดการแก้ปัญหา

ในเดือนกรกฎาคม 2020 NASA เปิดตัวการสำรวจดาวอังคาร ยานอวกาศจะพาไปดาวอังคาร สื่ออิเล็กทรอนิกส์พร้อมรายชื่อสมาชิกคณะสำรวจที่ลงทะเบียนไว้ทั้งหมด

หากโพสต์นี้แก้ปัญหาของคุณหรือคุณแค่ชอบ ให้แชร์ลิงก์ไปยังเพื่อนๆ บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

หนึ่งในตัวเลือกโค้ดเหล่านี้จำเป็นต้องคัดลอกและวางลงในโค้ดของหน้าเว็บของคุณ โดยควรอยู่ระหว่างแท็ก และหรือหลังแท็ก . ตามตัวเลือกแรก MathJax โหลดเร็วขึ้นและทำให้หน้าช้าลง แต่ตัวเลือกที่สองจะติดตามและโหลด MathJax เวอร์ชันล่าสุดโดยอัตโนมัติ หากคุณใส่รหัสแรก จะต้องมีการอัปเดตเป็นระยะ หากคุณวางโค้ดที่สอง หน้าเว็บจะโหลดช้าลง แต่คุณไม่จำเป็นต้องตรวจสอบการอัปเดตของ MathJax อย่างต่อเนื่อง

วิธีที่ง่ายที่สุดในการเชื่อมต่อ MathJax คือใน Blogger หรือ WordPress: ในแผงควบคุมของไซต์ ให้เพิ่มวิดเจ็ตที่ออกแบบมาเพื่อแทรกโค้ด JavaScript ของบุคคลที่สาม คัดลอกเวอร์ชันแรกหรือเวอร์ชันที่สองของโค้ดโหลดด้านบน และวางวิดเจ็ตให้ใกล้กับ จุดเริ่มต้นของเทมเพลต (อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ไม่จำเป็นเลย เนื่องจากสคริปต์ MathJax ถูกโหลดแบบอะซิงโครนัส) นั่นคือทั้งหมด ตอนนี้เรียนรู้ไวยากรณ์มาร์กอัปของ MathML, LaTeX และ ASCIIMathML และคุณก็พร้อมที่จะฝังสูตรทางคณิตศาสตร์ลงในหน้าเว็บของคุณแล้ว

วันส่งท้ายปีเก่าอีกครั้ง... อากาศหนาวจัดและเกล็ดหิมะบนกระจกหน้าต่าง... ทั้งหมดนี้ทำให้ฉันเขียนอีกครั้งเกี่ยวกับ... เศษส่วน และสิ่งที่ Wolfram Alpha รู้เกี่ยวกับมัน ในโอกาสนี้มีบทความที่น่าสนใจ คือ ตัวอย่างโครงสร้างแฟร็กทัลสองมิติ ที่นี่เราจะดูเพิ่มเติม ตัวอย่างที่ซับซ้อนเศษส่วนสามมิติ

เศษส่วนสามารถแสดงด้วยสายตา (อธิบาย) เป็นรูปทรงเรขาคณิตหรือร่างกาย (หมายความว่าทั้งสองเป็นชุด ในกรณีนี้คือชุดของจุด) รายละเอียดที่มีรูปร่างเหมือนกันกับรูปร่างดั้งเดิม กล่าวคือเป็นโครงสร้างคล้ายตนเองเมื่อพิจารณาในรายละเอียดซึ่งเมื่อขยายแล้วจะเห็นรูปร่างเหมือนไม่ขยาย ส่วนกรณีเป็นรูปทรงเรขาคณิตธรรมดา (ไม่ใช่ Fractal) เมื่อซูมเข้าไปจะเห็นรายละเอียดที่มากขึ้น รูปแบบที่เรียบง่ายกว่ารูปร่างเดิมนั่นเอง เช่น ถ้าเพียงพอ กำลังขยายสูงส่วนหนึ่งของวงรีดูเหมือนส่วนของเส้นตรง สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นกับแฟร็กทัล: เมื่อเพิ่มขึ้นเราจะเห็นรูปร่างที่ซับซ้อนเหมือนเดิมอีกครั้งซึ่งการเพิ่มขึ้นแต่ละครั้งจะเกิดขึ้นซ้ำแล้วซ้ำอีก

Benoit Mandelbrot ผู้ก่อตั้งศาสตร์แห่งแฟร็กทัล ในบทความของเขา Fractals และ Art for Science เขียนว่า "แฟร็กทัลเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มีรายละเอียดซับซ้อนมากพอๆ กับรูปแบบโดยรวม กล่าวคือ ถ้าส่วนหนึ่งของแฟร็กทัลจะ ขยายขนาดให้ใหญ่ขึ้นทั้งองค์ก็จะมีลักษณะเหมือนองค์รวมทุกประการหรืออาจผิดรูปเล็กน้อย

ที่นี่เราจะดำเนินการต่อในหัวข้อการดำเนินการในเมทริกซ์ที่เราเริ่มต้นในส่วนแรกและวิเคราะห์ตัวอย่างสองสามตัวอย่างที่เราต้องใช้การดำเนินการหลายอย่างพร้อมกัน

การยกเมทริกซ์ให้เป็นเลขยกกำลัง

ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ สำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมใดๆ $A_(n\times n)$ เรามี: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; times) $$

ในที่นี้ เราถือว่า $A^0=E$ โดยที่ $E$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ของคำสั่งซื้อที่เกี่ยวข้อง

ตัวอย่าง #4

เมทริกซ์ $ A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)$ จะได้รับ ค้นหาเมทริกซ์ $A^2$ และ $A^6$

ตามนิยามของ $A^2=A\cdot A$ นั่นคือ ในการหา $A^2$ เราต้องคูณเมทริกซ์ $A$ ด้วยตัวของมันเอง การดำเนินการคูณเมทริกซ์ได้รับการพิจารณาในส่วนแรกของหัวข้อ ดังนั้นที่นี่เราเพียงแค่เขียนขั้นตอนการแก้ปัญหาโดยไม่มีคำอธิบายโดยละเอียด:

$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin(อาร์เรย์) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(อาร์เรย์) \right)\cdot \left(\begin(อาร์เรย์) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(อาร์เรย์) \right)= \left(\begin(อาร์เรย์) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end(อาร์เรย์) \right )= \left(\begin(อาร์เรย์) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(อาร์เรย์) \right). $$

ในการหาเมทริกซ์ $A^6$ เรามีสองทางเลือก ตัวเลือกที่หนึ่ง: มันเป็นเรื่องเล็กน้อยที่จะคูณ $A^2$ ด้วยเมทริกซ์ $A$ ต่อไป:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A $$

อย่างไรก็ตาม มันเป็นไปได้ที่จะใช้วิธีที่ง่ายกว่านั้นเล็กน้อย โดยใช้คุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์ ใส่วงเล็บในนิพจน์สำหรับ $A^6$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2 $$

หากวิธีแก้ปัญหาของวิธีแรกต้องใช้การคูณสี่ครั้ง ดังนั้นสำหรับวิธีที่สอง - มีเพียงสองวิธีเท่านั้น ไปทางที่สองกันเถอะ:

$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(อาร์เรย์) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(อาร์เรย์) \right)\ cdot \left(\begin(อาร์เรย์) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(อาร์เรย์) \right)\cdot \left(\begin(อาร์เรย์) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(อาร์เรย์) \right)=\\= \left(\begin(อาร์เรย์) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(อาร์เรย์) \right)\cdot \left(\ เริ่มต้น(อาร์เรย์) (ซีซี) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(อาร์เรย์) \right)= \left(\begin(อาร์เรย์) (ซีซี) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( อาร์เรย์) \right)\cdot \left(\begin(อาร์เรย์) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(อาร์เรย์) \right)=\\= \left(\begin(อาร์เรย์) (cc ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(อาร์เรย์) \right)= \left(\begin(อาร์เรย์) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(อาร์เรย์) \right). $$

คำตอบ: $A^2=\left(\begin(อาร์เรย์) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(อาร์เรย์) \right)$, $A^6=\left(\begin(อาร์เรย์) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(อาร์เรย์) \right)$.

ตัวอย่าง #5

รับเมทริกซ์ $ A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end(array) \right)$, $ B=\left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (อาร์เรย์) \right)$, $ C=\left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(อาร์เรย์) \ ขวา)$. หาเมทริกซ์ $D=2AB-3C^T+7E$

เราเริ่มคำนวณเมทริกซ์ $D$ โดยหาผลลัพธ์ของผลคูณ $AB$ เมทริกซ์ $A$ และ $B$ สามารถคูณได้เนื่องจากจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ $A$ เท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ $B$ แสดงว่า $F=AB$ ในกรณีนี้ เมทริกซ์ $F$ จะมีสามคอลัมน์และสามแถว เช่น จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส (หากรากศัพท์นี้ดูไม่ชัดเจน โปรดดูคำอธิบายของการคูณเมทริกซ์ในส่วนแรกของหัวข้อนี้) ค้นหาเมทริกซ์ $F$ โดยการคำนวณองค์ประกอบทั้งหมด:

$$ F=A\cdot B=\left(\begin(อาร์เรย์) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ สิ้นสุด(อาร์เรย์) \right)\cdot \left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ สิ้นสุด (อาร์เรย์) \right)\\ \begin (ชิด) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9 )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7 \end(ชิด) $$

ดังนั้น $F=\left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)$ ไปต่อกันเถอะ เมทริกซ์ $C^T$ เป็นเมทริกซ์ทรานสโพสของเมทริกซ์ $C$ นั่นคือ $ C^T=\left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(อาร์เรย์) \right) $. สำหรับเมทริกซ์ $E$ มันคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ ในกรณีนี้ ลำดับของเมทริกซ์นี้คือสาม นั่นคือ $E=\left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(อาร์เรย์) \right)$.

โดยหลักการแล้วเราสามารถไปทีละขั้นตอนได้ แต่เป็นการดีกว่าที่จะพิจารณานิพจน์ที่เหลือโดยรวมโดยไม่ถูกรบกวนจากการกระทำเสริม ในความเป็นจริง เราเหลือเพียงการดำเนินการของการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข เช่นเดียวกับการดำเนินการของการบวกและการลบ

$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ สิ้นสุด(อาร์เรย์) \right)-3\cdot \left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(อาร์เรย์) \ ขวา)+7\cdot \left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(อาร์เรย์) \right) $$

ลองคูณเมทริกซ์ทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันด้วยตัวเลขที่เกี่ยวข้อง (เช่น 2, 3 และ 7):

$$ 2\cdot \left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(อาร์เรย์) \right)-3\ cdot \left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(อาร์เรย์) \right)+7\cdot \left(\ เริ่มต้น(อาร์เรย์) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(อาร์เรย์) \right)=\\= \left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(อาร์เรย์) \right)-\left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(อาร์เรย์) \right)+\left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(อาร์เรย์) \right) $$

มาทำกันเถอะ กิจกรรมล่าสุด: การลบและการบวก :

$$ \left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(อาร์เรย์) \right)-\left(\begin (อาร์เรย์) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(อาร์เรย์) \right)+\left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(อาร์เรย์) \right)=\\ =\left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \end(อาร์เรย์) \right)= \left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(อาร์เรย์)\right) $$

แก้ไขปัญหาแล้ว $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$ .

คำตอบ: $D=\left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(อาร์เรย์) \right)$.

ตัวอย่าง #6

ให้ $f(x)=2x^2+3x-9$ และเมทริกซ์ $ A=\left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right) $ หาค่าของ $f(A)$

ถ้า $f(x)=2x^2+3x-9$ ดังนั้น $f(A)$ เป็นเมทริกซ์:

$$ ฉ(A)=2A^2+3A-9E $$

นี่คือวิธีการกำหนดพหุนามในเมทริกซ์ ดังนั้น เราจำเป็นต้องแทนเมทริกซ์ $A$ ลงในนิพจน์สำหรับ $f(A)$ และรับผลลัพธ์ เนื่องจากการกระทำทั้งหมดได้รับการวิเคราะห์โดยละเอียดก่อนหน้านี้ ฉันจะให้วิธีแก้ปัญหาที่นี่ หากกระบวนการดำเนินการ $A^2=A\cdot A$ ไม่ชัดเจนสำหรับคุณ ฉันขอแนะนำให้คุณดูคำอธิบายของการคูณเมทริกซ์ในส่วนแรกของหัวข้อนี้

$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin(อาร์เรย์) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(อาร์เรย์) \right)\cdot \left(\begin(อาร์เรย์) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(อาร์เรย์) \right)+3 \left(\begin(อาร์เรย์) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(อาร์เรย์) \right)-9\left(\begin(อาร์เรย์) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(อาร์เรย์) \right)=\\ =2 \left( \begin(อาร์เรย์) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(อาร์เรย์) \right)+3 \left(\begin(อาร์เรย์) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(อาร์เรย์) \right)-9 \left(\begin(อาร์เรย์) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(อาร์เรย์) \right)=\\ =2 \left(\begin(อาร์เรย์) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \end(อาร์เรย์) \right)+3 \left(\begin(อาร์เรย์) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(อาร์เรย์) \right)-9\left(\begin(อาร์เรย์ ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(อาร์เรย์) \right) =\left(\begin(อาร์เรย์) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(อาร์เรย์) \right) +\left(\begin(อาร์เรย์) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(อาร์เรย์) \right)-\left(\begin(อาร์เรย์) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ สิ้นสุด(อาร์เรย์) \right)=\left(\begin(อาร์เรย์) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(อาร์เรย์) \right). $$

คำตอบ: $f(A)=\left(\begin(อาร์เรย์) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(อาร์เรย์) \right)$.