คุณสมบัติบางอย่างของการดำเนินการกับเมทริกซ์
นิพจน์เมทริกซ์

และตอนนี้ความต่อเนื่องของหัวข้อจะตามมาซึ่งเราจะพิจารณาไม่เพียงเท่านั้น วัสดุใหม่แต่เราจะทำงาน การดำเนินการเมทริกซ์.

คุณสมบัติบางอย่างของการดำเนินการกับเมทริกซ์

มีคุณสมบัติค่อนข้างน้อยที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการกับเมทริกซ์ ใน Wikipedia เดียวกัน คุณสามารถชื่นชมอันดับที่เรียวยาวของกฎที่เกี่ยวข้องได้ อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ คุณสมบัติหลายอย่าง "ตาย" ในความหมายบางอย่าง เนื่องจากมีเพียงไม่กี่คุณสมบัติเท่านั้นที่ใช้ในการแก้ปัญหาจริง เป้าหมายของฉันคือการพิจารณาการประยุกต์ใช้คุณสมบัติบน ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมและหากคุณต้องการทฤษฎีที่เข้มงวด โปรดใช้แหล่งข้อมูลอื่น

พิจารณาบ้าง ข้อยกเว้นกฎที่จำเป็นในการปฏิบัติงานจริง

ถ้า เมทริกซ์สี่เหลี่ยมมีอยู่ เมทริกซ์ผกผันแล้วการคูณของมันคือสับเปลี่ยน:

เมทริกซ์เอกลักษณ์เรียกว่าเมทริกซ์กำลังสองด้วย เส้นทแยงมุมหลักหน่วยตั้งอยู่และองค์ประกอบที่เหลือมีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวอย่างเช่น: เป็นต้น

โดยที่ คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง: ถ้าคูณเมทริกซ์ตามอำเภอใจ ซ้ายหรือขวาโดยเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีขนาดเหมาะสม ผลลัพธ์จะเป็นเมทริกซ์ดั้งเดิม:

อย่างที่คุณเห็น การสลับสับเปลี่ยนของการคูณเมทริกซ์ก็เกิดขึ้นที่นี่เช่นกัน

ลองหาเมทริกซ์กัน สมมุติว่าเมทริกซ์จากปัญหาก่อนหน้า: .

ผู้สนใจสามารถตรวจสอบและให้แน่ใจว่า:

เมทริกซ์เอกลักษณ์สำหรับเมทริกซ์เป็นแบบอะนาล็อกของหน่วยตัวเลขสำหรับตัวเลข ซึ่งเห็นได้ชัดเจนเป็นพิเศษจากตัวอย่างที่เพิ่งพิจารณา

การเปลี่ยนแปลงของปัจจัยเชิงตัวเลขที่เกี่ยวกับการคูณเมทริกซ์

คุณสมบัติต่อไปนี้ใช้สำหรับเมทริกซ์และจำนวนจริง:

นั่นคือ ตัวประกอบตัวเลขสามารถ (และควร) เคลื่อนไปข้างหน้าเพื่อที่จะ "ไม่รบกวน" กับการคูณเมทริกซ์

บันทึก : โดยทั่วไป ถ้อยคำของคุณสมบัติไม่สมบูรณ์ - "แลมบ์ดา" สามารถวางที่ใดก็ได้ระหว่างเมทริกซ์แม้ในตอนท้าย กฎจะยังคงใช้ได้หากมีการคูณเมทริกซ์ตั้งแต่สามตัวขึ้นไป

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณสินค้า

สารละลาย:

(1) ตามทรัพย์สิน ย้ายตัวประกอบตัวเลขไปข้างหน้า เมทริกซ์เองไม่สามารถจัดเรียงใหม่ได้!

(2) - (3) ทำการคูณเมทริกซ์

(4) ที่นี่คุณสามารถแบ่งแต่ละหมายเลข 10 ได้ แต่จากนั้นเศษส่วนทศนิยมจะปรากฏขึ้นท่ามกลางองค์ประกอบของเมทริกซ์ ซึ่งไม่ดี อย่างไรก็ตาม เราสังเกตเห็นว่าตัวเลขทั้งหมดในเมทริกซ์นั้นหารด้วย 5 ลงตัว เราจึงคูณแต่ละองค์ประกอบด้วย

ตอบ:

ปริศนาเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่จะแก้ปัญหาด้วยตัวคุณเอง:

ตัวอย่างที่ 5

คำนวณถ้า

คำตอบและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

เทคนิคใดมีความสำคัญในการแก้ตัวอย่างดังกล่าว การจัดการกับตัวเลข ล่าสุด .

ต่อเกวียนอีกคันเข้ากับหัวรถจักร:

จะคูณเมทริกซ์สามตัวได้อย่างไร?

ก่อนอื่น ผลของการคูณเมทริกซ์สามตัวควรเป็นอย่างไร? แมวจะไม่ให้กำเนิดหนู หากสามารถคูณเมทริกซ์ได้ ผลลัพธ์จะเป็นเมทริกซ์ด้วย ครูพีชคณิตของฉันไม่เห็นว่าฉันอธิบายความปิดของโครงสร้างพีชคณิตเกี่ยวกับองค์ประกอบอย่างไร =)

ผลคูณของเมทริกซ์สามตัวสามารถคำนวณได้สองวิธี:

1) ค้นหาแล้วคูณด้วยเมทริกซ์ "ce": ;

2) อย่างใดอย่างหนึ่งก่อน find แล้วทำการคูณ

ผลลัพธ์จะต้องตรงกันและในทางทฤษฎี คุณสมบัตินี้เรียกว่าความเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์:

ตัวอย่างที่ 6

คูณเมทริกซ์ในสองวิธี

อัลกอริทึม โซลูชั่นสองขั้นตอน: หาผลคูณของเมทริกซ์สองตัว แล้วหาผลคูณของเมทริกซ์สองตัวอีกครั้ง

1) ใช้สูตร

การกระทำที่หนึ่ง:

การกระทำที่สอง:

2) ใช้สูตร

การกระทำที่หนึ่ง:

การกระทำที่สอง:

ตอบ:

แน่นอนว่าวิธีที่คุ้นเคยและเป็นมาตรฐานคือวิธีแรกในการแก้ปัญหา นั่นคือ "ราวกับว่าทุกอย่างเป็นระเบียบ" โดยวิธีการที่เกี่ยวกับการสั่งซื้อ ในงานที่กำลังพิจารณา ภาพลวงตามักเกิดขึ้นเมื่อเรากำลังพูดถึงการเปลี่ยนแปลงของเมทริกซ์บางประเภท พวกเขาไม่ได้อยู่ที่นี่ ฉันเตือนคุณอีกครั้งว่า โดยทั่วไป อย่าแทนที่เมทริกซ์. ดังนั้น ในย่อหน้าที่สอง ในขั้นตอนที่สอง เราทำการคูณ แต่ไม่ว่าในกรณีใด สำหรับตัวเลขธรรมดา ตัวเลขดังกล่าวจะส่งผ่าน แต่ไม่ใช่กับเมทริกซ์

คุณสมบัติของการเชื่อมโยงกันของการคูณนั้นใช้ได้ไม่เพียงแต่สำหรับกำลังสองเท่านั้น แต่สำหรับเมทริกซ์ตามอำเภอใจด้วย - ตราบใดที่มีการคูณด้วย:

ตัวอย่าง 7

หาผลคูณของเมทริกซ์สามตัว

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง ในสารละลายตัวอย่าง การคำนวณได้ดำเนินการในสองวิธี วิเคราะห์ว่าวิธีใดให้ผลกำไรมากกว่าและสั้นกว่า

คุณสมบัติของการเชื่อมโยงกันของการคูณเมทริกซ์เกิดขึ้นจากปัจจัยจำนวนมากขึ้น

ตอนนี้ได้เวลากลับสู่พลังของเมทริกซ์ กำลังสองของเมทริกซ์ถูกพิจารณาในตอนเริ่มต้นและในวาระการประชุมคือคำถาม:

วิธีการลูกบาศก์เมทริกซ์และกำลังที่สูงขึ้น?

การดำเนินการเหล่านี้กำหนดไว้สำหรับเมทริกซ์กำลังสองเท่านั้น หากต้องการเพิ่มเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสให้เป็นลูกบาศก์ คุณต้องคำนวณผลคูณ:

อันที่จริง นี่เป็นกรณีพิเศษของการคูณเมทริกซ์สามตัว ตามคุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์: และเมทริกซ์คูณด้วยตัวมันเองคือกำลังสองของเมทริกซ์:

ดังนั้นเราจึงได้สูตรการทำงาน:

นั่นคืองานจะดำเนินการในสองขั้นตอน: ขั้นแรกเมทริกซ์ต้องยกกำลังสองแล้วเมทริกซ์ผลลัพธ์จะถูกคูณด้วยเมทริกซ์

ตัวอย่างที่ 8

ยกเมทริกซ์เป็นลูกบาศก์

นี่เป็นปัญหาเล็ก ๆ ที่ต้องแก้ไขด้วยตัวเอง

การเพิ่มเมทริกซ์ให้ยกกำลังสี่นั้นเป็นไปตามธรรมชาติ:

โดยใช้การเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์ เราได้สูตรการทำงานสองสูตร อันดับแรก: เป็นผลคูณของเมทริกซ์สามตัว

หนึ่ง) . กล่าวอีกนัยหนึ่ง อันดับแรก เราพบ จากนั้นคูณด้วย "เป็น" - เราได้ลูกบาศก์ และสุดท้าย เราทำการคูณอีกครั้ง - จะมีดีกรีที่สี่

2) แต่มีวิธีแก้ปัญหาที่สั้นกว่าหนึ่งขั้นตอน: . นั่นคือในขั้นตอนแรกเราจะหากำลังสองและข้ามลูกบาศก์ให้ทำการคูณ

งานเพิ่มเติมสำหรับตัวอย่างที่ 8:

ยกเมทริกซ์ขึ้นยกกำลังสี่

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถทำได้สองวิธี:

1) ทันทีที่รู้ลูกบาศก์ เราก็ทำการคูณ

2) อย่างไรก็ตาม หากตามเงื่อนไขของปัญหาจำเป็นต้องสร้างเมทริกซ์ เฉพาะในระดับที่สี่ดังนั้นจึงเป็นการดีที่จะย่อเส้นทางให้สั้นลง - หากำลังสองของเมทริกซ์และใช้สูตร

ทั้งวิธีแก้ปัญหาและคำตอบอยู่ที่ท้ายบทเรียน

ในทำนองเดียวกันเมทริกซ์จะเพิ่มขึ้นเป็นห้าหรือมากกว่า องศาสูง. จากประสบการณ์จริง บอกได้เลยว่าบางครั้งมีตัวอย่างการยกระดับขึ้นไปถึง ป.4 อยู่ แต่จำอะไรไม่ได้ตอนเรียนป.5 แต่ในกรณีที่ฉันจะให้อัลกอริทึมที่เหมาะสมที่สุด:

1) ค้นหา;
2) ค้นหา ;
3) ยกเมทริกซ์เป็นยกกำลังห้า: .

นี่อาจเป็นคุณสมบัติหลักทั้งหมดของการดำเนินการเมทริกซ์ที่อาจเป็นประโยชน์ในปัญหาในทางปฏิบัติ

ในส่วนที่สองของบทเรียน จะไม่มีปาร์ตี้ที่มีสีสันน้อยลง

นิพจน์เมทริกซ์

มาทำซ้ำนิพจน์ทั่วไปของโรงเรียนด้วยตัวเลขกัน นิพจน์ตัวเลขประกอบด้วยตัวเลข สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ และวงเล็บ เช่น . ในการคำนวณ ลำดับความสำคัญเชิงพีชคณิตที่คุ้นเคยนั้นถูกต้อง: อันดับแรก the วงเล็บแล้วดำเนินการ การยกกำลัง / การสกัดราก, แล้ว การคูณ / การหารและสุดท้าย - บวก/ลบ.

หากนิพจน์ตัวเลขสมเหตุสมผล ผลลัพธ์ของการประเมินจะเป็นตัวเลข, ตัวอย่างเช่น:

นิพจน์เมทริกซ์เกือบจะเหมือนกันทุกประการ! ด้วยความแตกต่างที่ตัวแสดงหลักคือเมทริกซ์ บวกกับการดำเนินการเมทริกซ์เฉพาะบางอย่างเช่นการย้ายตำแหน่งและการค้นหา เมทริกซ์ผกผัน.

พิจารณานิพจน์เมทริกซ์ เมทริกซ์อยู่ที่ไหน นิพจน์เมทริกซ์นี้มีสามเทอมและดำเนินการบวก/ลบสุดท้าย

ในระยะแรก คุณต้องย้ายเมทริกซ์ "be": จากนั้นทำการคูณและเพิ่ม "สอง" ให้กับเมทริกซ์ผลลัพธ์ สังเกตว่า การดำเนินการทรานสโพสมีความสำคัญสูงกว่าการดำเนินการคูณ. วงเล็บเช่นเดียวกับในนิพจน์ตัวเลขเปลี่ยนลำดับของการกระทำ: - ที่นี่ก่อนอื่นทำการคูณจากนั้นเมทริกซ์ผลลัพธ์จะถูกย้ายและคูณด้วย 2

ในระยะที่สอง การคูณเมทริกซ์จะดำเนินการก่อน และพบเมทริกซ์ผกผันจากผลคูณแล้ว หากวงเล็บถูกลบ: ก่อนอื่นคุณต้องหาเมทริกซ์ผกผัน แล้วคูณเมทริกซ์: การหาเมทริกซ์ผกผันมีความสำคัญเหนือการคูณด้วย.

ในเทอมที่สาม ทุกอย่างชัดเจน: เราเพิ่มเมทริกซ์เป็นลูกบาศก์และเพิ่ม "ห้า" ให้กับเมทริกซ์ผลลัพธ์

หากนิพจน์เมทริกซ์สมเหตุสมผล ผลลัพธ์ของการประเมินจะเป็นเมทริกซ์.

งานทั้งหมดจะมาจากของจริง งานควบคุมและเราจะเริ่มต้นด้วยวิธีที่ง่ายที่สุด:

ตัวอย่างที่ 9

ข้อมูลเมทริกซ์ . การค้นหา:

สารละลาย: ลำดับของการดำเนินการนั้นชัดเจน การคูณจะดำเนินการก่อน แล้วจึงบวก

ไม่สามารถเพิ่มได้เนื่องจากเมทริกซ์มีขนาดต่างกัน

อย่าแปลกใจ การกระทำที่เป็นไปไม่ได้อย่างเห็นได้ชัดมักถูกนำเสนอในงานประเภทนี้

ลองคำนวณนิพจน์ที่สอง:

ทุกอย่างเรียบร้อยดีที่นี่

ตอบ: ไม่สามารถดำเนินการได้ .

พีชคณิตเชิงเส้นสำหรับ Dummies

หากต้องการศึกษาพีชคณิตเชิงเส้น คุณสามารถอ่านและเจาะลึกหนังสือโดย I. V. Belousov "เมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์" อย่างไรก็ตาม มีการเขียนในภาษาคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดและแห้งแล้ง ซึ่งยากสำหรับคนที่มีจิตใจปานกลางที่จะเข้าใจ ดังนั้น ฉันจึงได้เล่าถึงข้อความที่ยากที่สุดในหนังสือเล่มนี้เพื่อให้เข้าใจ โดยพยายามนำเสนอเนื้อหาให้ชัดเจนที่สุด โดยใช้ภาพวาดให้ได้มากที่สุด ฉันละเว้นการพิสูจน์ของทฤษฎีบท ฉันไม่ได้ไปด้วยตัวเอง ฉันเชื่อนายเบลูซอฟ! พิจารณาจากงานของเขา เขาเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีความสามารถและเฉลียวฉลาด สามารถดาวน์โหลดหนังสือได้ที่ http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdfหากคุณกำลังจะเจาะลึกงานของฉัน สิ่งนี้จะต้องทำให้เสร็จ เพราะฉันมักจะพูดถึง Belousov

เริ่มจากคำจำกัดความกันก่อน เมทริกซ์คืออะไร? เป็นตารางสี่เหลี่ยมของตัวเลข ฟังก์ชัน หรือนิพจน์พีชคณิต เหตุใดจึงจำเป็นต้องใช้เมทริกซ์ ช่วยอำนวยความสะดวกในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนอย่างมาก เมทริกซ์สามารถแบ่งออกเป็นแถวและคอลัมน์ (รูปที่ 1)

แถวและคอลัมน์มีลำดับเลขโดยเริ่มจากด้านซ้าย

ด้านบน (ภาพที่ 1-1) เมื่อพวกเขาพูดว่า: เมทริกซ์ขนาด m n (หรือ m คูณ n) พวกเขาหมายถึง ม. จำนวนบรรทัดและใต้ n จำนวนคอลัมน์. ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ในรูปที่ 1-1 คือ 4 คูณ 3 ไม่ใช่ 3 คูณ 4

ดูรูปที่ 1-3, เมทริกซ์คืออะไร. หากเมทริกซ์ประกอบด้วยหนึ่งแถว จะเรียกว่าเมทริกซ์แถว และหากประกอบด้วยคอลัมน์เดียว จะเรียกว่าเมทริกซ์ของคอลัมน์ เมทริกซ์เรียกว่ากำลังสองของลำดับที่ n หากจำนวนแถวในนั้นเท่ากับจำนวนคอลัมน์และเท่ากับ n หากองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์เป็นศูนย์ แสดงว่าเมทริกซ์นั้นเป็นศูนย์ เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสเรียกว่าเส้นทแยงมุมหากองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ยกเว้นส่วนที่อยู่บนเส้นทแยงมุมหลัก

ฉันจะอธิบายทันทีว่าเส้นทแยงมุมหลักคืออะไร มีหมายเลขแถวและคอลัมน์เหมือนกัน มันเริ่มจากซ้ายไปขวา บนลงล่าง (รูปที่ 3) องค์ประกอบจะเรียกว่าเส้นทแยงมุมหากอยู่บนเส้นทแยงมุมหลัก หากองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดเท่ากับหนึ่ง (และส่วนที่เหลือเป็นศูนย์) เมทริกซ์จะเรียกว่าเอกลักษณ์ เมทริกซ์สองตัว A และ B ที่มีขนาดเท่ากันจะเรียกว่าเท่ากัน ถ้าองค์ประกอบทั้งหมดเท่ากัน

2 การดำเนินการเมทริกซ์และคุณสมบัติ

ผลคูณของเมทริกซ์ด้วยจำนวน x คือเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน เพื่อให้ได้ผลิตภัณฑ์นี้ คุณต้องคูณแต่ละองค์ประกอบด้วยตัวเลขนี้ (รูปที่ 4) เพื่อให้ได้ผลรวมของเมทริกซ์สองตัวที่มีขนาดเท่ากัน คุณต้องเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องกัน (รูปที่ 4) เพื่อให้ได้ผลต่าง A - B ของเมทริกซ์สองตัวที่มีขนาดเท่ากัน คุณต้องคูณเมทริกซ์ B ด้วย -1 และเพิ่มเมทริกซ์ผลลัพธ์ลงในเมทริกซ์ A (รูปที่ 4) สำหรับการดำเนินการกับเมทริกซ์ คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง: A+B=B+A (คุณสมบัติของการสับเปลี่ยน)

(A + B)+C = A+(B + C) (คุณสมบัติความสัมพันธ์) ในแง่ง่ายๆ ผลรวมจะไม่เปลี่ยนแปลงจากการเปลี่ยนแปลงในตำแหน่งของเงื่อนไข สำหรับการดำเนินการกับเมทริกซ์และตัวเลข คุณสมบัติต่อไปนี้ใช้ได้:

(ให้แทนตัวเลขเป็น x และ y และเมทริกซ์เป็น A และ B) x(yA)=(xy)A

คุณสมบัติเหล่านี้คล้ายกับคุณสมบัติที่ดำเนินการกับตัวเลข ดู

ตัวอย่างในรูปที่ 5 ดูตัวอย่างของ Belousov 2.4 - 2.6 ในหน้า 9

การคูณเมทริกซ์

การคูณของเมทริกซ์สองตัวถูกกำหนดไว้ก็ต่อเมื่อ (แปลเป็นภาษารัสเซีย: เมทริกซ์สามารถคูณได้ก็ต่อเมื่อ) เมื่อจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์แรกในผลิตภัณฑ์เท่ากับจำนวนแถวของวินาที (รูปที่ 7 ด้านบน วงเล็บสีน้ำเงิน) เพื่อให้จำได้ดีขึ้น: หมายเลข 1 เป็นเหมือนคอลัมน์มากกว่าจากการคูณจะได้เมทริกซ์ขนาด (ดูรูปที่ 6) เพื่อให้จำง่ายขึ้นว่าต้องคูณอะไรด้วยอะไร ผมขอเสนออัลกอริทึมต่อไปนี้ ดูรูปที่ 7 เราคูณเมทริกซ์ A ด้วยเมทริกซ์ B

เมทริกซ์ A สองคอลัมน์

เมทริกซ์ B มีสองแถว - คุณสามารถคูณได้

1) มาจัดการกับคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ B กัน (เธอมีคอลัมน์เดียวเท่านั้น) เราเขียนคอลัมน์นี้เป็นบรรทัด (transpose

คอลัมน์เกี่ยวกับการขนย้ายที่ต่ำกว่าเล็กน้อย)

2) เราคัดลอกบรรทัดนี้เพื่อให้ได้เมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากับเมทริกซ์ A

3) เราคูณองค์ประกอบของเมทริกซ์นี้ด้วยองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ A

4) เราเพิ่มผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์ในแต่ละบรรทัดและรับเมทริกซ์ผลิตภัณฑ์ของสองแถวและหนึ่งคอลัมน์

รูปที่ 7-1 แสดงตัวอย่างการคูณเมทริกซ์ซึ่งมีขนาดใหญ่กว่า

1) ที่นี่เมทริกซ์แรกมีสามคอลัมน์ ดังนั้นเมทริกซ์ที่สองควรมีสามแถว อัลกอริทึมเหมือนกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ มีเพียงสามคำในแต่ละบรรทัดเท่านั้น ที่นี่ไม่มีสองคำ

2) ที่นี่เมทริกซ์ที่สองมีสองคอลัมน์ อันดับแรก เราใช้อัลกอริทึมกับคอลัมน์แรก จากนั้นตามด้วยคอลัมน์ที่สอง และเราได้เมทริกซ์ขนาดสองคูณสอง

3) ที่นี่ คอลัมน์ของเมทริกซ์ที่สองประกอบด้วยองค์ประกอบหนึ่ง คอลัมน์จะไม่เปลี่ยนจากการเคลื่อนย้าย และคุณไม่จำเป็นต้องเพิ่มอะไรเลย เนื่องจากเมทริกซ์แรกมีคอลัมน์เดียว เราทำอัลกอริทึมสามครั้งและรับเมทริกซ์สามต่อสาม

คุณสมบัติดังต่อไปนี้เกิดขึ้น:

1. หากผลรวม B + C และผลิตภัณฑ์ AB มีอยู่ ดังนั้น A (B + C) = AB + AC

2. หากผลิตภัณฑ์ AB มีอยู่แล้ว x (AB) = (xA) B = A (xB)

3. หากมีผลิตภัณฑ์ AB และ BC ดังนั้น A (BC) = (AB) C

หากผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ AB มีอยู่แล้ว ผลิตภัณฑ์ BA ก็ไม่จำเป็นต้องมีอยู่ แม้ว่าจะมีผลิตภัณฑ์ AB และ BA แต่ก็อาจเป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดต่างกัน

ทั้งสองผลิตภัณฑ์ AB และ BA มีอยู่และเป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันเฉพาะในกรณีของเมทริกซ์กำลังสอง A และ B ของลำดับเดียวกัน อย่างไรก็ตาม แม้ในกรณีนี้ AB อาจไม่เท่ากับ BA

การยกกำลัง

การเพิ่มเมทริกซ์เป็นยกกำลังเหมาะสมสำหรับเมทริกซ์กำลังสองเท่านั้น (คิดว่าทำไม?) แล้วกำลังจำนวนเต็มบวก m ของเมทริกซ์ A คือผลคูณของ m เมทริกซ์เท่ากับ A เช่นเดียวกับตัวเลข เลขยกกำลังศูนย์ของเมทริกซ์กำลังสอง A คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับเดียวกับ A ถ้าคุณลืมว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์คืออะไร ลองดูรูป 3.

เช่นเดียวกับตัวเลข ความสัมพันธ์ต่อไปนี้เกิดขึ้น:

A mA k=A m+k (A m)k=A mk

ดูตัวอย่างจาก Belousov ในหน้า 20

การขนย้ายเมทริกซ์

Transposition คือการแปลงเมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์ AT

โดยที่แถวของเมทริกซ์ A ถูกเขียนลงในคอลัมน์ของ AT โดยรักษาลำดับไว้ (รูปที่ 8) อาจกล่าวได้อีกนัยหนึ่งว่า

คอลัมน์ของเมทริกซ์ A ถูกเขียนลงในแถวของเมทริกซ์ AT ด้วยการรักษาลำดับ สังเกตว่าการย้ายระดับเสียงเปลี่ยนขนาดของเมทริกซ์ นั่นคือจำนวนแถวและคอลัมน์อย่างไร นอกจากนี้ โปรดทราบด้วยว่าองค์ประกอบในแถวแรก คอลัมน์แรก และแถวสุดท้าย คอลัมน์สุดท้ายจะยังคงอยู่ในตำแหน่งเดิม

คุณสมบัติต่อไปนี้ถือ: (AT )T =A (ทรานสโพส

เมทริกซ์สองครั้ง - คุณจะได้เมทริกซ์เดียวกัน)

(xA)T \u003d xAT (x หมายถึงตัวเลข A แน่นอนเมทริกซ์) (ถ้าคุณต้องการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขและทรานสโพสคุณสามารถคูณก่อนจากนั้นจึงทรานสโพสหรือในทางกลับกัน)

(A+B)T = AT +BT (AB)T =BT AT

เมทริกซ์สมมาตรและต้านสมมาตร

รูปที่ 9 แสดงเมทริกซ์สมมาตรที่ด้านบนซ้าย องค์ประกอบที่สมมาตรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมหลักนั้นเท่ากัน และตอนนี้คำจำกัดความ: สแควร์เมทริกซ์

A เรียกว่าสมมาตรถ้า AT =A นั่นคือเมทริกซ์สมมาตรจะไม่เปลี่ยนแปลงในระหว่างการขนย้าย โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมทริกซ์ในแนวทแยงใด ๆ นั้นสมมาตร (เมทริกซ์ดังกล่าวแสดงในรูปที่ 2)

ตอนนี้ดูที่เมทริกซ์ต้านสมมาตร (รูปที่ 9, ด้านล่าง) ต่างจากสมมาตรอย่างไร? โปรดทราบว่าองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ เมทริกซ์ต้านสมมาตรมีองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดเท่ากับศูนย์ คิดว่าทำไม? คำนิยาม: เมทริกซ์กำลังสอง A เรียกว่า

ไม่สมมาตร ถ้า AT = -A ให้เราสังเกตคุณสมบัติบางอย่างของการดำเนินการบนสมมาตรและต้านสมมาตร

เมทริกซ์ 1. ถ้า A และ B เป็นเมทริกซ์สมมาตร (ต้านสมมาตร) แล้ว A + B จะเป็นเมทริกซ์สมมาตร (ต้านสมมาตร) ด้วย

2. ถ้า A เป็นเมทริกซ์สมมาตร (ต้านสมมาตร) แล้ว xA จะเป็นเมทริกซ์สมมาตร (ต้านสมมาตร) ด้วย (อันที่จริงถ้าคุณคูณเมทริกซ์จากรูปที่ 9 ด้วยจำนวนหนึ่ง ความสมมาตรก็จะยังคงอยู่)

3. ผลคูณ AB ของเมทริกซ์สมมาตรสองอันหรือสองเมทริกซ์ต้านสมมาตร A และ B เป็นเมทริกซ์ที่สมมาตรสำหรับ AB = BA และต้านสมมาตรสำหรับ AB =-บธ.

4. ถ้า A เป็นเมทริกซ์สมมาตร แล้ว Aม. (ม. = 1, 2, 3, . . .) เป็นเมทริกซ์สมมาตร ถ้าอา

เมทริกซ์ต้านสมมาตร จากนั้น Am (m = 1, 2, 3, . . .) is เมทริกซ์สมมาตรสำหรับ m เท่ากันและต้านสมมาตร - สำหรับคี่

5. เมทริกซ์จตุรัส A โดยพลการ สามารถแสดงเป็นผลรวมของเมทริกซ์สองตัว (เรียกเมทริกซ์เหล่านี้ว่า A(s) และ A(a) )

A=A(s)+A(ก)

ควรสังเกตว่าเฉพาะเมทริกซ์กำลังสองเท่านั้นที่ตอบสนองต่อการดำเนินการนี้ จำนวนแถวและคอลัมน์ที่เท่ากันเป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับการเพิ่มเมทริกซ์เป็นยกกำลัง ในระหว่างการคำนวณ เมทริกซ์จะถูกคูณด้วยตัวมันเองตามจำนวนครั้งที่ต้องการ

เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้ออกแบบมาเพื่อดำเนินการเพิ่มเมทริกซ์เป็นกำลัง ด้วยการใช้งาน คุณจะไม่เพียงแต่รับมือกับงานนี้ได้อย่างรวดเร็ว แต่ยังได้รับแนวคิดที่ชัดเจนและมีรายละเอียดเกี่ยวกับแนวทางการคำนวณด้วย สิ่งนี้จะช่วยรวมเนื้อหาที่ได้รับในทางทฤษฎีได้ดีขึ้น เมื่อเห็นอัลกอริธึมการคำนวณแบบละเอียดต่อหน้าคุณ คุณจะเข้าใจรายละเอียดปลีกย่อยทั้งหมดได้ดีขึ้น และสามารถหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในการคำนวณด้วยตนเองได้ในภายหลัง นอกจากนี้ การตรวจสอบการคำนวณของคุณจะไม่เสียหายอีกต่อไป และวิธีนี้ควรทำดีที่สุดที่นี่

ในการที่จะเพิ่มเมทริกซ์เป็นพาวเวอร์ออนไลน์ คุณต้องมีอนุกรม การกระทำง่ายๆ. ก่อนอื่น ระบุขนาดของเมทริกซ์โดยคลิกที่ไอคอน "+" หรือ "-" ทางด้านซ้ายของเมทริกซ์ จากนั้นป้อนตัวเลขในช่องเมทริกซ์ คุณต้องระบุพลังที่จะเพิ่มเมทริกซ์ จากนั้นคุณเพียงแค่ต้องคลิกที่ปุ่ม: "คำนวณ" ที่ด้านล่างของฟิลด์ ผลลัพธ์จะเชื่อถือได้และแม่นยำหากคุณป้อนค่าทั้งหมดอย่างระมัดระวังและถูกต้อง นอกจากนี้ คุณยังจะได้รับรายละเอียดของโซลูชันอีกด้วย

ในเดือนกรกฎาคม 2020 นาซ่าเปิดตัวการสำรวจดาวอังคาร ยานอวกาศจะส่งมอบผู้ให้บริการอิเล็กทรอนิกส์ไปยังดาวอังคารพร้อมชื่อของสมาชิกที่ลงทะเบียนทั้งหมดของการสำรวจ

หากโพสต์นี้แก้ปัญหาของคุณได้หรือคุณแค่ชอบ ให้แชร์ลิงก์ไปยังเพื่อนๆ ของคุณบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

ต้องคัดลอกและวางหนึ่งในตัวเลือกโค้ดเหล่านี้ลงในโค้ดของหน้าเว็บของคุณ โดยควรอยู่ระหว่างแท็ก และหรือหลังแท็ก . ตามตัวเลือกแรก MathJax โหลดเร็วขึ้นและทำให้หน้าช้าลงน้อยลง แต่ตัวเลือกที่สองจะติดตามและโหลด MathJax เวอร์ชันล่าสุดโดยอัตโนมัติ หากคุณใส่รหัสแรก จะต้องได้รับการอัปเดตเป็นระยะ หากคุณวางโค้ดที่สอง หน้าเว็บจะโหลดช้าลง แต่คุณไม่จำเป็นต้องคอยตรวจสอบการอัปเดต MathJax อย่างต่อเนื่อง

วิธีที่ง่ายที่สุดในการเชื่อมต่อ MathJax อยู่ใน Blogger หรือ WordPress: ในแผงควบคุมไซต์ เพิ่มวิดเจ็ตที่ออกแบบมาเพื่อแทรกโค้ด JavaScript ของบุคคลที่สาม คัดลอกเวอร์ชันแรกหรือเวอร์ชันที่สองของโค้ดโหลดที่แสดงด้านบน และวางวิดเจ็ตไว้ใกล้ยิ่งขึ้น ไปที่จุดเริ่มต้นของเทมเพลต (โดยวิธีนี้ไม่จำเป็นเลย เนื่องจากสคริปต์ MathJax ถูกโหลดแบบอะซิงโครนัส) นั่นคือทั้งหมดที่ ตอนนี้ เรียนรู้ไวยากรณ์มาร์กอัป MathML, LaTeX และ ASCIIMathML และคุณพร้อมที่จะฝังสูตรคณิตศาสตร์ลงในหน้าเว็บของคุณแล้ว

ส่งท้ายปีเก่าอีกครั้ง... อากาศหนาวจัดและเกล็ดหิมะบนบานหน้าต่าง... ทั้งหมดนี้ทำให้ฉันต้องเขียนอีกครั้งเกี่ยวกับ... เศษส่วน และสิ่งที่ Wolfram Alpha รู้เกี่ยวกับมัน ในโอกาสนี้มีบทความที่น่าสนใจซึ่งมีตัวอย่างโครงสร้างเศษส่วนสองมิติ ที่นี่เราจะดูเพิ่มเติม ตัวอย่างที่ซับซ้อนแฟร็กทัลสามมิติ

เศษส่วนสามารถแสดงได้ด้วยสายตา (อธิบายไว้) เป็นรูปทรงเรขาคณิตหรือร่างกาย (หมายความว่าทั้งสองเป็นเซต ในกรณีนี้ เป็นชุดของจุด) รายละเอียดที่มีรูปร่างเหมือนกันกับตัวต้นฉบับเอง กล่าวคือเป็นโครงสร้างคล้ายตัวเองเมื่อพิจารณาจากรายละเอียดซึ่งเมื่อขยายแล้วเราจะเห็นรูปร่างเหมือนไม่มีการขยาย ในขณะที่กรณีของรูปทรงเรขาคณิตธรรมดา (ไม่ใช่เศษส่วน) เมื่อซูมเข้าเราจะเห็นรายละเอียดที่มีมากขึ้น แบบง่ายๆกว่ารูปร่างเดิมนั่นเอง เช่น ถ้าเพียงพอ กำลังขยายสูงส่วนหนึ่งของวงรีดูเหมือนส่วนของเส้นตรง สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นกับเศษส่วน: เมื่อเพิ่มขึ้นเราจะเห็นรูปร่างที่ซับซ้อนเหมือนเดิมซึ่งจะเพิ่มขึ้นซ้ำแล้วซ้ำอีก

Benoit Mandelbrot ผู้ก่อตั้งวิทยาศาสตร์ของเศษส่วน ในบทความ Fractals and Art for Science ของเขาเขียนว่า: "เศษส่วนเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนในรายละเอียดเหมือนกับที่อยู่ในรูปแบบโดยรวม นั่นคือถ้าเป็นส่วนหนึ่งของเศษส่วนจะ จะขยายเป็นขนาดโดยรวม มันจะดูเหมือนทั้งหมด หรือตรง หรือบางทีอาจมีการเสียรูปเล็กน้อย

ที่นี่ เราจะดำเนินการต่อในหัวข้อของการดำเนินการเกี่ยวกับเมทริกซ์ที่เราเริ่มต้นในส่วนแรก และวิเคราะห์ตัวอย่างสองสามตัวอย่างที่เราจำเป็นต้องใช้การดำเนินการหลายรายการพร้อมกัน

การเพิ่มเมทริกซ์ให้เป็นพลัง

ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบ สำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสใดๆ $A_(n\times n)$ เรามี: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; times) $$

ที่นี่เราคิดว่า $A^0=E$ โดยที่ $E$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่าง #4

เมทริกซ์ $ A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)$ ได้รับ หาเมทริกซ์ $A^2$ และ $A^6$

ตามคำจำกัดความของ $A^2=A\cdot A$ เช่น ในการหา $A^2$ เราแค่ต้องคูณเมทริกซ์ $A$ ด้วยตัวมันเอง การดำเนินการของการคูณเมทริกซ์ได้รับการพิจารณาในส่วนแรกของหัวข้อ ดังนั้นที่นี่เราเพียงแค่เขียนขั้นตอนการแก้ปัญหาโดยไม่มีคำอธิบายโดยละเอียด:

$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end(array) \right )= \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right) $$

ในการหาเมทริกซ์ $A^6$ เรามีสองทางเลือก ตัวเลือกที่หนึ่ง: มันเป็นเรื่องเล็กน้อยที่จะคูณ $A^2$ ด้วยเมทริกซ์ต่อไป $A$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$

อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะดำเนินการในลักษณะที่ง่ายกว่าเล็กน้อย โดยใช้คุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์ ให้ใส่วงเล็บในนิพจน์สำหรับ $A^6$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2. $$

หากวิธีแก้ปัญหาของวิธีแรกต้องใช้การคูณสี่ครั้ง ดังนั้นสำหรับวิธีที่สอง - มีเพียงสองวิธีเท่านั้น ไปทางที่สองกัน:

$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\ cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4) )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(array) \right)\cdot \left(\ Begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right) $$

ตอบ: $A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)$, $A^6=\left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right)$.

ตัวอย่าง #5

รับเมทริกซ์ $ A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end(array) \right)$, $ B=\left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (array) \right)$, $ C=\left(\begin(array) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(array) \ ขวา)$. หาเมทริกซ์ $D=2AB-3C^T+7E$

เราเริ่มคำนวณเมทริกซ์ $D$ โดยหาผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์ $AB$ เมทริกซ์ $A$ และ $B$ สามารถคูณกันได้เนื่องจากจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ $A$ เท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ $B$ แสดงว่า $F=AB$ ในกรณีนี้ เมทริกซ์ $F$ จะมีสามคอลัมน์และสามแถว กล่าวคือ จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส (หากการสืบทอดนี้ไม่ชัดเจน โปรดดูคำอธิบายของการคูณเมทริกซ์ในส่วนแรกของหัวข้อนี้) ค้นหาเมทริกซ์ $F$ โดยการคำนวณองค์ประกอบทั้งหมด:

$$ F=A\cdot B=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ end(array) \right)\\ \begin(aligned) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9 )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end(จัดตำแหน่ง) $$

ดังนั้น $F=\left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)$ ไปกันเลยดีกว่า เมทริกซ์ $C^T$ คือเมทริกซ์ทรานสโพสสำหรับเมทริกซ์ $C$ นั่นคือ $ C^T=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right) $. สำหรับเมทริกซ์ $E$ มันคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ ในกรณีนี้ ลำดับของเมทริกซ์นี้คือสาม นั่นคือ $E=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

โดยหลักการแล้ว เราสามารถก้าวต่อไปได้ทีละขั้น แต่ควรพิจารณานิพจน์ที่เหลือโดยรวมดีกว่า โดยไม่ถูกรบกวนด้วยการกระทำเสริม อันที่จริง เราเหลือเพียงการดำเนินการของการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข เช่นเดียวกับการดำเนินการของการบวกและการลบ

$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end(array) \right)-3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \ ขวา)+7\cdot \left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$

ลองคูณเมทริกซ์ทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันด้วยตัวเลขที่เกี่ยวข้องกัน (เช่น คูณ 2, 3 และ 7):

$$ 2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)-3\ cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right)+7\cdot \left(\ Begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right) $$

มาทำกัน กิจกรรมล่าสุด: การลบและการบวก:

$$ \left(\begin(array) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin (อาร์เรย์) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right)=\\ =\left(\begin(array) (ccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array)\right) $$

แก้ไขปัญหาแล้ว $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$ .

ตอบ: $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$.

ตัวอย่าง #6

ให้ $f(x)=2x^2+3x-9$ และ matrix $ A=\left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right) $ หาค่าของ $f(A)$

ถ้า $f(x)=2x^2+3x-9$ แล้ว $f(A)$ จะเป็นเมทริกซ์:

$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$

นี่คือวิธีกำหนดพหุนามในเมทริกซ์ ดังนั้น เราต้องแทนที่เมทริกซ์ $A$ ลงในนิพจน์สำหรับ $f(A)$ แล้วได้ผลลัพธ์ เนื่องจากการกระทำทั้งหมดได้รับการวิเคราะห์ในรายละเอียดก่อนหน้านี้ ฉันจึงจะให้วิธีแก้ปัญหาที่นี่ หากกระบวนการดำเนินการ $A^2=A\cdot A$ ไม่ชัดเจนสำหรับคุณ เราขอแนะนำให้คุณดูคำอธิบายของการคูณเมทริกซ์ในส่วนแรกของหัวข้อนี้

$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left( \begin(array) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9 \left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left(\begin(array) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array) ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(array) \right) +\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end(array) \right)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right) $$

ตอบ: $f(A)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right)$