Лінійною функцією комплексного змінного z називається функція виду де а і 6 - задані комплексні числа, причому а Ф 0. Лінійна функція визначена для всіх значень незалежного змінного г, однозначна і, тому що зворотна функція також однозначна, однолистна у всій площині z. Лінійна функція аналітична у всій комплексній площині, і її похідна тому здійснюване відображення конформно у всій площині. Дробно-лінійною функцією називається функція виду - задані комплексні числа, причому Дробно-лінійна функція визначена для всіх значень незалежного змінного zy крім z = -|, однозначна і, тому що зворотна функція Елементарні функції комплексного змінного функція Логарифмічна функція Тригонометричні та гіперболічні функції однозначна, однолистна у всій комплексній площині, крім точки z = - У цій галузі функція (3) аналітична та її похідна тому здійснюване нею відображення конформне. Довизначимо функцію (3) у точці z = - \, поклавши £) = оо, а нескінченно віддаленій точці w = оо поставимо у відповідність точку z(oo) = Тоді дробово-лінійна функція буде однолистою в розширеній комплексній площині z. Приклад 1. Розглянемо дробово-лінійну функцію З рівності випливає, що модулі комплексних чисел г і і» зв'язані співвідношенням а самі ці числа розташовуються на променях, що виходять з точки О і симетричних щодо дійсної осі. Зокрема, точки одиничного кола |z| = 1 переходять у точки одиничного кола Ы = 1. У цьому комплексному числу ставиться у відповідність сполучене число (рис. 11). Зауважимо також, що функція го = -g відображає нескінченно віддалену точку г - оо в нульову го - 0. 2.2. Ступінна функція Ступінна функція де п – натуральне число, аналітична у всій комплексній площині; її похідна = nzn~] при п > 1 відмінна від нуля у всіх точках, крім z = 0. Записуючи у формулі (4) w і z у показовій формі отримуємо, що З формули (5) видно, що комплексні числа Z\ і z2 такі, що де k – ціле, переходять в одну точку w. Значить, якщо n > 1 відображення (4) не є однолистим на площині z. Найпростішим прикладом області, у якій відображення гі = zn однолистно, є сектор де а - будь-яке речове число. В області (7) відображення (4) є конформним. - багатозначна, тому що для кожного комплексного числа z = ге1в Ф 0 можна вказати п різних комплексних чисел, таких, що їх n-й ступіньдорівнює z: Зазначимо, що багаточлен ступеня п комплексного змінного z називається функція де задані комплексні числа, причому ао Ф 0. Багаточлен будь-якого ступеня є аналітичною функцією на всій комплексній площині. 2.3. Дробно-раціональна функція Дробно-раціональна функція називається функція виду де) - багаточлени комплексного змінного z. Дробно-раціональна функція аналітична у всій площині, крім тих точок, у яких знаменник Q(z) перетворюється на нуль. Приклад 3. Функція Жуковського__ аналітична у всій площині г, за винятком точки г = 0. З'ясуємо умови на область комплексної площини, при яких функція Жуковсхого, що розглядається в цій галузі, буде однолистою. М Нехай точки Z) та zj функція (8) переводить в одну точку. Тоді при ми отримуємо, що значить, для однолистості функції Жуковського необхідне і виконання умови Прикладом області, що задовольняє умові однолистості (9), є зовнішність кола |z| > 1. Так як похідна функції Жуковського Елементарні функції комплексного змінного Дробно-раціональні функції Ступінна функція Показова функція Логарифмічна функція Тригонометричні та гіперболічні функції відмінна від нуля усюди, крім точок, то відображення області, що здійснюється цією функцією, буде конформним. Зауважимо, що начинка одиничного кола |I також є областю однолистості функції Жуковського. Рис. 13 2.4. Показова функція Показову функцію ez визначимо для будь-якого комплексного числа z = х + гу наступним співвідношенням: При х = 0 отримуємо формулу Ейлера: Опишемо основні властивості показової функції: 1. Для дійсних z дане визначення збігається зі звичайним. У цьому можна переконатися безпосередньо, поклавши у формулі (10) у = 0. 2. Функція ez аналітична на всій комплексній площині, і для неї зберігається нормальна формула диференціювання 3. Для функції ег зберігається теорема складання. Покладемо 4. Функція ez - періодична з уявним основним періодом 2xi. Справді, для будь-якого цілого до З іншого боку, якщо з визначення (10) випливає, що Звідки слід, що, або де п - ціле. Смуга не містить жодної пари точок, пов'язаних співвідношенням (12), тому з проведеного дослідження випливає, що відображення w = е" одно аркушно в смузі (рис. 14). А як похідна, то це відображення конформно. г.г однолистна в будь-якій смузі 2.5 Логарифмічна функція З рівняння де задано, невідоме, отримуємо Звідси Тим самим функція, зворотна функції визначена для будь-якого і є формулою де Ця багатозначна функція називається логарифмічною і позначається таким чином Величину rм Тоді для Ln z виходить формула 2.6 Тригонометричні та гіперболічні функції З формули Ейлера (11) для дійсних у отримуємо Звідки Визначимо тригонометричні функції sin z та cos z для будь-якого комплексного числа z за допомогою наступних формул: Синус і косинус комплексного аргументу мають цікаві властивості Функції sinz і cos z: 1) для дійсних их z-х збігаються із звичайними синусами та косинусами; 2) аналітичні на всій комплексній площині; 3) підпорядковуються стандартним формулам диференціювання: 4) періодичні з періодом 2тг; 5) sin z – непарна функція, a cos z – парна; 6) зберігаються звичайні тригонометричні співвідношення. Усі перелічені якості легко виходять із формул (15). Функції tgz і ctgz в комплексній області визначаються формулами а гіперболічні функції - формулами Гіперболічні функції тісно пов'язані з тригонометричними функціями. Цей зв'язок виражається такими рівностями: Синус і косинус комплексного аргументу мають ще одну важливу властивість: значення Покажемо це Користуючись властивостями 6 і формулами (18) отримуємо, що Елементарні функції комплексного змінного Дробно-раціональні функції Ступінна функція Показова функція Логарифмічна функція Тригонометричні та гіперболічні функції Звідки Вважаючи, що маємо Приклад 4. Неважко перевірити ,
, сторінка 611 Основні функції комплексної змінної
Нагадаємо визначення комплексної експоненти – . Тоді
Розкладання до ряду Маклорена. Радіус збіжності цього ряду дорівнює +∞, отже, комплексна експонента аналітична на всій комплексній площині і
(exp z) "=exp z; exp 0 = 1. (2)
Першу рівність тут випливає, наприклад, з теореми про почленное диференціювання статечного ряду.
11.1 Тригонометричні та гіперболічні функції
Синусом комплексного змінногоназивається функція
Косинус комплексного змінногоє функція
Гіперболічний синус комплексного змінноговизначається так:
Гіперболічний косинус комплексного змінного- це функція
Відзначимо деякі властивості нововведених функцій.
A.Якщо x∈ ℝ cos cos, sin x, ch x, sh x∈ ℝ .
Б.Має місце наступний зв'язок тригонометричних та гіперболічних функцій:
cos iz = ch z; sin iz = ish z, ch iz = cos z; sh iz=isin z.
В. Основні тригонометричні та гіперболічні тотожності:
cos 2 z+sin 2 z=1; ch 2 z-sh 2 z = 1.
Доказ основної гіперболічної тотожності.
Основне тригонометричне тотожність випливає з оновленого гіперболічного тотожності при обліку зв'язку тригонометричних та гіперболічних функцій (див. властивість Б)
Г Формули додавання:
Зокрема,
Д.Для обчислення похідних тригонометричних та гіперболічних функцій слід застосувати теорему про почленное диференціювання статечного ряду. Отримаємо:
(cos z) "=-sin z; (sin z)" = cos z; (ch z) "= sh z; (sh z)" = ch z.
Є.Функції cos z, ch z парні, а функції sin z, sh z непарні.
Ж. (Періодичність)Функція e z періодична із періодом 2π i. Функції cos z, sin z періодичні з періодом 2π, а функції ch z, sh z періодичні з періодом 2πi. Більш того,
Застосовуючи формули суми, отримуємо
З. Розкладання на дійсну та уявну частини:
Якщо однозначна аналітична функція f(z) відображає діюча область D на область G, то D називається областю однолистості.
І.Область D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .
Доведення. Зі співвідношення (5) випливає ін'єктивність відображення exp:D k → ℂ . Нехай w – будь-яке ненульове комплексне число. Тоді, розв'язуючи рівняння e x = | w | та e iy =w/|w| з дійсними змінними x та y (y вибираємо з напівінтервалу)
Завантаження...