Комплексна змінна лапласа – фізичний зміст. Перетворення лапласу

Розділ II. Математичний аналіз

Є. Ю. Анохіна

ІСТОРІЯ РОЗВИТКУ ТА СТАНОВЛЕННЯ ТЕОРІЇ ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО (ТФКП) НАВЧАЛЬНИМ ПРЕДМЕТОМ

Одним із складних математичних курсів є курс ТФКП. Складність цього курсу обумовлена, насамперед, розмаїттям його взаємозв'язків коїться з іншими математичними дисциплінами, історично вираженої широкої прикладної спрямованості науки ТФКП.

У науковій літературі з історії математики є розрізнені відомості про історію розвитку ТФКП, вони вимагають систематизації та узагальнення.

У зв'язку з цим основним завданням цієї статті є короткий описрозвитку ТФКП та становлення цієї теорії навчальним предметом.

В результаті проведеного дослідження було виділено такі три етапи розвитку ТФКП як науки та навчального предмета:

Етап виникнення та визнання комплексних чисел;

Етап накопичення фактичного матеріалуза функціями уявних величин;

Етап становлення теорії функцій комплексного змінного.

Перший етап розвитку ТФКП (сер. XVI ст. - XVIII ст.) починається з роботи Дж. Кардано (1545), який опублікував роботу «Artis magnae sive de regulis algebraitis» (Велике мистецтво, або про правила алгебри). Твір Дж. Кардано мало основним завданням обґрунтування загальних алгебраїчних прийомів рішень рівнянь третього та четвертого ступенів, незадовго до цього відкритих Ферро (1465-1526), ​​Тарталья (1506-1559) та Феррарі (1522-1565). Якщо кубічне рівняння наведено до виду

х3 + рх + д = 0,

причому має бути

Коли (ц^Ар V (|- 70 рівняння має три дійсних кореня, причому два з них

рівні між собою. Якщо тоді рівняння має один дійсний і два со-

топленого комплексного кореня. Комплексні числа з'являються в остаточному результаті, тому Дж. Кардано міг вчинити так, як чинили й до нього: оголосити рівняння тим, хто має

один корінь. Коли (<7 Г + (р V < (). тогда уравнение имеет три действительных корня. Этот так

званий неприведений випадок характеризується однією особливістю, з якою XVI століття не зустрічалися. Рівняння х3 - 21х + 20 = 0 має три дійсних кореня 1, 4, - 5 у чому легко

переконатися простою підстановкою. Але ^ду + у _ ^20у + ^-21у _ ^ ^ ^; отже, згідно із загальною формулою, х = ^-10 + ^-243 -^-10-4^243 . Комплексне, тобто. «хибне», число виявляється тут не результатом, а проміжним членом у обчисленнях, які призводять до дійсних коренів рівняння, що розглядається. Дж. Кардано зіткнувся з трудом і зрозумів, що для збереження спільності цієї формули треба відмовитися від повного ігнорування комплексних чисел. Ж. Даламбер (1717-1783) вважав, що це обставина змусило Дж. Кардано і наступних цієї ідеї математиків серйозно зацікавитися комплексними числами.

На цьому етапі (в XVII ст) були загальноприйнятими дві точки зору. Першу думку було висловлено Жираром, який порушив питання про визнання необхідності нічим необмеженого використання комплексних чисел. Друга – Декартом, який заперечував можливість інтерпретації комплексних чисел. Протилежною думкою Декарта була думка Дж. Валліса -про існування реального тлумачення комплексних чисел була проігнорована Декартом. Комплексні числа почали «вимушено» використовувати при вирішенні прикладних завдань у ситуаціях, де використання дійсних чисел призводили до складного результату, або результат не міг вийти теоретично, але мав практичну реалізацію.

Інтуїтивне використання комплексних чисел призводило до збереження законів і правил арифметики дійсних чисел на безліч комплексних чисел, зокрема були спроби прямого перенесення. Це призводило часом до хибних результатів. У зв'язку з цим актуальними стали питання про обґрунтування комплексних чисел та побудову алгоритмів їхньої арифметики. Це стало початком нового етапу розвитку ТФКП.

Другий етап розвитку ТФКП (початок XVIII ст. – XIX ст.). У XVIII ст. Л. Ейлер висловив думку про замкнутість алгебри поля комплексних чисел. Алгебраїчна замкнутість поля комплексних чисел привела математиків до висновків:

Що вивчення функцій та математичний аналіз взагалі набувають належної повноти та закінченості лише при розгляді поведінки функцій у комплексній галузі;

Необхідно розгляд комплексних чисел як змінних величин.

У 1748 р. Л. Ейлер (1707-1783) у своїй роботі «Введення в аналіз нескінченно малих» запровадив комплексну змінну як найбільш загальне поняття змінної величини, використавши комплексні числа при розкладанні функцій на лінійні співмножники. Л. Ейлер по праву вважається одним із творців ТФКП. У роботах Л. Ейлера детально вивчені елементарні функції комплексного змінного (1740-1749), дано умови диференційності (1755) та початку інтегрального обчислення функцій комплексного змінного (1777). Л. Ейлер практично запровадив конформне відображення (1777). Він називав ці відображення «подібними до малого», а термін «конформний» був уперше вжитий, мабуть, петербурзьким академіком Ф. Шубертом (1789). Л. Ейлер навів також численні додатки функцій комплексного змінного до різних математичних завдань і започаткував їх у гідродинаміці (17551757) і картографії (1777). К. Гаус формулює визначення інтеграла в комплексній площині, інтегральну теорему про розкладність аналітичної функції в статечний ряд. Лаплас використовує комплексні змінні при обчисленні важких інтегралів і розвиває метод розв'язання лінійних рівнянь, різницевих та диференціальних відомий під назвою перетворення Лапласа.

Починаючи з 1799 р., з'являються роботи, у яких дано більш менш зручні інтерпретації комплексного числа і визначені дії над ними. Достатньо ж загальне теоретичне трактування та геометрична інтерпретація була опублікована К. Гауссом лише 1831 року.

Л. Ейлер і його сучасники залишили багату спадщину нащадкам у вигляді накопичених, десь систематизованих, десь немає, але все ж таки розрізнених фактів по ТФКП. Можна сміливо сказати, що фактологічний матеріал з функцій уявних величин, хіба що, вимагав своєї систематизації як теорії. Ця теорія розпочала своє становлення.

Третій етап становлення ТФКП (XIX ст. – XX ст.). Основні заслуги тут належать О. Коші (1789–1857), Б. Ріману (1826–1866), та К. Вейєрштрассу (1815–1897). Кожен із них представляв один із напрямів розвитку ТФКП.

Представником першого напряму, який в історії математики називався «теорія моногенних або диференційованих функцій» був О. Коші. Він оформив розрізнені факти щодо диференціального та інтегрального обчислення функцій комплексного змінного, роз'яснив зміст основних понять та операцій з уявними. У роботах О. Коші викладено теорію меж і засновану на ній теорію рядів та елементарних функцій, сформульовано теорему, яка повністю з'ясовує область збіжності статечного ряду. У 1826 р. О. Коші запровадив термін: відрахування (буквально: залишок). У працях з 1826 по 1829 він створив теорію відрахувань. О. Коші вивів інтегральну формулу; отримав теорему існування розкладання функції комплексного змінного в статечні ряди (1831). О. Коші заклав основи теорії аналітичних функцій багатьох змінних; визначив основні галузі багатозначних функцій комплексного змінного; вперше використовував розрізи площини (1831–1847). У 1850 р. вводить поняття монодромних функцій, виділяє клас моногенних функцій.

Послідовником О. Коші був Б. Ріман, який створив і свій «геометричний» (другий) напрямок розвитку ТФКП. Він у своїх роботах подолав ізольованість уявлень про функції комплексних змінних та сформував нові відділи цієї теорії, тісно пов'язані з іншими дисциплінами. Ріман зробив істотно новий крок в історії теорії аналітичних функцій, він запропонував із кожною функцією комплексного змінного пов'язувати уявлення про відображення однієї області на іншу. Він встановив різницю між функціями комплексного і дійсного змінного. Б. Ріман започаткував геометричну теорію функцій, ввів риманову поверхню, розробив теорію конформних відображень, встановив зв'язок між аналітичними та гармонійними функціями, ввів у розгляд дзета-функцію.

Подальше розвиток ТФКП відбувалося в іншому (третьому) напрямку. В основу якого була покладена можливість представлення функцій статечними рядами. За цим напрямом закріпилася в історії назва «аналітична». Воно сформувалося на роботах До. Вейерштрасса, у яких передній план він виводив поняття рівномірної збіжності. К. Вейєрштрас сформулював і довів теорему про законність приведення подібних членів у ряді. К. Вейєрштрассом був отриманий фундаментальний результат: межа послідовності аналітичних функцій, що рівномірно сходить усередині деякої області, є аналітичною функцією. Він зумів узагальнити теорему Коші про розкладання в степеневий ряд функції комплексного змінного та описав процес аналітичного продовження статечних рядів та його застосування до подання рішень системи диференціальних рівнянь. До. Вейерштрасс встановив факт як абсолютної збіжності низки, а й рівномірної збіжності. З'являється теорема Вейєрштрасса про розкладання цілої функції на твір. Він закладає основи теорії аналітичних функцій багатьох змінних, будує теорію ділимості статечних рядів.

Розглянемо розвиток теорії аналітичних функцій в Росії. Російські математики в XIX ст. довгий час не бажали присвятити себе новій галузі математики. Незважаючи на це можна назвати кілька імен, для яких вона не була чужою, і перерахувати деякі роботи та досягнення цих російських математиків.

Однією з російських математиків був М.В. Остроградський (1801–1861). Про дослідження М.В. Остроградського в галузі теорії аналітичних функцій відомо мало, але О. Коші з похвалою відгукувався про це молодого російського вченого, який застосовував інтеграли і дав нові докази формул та узагальнив інші формули. М.В. Остроградський написав роботу «Зауваження про певні інтеграли», в яких вивів формулу Коші для відрахування функції щодо полюса п-го порядку. Він виклав застосування теорії відрахувань і формулу Коші до обчислення певних інтегралів у широкому громадському курсі лекцій, прочитаному 1858-1859 гг.

До 30-х років належить низка робіт Н.І. Лобачевського, які мають безпосереднє значення для теорії функцій комплексного змінного. Теорія елементарних функцій комплексного змінного міститься у його роботі «Алгебра чи обчислення кінцевих» (Казань, 1834). У якій cos х і sin х визначаються спочатку для х дійсного як дійсна та

уявивши частини функції ех^. Використовуючи раніше встановлені властивості показової функції та статечні розкладання, виводяться всі основні властивості тригонометричних функцій. По-

мабуть, Лобачевський надавав особливого значення такій суто аналітичній побудові тригонометрії, що не залежить від евклідової геометрії.

Можна стверджувати, що в останні десятиліття ХІХ ст. та перше десятиліття XX ст. фундаментальні дослідження з теорії функцій комплексного змінного (Ф. Клейн, А. Пуанкаре, П. Кебе) полягали у поступовому з'ясуванні того, що геометрія Лобачевського є водночас геометрією аналітичних функцій одного комплексного змінного.

У 1850 р. професор Петербурзького університету (згодом академік) І.І. Сомов (1815-1876) видав «Підстави теорії аналітичних функцій», основою яких було покладено «Нові підстави» Якобі.

Однак першим по-справжньому «оригінальним» російським дослідником у галузі теорії аналітичних функцій комплексного змінного був Ю.В. Сохоцький (1842-1929). Він захистив магістерську дисертацію «Теорія інтегральних відрахувань із деякими додатками» (СПб., 1868). З осені 1868 р. Ю.В. Сохоцький читав курси теорії функцій уявного змінного та про безперервні дроби з додатками до аналізу. Магістерська дисертація Ю.В. Сохоцького присвячена додаткам теорії відрахувань до звернення статечного ряду (ряд Лагранжа) і особливо до розкладання аналітичних функцій у безперервні дроби, і навіть до многочленам Лежандра. У цій роботі сформульовано і доведено знамениту теорему про поведінку аналітичної функції на околиці істотно особливої ​​точки. У докторській дисертації Сохоцького

(1873) вперше вводиться у розгорнутому вигляді поняття інтеграла типу Коші: *г/^&_ де

а і Ь - два довільні комплексні числа. Інтеграл передбачається взятим деякою кривою («траєкторії»), що з'єднує а і Ь. У цьому роботі доводиться ряд теорем.

Величезну роль історії аналітичних функцій зіграли праці Н.Е. Жуковського та С.А. Чаплигіна, що відкрили неосяжну область її додатків в аеро- та гідромеханіці.

Говорячи про розвиток теорії аналітичних функцій, не можна не сказати про дослідження С.В. Ковалевської, хоча їхнє основне значення лежить поза цієї теорії. Успіх її робіт був зумовлений абсолютно новою постановкою завдання у термінах теорії аналітичних функцій та розгляд часу t як комплексне змінне.

На рубежі XX ст. змінюється характер наукових досліджень у галузі теорії функцій комплексного змінного. Якщо раніше більшість досліджень у цій галузі проводилися в плані розвитку одного з трьох напрямків (теорії моногенних або диференційованих функцій Коші, геометричних та фізичних ідей Рімана, аналітичного напряму Вейєрштрас-са), то тепер відмінності та пов'язані з ними суперечки долаються, з'являється та швидко зростає число робіт, у яких здійснюється синтез ідей та методів. Одним з основних понять, на якому явно виявилися зв'язок та відповідність геометричних уявлень та апарату статечних рядів, було поняття аналітичного продовження.

Наприкінці ХІХ ст. до теорії функцій комплексного змінного входить великий комплекс дисциплін: геометрична теорія функцій, заснована на теорії конформних відображень та риманових поверхонь. Набули цілісної форми теорії різних видів функцій: цілих та мероморфних, еліптичних та модулярних, автоморфних, гармонійних, алгебраїчних. У зв'язку з останнім класом функцій розвинулася теорія абелевих інтегралів. До цього комплексу примикала аналітична теорія диференціальних рівнянь та аналітична теорія чисел. Теорія аналітичних функцій встановила та зміцнила зв'язки з іншими математичними дисциплінами.

Багатство взаємозв'язків ТФКП з алгеброю, геометрією та іншими науками, створення систематичних основ самої науки ТФКП, велике її практичне значення сприяли становленню ТФКП як навчального предмета. Однак одночасно із завершенням формування основ, в теорію аналітичних функцій були внесені нові ідеї, що істотно змінюють її склад, характер та цілі. З'являються монографії, що містять систематичний виклад теорії аналітичних функцій у стилі, близькому до аксіоматичного та мають також навчальні цілі. Мабуть, значимість результатів з ТФКП, отриманих вченими аналізованого періоду, спонукала їх популяризувати ТФКП як читання лекцій і видання монографічних досліджень у навчальному ракурсе. Можна зробити висновок про виникнення ТФКП як навчальний

предмета. У 1856 р. Ш. Бріо і Т. Буке видали невеликий мемуар «Дослідження функцій уявного змінного», який є по суті першим навчальним посібником. Загальні концепції теорії функції комплексного змінного почали вироблятися в лекціях. З 1856 р. К. Вейєршт-рас читав лекції про представлення функцій схожими статечними рядами, а з 1861 р. - про загальну теорію функцій. У 1876 р. з'явився спеціальний твір К. Вейерштрасса: «До теорії однозначних аналітичних функцій», а 1880 р. «До вчення про функції», у яких його теорія аналітичних функцій набула певної завершеності.

Лекції Вейерштрасса послужили багато років прообразом підручників з теорії функцій комплексного змінного, які почали з'являтися відтоді досить часто. Саме в його лекціях був побудований в основному сучасний стандарт суворості в математичному аналізі і виділена структура, що стала традиційною.

БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК

1. Андронов І.К. Математика дійсних та комплексних чисел. М: Просвітництво, 1975.

2. Клейн Ф. Лекції про розвиток математики у XIX столітті. М.: ОНТІ, 1937. Ч. 1.

3. Лаврентьєв М.А., Шабат Б.В. Методи теорії функцій комплексного змінного. М: Наука, 1987.

4. Маркушевич А.І. Теорія аналітичних функций. М.: Держ. вид-во техніко-теоретичної літератури, 1950.

5. Математика ХІХ століття. Геометрія. Теорія аналітичних функцій/за ред. А. Н. Колмогорова та А. П. Юшкевич. М: Наука, 1981.

6. Математична енциклопедія/гол. ред. І. М. Виноградов. М: Радянська енциклопедія, 1977. Т. 1.

7. Математична енциклопедія / гол. ред. І. М. Виноградов. М: Радянська енциклопедія, 1979. Т. 2.

8. Молодший В.М. Основи вчення про число у XVIII та на початку XIX століття. М: Учпедгіз, 1963.

9. Рибніков К.А. Історія математики. М: Вид-во МДУ, 1963. Ч. 2.

Н.Є. Ляхова ДОТИК ПЛОСКИХ КРИВИХ

Питання торкання плоских кривих, у разі, коли абсциси загальних точок перебувають із рівняння виду Рп х = 0, де Р х - певний многочлен, безпосередньо пов'язані з питанням

про кратність коренів многочлена Pn x. У цій статті сформульовано відповідні твердження для випадків явного та неявного завдання функцій, графіками яких є криві, а також показано застосування цих тверджень під час вирішення завдань.

Якщо криві, що є графіками функцій у = f(x) і у = ср х, мають загальну точку

М() х0; v0, тобто. у0 = f х0 = ср х0 і дотичні до зазначених кривих проведені в точці М () х0; v0 не збігаються, то кажуть, що криві у = fix) і у - ср х перетинаються в точці Mо xo;

На малюнку 1 наведено приклад перетину графіків функцій.

Транскрипт

1 Перетворення Лапласа Короткі відомості Перетворенням Лапласа, яке знаходить широке застосування в теорії ланцюгів, називають інтегральне перетворення, що застосовується до функцій часу f, що дорівнює нулю при< L { f } f d F, где = + комплексная переменная Величина выбирается так, чтобы интеграл сходился Если функция f возрастает не быстрее, чем экспонента, то интеграл преобразования Лапласа сходится, если >Можна довести, що, якщо інтеграл Лапласа сходиться при певній величині s, то він визначає функцію F, аналітичну у всій напівплощині > s Певна функція F може бути аналітично продовжена на всю площину комплексної змінної = +, за винятком окремих особливих точок Найчастіше це продовження проводиться шляхом поширення отриманої при обчисленні інтеграла формули на всю комплексну площину змінної функції F, аналітично продовжену на всю комплексну площину, називають Лаплас-зображенням функції часу f або просто зображенням Функцію f по відношенню до її зображення F називають оригіналом Якщо відомо зображення F, то оригінал може бути знайдений за допомогою зворотного перетворення Лапласа f F d > Інтеграл у правій частині являє собою контурний інтеграл по прямий, паралельної осі ординат Величина вибирається так, щоб у напівплощині R > були відсутні особливі точки функції F Визначення оригіналу за відомим зображенням називають зворотним перетворенням Лапласа і позначають символом f

2 Розглянемо деякі властивості перетворення Лапласа Лінійність Ця властивість може бути записана у вигляді рівності L(f f ) L( f ) L( f ) Перетворення Лапласу похідної функції df L( ) d df d F f d f 3 Перетворення Лапласа інтеграла: L( f d) Розглянемо найпростіше застосування перетворення Лапласа в теорії ланцюгів На рис представлені найпростіші елементи ланцюгів: опір, індуктивність і ємність Миттєве падіння напруги на опорі дорівнює Рис Найпростіші елементи ланцюгів рівність, як і раніше, має вигляд закону Ома, але вже для зображень напруги і струму Для миттєвої напруги на індуктивності має місце співвідношення d i u L, d е немає прямої пропорційності Закон Ома тут не має місця Після перетворення Лапласа отримуємо U = LI LI+

3 Якщо, як це часто буває, I+ =, то співвідношення набуває вигляду U = LI Таким чином для зображень напруги і струму знову справедливий закон Ома Роль опору грає величина L, яку називають опором індуктивності Для ємності маємо співвідношення між миттєвими значеннями напруги та індуктивності u i d C Після перетворення Лапласа це співвідношення набуває вигляду U I, C т е має вигляд закону Ома, причому ємнісний опір одно C Складемо таблицю прямого і зворотного перетворень Лапласа елементарних функцій, що зустрічаються в теорії ланцюгів одинична сходинка, визначається рівностями: при; при Перетворення Лапласу цієї функції буде L ( ) L ( ) d d 3 L ( ) 4 L ( ) 5 L (sin ) 9

4 3 6 ) (cos L 7 ) ( ) sin ( L L ) ( L 8 ) cos ( L 9 ) ( F d f f L! n d n n n n L! n n n L Тепер розглянемо зворотне перетворення раціонального дробу, а саме, перетворення зображення m< n и знаменатель имеет только простые корни Тогда n n K K K B, где, n корни полинома B, стоящего в знаменателе изображения Коэффициенты K, K, K n могут быть найдены следующим

5 3 образом Розкладемо зображення на найпростіші дроби і помножимо на: n n K K K K B Спрямуємо тепер Тоді в правій частині залишається лише K: lim B K Справа ми маємо невизначеність виду, яка розкривається за правилом Лопіталя: " B K Підставляючи, отримаємо " n B B Зворотне перетворення простого дробу відомо: L Тому " n B B L Інтерес представляє окремий випадок, коли один з коренів знаменника дорівнює нулю: B F У цьому випадку розкладання F на прості дроби буде мати вигляд, як це випливає з попереднього, " n B B B причому B не має коренів у нулі

6 3 Звідси зворотне перетворення Лапласа функції F матиме вигляд: n B B B " L Розглянемо ще один випадок, коли поліном у знаменнику B має кратне коріння Нехай m< n и корень кратности l При разложении на простые дроби этому корню соответствует сумма: l l l K K K Обратное преобразование слагаемых этой суммы мы уже имели выше см п:! n n n L Таким образом, обратное преобразование суммы будет иметь вид: M, где M полином от степени l

7 Деякі загальні властивості ланцюгів Нехай складний ланцюг містить P гілок і Q вузлів Тоді згідно з першим та другим законами Кірхгофа можна скласти P + Q рівнянь для P струмів у гілках та Q вузлових потенціалів Один з Q вузлових потенціалів приймається рівним нулю Але кількість рівнянь може бути зменшена на Q, якщо скористатися як змінні контурні струми При цьому автоматично виконується перший закон Кірхгофа, так як кожен струм входить у вузол і виходить з нього, тобто сумарний струм, рівний нулю, і, крім того, Q вузлових потенціалу виражаються через контурні струми Загальна кількість рівнянь, а отже, незалежних контурів стає рівним P + Q Q = P Q + Незалежні рівняння можуть бути складені безпосередньо, якщо в якості невідомих прийняти контурні струми Незалежними будуть такі контури, кожен з яких містить хоча б одну гілка, що не входить ні в один з інших контурів рис Для кожного з контурів складаються рівняння згідно з другим законом Кірхгоф а У загальному випадку опір гілки дорівнює i R i C i L де i, =, n, n кількість незалежних контурів Рівняння контурних струмів мають вигляд: I I n I n E; I I n I n E; ni n I nn I n En i, Тут E i сума всіх ЕРС, що входять до i-й контурОпори з однаковими індексами ii називають власними опорами i-го контуру, а опори з різними індексами i взаємними опорами, або опорами зв'язку i-го і -го контурів. i-го 33 Рис Приклад незалежних контурів

8 Рівняння для m-го контуру матиме вигляд: контура, що входить також у -й контур Очевидно, що для пасивного ланцюга справедлива рівність i = i Розглянемо, як видозмінюються рівняння контурних струмів для активних ланцюгів, що містять транзистори, рис mi mi mn I n I i Переносячи другий доданок з правої частини в ліву, перетворимо це рівняння наступним чином: mi mi I i mn I n Em У рівнянні для i-го контуру відповідний член im такого збільшення не набуває Тому тут симетрія матриці опору порушується Замість контурних струмів невідомих використовують також вузлові потенціали, що відраховуються від потенціалу одного з вузлів, що приймається за нульовою. Y що можна переписати так: де Рис Еквівалентна схема транзистора в складному ланцюзі U YU U YnU U n I, Y U Y U Y nu n I, Y Y Y Y n, тобто власна провідність -го вузла, рівна сумі провідностей всіх гілок, з'єднаних з цим вузлом 34

9 Система рівнянь для вузлових потенціалів має вигляд Y U YU Y nu n I; YU YU Y nu n I; Yn U Yn U YnnU n In де Y i провідність зв'язку i-го та -го вузлів: Очевидно, що Y i G i L i Yi Y i C Ця симетрія зникає, якщо ланцюг містить транзистори, лампи або інші активні елементи, еквівалентна схема яких містить залежні джерела струму Розглянемо тепер рішення рівнянь ланцюга Рішення системи рівнянь контурних струмів має вигляд для -го струму: I, де головний визначник системи, той же визначник, у якого стовпець замінений електрорушійними силами з правих частин E, E, E n Припустимо, що в ланцюзі є лише одна ЕРС E, включена в контур вхідний, якому присвоєний перший номер Рівняння при цьому повинні бути складені так, щоб через галузь, що цікавить нас, проходив лише один контурний струм рис 4 Тоді вхідний струм дорівнює I E, де відповідне алгебраїчне доповнення визначника i Рис 4 Ланцюг з ЕРС у вхідному контурі 35

10 Відношення E I називають вхідним опором На відміну від цього опір враховує вплив усіх контурів Для другого вихідного контуру матимемо I 36 E, де відповідне додаток алгебри Ставлення T I E називають опором передачі від першого контуру до другого Аналогічно, з рівнянь вузлових потенціалів можна отримати 5 Рис 5 Ланцюг з джерелом струму на вході "U I" I, Y "Y" і провідність передачі від першого вузла до другого: U "I" I Y T, Y T "" де I струм, що підводиться до першого вузла, U і U напруги, виходять на першому і другому вузлах, "головний визначник системи рівнянь вузлових потенціалів, а" i відповідне додаток алгебри Між і Y існує співвідношення Y Для пасивного ланцюга ми мали = Тому головний визначник системи симетричний Звідси випливає, що і алгебраїчні доповненнярівні: = Отже, рівні і опору передачі T = T Ця властивість носить назву властивості взаємності Умовою взаємності, як ми бачимо, є симетрія матриці опорів. , то ця ж ЕРС, включена у вихідний контур, викличе у вхідному конту-,

11 реток тієї ж величини Коротко цю властивість іноді формулюють так: ЕРС у вхідному контурі і амперметр у вихідному контурі можна поміняти місцями, при цьому показання амперметра не зміниться. 7 U E Рис 7 Коефіцієнт передачі за напругою тоді Як випливає зі схеми на рис 7: U U I н; ; K н E T E; I T U н Аналогічно може бути визначений коефіцієнт передачі струму I K I рис 8: I Звідси I U Yн I ; Y; K н I YT I U Y T I Рис 8 Коефіцієнт передачі струму Yн Y T T 37

12 3 Ще про загальні властивості функцій ланцюга Функції ланцюга це функції змінної, що виходять при розв'язанні рівнянь, наприклад, вхідний опір провідність, опір провідність передачі і тп b b причому коефіцієнти речові Інакше можна подати у вигляді Ф b m n m, " " " де, m, ", ", " n коріння рівнянь m b n m n b m n m, n b b Значення =, m називають нулями функції Ф, а значення = ", ", " n називають полюсами Очевидно, характер залежності параметрів ланцюга від частоти повністю визначається нулями і полюсами функції ланцюга Так як поліноми мають речові коефіцієнти, то при заміні на сполучене значення * поліном набуває сполучене значення * = * і B * = B * Звідси випливає, що якщо поліном їм еет комплексний корінь, то також буде коренем Таким чином, нулі і полюси функції ланцюга можуть бути або речовими, або складають комплексно пов'язані пари. Ф Ф n,

13 Але Ф Ф Ф, Ф Ф Ф Порівнюючи ці рівності з урахуванням рівності, наведеного вище, отримуємо, що Ф Ф, Ф Ф, тобто речовинна частина функції ланцюга парна функція частоти, а уявна непарна функція частоти 3 Стійкість і фізична здійсненність Розглянемо рівність, що визначає струм у вхідному опорі, викликаний напругою U: U I B Нехай U одинична сходинка, а Тоді I, B де B поліноми від Користуючись формулою розкладання, можна отримати i B B де нулі полінома B і, отже, нулі функції опору і нулі головного визначника: = Якщо хоча б один нуль має позитивну речовинну частину, то i буде необмежено зростати Таким чином опір, хоча б один нуль якого знаходиться у правій напівплощині, відповідає нестійкій системі,

14 ме Той самий висновок можна зробити щодо опору передачі T, вхідної провідності Y, провідності передачі Y T Визначення Функція ланцюга називається фізично здійсненною, якщо вона відповідає ланцюгу, що складається з речових елементів, і жодне з власних коливань якої не володіє амплітудою, що необмежено зростає з Вказаний у визначенні ланцюг називають стійкою Нулі головного визначника фізично здійсненної стійкої функції ланцюга і, отже, нулі функцій опору і провідності, повинні розташовуватися тільки в лівій напівплощині змінної або на осі речових частот Якщо два або більше нулів збігаються кратне коріння, то відповідні рішення мають вид: M, де M поліном ступеня m, m кратність кореня Якщо при цьому =, і m >, то відповідне рішення необмежено зростає Таким чином, фізично здійсненна функція ланцюга не повинна мати кратних нулів на осі речових частот. про коефіцієнт е передачі, то все сказане вище відноситься не до нулів, а до полюсів функції ланцюга коефіцієнта передачі Справді: н K Нулі T є полюсами функції K, а опір навантаження н пасивне; його нулі свідомо лежать у правій площині З вище викладеного слід, що фізично реалізовані функції ланцюга мають такі властивості: а нулі і полюси функції ланцюга є або речовими, або складають комплексно-сполучені пари; б речова і уявна частини функції ланцюга є при речових частотах відповідно парну і непарну функції частоти; в нулі головного визначника, а отже, опору провідності та опору провідності передачі не можуть лежати у правій напівплощині, а кратні нулі ні в правій напівплощині, ні на осі речових частот T 4

15 3 Перехідні процеси в підсилювачах Розв'язання системи рівнянь ланцюга дає зображення вихідного сигналу при заданому вхідному U = KE Функція ланцюга в часовій області може бути знайдена за допомогою зворотного перетворення Лапласа u L (KE) Найбільший інтерес представляє перехідний процеспри вхідному сигналі у вигляді сходинки Реакція системи на одиничну сходинку зветься перехідною функцією Знаючи перехідну функцію, можна знайти реакцію системи на вхідний сигнал довільної форми Зображення одиничної сходинки має вигляд, тому реакція системи на одиничну сходинки має вигляд: K h L Зворотне перетворення Лапласа може бути записано у вигляді: h L K K 4 d При цьому >, оскільки шлях інтегрування повинен лежати праворуч від полюса = Великий інтерес представляє визначення Мал. 3: h r K d K r r K r d d r r

16 4 Перейдемо до межі r Тоді маємо d K V K K d K V h Тут вираз V при інтегралі означає головне значення цього інтеграла Отримана формула дозволяє знайти перехідну функцію через частотну характеристикукоефіцієнта посилення На підставі цієї формули можна зробити деякі загальні висновки Замінимо в h змінну на: d K V K h Але h, як випливає з принципу причинності, тому що сигнал з'являється при уявної частин: K = K + K r Підставляючи вираз для h, отримуємо d K K V K r Диференціюючи по, отримаємо d K K r або cos sin cos d K K K K r r

17 Уявна частина підінтегрального виразу непарна функція частоти, тому інтеграл від неї дорівнює нулю Так як речова частина парна функція частоти, то умова, якій повинен задовольняти коефіцієнт передачі, що фізично реалізується, має вигляд: K cos K sin d r при Ця умова, як ми бачили, випливає з принципу причинності Можна показати, що система, коефіцієнт передачі якої може бути записаний у вигляді відношення поліномів K, B стійка в тому сенсі, що всі нулі полінома B лежать у лівій напівплощині, задовольняє принцип причинності Для цього досліджуємо інтеграл K h d при< и >Введемо два замкнуті контури і B, представлені на рис 3 Рис 3 Контури інтегрування: при< ; B при > 43

18 44 Розглянемо функцію, де інтеграл взятий по замкнутому контуру Внаслідок інтегральної теореми Коші інтеграл дорівнює нулю, так як у правій напівплощині підінтегральна функція за умовою аналітична Інтеграл може бути записаний у вигляді суми інтегралів по окремих ділянках контуру R d R R K r d r r K d K d K h Оскільки cos > при /< < /, то при < последний интеграл стремится к нулю при R т е h h при R Отсюда следует что h при < Рассмотрим функцию где интеграл берется по контуру B Здесь R вычеты подынтегральной функции относительно полюсов, лежащих в левой полуплоскости Аналогично предыдущему можно показать, что при >має місце h B h при R Таким чином: R h при >

19 Відрахування щодо простого полюса дорівнює R B" що ми вже мали раніше K lim, 45 lim B Приклад Розглянемо схему інтегруючого ланцюжка, представленої на рис 33 Для цього ланцюга коефіцієнт передачі та його уявна та речовинна частини мають вигляд: K ; K ; K r, де RC Доведемо, що згідно з умовою причинності, наведеною вище, повинна виконуватися рівність звідки і слід рівність, яку потрібно довести Маючи перехідну функцію системи, можна знайти її реакцію на будь-який вхідний сигнал Для цього приблизно представимо вхідний сигнал у вигляді суми одиничних сходів рис

20 Рис 34 Подання вхідного сигналуЦе уявлення можна записати у вигляді: u u u Далі u u " Реакція на одиничну сходинку дорівнюватиме h Тому вихідний сигнал може бути наближено представлений у вигляді: u u h u" h Переходячи до межі при, замість суми отримуємо інтеграл u u h u" h d Це одна з форм інтеграла Дю вроздріб, можна отримати іншу форму інтеграла Дюамеля: u u h u h" d І, нарешті, за допомогою заміни змінної = ", можна отримати ще дві форми інтеграла Дюамеля: u u h u" h d; u u h u h" d 46

21 4 Деякі властивості двополюсних ланцюгів 4 Загальні властивості функції вхідного опору провідності Двополюсники повністю характеризуються функцією вхідного опору провідності Ця функція не може мати нулів у правій напівплощині, а також кратних нулів на осі речових частот Так як Y, то нулі Y відповідають функція вхідного опору провідності не може мати також полюсів у правій півплощині і кратних полюсів на осі речових частот Пасивні двополюсники завжди стійкі, так як не містять джерел енергії Вираз для вхідного опору провідності має вигляд: m b n m n b m має місце така асимптотична рівність: b m mn Так як на осі речових частот не повинно бути кратних нулів і полюсів, то звідси випливає, що m n т е ступеня поліномів чисельника і знаменника не можуть відрізнятися більше, ніж на одиницю Розглядаючи поведінку вб лізі = аналогічним чином можна показати, що найменші показники ступеня чисельника і знаменника не можуть відрізнятися більше, ніж на одиницю. n, 4 Енергетичні функції двополюсника Припустимо, що двополюсник є деяким складним ланцюгом, що містить активні опори, ємності та індук-

22 тивності Якщо до затискачів двополюсника прикладена синусоїдальна напруга, то в двополюснику розсіюється деяка потужність, середнє значення якої P характеризує розсіювання енергії В ємностях і індуктивностях запасається електрична і магнітна енергії, середні значення яких позначимо через W E і W H Обчислимо ці величини Безпосередньо вирази для зазначених вище величин запишемо за аналогією з найпростішими випадками Так, для опору R середня потужність, що розсіюється, дорівнює P R I I Аналогічно для ланцюга, що містить кілька гілок, середня потужністьможе бути виражена через контурні струми: P i R i I i I Середня енергія, запасена в індуктивності, дорівнює W H L I I Для складного ланцюга цю величину виразимо через контурні струми: W H 4 i L i I Середня запасена в ємності енергія дорівнює Але Тому W E W E i 4 I I C 48

23 Виходячи з цього співвідношення, можна записати вираз для сумарної середньої електричної енергії: W E 4 Ii I i Ci З'ясуємо, як ці величини пов'язані з вхідною напругоюі струмами Для цього запишемо рівняння контурних струмів I R I L I E ; C I i R i I Li I; Ci Помножимо кожне з рівнянь на відповідний струм 49 Ii і складемо всі I Ii Ri I Ii Li I Ii EI i i i Ci Якщо R i = R i; L i = L i; C i = C i, тобто ланцюг задовольняє принцип взаємності, і відсутні активні елементи, тоді: i i i R I I P ; i i L I I 4W; i I I i E i Ci H 4 W Підставляючи в отриману вище рівність, отримаємо E * I P 4 WH 4 WE P 4 WH WE Цю рівність записують також у вигляді: E I P W H W E Цю рівність називають теоремою Телледжена, а функції P, W H і W E називають енергетичними функціями

24 Теорема Телледжена дозволяє знайти вирази опору та провідності Y через енергетичні функції: E I E I I I I E E E E E 5 P WH W I I P WH W E E З отриманих для і Y виразів через енергетичні функції можна зробити деякі висновки дорівнює нулю тільки в тому випадку, якщо в ланцюгу відсутні втрати енергії Умови стійкості вимагають, щоб і Y не мали нулів і полюсів у правій півплощині , що якщо функція є аналітичною в деякій області, то її речова і уявна частини досягають свого найменшого і найбільшого значення на межі області. цій області на осі речових частот досягає найменшого значення Але на осі речових частот речова частина невід'ємна, отже, вона позитивна у всій правій півплощині. Функцію, що приймає речові значення при речових і має позитивну речову частину у правій півплощині, називають позитивною речовою функцією. Функції вхідного опору і провідності є позитивними речовими функціями. функція була позитивною речовинною функцією 3 Уявна частина на осі речових частот дорівнює нулю, якщо двополюсник не містить реактивних елементів або середні запаси магнітної та E E ;

25 електричної енергії в двополюснику однакові Це має місце при резонансі; частота, на якій це має місце, називається резонансною Слід зазначити, що при виведенні енергетичних співвідношень для Y була суттєво використана властивість взаємності відсутність залежних джерел Для ланцюгів, що не задовольняють принципу взаємності і містять залежні джерела, ця формула може виявитися неправильною Як приклад на рис 4 показана схема послідовного резонансного контуру Подивимося, що дає в цьому найпростішому випадку енергетична формула Потужність, що розсіюється в опорі R при протіканні струму I, дорівнює P I R Середні запаси електричної та магнітної енергій дорівнюють: W H L I C U ; W E Напруга U на ємності при протіканні струму I дорівнює Звідси W E I U C I C Підставляючи в енергетичну формулу для, отримаємо L I I R I Рис 4 Послідовний резонансний контур I C R L C що і слід очікувати для послідовного контуру Інший приклад наведено на рис 4 Це приклад опору

26 Тут E E C C S I S E R R RC RC C C Нехай, S >> C так що першим доданком у дужках можна знехтувати S крутість лампи Тоді Вхідний опір буде тоді S I E RC E RC I S S RC де Rекв; Lекв S S Рис 4 Електронний опір RC S R екв L екв, Очевидно, що розрахунок вхідного опору за допомогою енергетичних функцій в даному випадку дасть неправильний результат Дійсно в цьому ланцюгу відсутній запас магнітної енергії, який визначає індуктивність Причина непридатності енергетичної формули для цього ланцюга полягає в у схемі залежного джерела Підбираючи в ланцюзі керуючої сіткилампи потрібний зсув фази, можна отримати індуктивний або ємнісний зсув фази між напругою і струмом на вході і, відповідно, індуктивний або ємнісний характер вхідного опору 43 Двополюсники мінімально-активного типу Ми бачили, що речовинна частина вхідного опору або провідності пасивного ланцюга частот Вона може дорівнювати нулю тотожно для будь-яких частот тільки, якщо всі елементи ланцюга не мають втрат, тобто чисто реактивними.

27 Якщо вона не звертається в нуль ніде на уявній осі, то від функції опору чи провідності можна відняти без порушення умов фізичної здійсненності деяку постійну величину так, щоб речовинна частина, залишаючись невід'ємною, звернулася в нуль на деякій частоті. Так як функція опору провідності не має полюсів у правій півплощині змінної, тобто аналітичної в цій галузі, то речова частина її має мінімальне значення на її межі, е на уявній осі. Тому віднімання цього мінімального значення залишає речову частину позитивної у правій півплощині. -активного опору провідності, якщо її речова частина обертається в нуль на осі речових частот, так що зменшення цієї складової неможливо без порушення умов пасивності. то нуль речової частини на осі речових частот має кратність не менше Приклад На рис 43 наведені найпростіші схеми, які ми аналізуємо на предмет мінімально-активного опору провідності R C R R R R R C R а б в г Рис 43 Ланцюги: мінімально-активної провідності а, мінімально-активного опору , в і немінімально-активного типу г На рис 43, а ланцюг має вхідний опір немінімальноактивного типу, так як речова частина опору не звертається в нуль ні при якій речовій частоті У той же час речова частина провідності звертається в нуль при частоті = Отже, ланцюг є ланцюгом мінімально-активної провідності На рис 43 б ланцюг є ланцюгом мінімально-активного опору, так як речовинна частина опору звертається в нуль на нескінченній частоті 53

28 На рис 43, ланцюг є ланцюгом мінімально-активного опору R = на частоті резонансу послідовного контуру На рис 43, г ланцюг є мінімально-активним Відзначимо, що реальний ланцюг може бути мінімально або мінімально-активним, в залежності від ступеня наближення Наприклад, контур в 3-й схемі має кінцевий опір на частоті резонансу 44 Вхідні опори провідності активних двополюсників Рис 44 Двополюсники: а з джерелом ЕРС, б з додаванням опору R такі двополюсники за певних умов можуть бути нестійкими Розглянемо наявні тут можливості Опір має нулі у правій напівплощині змінної, але не має там полюсів Розглянемо ланцюг, показаний на рис 44, а Тут струм I = E/ Якщо має нулі у правій півплощині змінної, то мають місце експоненційно наростаючі рішення, тобто двополюс нік нестійкий при живленні від джерела ЕРС, або, інакше, при короткому замиканні його затискачів З іншого боку, так як не має полюсів у правій напівплощині, то є аналітичною функцією в цій напівплощині. , т е осі речових частот Цей мінімум негативний, тому що в протилежному випадку була б позитивною речовою функцією і не могла б мати нулів у правій півплощині. отже, двополюсник з додаванням опору R буде стійкий при короткому замиканні рис 44, б Двополюсник стійкий і при R, більшому мінімального, зокрема, при R =, тобто при живленні від джерела струму 54

29 Провідність Y має нулі у правій напівплощині, але не має там полюсів Це випадок, зворотний попередньому, оскільки означає, що = /Y має у правій напівплощині полюси, але не має там нулів У цьому випадку стійкість досліджується у схемі з джерелом струму рис 45, а Якщо Y має нулі у правій напівплощині, то двополюсник нестійкий при холостому ході Далі можна застосувати міркування, викладені вище Так як Y не має полюсів у правій напівплощині, то функцію Y можна зробити позитивною речовою функцією шляхом додавання позитивної речовинної провідності G Gмин Таким чином двополюсник, у якого провідність Y має нулі у правій напівплощині, але не має там полюсів, може бути зроблений стійким шляхом додавання досить великої речової провідності рис 45, б Неважко також бачити, що такий двополюсник стійкий при короткому замиканні, коли G = при живленні від джерела напруги 3 Функція має у правій напівплощині нулі та полюси У цьому випадку для вирішення питання про стійкість потрібен особливий розгляд Отже, можна зробити такі висновки: якщо активний двополюсник стійкий при живленні від джерела струму не має полюсів у правій напівплощині, то його можна зробити стійким при живленні від джерела напруги шляхом приєднання послідовно деякого позитивного речовинного опору; якщо активний двополюсник стійкий при живленні від джерела напруги Y не має полюсів у правій напівплощині, то його можна зробити стійким при живленні від джерела струму шляхом приєднання паралельно досить великої речовинної провідності. C I 55 Y б G Рис 45 Двополюсники: а з джерелом струму; б з додаванням провідності Y Y Рис 46 Двополюсник з негативним опором I

30 Як видно, не має нулів у правій напівплощині, тому такий ланцюг стійкий при живленні від джерела напруги. Але він нестійкий на холостому ходу. Додамо послідовно індуктивність , RC 4 RC LC Тому ланцюг нестійкий при живленні від джерела напруги Але має в правій напівплощині також і полюс Спробуємо зробити його стійким, додавши послідовно деякий опір R рис 47 Для цього всі коефіцієнти тричлена в чисельнику повинні бути позитивними: RR C L; R R Ці дві нерівності можуть бути записані у вигляді: L CR R R Очевидно, що такі нерівності можливі, якщо L L R або R RC C Таким чином, приходимо до висновку, що схема, представлена ​​на рис 47, може бути зроблена стійкою шляхом додавання опір- L ня R за умови R Схема на рис 47 є еквівалентною C схемою тунельного діода Тому знайдена умова є умовою 56

31 можливості стабілізації режиму роботи тунельного діода за допомогою зовнішнього опору Приклад Розглянемо LC-контур з паралельно приєднаним негативним опором рис 48 Знайдемо умови стійкості контуру на холостому ходу Для цього обчислимо провідність: Y R R L 57 LC L ое R або R > R o При виконанні зворотної нерівності в контурі збуджуються автоколивання на частоті резонансного контуру 45 Вхідний опір провідність мінімально реактивного типу R Рис 48 Паралельний LC-контур Як ми бачили, речовинна частина вхідного опору провідності пасивного ланцюга може бути зменшена деяких межах без порушення умов пасивності Фізично ця зміна речовинної складової на постійну величину означає приєднання або виключення реального активного опору в ідеалі залежного від частоти Зміна реактивної складової функції опору п роводимості на постійну величину неприпустимо, тому що при цьому порушуються умови фізичної реалізованості непарність уявної складової функції ланцюга Фізично це пояснюється тим, що елементів, що мають суто реактивне опір провідність, що не залежить від частоти, не існує Проте, зміна реактивної складової без зміни активної складової можливо в тому випадку, коли опір провідність має полюси на осі речових частот.

32 Нехай на частотах опір має полюси Тоді можна виділити прості дроби M N B B Неважко бачити, що N N M M N r M B r 58 B * M, M M Розглянемо поведінку одного з дробів, наприклад, M/ поблизу = Тоді M M M r M r M Поблизу частоти речовинна складова змінює знак, що суперечить умовам фізичної реалізованості Тому M r = N r = Тоді M = N Крім того, можна показати, що M = N > Дійсно, покладемо = +, причому > Тоді дріб набуває значення M/, яке має бути більше нуля, так як дріб повинен бути у правій напівплощині речовинною позитивною функцією Отже, M = N > Таким чином, якщо має комплексно-сполучені полюси на осі речових частот, то можна уявити у вигляді: M M, B причому задовольняє умовам фізичної здійсненності, якщо їм задовольняє Дійсно , не має полюсів у правій напівплощині, тому що не має там полюсів. Тому є у правій напівплощині аналітичною функцією. осі речових частот чисто уявні значення Тому й мають однакові речові частини на осі речових частот Виділення першого доданку не впливає на речову частину на осі речових частот Звідси випливає, що також є у правій напівплощині позитивною функцією r

33 Крім того, приймає у правій напівплощині при речових речові значення Отже, є речовинною позитивною функцією M Опір має паралельний резонансний контур без втрат: L C C C, L C LC причому LC і M C Аналогічні міркування можуть бути проведені для функції провідності Y, що має полюси в : M " Y, Y M " де вираз являє собою провідність послідовного резонансного контуру: Y C L L C L Крім полюсів у точках ±, тобто при кінцевих частотах, можливі полюси на нульовій і нескінченних частотах е відповідають ємності або індуктивності Справедливо наступне твердження Вхідний опір провідність пасивного ланцюга продовжує задовольняти умовам фізичної здійсненності, якщо 59

34 відняти від нього реактивний опір провідність, що відповідає полюсам, розташованим на осі речових частот Опір провідність, у якого всі полюси видалені таким способом, називають опір провідністю мінімореактивного типу Слід зазначити, що реально ланцюгів немінімального типу не існує, так як реальні ланцюги не можуть мати полюсів опору і провідності ні за яких речових частот Наявність таких полюсів означало б можливість існування в них вільних коливань без згасання Але в багатьох випадках з гарним наближенням можна знехтувати втратами в реактивних елементах 46 Властивості ланцюгів, складених з суто реактивних елементів Часто буває, що з елементів з малими втратами У цьому випадку впливом втрат іноді можна знехтувати Представляє інтерес з'ясувати властивості ланцюгів без втрат, а також з'ясувати, за яких умов можна знехтувати втратами Припустимо, що всі елементи ланцюга є чисто реактивними Легко показати, що в цьому випадку на осі речових частот опір і провідність Y приймають уявні значення Дійсно, в цьому випадку потужність втрат дорівнює нулю, тому: W I 6 Так як уявна частина опору або провідності є непарна функція ланцюга, то в цьому випадку = Тому і в більш загальному випадку = Умови фізичної здійсненності вимагають, щоб не мало нулів і полюсів у правій напівплощині. полюсів у лівій напівплощині Тому H

35 функції та Y можуть мати нулі та полюси тільки на осі речових частот Фізично це зрозуміло, так як у ланцюгу без втрат вільні коливанняЗвідси випливає, що використовуючи метод виділення полюсів, що лежать на осі речових частот, можна звести функції і Y до наступної форми: Інакше кажучи, двополюсник з опором може бути представлений у вигляді наступної схеми рис 49-ї форми Фостера: ; Рис 49 Перша форма Фостера Відповідно Y може бути представлена ​​у вигляді -й форми Фостера рис 4 Рис 4 Друга форма Фостера Можна показати, що нулі та полюси на осі речових частот повинні чергуватись Справді, так як нулі та полюси на осі речових частот можуть бути тільки простими, то поблизу нуля функція може бути представлена ​​у вигляді M o, де o величина вищого порядку малості порівняно з Поблизу у правій напівплощині речова величина повинна бути позитивною, а це можливо лише, якщо M речова 6

36 величина, причому M > Тому поблизу нуля = уявна складова може змінюватися тільки з позитивною похідною, змінюючи знак з «+» Далі буде показано, що для ланцюга, складеного з чисто реактивних елементів зазначена похідна позитивна для будь-яких частот Тому між двома сусідніми нулями обов'язково повинен бути розрив безперервності, який для ланцюгів із зосередженими елементами може бути тільки полюсом Все сказане відноситься також до провідності Y Нулі називають точками резонансів, полюси точками антирезонансів Отже, резонанси завжди чергуються з антирезонансами , Що як в точках резонансів, так і в точках антирезонансів середні запаси електричної і магнітної енергій рівні один одному Дійсно, в точках резонансів =, тобто W H W E = У точках антирезонансів Y =, отже, W E W H = Покажемо тепер, що у випадку втрат мають місце наступні формули, даю щі залежність опору і провідності від частоти Подаємо опір і провідність у вигляді: X, Y B Тоді: dx WH W d I db WH WE d E Для доказу розглянемо визначення опору E I 6 E; Нехай E = cons Продиференціюємо за частотою: d E di d I d Припустимо, що E речовинна величина Тоді для ланцюга без втрат I чисто уявна величина У цьому випадку d E d I di d I I і

37 Звернемося тепер до системи рівнянь для контурних струмів п 4: I Li I Ei, i, n C Припускаючи, що тільки E, помножимо кожне з рівнянь і складемо всі рівняння: i, i I di i Li I di i E di, i, C i, Далі звернемося до співвідношення, отриманого також у п 4 для ланцюгів без втрат: i, L i I I i i, I I C i i E Диференціюючи за частотою при E = cons, отримаємо: I I I i d Li Якщо у двох останніх сумах поміняти місцями індекси i і, то отримаємо з урахуванням того, що L i = L i і C i = С i: di I di I L di I L di I n i i i i i, i, Ci i, i, Ci E di E di, тому що E за припущенням речова величина З вищевикладеного слід також, що: i, L I i i, IdI i 63

38 Підставляючи в загальну суму, отримаємо: d i, L i I Ii i, I I C i i E di E Скорочуючи ліворуч і праворуч подібні члени, знайдемо: di I Ii E di d Li було знайдено в розділі п 4, так само i, L i I Ii i, Ii I C i 4 W H W E di Підставляючи у вираз для похідної функції опору, отримаємо: d E di WH W d I d I Аналогічно можна довести і другу рівність dy W d E WE З цих формул випливає, що зі зростанням частоти реактивний опір і провідність ланцюга з чисто реактивних елементів може тільки зростати. 4 Нарешті, спробуємо з'ясувати, як впливає наявність малих втрат на опір ланцюга, складеного з реактивних елементів При внесенні втрат з'являється загасання<<, <, где = + -й полюс сопротивления Это означает, что полюсы и нули сопротивления смещаются с оси вещественных частот на малую величину затухания H E 64

39 Згасання може бути різним для різних полюсів Тому доцільно розглянути поведінку функції опору поблизу одного з полюсів.

40 Так як нас цікавлять значення на осі речових частот, то слід замінити на чисельнику можна відкинути, малу в порівнянні з за умовою: Цей вираз можна перетворити наступним чином:, Qx " де; Q ; x ; Величину Q >> називають добротністю, величину x називають відносним розладом Поблизу резонансу Крім того, маємо: Величину C x Q Q ;; 66

41 Поблизу резонансу Im зростає, але при резонансі проходить через нуль з негативною похідною. Речовина Частина R при резонансі має максимум. кажучи, площа під резонансною кривою R не залежить від добротності З ростом добротності ширина кривої зменшується, але зростає висота, так що площа залишається незмінною. Qx >>, речовинна частина швидко зменшується, а уявна частина дорівнює Im x 67, т е змінюється так само, як і у випадку контуру без втрат

42 Отже, залежність від частоти при внесенні малих втрат мало змінюється на частотах, віддалених від резонансної частоти на величину >> Поблизу частоти хід змінюється істотно Полюсу провідності Y, т е провідності послідовного резонансного контуру відповідає співвідношення, аналогічне полюсу: де Q ; gq Y, Qx g характеристична провідність; L x Нулю відповідає полюс провідності Y Поблизу нуля, отже, опір може бути представлений на осі речових частот так: Qx x, Y gq Q де = / g Таким чином, поблизу нуля внесення малих втрат позначається в появі в опорі малої речовинної складової Уявна складова змінюється поблизу нуля так само, як і раніше 68

43 5 Чотириполюсники 5 Основні рівняння чотириполюсника Чотириполюсники це ланцюг, що має дві пари затискачів: вхід, до якого приєднується джерело сигналу, і вихід, до якого приєднується навантаження рис 5 За відомою величиною вхідного сигналу E можна знайти струм I в навантаженні: E Опір передачі За цих умов опір джерела сигналу н і опір навантаження н входять в T При їх зміні змінюється і T Бажано мати рівняння та параметри, що характеризують власне чотириполюсник У силу лінійності чотириполюсника загальні співвідношення, що зв'язують напруги та струми на його затискачах, мають вигляд: U U I Коефіцієнт є величину, зворотну провідності передачі при холостому ході на вихідній парі затискачів: 69 I I ; Рис 5 Включення чотириполюсника I Тут U і U напруги на вхідних і вихідних затискачах, I і I струми, що протікають через вхідні та вихідні затискачі у бік чотириполюсника см рис 5 Коефіцієнти системи рівнянь, що зв'язують напруги та струми, мають простий сенс Величина це коефіцієнт пропорційності між I і U при струмі на вихідних затискачах I =, тобто при холостому ході на вихідних затискачах; Інакше кажучи, це вхідний опір при холостому ході на виході = х. Аналогічно, це вхідний опір з боку вихідних затискачів при холостому ході на першій парі затискачів = х. струмі вхідних затискачів U та I Y T х Y T х

44 I U; Y T х Y T х Зауважимо, що для пасивного чотириполюсника обидві провідності передачі рівні один одному внаслідок принципу взаємності Тому = = /Y Tх Система рівнянь, наведена вище, може бути записана у вигляді: I U х I ; YT х I U х I YT х Таким чином, чотириполюсник характеризується матрицею, що містить три незалежні параметри так як = За допомогою записаної системи рівнянь можна знайти вхідний опір, коли на виході включено опір навантаження При цьому на виході напруга і струм пов'язані співвідношенням U = н I, оскільки струм у цьому випадку спрямований з чотириполюсника, т е у зворотному напрямку порівняно з прийнятим вище Підставляючи U у друге рівняння, отримаємо звідки I, I н I х I YTх I Y х Tх Підставляючи I у перше рівняння, отримаємо U I х Звідси знаходимо вхідний опір вх н х U х I Y За аналогією можна записати також вираз для вихідного опору, помінявши місцями індекси і: T х н х 7

45 вих х Y T х н х 5 Характеристичні параметри чотириполюсника Значний інтерес представляє випадок, коли генератор і навантаження одночасно узгоджені, т е при н = c і н = c має місце співвідношення вх = c і вих = c Підставляючи вирази для вх і вих , Отримаємо рівняння, що дозволяють знайти c і c: c c х х Y T х Y T х 7 c c Ця система вирішується наступним чином З першого рівняння знаходимо: звідки c c х х; х, Y Tх c х х Y T х Прирівнюючи c з другого рівняння, маємо х Y Tх Вирішуючи це рівняння, знайдемо c і, витягуючи корінь, знайдемо Аналогічно цьому c х х c Y Tх х c х х х х х кз YT х, х YTх х c х кз c х кз х

46 Зауважимо, що кз і кз це вхідні опори з боку відповідно першої і другої пари затискачів при короткому замиканні на іншій парі затискачів. При будь-якому числі включених таким чином чотириполюсників узгодження зберігається в будь-якому перерізі В якості третього характеристичного параметра чотириполюсника часто використовують характеристичний коефіцієнт передачі g ln U U ln rg I U I 7 U I при включенні чотириполюсника на узгоджене навантаження, т е на характеристичний опір При цьому Тому U c I ; U I c I c ln I c U c g ln U Речовинну частину характеристичного коефіцієнта передачі для речових частот називають характеристичним загасанням, а уявну частину називають характеристичною фазовою постійною Якщо чотириполюсник симетричний, то c = c = c У цьому випадку I U g ln ln отримати також співвідношення: I g I; U c g U U U I I

47 Характеристичний коефіцієнт передачі зручний тим, що при узгодженому каскадному включенні чотириполюсників результуючий коефіцієнт передачі дорівнює сумі коефіцієнтів передачі окремих чотириполюсників Характеристичний коефіцієнт передачі може бути знайдений з співвідношень: Так, для дослідження характеристичного коефіцієнта g залежно від частоти необхідно навантажити чотириполюсник на характеристичний опір, що також залежить від частоти Найбільший інтерес представляє підключення чотириполюсника до постійного речового навантаження R при суто активному опорі генератора R рис 53 У цьому випадку передачу визначають за допомогою робочого коефіцієнта передачі U I ln, U I де U "і I" напружений ие і струм, які генератор здатний розвинути на опорі, рівному внутрішньому опору генератора, т е: E U, I E, R 73 E U I, 4R U і I напруга і струм навантаження отримуємо 4R E R I ln E R R T I R R Рис 53 Включення чотириполюсника на активні навантаження ln T R R

48 Розмір функція комплексної змінної Для речових частот = : = + B, де робоче загасання, B фазова постійна Робоче загасання дорівнює ln T R R 74 ln P P mx, тому що P mx максимальна потужність, яку генератор може віддати на вхід чотириполюсника, а P потужність, виділяється на навантаженні R P mx E P I R 4R Покажемо, що речовинна позитивна функція Дійсно, так як T не має нулів у правій напівплощині, то функція аналітична у правій напівплощині Отже, пропорційна їй також аналітична функція на правій напівплощині аналітичності, в даному випадку на осі речових частот Зворотна величина досягає на цій осі найменшого значення Для пасивного чотириполюсника на осі речових частот, отже R > у всій правій напівплощині Далі T ln 4R R Функція T приватна від поділу двох поліномів з речовими коефіцієнтами, і T приймає речові позитивні Таким чином, можна зробити висновок, що речовинна позитивна функція Завдання синтезу чотириполюсника із заданим робочим коефіцієнтом передачі в загальному випадку найкраще вирішувати за допомогою так званого схрещеного чотириполюсника, що має за певних умов T

4.11. Властивості перетворення Лапласа. 1) Взаємно-однозначна відповідність: s(S ˆ(2) Лінійність перетворення Лапласа: s ˆ () ˆ 1(s2(S1 S2(, а також 3)) Аналітичність S ˆ() : якщо s(задовольняє)

4 Лекція 5 АНАЛІЗ ДИНАМІЧНИХ ЛАНЦЮГІВ План Рівняння стану електричних ланцюгів Алгоритм формування рівнянь стану 3 Приклади складання рівнянь стану 4 Висновки Рівняння стану електричних

4.. Властивості перетворення Лапласа.) Взаємно-однозначна відповідність: S ˆ() 2) Лінійність перетворення Лапласа: s (s () ˆ () ˆ 2 S S2(), а також 3) Аналітичність S ˆ() : якщо задовольняє умові

64 Лекція 6 ОПЕРАТОРНИЙ МЕТОД АНАЛІЗУ ЕЛЕКТРИЧНИХ ЛАНЦЮГІВ План Перетворення Лапласа Властивості перетворення Лапласа 3 Операторний метод аналізу електричних ланцюгів 4 Визначення оригіналу за відомим

2.2. Операторний метод розрахунку перехідних процесів. Теоретичні відомості. Розрахунок перехідних процесів у складних ланцюгах класичним методом часто утруднений знаходженням постійних інтегрування.

70 Лекція 7 ОПЕРАТОРНІ ФУНКЦІЇ ЛАНЦЮГІВ План Операторні вхідні та передавальні функції Полюси та нулі функцій ланцюгів 3 Висновки Операторні вхідні та передавальні функції Операторною функцією ланцюга називають

Синусоїдальний струм «на долоні» Більшість електричної енергії виробляється у вигляді ЕРС, що змінюється в часі за законом гармонійної (синусоїдальної) функції. Джерелами гармонійної ЕРС є

4 Лекція РЕЗОНАНС ЧАСТОТНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЕЛЕКТРИЧНИХ ЛАНЦЮГІВ Резонанс та його значення в радіоелектроніці Комплексні передавальні функції 3 Логарифмічні частотні характеристики 4 Висновки Резонанс та

Перехідні процеси "на долоні". Вам вже відомі методи розрахунку ланцюга, що знаходиться в режимі, тобто в такому, коли струми, як і падіння напруг на окремих елементах, незмінні в часі.

Резонанс "на долоні". Резонансом називається режим пасивного двополюсника, що містить індуктивні та ємнісні елементи, при якому його реактивний опір дорівнює нулю. Умова виникнення резонансу

Вимушені електричні коливання. Розглянемо електричні коливання, що виникають у тому випадку, коли в ланцюзі є генератор, електрорушійна сила якого змінюється періодично.

Розділ 3 Змінний струм Теоретичні відомості Більшість електричної енергії виробляється у вигляді ЕРС, що змінюється в часі за законом гармонійної (синусоїдальної) функції.

Лекція 3. Відрахування. Основна теорема про відрахування Відрахуванням функції f() в ізольованій особливій точці а називається комплексне число, що дорівнює значенню інтеграла f() 2 взятого в позитивному напрямку i по колу

Електромагнітні коливання Квазистаціонарні струми Процеси в коливальному контурі Коливальний контур ланцюг складається з послідовно котушки індуктивності, конденсатора ємності С і резистора.

1 5 Електричні коливання 51 Коливальний контур Коливаннями у фізиці називають не тільки періодичні рухи тіл але й всякий періодичний або майже періодичний процес у якому значення тієї чи

Пасивні ланцюги Введення У задачах розглядаються питання розрахунку амплітудно-частотних, фазочастотних та перехідних характеристик у пасивних - ланцюгах. Для розрахунку названих характеристик необхідно знати

ВИВЧЕННЯ ВІЛЬНИХ І ВИМУЖЕНИХ КОЛИВАННЯ В КОЛИВАЛЬНОМУ КОНТУРІ Вільні електричні коливання в коливальному контурі Розглянемо коливальний контур, що складається з послідовно з'єднаних ємностей

Лекція 3 Тема Коливальні системи Послідовний коливальний контур. Резонанс напруги Послідовним коливальним контуром називають такий ланцюг, в якому котушка і конденсатор з'єднані послідовно.

Московський державний університет ім. М. В. Ломоносова Фізичний факультет Кафедра загальної фізики Лабораторний пр а к т і к у м по щ ф і з і к е (електрика і магнетизм) Козлов

Матеріали для самостійної підготовки з дисципліни «Теорія електричних кіл» для студентів спеціальностей: -6 4 з «Промислова електроніка» (частина), -9 з «Моделювання та комп'ютерне проектування

Метод комплексних амплітуд Гармонічні коливання напруги на затискачах елементів R або викликає перебіг гармонійного струму такої самої частоти. Диференціювання інтегрування та складання функцій

Додаток 4 Вимушені електричні коливання Змінний струм Наведені нижче теоретичні відомості можуть бути корисними при підготовці до лабораторних робіт 6, 7, 8 у лабораторії "Електрика та магнетизм"

54 Лекція 5 ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'Є ТА СПЕКТРАЛЬНИЙ МЕТОД АНАЛІЗУ ЕЛЕКТРИЧНО-ЛАНСЬКИХ ЛАНЦЮГІВ План Спектри аперіодичних функцій та перетворення Фур'є Деякі властивості перетворення Фур'є 3 Спектральний метод

Іспит Резонанс напруг (продовження) i i K = K = ω = = ω => r + iω + r + i ω iω r + ω K = ω r + ω Знаменник мінімальний на частоті ω 0, такий що ω0 = 0 => ω0 ω 0= ця частота називається резонансною

Глава 2. Методи розрахунку перехідних процесів. 2.1. Класичний метод розрахунків. Теоретичні відомості. У першому розділі були розглянуті методи розрахунку ланцюга, що знаходиться в режимі, тобто

Ястребов НІ КПІ РТФ каф ТОР wwwystrevkievu Схемні функції Апарат схемних функцій застосуємо як для аналізу ланцюгів на постійному і гармонійному струмі так і при довільному вигляді впливу

4.9. Перехідна характеристика ланцюга, його зв'язок із імпульсною характеристикою. Розглянемо функцію K j K j j > S j j K j S 2 Припустимо, що K jω має Фур'є-образом h K j Якщо існує ЇХ k K j, то

Лекція 9 Лінеаризація диффе6ренціальних рівнянь Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків Однорідні рівняння властивості їх розв'язків Властивості розв'язків неоднорідних рівнянь Визначення 9 Лінійним

Методична розробка Розв'язання задач по ТФКП Комплексні числа Операції над комплексними числами Комплексна площина Комплексне число можна представити в алгебраїчній та тригонометричній експоненціальній

Зміст ВСТУП РОЗДІЛ КЛАСИЧНИЙ МЕТОД РОЗРАХУНКУ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ Розділ РОЗРАХУНОК ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ ПРИ ДОВІЛЬНИХ ВХІДНИХ ВПЛИВАХ З ВИКОРИСТАННЯМ ІНТЕГРОПРОГРАМИ ІНТЕГРОВ

4 ЕЛЕКТРОМАГНІТНІ КОЛИВАННЯ І ХВИЛИ Коливальним контуром називають електричний ланцюг складений з конденсаторів і котушок, в якому можливий коливальний процес перезаряджання конденсаторів.

3.5. Складний паралельний коливальний контур I Контур, у якого хоча б одна паралельна гілка містить реактивність обох знаків. I З З I I Магнітний зв'язок між і відсутній. Умова резонансу

лекція N38. Поведінка аналітичної функції у нескінченності. Особливі точки. Відрахування функції.

4 Лекція 3 ЧАСТОТНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЕЛЕКТРИЧНИХ ЛАНЦЮГІВ Комплексні передавальні функції Логарифмічні частотні характеристики 3 Висновок Комплексні передавальні функції (комплексні частотні характеристики)

Коливання. Лекція 3 Генератор змінного струму Для пояснення принципу дії генератора змінного струму розглянемо спочатку, що відбувається при обертанні плоского витка дроту в однорідному магнітному

ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ Загальні поняття Диференціальні рівняння мають численні та найрізноманітніші додатки у механіці фізики астрономії техніці та інших розділах вищої математики (наприклад

Розрахунок джерела гармонічних коливань (ІГК) Подати вихідну схему ІГК щодо первинної обмотки трансформатора еквівалентним джерелом напруги Визначити його параметри (ЕРС та внутрішнє)

Робота 11 Вивчення вимушених коливань і явища резонансу в коливальній контурі У ланцюгу, що містить котушку індуктивності і конденсатор, можуть виникати електричні коливання. В роботі вивчаються

Тема 4.. Ланцюги змінного струму Питання теми.. Ланцюг змінного струму з індуктивністю.. Ланцюг змінного струму з індуктивністю та активним опором. 3. Ланцюг змінного струму з ємністю. 4. Ланцюг змінного

4 Лекція АНАЛІЗ РЕЗИСТИВНИХ ЛАНЦЮГІВ План Завдання аналізу електричних ланцюгів Закони Кірхгофа Приклади аналізу резистивних ланцюгів 3 Еквівалентні перетворення ділянки ланцюга 4 Висновки Завдання аналізу електричних

Варіант 708 В електричному ланцюзі діє джерело синусоїдальної ЕРС e(ωt) sin(ωt ψ). Схема ланцюга наведені на рис.

Вихідні дані R1=10 Ом R2=8 Ом R3=15 Ом R4=5 Ом R5=4 Ом R6=2 Ом Е1=10 Е2=15 Е3=20 В Закони Киргофа (постійна напруга) 1. Шукаємо вузли Вузол точка , в якій з'єднуються три (або більше) провідники

ЛЕКЦІЯ КОЛИВАННЯ. Вимушені коливання Рис.. Джерело коливань M athcale запитує послідовний коливальний контур, що складається з опору R, котушки індуктивності L та конденсатора ємністю

Іспит Резонанс напруг (продовження) Вважатимемо, що напруга на одязі схеми це напруга на всьому коливальному контурі, а напруга на виході схеми ця напруга на конденсаторі Тоді Амплітуда

Осінній семестр навчального року Тема 3 ГАРМОНІЧНИЙ АНАЛІЗ НЕПЕРІОДИЧНИХ СИГНАЛІВ Пряме та зворотне перетворення Фур'є Спектральна характеристика сигналу Амплітудно-частотний та фазо-частотний спектри

Лекція 6. Класифікація точок спокою лінійної системи двох рівнянь із постійними дійсними коефіцієнтами. Розглянемо систему двох лінійних диференціальних рівнянь із постійними дійсними

54 Лекція 5 ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'Є І СПЕКТРАЛЬНИЙ МЕТОД АНАЛІЗУ ЕЛЕКТРИЧНИХ ЛАНЦЮГІВ План Спектри аперіодичних функцій і перетворення Фур'є 2 Деякі властивості перетворення Фур'є 3 Спектральний метод

Тема: Закони змінного струму Електричним струмом називається впорядкований рух заряджених частинок або макроскопічних тіл Змінним називається струм, який з часом змінює свою величину

Іспит Комплексний опір імпеданс Імпеданс або комплексний опір за визначенням дорівнює відношенню комплексної напруги до комплексного струму: Z ɶ Зауважимо, що імпеданс також дорівнює відношенню

Зміст Вступ. Основні поняття.... 4 1. Інтегральні рівняння Вольтерри... 5 Варіанти домашніх завдань.... 8 2. Резольвента інтегрального рівняння Вольтерри. 10 Варіанти домашніх завдань.... 11

Розділ II Інтеграли Первоподібна функція та її властивості Функція F() називається первісної безперервної функції f() на інтервалі a b, якщо F() f(), a; b (;) Наприклад, для функції f() первісними

Класичний метод Рис.1- вихідна схема електричного ланцюга Параметри ланцюга: E = 129 (В) w = 10000 (рад/с) R1 = 73 (Ом) R2 = 29 (Ом) R3 = 27 (Ом) L = 21 (мгн) C = 0.97 (мкф) Реактивний опір індуктивності:

Методи розрахунку складних лінійних електричних ланцюгів Основа: можливість складання та розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри - складених або для ланцюга постійного струму, або після символізації

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ. Інтегральні суми та певний інтеграл Нехай дана функція y = f(), визначена на відрізку [, b], де< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

8 Лекція 7 ОПЕРАТОРНІ ФУНКЦІЇ ЛАНЦЮГІВ Операторні вхідні та передавальні функції Полюси та нулі функцій ланцюгів 3 Висновки Операторні вхідні та передавальні функції Операторною функцією ланцюга називають відношення

68 Лекція 7 ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ У ЛАНЦЮГАХ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ План 1 Перехідні процеси в RC-ланцюгах першого порядку 2 Перехідні процеси в R-ланцюгах першого порядку 3 Приклади розрахунку перехідних процесів у ланцюгах

4 ЛІНІЙНІ ЕЛЕКТРИЧНІ ЛАНЦЮГИ ЗМІННОГО СИНУСОДІЙНОГО СТРУМУ І МЕТОДИ ЇХ РОЗРАХУНКУ 4.1 ЕЛЕКТРИЧНІ МАШИНИ. ПРИНЦИП ГЕНЕРУВАННЯ СИНУСІЙНОГО СТРУМУ 4.1.012. Синусоїдальним називається струм, миттєве

Федеральне агентство з освіти Державна освітня установа вищої професійної освіти «КУБАНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ» Фізико-технічний факультет Кафедра оптоелектроніки

~ ~ ФКП Похідна функції комплексного змінного ФКП умови Коші - Рімана поняття регулярності ФКП Зображення та вид комплексного числа Вид ФКП: де дійсна функція двох змінних дійсна

Так називається ще один вид інтегральних перетворень, який поряд із перетворенням Фур'є широко використовується в радіотехніці для вирішення найрізноманітніших завдань, пов'язаних із вивченням сигналів.

Концепція комплексної частоти.

Спектральні методи, як відомо, засновані на тому, що досліджуваний сигнал представляється у вигляді суми необмежено великої кількості елементарних доданків, кожне з яких періодично змінюється в часі за законом.

Природне узагальнення цього принципу полягає в тому, що замість комплексних експоненційних сигналів з чисто уявними показниками вводять на розгляд експоненційні сигнали виду, де - Комплексне число: назва комплексної частоти.

З двох таких комплексних сигналів можна скласти речовий сигнал, наприклад, за таким правилом:

де – комплексно-сполучена величина.

Дійсно, при цьому

Залежно від вибору речової та уявної частин комплексної частоти можна отримати різноманітні речові сигнали. Так, якщо , але виходять звичайні гармонійні коливання виду Якщо ж то в залежності від знака виходять або наростаючі, або експоненційні коливання, що убувають у часі. Більш складну форму такі сигнали набувають, коли . Тут множник описує огинаючу, яка експоненційно змінюється у часі. Деякі типові сигнали зображені на рис. 2.10.

Поняття комплексної частоти виявляється дуже корисним передусім тому, що це дає можливість, не вдаючись до узагальнених функцій, отримувати спектральні уявлення сигналів, математичні моделі яких не інтегруються.

Мал. 2.10. Речові сигнали, що відповідають різним значенням комплексної частоти

Істотно та інше міркування: експоненційні сигнали виду (2.53) служать «природним» засобом дослідження коливань у різноманітних лінійних системах. Ці питання будуть вивчені в гол. 8.

Слід звернути увагу на те, що справжня фізична частота служить уявною частиною комплексної частоти. Для речової частини комплексної частоти спеціального терміна немає.

Основні співвідношення.

Нехай - деякий сигнал, речовий або комплексний, визначений при t > 0 і рівний нулю за негативних значень часу. Перетворення Лапласа цього сигналу є функція комплексної змінної, що задається інтегралом:

Сигнал називається оригіналом, а функція - його зображення за Лапласом (для стислості, просто зображенням).

Умова, яка забезпечує існування інтеграла (2.54), полягає в наступному: сигнал повинен мати не більше ніж експоненційний ступінь зростання при т. е. повинен задовольняти нерівності де - позитивні числа.

При виконанні цієї нерівності функція існує в тому сенсі, що інтеграл (2.54) абсолютно сходиться для всіх комплексних чисел, у яких Число називають абсцисою абсолютної збіжності.

Змінна в основній формулі (2.54) може бути ототожнена з комплексною частотою.

Подібно до того, як це робиться в теорії перетворення Фур'є, можна, знаючи зображення, відновити оригінал. Для цього у формулі зворотного перетворення Фур'є

слід виконати аналітичне продовження, перейшовши від уявної змінної до комплексного аргументу. Оскільки при диференціалі, формула зворотного перетворення Лапласа набуває вигляду

Теоретично функцій комплексного змінного доведено, що зображення по Лапласу мають «хорошими» властивостями з погляду гладкості: такі зображення переважають у всіх точках комплексної площині , крім лічильного безлічі про особливих точок, є аналітичними функціями. Особливі точки, як правило, - полюси, одноразові чи багаторазові. Тож обчислення інтегралів виду (2.55) можна використовувати гнучкі методи теорії відрахувань.

Насправді широко застосовуються таблиці перетворень Лапласа, у яких зібрані відомості про відповідність між оригіналами. та зображеннями. Наявність таблиць зробило метод перетворення Лапласа популярним як і теоретичних дослідженнях, і у інженерних розрахунках радіотехнічних пристроїв і систем. У Додатках є така таблиця, що дозволяє вирішувати досить широке коло завдань.

Приклади обчислення перетворення Лапласа.

У способах обчислення зображень є багато спільного з тим, що вже вивчалося стосовно перетворення Фур'є. Розглянемо найхарактерніші випадки.

Приклад 2.4 Зображення узагальненого експоненційного імпульсу.

Нехай де - фіксоване комплексне число. Наявність -функції обумовлює рівність при скориставшись формулою (2.54), маємо

Якщо то чисельник перетвориться на нуль при підстановці верхньої межі. В результаті отримуємо відповідність

Як окремий випадок формули (2.56), можна знайти зображення речовинного експоненційного відеоімпульсу:

та комплексного експоненційного сигналу:

Нарешті, поклавши в (2.57), знаходимо зображення функції Хевісайду:

приклад 2.5. Зображення дельта функції.

Перетворення Лапласа- Інтегральне перетворення, що пов'язує функцію F(s) (\displaystyle \F(s))комплексного змінного ( зображення) з функцією f (x) (\displaystyle \ f(x))речового змінного ( оригінал). З його допомогою досліджуються властивості динамічних системі вирішуються диференціальніі інтегральні рівняння.

Однією з особливостей перетворення Лапласа, які визначили його широке поширення в наукових та інженерних розрахунках, є те, що багатьом співвідношенням та операціям над оригіналами відповідають простіші співвідношення над їхніми зображеннями. Так, згортка двох функцій зводиться у просторі зображень до операції множення, а лінійні диференціальні рівняння стають алгебраїчними.

Енциклопедичний YouTube

1 / 5

✪ Перетворення Лапласа - bezbotvy

✪ Лекція 10: Перетворення Лапласу

✪ Вища математика - 4. Перетворення Лапласа. Частина 1

✪ Метод Лапласа рішення ДК

✪ Лекція 11: Застосування перетворення Лапласа до розв'язання диференціальних рівнянь

Субтитри

Визначення

Пряме перетворення Лапласа

lim b → ∞ ∫ 0 b | f(x) | e − σ 0 x d x = ∫ 0 ∞ | f(x) | e − σ 0 x d x , (\displaystyle \lim _(b\to \infty )\int \limits _(0)^(b)|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\ ,dx=\int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\,dx,)

то він сходиться абсолютно і рівномірно для і - аналітична функціяпри σ ⩾ σ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(0)) (σ = R e s (\displaystyle \sigma =\mathrm (Re) \,s)- речова частина комплексної змінної s (\displaystyle s)). Точна нижня грань σ a (\displaystyle \sigma _(a))безлічі чисел σ (\displaystyle \sigma ), за яких ця умова виконується, називається абсцисоюабсолютної збіжностіперетворення Лапласа для функції.

• Умови існування прямого перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа L ( f (x) ) (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(x)\))існує в сенсі абсолютної збіжності у таких випадках:

1. σ ⩾ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant 0): перетворення Лапласа існує, якщо існує інтеграл ∫ 0 ∞ | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|\,dx);
2. σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)): перетворення Лапласа існує, якщо інтеграл ∫ 0 x 1 | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(x_(1))|f(x)|\,dx)існує для кожного кінцевого x 1 > 0 (\displaystyle x_(1)>0)і | f(x) | ⩽ K e σ a x (\displaystyle |f(x)|\leqslant Ke^(\sigma _(a)x))для x > x 2 ⩾ 0 (\displaystyle x>x_(2)\geqslant 0);
3. σ > 0 (\displaystyle \sigma >0)або σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a))(яка з кордонів більша): перетворення Лапласа існує, якщо існує перетворення Лапласа для функції f ′ (x) (\displaystyle f"(x)) (похіднавід f(x) (\displaystyle f(x))) для σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)).

Примітка

• Умови існування зворотного перетворення Лапласа

Для існування зворотного перетворення Лапласа достатньо виконання таких умов:

1. Якщо зображення F(s) (\displaystyle F(s)) - аналітична функціядля σ ⩾ σ a (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(a))і має порядок менше -1, то зворотне перетворення для неї існує і безперервно для всіх значень аргументу, причому L − 1 ( F (s) ) = 0 (\displaystyle (\mathcal (L))^(-1)\(F(s)\)=0)для t ⩽ 0 (\displaystyle t\leqslant 0).
2. Нехай F (s) = φ [ F 1 (s) , F 2 (s) , … , F n (s) ] (\displaystyle F(s)=\varphi ), так що φ (z 1 , z 2 , … , z n) (\displaystyle \varphi (z_(1),\;z_(2),\;\ldots ,\;z_(n)))аналітична щодо кожного z k (\displaystyle z_(k))і дорівнює нулю для z 1 = z 2 = … = z n = 0 (\displaystyle z_(1)=z_(2)=\ldots =z_(n)=0), і F k (s) = L (f k (x)) (σ > σ a k: k = 1, 2, …, n) (\displaystyle F_(k)(s)=(\mathcal(L))\(f_ (k)(x)\)\;\;(\sigma >\sigma _(ak)\colon k = 1, 2, ;тоді зворотне перетворення існує і відповідне пряме перетворення має абсцису абсолютної збіжності.

Примітка: це достатні умови існування

• Теорема про згортку

Основна стаття: Теорема про згортку

• Диференціювання та інтегрування оригіналу

Зображенням за Лапласом першою похідною від оригіналу за аргументом є добуток зображення на аргумент останнього за вирахуванням оригіналу в нулі праворуч:

L(f′(x)) = s⋅F(s)−f(0+). (\displaystyle (\mathcal (L))\(f"(x)\)=s\cdot F(s)-f(0^(+)).)

Теореми про початкове і кінцеве значення (граничні теореми):

f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\displaystyle f(\infty)=\lim _(s\to 0)sF(s))якщо всі полюси функції s F(s) (\displaystyle sF(s))знаходяться у лівій напівплощині.

Теорема про кінцеве значення дуже корисна, оскільки описує поведінку оригіналу на нескінченності за допомогою простого співвідношення. Це, наприклад, використовується для аналізу стійкостітраєкторії динамічної системи.

• Інші властивості

Лінійність:

L (a f (x) + b g (x)) = a F (s) + b G (s). (\displaystyle (\mathcal (L))\(af(x)+bg(x)\)=aF(s)+bG(s).)

Множення на число:

L (f (a x)) = 1 a F (s a). (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(ax)\)=(\frac (1)(a))F\left((\frac (s)(a))\right).)

Пряме та зворотне перетворення Лапласа деяких функцій

Нижче наведено таблицю перетворення Лапласа для деяких функцій.

№	Функція	Тимчасова область x (t) = L − 1 ( X (s) ) (\displaystyle x(t)=(\mathcal (L))^(-1)\(X(s)\))	Частотна область X (s) = L (x (t)) (\displaystyle X(s)=(\mathcal(L))\(x(t)\))	Область збіжності для причиннихсистем
1	ідеальне запізнення	δ (t − τ) (\displaystyle \delta (t-\tau)\ )	e − τ s (\displaystyle e^(-\tau s)\ )
1a	одиничний імпульс	δ (t) (\displaystyle \delta (t)\ )	1 (\displaystyle 1\ )	∀ s (\displaystyle \forall s\ )
2	запізнення n (\displaystyle n)	(t − τ) n n ! e − α (t − τ) ⋅ H (t − τ) (\displaystyle (\frac ((t-\tau)^(n))(n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !}	e − τ s (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))((s+\alpha)^(n+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2a	статечна n (\displaystyle n)-го порядку	t n n! ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n)))(n}\cdot H(t)} !}	1 s n + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(n+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2a.1	статечна q (\displaystyle q)-го порядку	t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(q))(\Gamma (q+1)))\cdot H(t))	1 s q + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(q+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2a.2	одинична функція	H(t) (\displaystyle H(t)\)	1 s (\displaystyle (\frac (1)(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2b	одинична функція із запізненням	H (t − τ) (\displaystyle H(t-\tau)\ )	e − s s (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2c	«сходинка швидкості»	t ⋅ H (t) (\displaystyle t\cdot H(t)\ )	1 s 2 (\displaystyle (\frac (1)(s^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2d	n (\displaystyle n)-го порядку із частотним зрушенням	t n n! e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n)))(n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !}	1 (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (1)((s+\alpha)^(n+1))))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha )
2d.1	експоненційне згасання	e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cdot H(t)\ )	1 s + α (\displaystyle (\frac (1)(s+\alpha )))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
3	експоненційне наближення	(1 − e − α t) ⋅ H (t) (\displaystyle (1-e^(-\alpha t))\cdot H(t)\ )	α s (s + α) (\displaystyle (\frac (\alpha)(s(s+\alpha)))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
4	синус	sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \sin(\omega t)\cdot H(t)\ )	ω s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )(s^(2)+\omega ^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
5	косинус	cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \cos(\omega t)\cdot H(t)\ )	s s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)+\omega ^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
6	гіперболічний синус	s h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (sh) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ )	α s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (\alpha)(s^(2)-\alpha ^(2))))	s > | α | (\displaystyle s>|\alpha |\ )
7	гіперболічний косинус	c h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (ch) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ )	s s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)-\alpha ^(2)))))	s > | α | (\displaystyle s>|\alpha |\ )
8	експоненційно загасаючий синус	e − α t sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\sin(\omega t)\cdot H(t)\ )	ω (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2))))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
9	експоненційно загасаючий косинус	e − α t cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cos(\omega t)\cdot H(t)\ )	s + α (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s+\alpha)((s+\alpha)^(2)+omega ^(2)))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
10	корінь n (\displaystyle n)-го порядку	t n ⋅ H (t) (\displaystyle (\sqrt[(n)](t))\cdot H(t))	s − (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\displaystyle s^(-(n+1)/n)\cdot \Gamma \left(1+(\frac (1)(n)) )\right))	s > 0 (\displaystyle s>0)
11	натуральний логарифм	ln ⁡ (t t 0) ⋅ H (t) (\displaystyle \ln \left((\frac(t)(t_(0)))\right)\cdot H(t))	− t 0 s [ ln ⁡ (t 0 s) + γ ] (\displaystyle -(\frac (t_(0))(s))[\ln(t_(0)s)+\gamma ])	s > 0 (\displaystyle s>0)
12	функція Бесселя першого роду порядку n (\displaystyle n)	J n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle J_(n)(\omega t)\cdot H(t))	? ))\right)^(-n))(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2)))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ ) (n > − 1) (\displaystyle (n>-1)\ )
13	першого роду порядку n (\displaystyle n)	I n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle I_(n)(\omega t)\cdot H(t))	n (s + s 2 − ω 2) − n s 2 − ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2))-\omega ^(2)) ))\right)^(-n))(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2)))))	s > | ω | (\displaystyle s>|\omega |\ )
14	функція Бесселя другого роду нульового порядку	Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle Y_(0)(\alpha t)\cdot H(t)\ )	− 2 a r s h (s / α) π s 2 + α 2 (\displaystyle -(\frac (2\mathrm (arsh) (s/\alpha)))(\pi (\sqrt (s^(2)+\alpha) ^(2)))))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
15	модифікована функція Бесселя другого роду, нульового порядку	K 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle K_(0)(\alpha t)\cdot H(t))
16	функція помилок	e r f (t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (erf) (t)\cdot H(t))	e s 2 / 4 e r f c (s / 2) s (\displaystyle (\frac (e^(s^(2)/4)\mathrm (erfc) (s/2))(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
Примітки до таблиці: H(t) (\displaystyle H(t)\); α (\displaystyle \alpha \ ), β (\displaystyle \beta \ ), τ (\displaystyle \tau \ )і ω (\displaystyle \omega \ ) - Зв'язок з іншими перетвореннями Фундаментальні зв'язки Перетворення Меліна Перетворення Меліната зворотне перетворення Мелліна пов'язані з двостороннім перетворенням Лапласа простою заміною змінних. Якщо у перетворенні Меліна G (s) = M (g (θ)) = ∫ 0 ∞ θ s g (θ) θ d θ (\displaystyle G(s)=(\mathcal(M))\left\(g(\theta)\right \)=\int \limits _(0)^(\infty )\theta ^(s)(\frac (g(\theta))(\theta ))\,d\theta ) покладемо θ = e − x (\displaystyle \theta =e^(-x)), Отримаємо двостороннє перетворення Лапласа. Z-перетворення Z (\displaystyle Z)-перетворення - це перетворення Лапласа решітчастої функції, що виробляється за допомогою заміни змінних: z ≡ e s T , (\displaystyle z\equiv e^(sT),) Перетворення Бореля Інтегральна форма перетворення Бореля ідентична до перетворення Лапласа, існує також узагальнене перетворення Бореля, за допомогою якого використання перетворення Лапласа поширюється на ширший клас функцій. Бібліографія Ван дер Поль Би., Бремер Х.Операційне обчислення з урахуванням двостороннього перетворення Лапласа. – М.: Видавництво іноземної літератури, 1952. – 507 с. Діткін В. А., Прудніков А. П.Інтегральні перетворення та операційне обчислення. – М.: Головна редакція фізико-математичної літератури видавництва «Наука», 1974. – 544 с. Діткін В. А., Кузнєцов П. І.Довідник з операційного обчислення: Основи теорії та таблиці формул. – М.: Державне видавництво техніко-теоретичної літератури, 1951. – 256 с. Карслоу Х., Єгер Д.Операційні методи прикладної математики. – М.: Видавництво іноземної літератури, 1948. – 294 с. Кожевніков Н. І., Краснощокова Т. І., Шишкін Н. Є.Ряди та інтеграли Фур'є. Теорія поля. Аналітичні та спеціальні функції. Перетворення Лапласу. - М.: Наука, 1964. - 184 с. Краснов М. Л., Макаренко Г. І.Операційне літочислення. Стійкість руху. - М.: Наука, 1964. - 103 с. Микусинський Я.Операторне літочислення. – М.: Видавництво іноземної літератури, 1956. – 367 с. Романовський П. І.Ряди Фур'є. Теорія поля. Аналітичні та спеціальні функції. Перетворення Лапласу. - М.: Наука, 1980. - 336 с.