الخصائص الرئيسية للإشارة الطيفية. الخصائص الأساسية للخصائص الطيفية للإشارات

لتبسيط طرق حل مشاكل تحليل الدارات ، يتم تمثيل الإشارات كمجموع وظائف معينة.

هذه العملية مدعومة بمفهوم سلسلة فورييه المعممة. لقد ثبت في الرياضيات أن أي وظيفة تستوفي شروط Dirichlet يمكن تمثيلها كسلسلة:

لتحديد ذلك ، نضرب الجزأين الأيمن والأيسر من المتسلسلة في ونأخذ تكامل الجزأين الأيمن والأيسر:

للفترة التي يتم فيها استيفاء شروط التعامد.

يمكن ملاحظة ذلك ، حصلنا على تعبير لسلسلة فورييه المعممة:

نحن نفرد نوعًا معينًا من الوظائف لتوسيع الإشارة إلى سلسلة. على هذا النحو ، نختار نظامًا متعامدًا للوظائف:

لتحديد السلسلة ، نحسب القيمة:

وهكذا نحصل على:

بيانيا ، يتم تمثيل هذه السلسلة على شكل رسمين بيانيين لمكونات الاتساع التوافقي.

يمكن تمثيل التعبير الناتج على النحو التالي:

حصلنا على الشكل الثاني لتسجيل سلسلة فورييه المثلثية. بيانياً ، يتم تقديم هذه السلسلة في شكل رسمين بيانيين - أطياف السعة والطور.

لنجد الصيغة المعقدة لسلسلة فورييه ، ولهذا نستخدم صيغ أويلر:

بيانياً ، يتم تمثيل الطيف في هذا النموذج على محور التردد في النطاق.

من الواضح أن طيف الإشارة الدورية ، المعبر عنه في شكل معقد أو سعة ، منفصل. هذا يعني أن الطيف يحتوي على مكونات ذات ترددات

الخصائص الطيفية للإشارة غير الدورية

نظرًا لأن الإشارة المفردة تعتبر إشارة غير دورية في الهندسة الراديوية ، للعثور على طيفها ، فإننا نمثل الإشارة كإشارة دورية ذات فترة زمنية. دعنا نستخدم تحويل سلسلة فورييه للفترة المحددة. تحصل على:

يُظهر تحليل التعبير الذي تم الحصول عليه أنه عند ، تصبح اتساع المكونات صغيرة بشكل لا نهائي ويتم وضعها بشكل مستمر على محور التردد. ثم ، من أجل الخروج من هذا الموقف ، نستخدم مفهوم الكثافة الطيفية:

نستبدل التعبير الناتج في سلسلة فورييه المعقدة ، نحصل على:

أخيرًا نحصل على:

ها هي الكثافة الطيفية ، والتعبير نفسه هو تحويل فورييه المباشر. لتحديد الإشارة من طيفها ، يتم استخدام تحويل فورييه المعكوس:

خصائص تحويل فورييه

من الصيغ المباشرة و التحولات العكسيةفورييه ، من الواضح أنه إذا تغيرت الإشارة ، فإن طيفها سيتغير أيضًا. تحدد الخصائص التالية تبعية طيف الإشارة المتغيرة على طيف الإشارة قبل التغييرات.

1) خاصية الخطية لتحويل فورييه

وجدنا أن طيف مجموع الإشارات يساوي مجموع أطيافها.

2) تغير طيف الإشارة في الوقت المناسب

وجد أنه عندما يتم إزاحة الإشارة ، لا يتغير طيف الاتساع ، ولكن يتغير طيف الطور فقط بالقيمة

3) تغيير مقياس الوقت

أي عندما تتوسع الإشارة (تضيق) عدة مرات ، يضيق (يتوسع) طيف هذه الإشارة.

4) طيف النزوح

5) طيف مشتق الإشارة

خذ مشتق الجانبين الأيسر والأيمن من تحويل فورييه المعكوس.

نرى أن طيف مشتق الإشارة يساوي طيف الإشارة الأصلية مضروبًا في ، أي يتغير طيف الاتساع ويتغير طيف الطور بمقدار.

6) الطيف المتكامل للإشارة

خذ تكامل الجانبين الأيسر والأيمن من تحويل فورييه المعكوس.

نرى أن طيف مشتق الإشارة يساوي طيف الإشارة الأصلية مقسومًا على ،

7) طيف ناتج إشارتين

وبالتالي ، فإن طيف ناتج إشارتين يساوي التفاف أطيافها مضروبًا في المعامل

8) خاصية الازدواجية

وبالتالي ، إذا كان الطيف يتوافق مع بعض الإشارات ، فإن إشارة في الشكل تتزامن مع الطيف أعلاه تتوافق مع طيف في شكل يتزامن مع الإشارة أعلاه.

تصريحات او ملاحظات عامه

من بين الأنظمة المختلفة للوظائف المتعامدة التي يمكن استخدامها كأساس للتمثيل إشارات الراديو، مكان استثنائي تحتله الدوال التوافقية (الجيب وجيب التمام). ترجع أهمية الإشارات التوافقية للهندسة الراديوية إلى عدد من الأسباب.

في الهندسة الراديوية ، يتعين على المرء أن يتعامل مع الإشارات الكهربائية المرتبطة بالرسائل المرسلة. الطريقة المقبولةالترميز.

يمكننا القول أن الإشارة الكهربائية هي عملية فيزيائية (كهربائية) تنقل المعلومات. تعتمد كمية المعلومات التي يمكن إرسالها باستخدام إشارة معينة على معلماتها الرئيسية: المدة ونطاق التردد والطاقة وبعض الخصائص الأخرى. أهميةلديه أيضًا مستوى من التداخل في قناة الاتصال: فكلما انخفض هذا المستوى ، يمكن إرسال المزيد من المعلومات باستخدام إشارة ذات قوة معينة. قبل الحديث عن القدرات المعلوماتية للإشارة ، من الضروري أن تتعرف على خصائصها الرئيسية. من المستحسن النظر في الإشارات المحددة والعشوائية بشكل منفصل.

تسمى أي إشارة حتمية ، يمكن توقع قيمتها اللحظية في أي وقت باحتمال واحد.

من أمثلة الإشارات الحتمية نبضات أو رشقات من النبضات التي يُعرف شكلها وحجمها وموضعها في الوقت المناسب ، بالإضافة إلى إشارة مستمرة مع علاقات اتساع وطور معينة ضمن طيفها. يمكن تقسيم الإشارات الحتمية إلى دورية وغير دورية.

الإشارة الدورية هي أي إشارة يتم من أجلها الشرط

حيث الفترة T هي قطعة محدودة ، و k هي أي عدد صحيح.

أبسط إشارة حتمية دورية هي التذبذب التوافقي. يسمى التذبذب التوافقي أحادي اللون. يؤكد هذا المصطلح ، المستعار من علم البصريات ، أن طيف التذبذب التوافقي يتكون من خط طيفي واحد. بالنسبة للإشارات الحقيقية التي لها بداية ونهاية ، فإن الطيف غير واضح حتمًا. لذلك ، لا توجد تذبذبات أحادية اللون بدقة في الطبيعة. في المستقبل ، ستعني الإشارة التوافقية وأحادية اللون تذبذبًا مشروطًا. يمكن تمثيل أي إشارة دورية معقدة ، كما هو معروف ، كمجموع التذبذبات التوافقية ذات الترددات التي تعد مضاعفات التردد الأساسي w = 2 * Pi / T. السمة الرئيسية للإشارة الدورية المعقدة هي وظيفتها الطيفية ، والتي تحتوي على معلومات حول اتساع ومراحل التوافقيات الفردية.

الإشارة الحتمية غير الدورية هي أي إشارة حتمية يتم استيفاء شرط (t) s (t + kT).

كقاعدة عامة ، تكون الإشارة غير الدورية محدودة في الوقت المناسب. ومن الأمثلة على هذه الإشارات النبضات التي سبق ذكرها ، ورشقات النبضات ، و "قصاصات" التذبذبات التوافقية ، وما إلى ذلك. تعتبر الإشارات غير الدورية ذات أهمية أساسية ، حيث يتم استخدامها في الغالب في الممارسة.

السمة الرئيسية للإشارة غير الدورية ، وكذلك الدورية ، هي وظيفتها الطيفية ؛

تشمل الإشارات العشوائية الإشارات التي لا تُعرف قيمها مسبقًا ولا يمكن توقعها إلا باحتمالية معينة أقل من واحد. مثل هذه الوظائف هي ، على سبيل المثال ، الجهد الكهربائي المقابل للكلام ، والموسيقى ، وسلسلة من أحرف كود التلغراف عند إرسال نص غير متكرر. تشمل الإشارات العشوائية أيضًا سلسلة من النبضات الراديوية عند دخل مستقبل الرادار ، عندما تتقلب اتساع النبضات ومراحل ملئها عالي التردد بسبب التغيرات في ظروف الانتشار ، وموقع الهدف ، وبعض الأسباب الأخرى . يمكن إعطاء العديد من الأمثلة الأخرى للإشارات العشوائية. بشكل أساسي ، يجب اعتبار أي إشارة تحمل معلومات عشوائية. الإشارات الحتمية المدرجة ، "المعروفة بالكامل" ، لم تعد تحتوي على معلومات. في ما يلي ، غالبًا ما يشار إلى هذه الإشارات باسم "التذبذبات".

يتم استخدام نهج إحصائي لتوصيف وتحليل الإشارات العشوائية. الخصائص الرئيسية للإشارات العشوائية هي:

أ) قانون التوزيع الاحتمالي.

ب) التوزيع الطيفي لقدرة الإشارة.

بناءً على الخاصية الأولى ، يمكن للمرء أن يجد وقت الإقامة النسبي لقيمة الإشارة في نطاق معين من المستويات ، ونسبة القيم القصوى إلى جذر متوسط ​​التربيع ، وعدد من القيم الأخرى. معلمات مهمةالإشارة. الخاصية الثانية تعطي فقط توزيع التردد قوة متوسطةالإشارة. أكثر معلومات مفصلةفيما يتعلق بالمكونات الفردية للطيف - حول اتساعها ومراحلها - لا تعطي الخاصية الطيفية لعملية عشوائية.

جنبا إلى جنب مع مفيدة إشارات عشوائيةنظريًا وعمليًا ، يتعين على المرء أن يتعامل مع التداخل العشوائي - الضوضاء. كما ذكر أعلاه ، فإن مستوى الضوضاء هو العامل الرئيسي الذي يحد من معدل نقل المعلومات لإشارة معينة.

جامعة ولاية سانت بطرسبرغ

كلية الفيزياء

اتجاه

"الرياضيات والفيزياء التطبيقية"

طرق التحديد

الخصائص الطيفية

إشارات كهربائية

سان بطرسبورج

مقدمة ... ................................................ .. ................................. 3

الشكل الحقيقي لسلسلة فورييه ........................................... ......... ......................................... ........ 3

الشكل المعقد لسلسلة فورييه ... ............... ................................... .............. .. 4

طيف الوظيفة الدورية ............................................. .. ................................................ .5

تحويل فورييه ................................................ .................. ................................ ................. ............... 6

خصائص تحويل فورييه ............................................. ................. ................................. ................ 7

طيف الإشارة المنفصل ... ............... ................................... .............. ...... 9

تحويل فورييه المنفصل ............................................... ............... ................................... ......... 12

انتشار الطيف .............................................. .... .............................................. ... ................... 14

إعداد المختبر والقياسات .............................................. ......................... ................... 15


مهام................................................. .................................................. ..................................... 17

الملحق 1. جزء من الجيب ........................................... ............................................. 18

الأدب................................................. .................................................. ............................... 19

مقدمة

هذا العمل هو الأول في سلسلة العمل المخبريفي المختبر التعليمي "طرق معالجة ونقل المعلومات" (MOPI) في كلية الفيزياء ، جامعة ولاية سانت بطرسبرغ. يتم تنفيذ المختبر في السنة الثانية ويدعم دورة محاضرات "الأسس المادية لطرق معالجة ونقل المعلومات". بحلول هذا الوقت ، يكون الطلاب قد أخذوا الدورة بالفعل ، وقد تم تصميم المختبر لتوحيد وتوسيع المعرفة في هذا المجال.

يعد مفهوم طيف الإشارة ضروريًا لتطوير أجهزة نقل المعلومات ، ويتم استخدامه للقياس غير المباشر للكميات المادية الأخرى ، ولمجرد حساب الدائرة الكهربائية. تتيح لك معرفة طيف الإشارة فهم طبيعتها بشكل أفضل ، وليس من قبيل المصادفة أن تبدأ دورة العمل المخبري بهذا العمل.

سيكون للعمل شخصية حسابية وتجريبية. يحتوي الجزء التجريبي من العمل على عنصر مبتكر هام - استخدام معالجة الإشارات الرقمية ، المرقمنة باستخدام نظام الحصول على البيانات. بالإضافة إلى ذلك ، يتم تنفيذ الجزء الحسابي بالكامل من العمل ، بالإضافة إلى معالجة النتائج التجريبية ، على أساس الحزمة الرياضية الحديثة MATLAB ومكتبتها الإضافية - صندوق أدوات معالجة الإشارات. يتم استخدام الاحتمالات الكامنة فيها للنمذجة الرياضية لأنواع مختلفة من الإشارات ومعالجة البيانات.

من المفترض أن القارئ على دراية بالأعمال الأساسية لهذه الحزمة. سيتم إحالة برامج الحساب والإضافات المختلفة إلى طلبات العمل.

الشكل الحقيقي لسلسلة فورييه

ضع في اعتبارك وظيفة دورية ذات فترة تساوي: ، أين هو أي عدد صحيح. في ظل ظروف معينة ، يمكن تمثيل هذه الوظيفة كمجموع ، محدود أو غير محدود ، من الوظائف التوافقية للشكل ، التي تتزامن فترتها مع فترة الوظيفة الأصلية ، حيث https://pandia.ru/text/78/330/images/image007_33.gif "width =" 19 height = 24 "height =" 24 "> ثابت ..gif "width =" 15 "height =" 17 src = ">. وبالتالي ، سنحل مشكلة توسيع دالة دورية إلى سلسلة مثلثية:

(1)

مصطلح منفصل لهذا المجموع https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif "width =" 28 "height =" 23 ">. مهمتنا هي تحديد هذه المعاملات ولأي صف (1) ستتقارب مع الوظيفة المحددة https://pandia.ru/text/78/330/images/image013_18.gif "width =" 301 height = 53 "height =" 53 "> (2)

حيث يتم التعبير عن المعاملات الجديدة كـ https://pandia.ru/text/78/330/images/image015_16.gif "width =" 105 "height =" 24 src = ">. gif" width = "273" height = "117"> (3)

يمكن إثبات أن السلسلة المثلثية ستتقارب بشكل موحد مع الوظيفة https://pandia.ru/text/78/330/images/image019_13.gif "width =" 48 height = 53 "height =" 53 ">. gif يمكن تقريب "العرض =" 28 "height =" 23 src = "> بدقة معينة من خلال ترتيب مثلثي متعدد الحدود ن، أي عدد محدود من المصطلحات.

شكل معقد من سلسلة فورييه

يتم الحصول على شكل معقد آخر من السلسلة المثلثية عن طريق كتابة الجيب وجيب التمام في (2) من خلال الأسس المعقدة:

(4)

ترتبط معاملات الأشكال الحقيقية والمعقدة بالعلاقات:

(5)

باستخدام الصيغ (5) ، من (3) نحصل على تعبيرات لمعاملات الشكل المعقد للسلسلة المثلثية. يمكن كتابة هذه المعاملات لأي رقم كبالطريقة الآتية

(6)

تتلاقى السلسلة المثلثية في شكل معقد بشكل موحد مع الدالة إذا تقاربت المتسلسلة. سيكون هذا صحيحًا إذا كانت الوظيفة الأصلية تفي بشروط Dirichlet.

طيف من وظيفة دورية

دعونا نقدم مفهوم طيف الوظيفة الدورية. يعتمد على إمكانية تمثيل الإشارة إما كسلسلة فورييه حقيقية (1) أو كسلسلة معقدة (4). هذا يعني أن المعاملات الحقيقية و / أو المعاملات المعقدة تحمل معلومات كاملةحول دورية ذات فترة معروفة https://pandia.ru/text/78/330/images/image012_20.gif "width =" 21 "height =" 24 "> ويسمى طيف الإشارة الحقيقي..gif" width = "69" ارتفاع = "41 src =">). لذلك ، تسمى المجموعة طيف الاتساع .. gif "width =" 20 "height =" 24 ">. على عكس الطيف الحقيقي ، يتم تعريف الطيف المعقد لكل من الترددات الموجبة والسالبة. أدناه سنبين أن معامل تحدد هذه المعاملات توافقيات الاتساع وبالتالي يمكن تسميتها طيف الاتساع ، وتحدد الوسيطات (طيف الطور) المراحل الأولية للتوافقيات..gif "العرض =" 61 ارتفاع = 29 "ارتفاع =" 29 ">. تشير هذه العلاقة إلى خاصية التكافؤ لطيف السعة المعقدة والغرابة للمرحلة الأولى.

دعونا نرى كيف ترتبط الأطياف الحقيقية والمعقدة. نكتب السلسلة (4) كـ

يمكن التعبير عن المصطلحات ذات الأرقام السالبة من حيث الأعداد الموجبة ، منذ و . ثم يبقى المجموع مع الأرقام الموجبة فقط

بعد جمع الأس بنفس الأرقام https://pandia.ru/text/78/330/images/image035_4.gif "width =" 237 "height =" 53 "> (9)

بمقارنة السلسلة (1) و (9) ، نحصل على العلاقة المرغوبة بين الأطياف الحقيقية والمعقدة: و.

نظرًا لأن طيف الإشارة الدورية يتكون من التوافقيات الفردية ، يطلق عليه اسم منفصل أو خط. تتناسب الترددات التوافقية عكسيًا مع الفترة https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif "width =" 28 "height =" 23 "> هي دالة قابلة للتكامل التام بشكل دائم قابلة للتفاضل باستمرار على المحور بأكمله :. يمكن اعتبار الإشارة غير الدورية على أنها دورية ، ولكن ذات فترة زمنية كبيرة بشكل لا نهائي. وبعد أن نجحنا في الانتقال من فترة إشارة محدودة إلى فترة إشارة كبيرة بشكل لا نهائي في الصيغتين (6) و (4) ، نحصل على صيغ للإشارة المباشرة تحويل فورييه:

(10)

والعكس صحيح:

(11)

الوظيفة https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif "width =" 28 "height =" 23 src = ">. وبالتالي ، فإن طيف الإشارة غير الدورية مستمر (في على النقيض من طيف الخط للإشارة الدورية) ، يتم تعريفه على محور التردد بأكمله.

خصائص تحويل فورييه

ضع في اعتبارك الخصائص الأساسية لتحويل فورييه.

الخطية. دعونا نفكر في الوظائف ولديها أطياف و:

ثم سيكون طيف تركيبتها الخطية:

تأخير الوقت..gif "width =" 28 "height =" 23 src = ">

(14)

لنحسب طيف الإشارة التي تم تغييرها في الوقت المناسب: https://pandia.ru/text/78/330/images/image050_1.gif "width =" 59 "height =" 21 "> ، ثم

لقد حصلنا على أن تأخير الإشارة هو للوقت https://pandia.ru/text/78/330/images/image055_1.gif "width =" 41 "height =" 25 ">.

تغيير الحجم.نفترض أن الطيف معروف https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif "width =" 28 "height =" 23 src = ">. gif" width = "36" height = "23">. نقدم متغيرًا جديدًا ، ونقوم بالتعويض متغير التكامل https://pandia.ru/text/78/330/images/image059_1.gif "width =" 312 "height =" 61 "> (16)

الضرب بواسطة https://pandia.ru/text/78/330/images/image041_3.gif "width =" 40 height = 23 "height =" 23 "> إشارة. ابحث عن نطاق هذه الإشارة مضروبًا في .

وبالتالي ، يتم ضرب الإشارة بـ https://pandia.ru/text/78/330/images/image062_1.gif "width =" 23 "height =" 24 ">.

طيف مشتق.في هذه الحالة ، النقطة الأساسية هي التكامل المطلق للدالة. من حقيقة أن تكامل مقياس الدالة يجب أن يكون محدودًا ، يترتب على ذلك أنه عند اللانهاية يجب أن تميل الدالة إلى الصفر. يتم أخذ تكامل مشتق الوظيفة في أجزاء ، حيث تكون المصطلحات الناتجة غير المتكاملة مساوية للصفر ، لأن الوظيفة تميل إلى الصفر عند اللانهاية.

(18)

طيف لا يتجزأ.لنجد طيف الإشارة https://pandia.ru/text/78/330/images/image065_1.gif "width =" 81 "height =" 57 "> ، أي أن الإشارة لا تحتوي على مكون ثابت يعد هذا المطلب ضروريًا بحيث تكون المصطلحات غير المتكاملة مساوية للصفر عندما يتم أخذ التكامل بالأجزاء.

(19)

نظرية الالتواء.من المعروف أن https://pandia.ru/text/78/330/images/image067_1.gif "width =" 37 "height =" 23 src = "> أطياف الميزة و https://pandia.ru/text/ 78 /330/images/image069_1.gif "width =" 153 "height =" 57 "> عبر و. للقيام بذلك ، في تكامل فورييه لالتفاف إحدى الوظائف ، سنحل محل المتغير ، ثم في الأس ، يمكنك إجراء استبدال 181 "> (20)

يعطي تحويل فورييه لالتواء إشارتين ناتج أطياف هذه الإشارات.

إنتاج الإشارات.من المعروف أن https://pandia.ru/text/78/330/images/image067_1.gif "width =" 37 "height =" 23 src = "> هي أطياف مميزة و https://pandia.ru/text / 78/330 / images / image073_1.gif "width =" 53 "height =" 23 "> من خلال Spectra و ..gif" width = "409" height = "123"> (21)

طيف ناتج الإشارات هو التفاف أطياف هذه الإشارات.

طيف إشارة منفصل

انتباه خاصيجدر الانتباه إلى الإشارات المنفصلة ، حيث إنها بالضبط هذه الإشارات المستخدمة في المعالجة الرقمية. إشارة منفصلةعلى عكس الاتصال المستمر ، فهو عبارة عن سلسلة من الأرقام المقابلة لقيم الإشارة المستمرة في نقاط زمنية معينة. تقليديًا ، يمكن اعتبار الإشارة المنفصلة كإشارة مستمرة تأخذ بعض القيم في لحظات زمنية معينة ، وفي أوقات أخرى تساوي الصفر (الشكل 1).

https://pandia.ru/text/78/330/images/image078_1.gif "width =" 87 "height =" 24 "> (22)

النبضات المستطيلة لها مدة https://pandia.ru/text/78/330/images/image079_1.gif "width =" 19 height = 24 "height =" 24 ">:

(23)

يتم اختيار سعة النبضة بحيث يكون تكامل النبضة على مدار الدورة. في هذه الحالة ، تكون نبضات الساعة بلا أبعاد. نقوم بتوسيع تسلسل هذه النبضات في سلسلة مثلثية:

(24)

للحصول على قراءات فورية للإشارة https://pandia.ru/text/78/330/images/image082_1.gif "width =" 44 "height =" 19 ">. الكل سيساوي 1.

(25)

نفس الشكل بالضبط لديه التوسع في سلسلة فورييه للدالة:

(26)

معاملات التوسع في سلسلة مثلثية لإشارة الساعة:

(27)

ثم ستبدو الإشارة المنفصلة كما يلي:

عند حساب تحويل فورييه لإشارة منفصلة ، نتبادل عملية الجمع والتكامل ، ثم نستخدم الخاصية δ - المهام:

طيف الإشارة المنفصلة هو وظيفة دورية. ضع في اعتبارك الأسي في المصطلح الفردي كدالة للتردد .. gif "width =" 45 "height =" 19 "> ، وهذا ، وفقًا لذلك ، سيكون فترة التكرار للطيف بأكمله. أي طيف الإشارة المنفصلة له فترة تكرار تساوي تردد التكميم .

لنأخذ فكرة أخرى. نظرًا لحقيقة أنه نتاج وظائف ، ويتم حساب طيف الإشارة المنفصلة على أنه التفاف لأطياف الإشارة المستمرة https://pandia.ru/text/78/330/images/image094_1.gif "العرض =" 37 "الارتفاع =" 23 ">.

(30)

دعونا نحسب باستخدام (25). نظرًا لأنها وظيفة دورية ، فإن طيفها منفصل.

سو الالتفاف (30)

https://pandia.ru/text/78/330/images/image099_1.gif "width =" 39 "height =" 23 src = ">.

تشير حقيقة حدوث تغييرات نوعية في طيف الإشارة نتيجة لأخذ العينات إلى إمكانية تشويه الإشارة الأصلية ، حيث يتم تحديدها تمامًا بواسطة طيفها. ومع ذلك ، من ناحية أخرى ، لا يقدم التكرار الدوري لنفس الطيف في حد ذاته أي شيء جديد في الطيف ، وبالتالي ، في ظل ظروف معينة ، ومعرفة قيم الإشارة في نقاط زمنية فردية ، يمكنك معرفة قيمة هذه الإشارة في أي وقت آخر ، أي الحصول على إشارة مستمرة أصلية. هذا هو معنى نظرية Kotelnikov ، التي تفرض شرطًا على اختيار تردد التكميم وفقًا للتردد الأقصى في طيف الإشارة.

إذا تم انتهاك هذا الشرط ، فبعد رقمنة الإشارة ، سيتم فرض طيف متكرر دوريًا (الشكل 2). سيتوافق الطيف الناتج عن التراكب مع إشارة أخرى.

أرز. 2. تداخل الأطياف.

تحويل فورييه المنفصل

قيل في القسم السابق أنه عند استيفاء شرط نظرية Kotelnikov ، فإن عينات الإشارة المنفصلة تخزن جميع المعلومات حول الإشارة الأصلية المستمرة ، وبالتالي حول طيفها. لذلك ، يمكن أيضًا العثور على طيف الإشارة من قراءاته المنفصلة ، مما يوفر فرصًا كبيرة لتحليل الإشارات في المعالجة الرقمية. في السابق ، تبين أن طيف الإشارة الدورية منفصل ، أي يمكن أن تتحلل الإشارة إلى بعض التوافقيات. الإشارة المنفصلة لها طيف دوري. سيكون للإشارة الدورية المنفصلة طيف دوري منفصل. يتم تمثيل الإشارة المنفصلة كتسلسل من قيم الإشارة في أوقات ثابتة ..gif "width =" 19 "height =" 19 src = "> ، أي يتم إجراؤها لأي. عادةً ، تحويل فورييه المنفصل لـ إشارة تحددها العينات كمتجه للعناصر ، محسوبة بالصيغة:

(33)

تحويل فورييه المعكوس وفقًا للصيغة:

(34)

بمقارنة (33) مع (4) نحصل عليها ، أن السعة المعقدة للتوافقي مع الرقم https://pandia.ru/text/78/330/images/image110_1.gif "width =" 69 "height =" 43 src = "> وتتوافق مع التردد أو ، وهو نفس الشيء ، حيث يكون تردد التكميم بالهرتز: https://pandia.ru/text/78/330/images/image114_0.gif "width =" 53 "height =" 41 src = "> هي فترة التكميم ، الفترة هي تعتبر مساوية لمدة إشارة الجزء المسجل.

في MATLAB ، يتم إجراء تحويل فورييه المنفصل باستخدام الأمر fft (تحويل فورييه السريع) ، والذي يقوم بإجراء العمليات الحسابية باستخدام خوارزمية تحويل سريع خاصة. بناء جملة الأمر:

ص = قدم (س ، ن ، قاتمة)

x هو ناقل مع عينات إشارة ؛

y - متجه مع نتيجة التحويل ;

n هي معلمة اختيارية تحدد عدد عينات الإشارة المستخدمة لإجراء التحويل. في هذه الحالة ، سيتكون المتجه y من عناصر n ؛

dim هي معلمة اختيارية تحدد رقم البعد الذي يتم من خلاله إجراء التحويل. تُستخدم عندما تحتوي x على إشارات متعددة ، كل منها في عمود أو صف ، كما يتضح من خافت.

واجهة مشابهة لها أمر يقوم بإجراء التحويل العكسي:

س = إذا (ن ، ن ، قاتمة)

يقوم الأمر fft بإرجاع مصفوفة تتوافق فيه السعات التوافقية مع الترددات التوافقية في النطاق https://pandia.ru/text/78/330/images/image117_0.gif "width =" 80 "height =" 48 src = " > ، أكثر دراية بشكل عام ، إذا كانت جميع قيم المتجه x حقيقية ، وهو أمر نموذجي لأي كمية مادية مُقاسة ، إذن ، كما هو موضح أعلاه (9) ، فإن التوافقيات فقط في النطاق الترددي لها قيمة https: // pandia.ru/text/78/330 /images/image104_1.gif "width =" 20 "height =" 24 src = "> هي فترة إشارة واحدة بالضبط. أي ، في هذه الحالة ، يجب أن يستمر المقطع المسجل للإشارة الدورية بشكل دوري ، بينما يجب أن تكون فترة التكرار هي مدة تسجيل الإشارة بالكامل. إذا كانت مدة التسجيل مختلفة عن فترة الإشارة التي تم تسجيلها ، فمع التكرار الدوري لتسجيل الإشارة ، سيتم تشويه شكل الإشارة ، على التوالي ، وطيفها.

على سبيل المثال ، تم تسجيل إشارة جيبية مع فترة ، ومدة التسجيل هي ، وأين هو عدد صحيح. بعد ذلك ، مع التكرار الدوري لتسجيل الإشارة (الشكل 3) ، ستظهر انقطاعات من النوع الأول ، نظرًا لاختلاف قيم الإشارة في بداية التسجيل ونهايته.

https://pandia.ru/text/78/330/images/image054_1.gif "width =" 13 "height =" 15 ">. يمكن أيضًا تفسير مقطع الإشارة المسجلة على أنها الإشارة الأصلية الملتفة مع مستطيل النبضة التي تحدد الجزء الزمني بعد ذلك ، وفقًا لخصائص تحويل فورييه ، سيكون طيف الإشارة المسجلة هو نتاج الطيف الأصلي مع طيف النبضة المستطيلة (الشكل 4).

https://pandia.ru/text/78/330/images/image123.jpg "العرض =" 562 "الارتفاع =" 229 src = ">

أرز. 5. تركيب المختبر.

النظر في كل كتلة من هذا المخطط بمزيد من التفصيل.

1. مصدر إشارات النموذج التناظري هو مولد الإشارة النموذجي. يمكن استخدام الأجهزة التالية كما هي (حسب اختيار المدرس):

· مولد إشارة مخبرية قياسي بأشكال مختلفة (نبضات جيبية ومستطيلة) ؛

تم تجميع المولد الرقمي على محول من رقمي إلى تناظري (DAC) لجهاز L-Card ;

بمساعدة MATLAB ، يمكن تشغيل الإشارات على بطاقة الصوت بالكمبيوتر.

باستخدام MATLAB ، أصبح من الممكن إعادة إنتاج إشارات من أي شكل تقريبًا ، يكون طيفها في النطاق الصوتي ، والإمكانيات محدودة فقط بخصائص بطاقة الصوت ، أي تردد التكمية ، واستجابة التردد وأقصى قيمة جهد ممكن . بطاقات الصوت المصممة في المقام الأول لاستنساخ الصوت لها استجابة التردد، والذي يسمح لك بإعادة إنتاج الإشارة في نطاق التردد من حوالي 100 هرتز إلى 20 كيلو هرتز. يتم تحديد هذه الحدود بواسطة الجهاز الداخلي لبطاقة الصوت ، وعادة ما يتم استخدام المرشحات التي تحد من طيف الإشارة في هذا النطاق. ميزة أخرى لبطاقة الصوت هي أن معظمها لا يمكنه العمل إلا مع ترددات عينات معينة: 8000 هرتز ، 11025 هرتز ، 22050 هرتز و 44100 هرتز. انتاج التيار الكهربائيللاختلاف بطاقات الصوتقد تختلف ، ولكن عادةً ما تكون القيمة القصوى الممكنة حوالي 1 فولت. ميزة بطاقة الصوت:

هم في أي جهاز كمبيوتر تقريبًا ؛

مدعوم من قبل العديد من البرامج ، بما في ذلك MATLAB و Simulink.

عيوب:

بالنسبة للوحات المختلفة ، يمكن أن تختلف الخصائص بشكل كبير ؛

كيف جهاز قياسليس لديهم فئة دقة ؛

عدم وجود دوائر حماية داخلية (عزل كلفاني أو بصري) مما قد يؤدي إلى تعطلها.

2. يتم التحكم بصريًا في الإشارات التناظرية المأخوذة من خرج أي من المولدات المذكورة أعلاه على شاشة راسم تذبذب أشعة الكاثود. يعد هذا التحكم ضروريًا لمراقبة شكل الإشارات المتولدة وتعيين معلماتها - السعة ، والمدة ، وفترة التكرار ، إلخ.

3. العنصر التالي من الإعداد التجريبي هو مرشح الترددات المنخفضة (LPF). هذا جهاز تمثيلي شائع الاستخدام في مثل هذه الدوائر. والغرض منه هو الحد من طيف الإشارات المدروسة من الأعلى من أجل تلبية شروط نظرية Kotelnikov. الحد الأقصى لتردد تكميم L-Card هو 125 كيلو هرتز ، ثم من نظرية Kotelnikov ، لاستعادة الإشارة دون تشويه ، يجب ألا يتجاوز طيف الإشارة Fغرام:

وفقًا لتعليمات المعلم ، يجب عليك لحام أبسط مرشح تمرير منخفض. يظهر مخططها في الشكل. 6.

https://pandia.ru/text/78/330/images/image126_0.gif "width =" 85 "height =" 41 "> (36)

4. المحول التناظري إلى الرقمي (ADC) - جهاز للتحويل الإشارات التناظريةإلى تطبيقات رقمية يمكن معالجتها على الكمبيوتر. يستخدم مختبرنا نوع L-Card L-761 و L-783 ADCs الموجودان مباشرة في وحدة النظامحاسوب.

مهام

1. احسب تحليليًا الوظائف الطيفية للإشارات الدورية بشكل بسيط يقدمه المعلم (نبضة فيديو مستطيلة ، نبضة مثلثة ، نبضة أسية ، إلخ). قم ببناء الرسوم البيانية لطيف الاتساع والطور لهذه الإشارات.

2. قم بإجراء تحليل فورييه للإشارات المدرجة في MATLAB باستخدام تحويل فورييه السريع (FFT). أنشئ الرسوم البيانية المقابلة لأطياف السعة والطور في منطقة الترددات الموجبة والسالبة (باستخدام الدوال fft ، fftshift ، الجذعية ، بعد النظر إليها في الوثائق). يجب أن تتوافق سعة التوافقيات وتردداتها على الرسوم البيانية مع قيمها في إشارة معينة. انتبه بشكل خاص لتأثير نسبة مدة النبضة ووقت تسجيل الإشارة على طيف الإشارة ، واشرح النتيجة. لكل نوع من الإشارات في نفس الإحداثيات ، ارسم أطياف السعة الموجودة تحليليًا (المهمة 1) وحُسبت عدديًا.

3. باستخدام الأمر FFT ، ابحث عن أطياف مقاطع الجيب التي تتكون من عدد صحيح وعدد غير صحيح من الفترات وقارن بينها.

4. إجراء تحليل طيفي لجزء من الجيب يتكون من عدة فترات. انظر كيف يتغير الطيف حسب عدد الفترات.

5. باستخدام راسم الذبذبات الرقمي L-Graph ، لاحظ تشوه الإشارة نتيجة انتهاك نظرية Kotelnikov. للقيام بذلك ، قم بتوصيل مولد إشارة متناسق تناظري ببطاقة L ، واضبط تردد التكميم ، على سبيل المثال ، 20 كيلو هرتز ، وقم بتغيير تردد المولد بسلاسة في النطاق من 1 كيلو هرتز إلى 20 كيلو هرتز ، ولاحظ تردد الرقم الرقمي اشرح الآثار المرصودة.

6. اضبط تردد التكميم على 100 كيلو هرتز ، وتردد مولد الإشارة التوافقية على 10 كيلو هرتز ، والسعة إلى 1 فولت. سجل قطعة من إشارة توافقية بمدة 0.01 ثانية ورسم طيف الاتساع الخاص بها في MATLAB. في الوقت نفسه ، يجب أن تتوافق الترددات والسعات على الرسم البياني مع تلك الموجودة بالفعل.

7. باستخدام النتائج التي تم الحصول عليها في المهمة الأولى ، قم بتقريب نبضة مستطيلة بعدد محدد من شروط السلسلة المثلثية. قارن على نفس الرسم البياني النبضة الأصلية والتوافقيات الأولى التقريبية ، أول عشرة مدروجات.

الملحق 1. جزء من الجيب

لإكمال إحدى المهام ، ستحتاج إلى كتابة برنامج لحساب طيف الجيوب الأنفية ، ويرد أدناه مثال على مثل هذا البرنامج. في بداية البرنامج ، يتم تحديد المعلمات التي تحدد مدة الإشارة في الفترات وعدد الفترات. عن طريق تغيير هذه المعلمات ، يمكنك الحصول على خيارات مختلفةقطعة من الجيب.

مسح ، clc ، إغلاق الكل

f0 = 1000 ؛ ٪ تردد جيبية

N1 = 20 ؛ النسبة المئوية للمسار بأكمله في فترات

N2 = 10 ؛ النسبة المئوية لعدد القراءات لكل فترة

N3 = 2 ؛ النسبة المئوية لعدد الفترات

N = N1 * N2 ؛ النسبة المئوية لعدد العينات في السجل بأكمله

خ = f0 * N2 ؛ ٪ معدل العينة

٪ إنشاء إشارة

ر = (0: (N-1)) / fs ؛ ٪ وقت

x (1: N2 * N3) = sin (2 * pi * (0: (N2 * N3-1)) / N2) ؛

٪ حساب النطاق

X = fftshift (القيمة المطلقة (fft (x)) / N) ؛

f = (ceil (N / 2) -N: ceil (N / 2) -1) * fs / N ؛

حبكة فرعية (2،1،1) ، قطعة أرض (t ، x ، "k") ، xlabel ("t ، c") ، ylabel ("x (t)")

حبكة فرعية (2،1،2) ، جذعية (f ، X ، "k.") ، xlabel ("f ، Hz") ، ylabel ("| X |")

الأدب

1. تكاملات بوديلين وفورييه. جامعة ولاية سانت بطرسبرغ. 2002.

2. ، تحولات رومانوف في MATLAB. SPb. 2007

3. سميرنوف من الرياضيات العليا (المجلد.

شكل استجابة التردد ليس أكثر من صورة طيفية لمثبط جيبيالإشارة. بالإضافة إلى ذلك ، كما هو معروف ، خاصية تدفق تردد السعة لكهرباء واحدة دارة متذبذبة.

تمت دراسة العلاقة بين شكل خاصية السعة والتردد لبعض الأجهزة وخصائص الإشارة في أساسيات الهندسة الكهربائية النظرية وهندسة الراديو النظرية. باختصار ، ما يجب أن نهتم به الآن من هذا هو ما يلي.

تتطابق خاصية تردد السعة للدائرة التذبذبية في مخطط تفصيلي مع الصورة الطيف التردديالإشارة التي تحدث عند إثارة صدمة لهذه الدائرة التذبذبية. لتوضيح هذه النقطة ، يظهر الشكل 1-3 ، الذي يظهر جيبًا رطبًا ، والذي يحدث عندما يتم تطبيق صدمة على دائرة تذبذبية. يتم إعطاء هذه الإشارة في الوقت المناسب ام ( أ) والطيفي ( ب) صورة.

أرز. 1-3

وفقًا لقسم الرياضيات المسمى بالتحولات الطيفية والزمنية ، فإن الصور الطيفية والزمانية لنفس العملية المتغيرة بمرور الوقت هي ، كما كانت ، مترادفات ، فهي متكافئة ومتطابقة مع بعضها البعض. يمكن مقارنة ذلك بترجمة نفس المفهوم من لغة إلى أخرى. سيقول أي شخص مطلع على هذا الفرع من الرياضيات أن الأشكال 1-3 أو 1-3 بمتساوية مع بعضها البعض. بالإضافة إلى ذلك ، فإن الصورة الطيفية لهذه الإشارة التي تم الحصول عليها عن طريق إثارة الصدمة للنظام التذبذب (الدائرة التذبذبية) هي في نفس الوقت مشابهة هندسيًا لخاصية تردد الاتساع لهذه الدائرة بالذات.

من السهل أن نرى أن الرسم البياني ( ب) في الشكل 1-3 مشابه هندسيًا للرسم البياني 3 في الشكل 1-1. وهذا يعني أنه تم الحصول على رسم بياني نتيجة القياسات 3 ، لقد تعاملت معه على الفور ليس فقط على أنه خاصية اتساع وتردد لتوهين الصوت في صخور السقف ، ولكن أيضًا كدليل على وجود نظام تذبذب في كتلة الصخور.

من ناحية أخرى ، فإن وجود أنظمة تذبذبية في الصخور الموجودة في سطح عمل تحت الأرض لم يثير أي أسئلة بالنسبة لي ، لأنه من المستحيل الحصول على إشارة جيبية (أو بعبارة أخرى ، متناسقة) بطرق أخرى. من ناحية أخرى ، لم أسمع أبدًا عن وجود أنظمة تذبذبية في سماكة الأرض.

بادئ ذي بدء ، دعونا نتذكر تعريف النظام التذبذب. النظام التذبذب هو جسم يتفاعل مع حركة الصدمة (النبضة) بإشارة توافقية مخففة. أو بعبارة أخرى ، هو كائن له آلية لتحويل النبضة (التأثير) إلى الجيب.

معلمات الإشارة الجيبية المخففة هي التردد و 0 وعامل الجودة س ، تتناسب قيمته عكسياً مع معامل التوهين. وكما يتضح من الشكل 1-3 ، يمكن تحديد هاتين المعلمتين من الصورة الزمنية والصورة الطيفية لهذه الإشارة.

تعد التحولات الطيفية والزمنية قسمًا مستقلاً من الرياضيات ، وأحد الاستنتاجات التي يجب أن نستخلصها من معرفة هذا القسم ، وكذلك من شكل خاصية تردد الاتساع والتواتر الخاص بالتوصيل الصوتي للكتلة الصخرية الموضحة في الشكل 1. -1 (منحنى 3) ، هو أنه من حيث الخصائص الصوتية ، أظهرت كتلة الصخور المدروسة خاصية النظام التذبذب.

هذا الاستنتاج واضح تمامًا لأي شخص على دراية بالتحولات الطيفية والزمانية ، ولكنه غير مقبول بشكل قاطع لأولئك الذين يشاركون مهنيًا في صوتيات الوسائط الصلبة أو الاستكشاف الزلزالي أو الجيوفيزياء بشكل عام. لقد حدث أنه في سياق تدريب الطلاب على هذه التخصصات ، لم يتم تقديم هذه المواد.

كما هو معروف ، في الاستكشاف الزلزالي ، يعتبر أن الآلية الوحيدة التي تحدد شكل الإشارة الزلزالية هي انتشار مجال التذبذبات المرنة وفقًا لقوانين البصريات الهندسية ، وانعكاسه من الحدود الموجودة في سماكة الأرض و التداخل بين المكونات الفردية للإشارة. يُعتقد أن شكل الإشارات الزلزالية يرجع إلى طبيعة التداخل بين العديد من إشارات الصدى الصغيرة ، أي الانعكاسات من العديد من الحدود الصغيرة الموجودة في سلسلة الجبال. بالإضافة إلى ذلك ، يُعتقد أنه بمساعدة التداخل ، يمكن الحصول على إشارة من أي شكل.

نعم ، هذا كله صحيح ، لكن حقيقة الأمر هي أن الإشارة التوافقية (بما في ذلك التوافقية المخففة) هي استثناء. من المستحيل الحصول عليها عن طريق التدخل.

الجيوب الأنفية هي لبنة معلومات أولية لا يمكن أن تتحلل إلى مكونات أبسط ، لأن الإشارة في الطبيعة لا توجد أسهل من الجيوب الأنفية. لهذا السبب ، بالمناسبة ، سلسلة فورييه عبارة عن مجموعة من المصطلحات الجيبية بدقة. لكونه عنصر معلومات أوليًا غير قابل للتجزئة ، لا يمكن الحصول على الجيوب الأنفية عن طريق إضافة (تداخل) أي مكونات أخرى ، حتى أبسط.

يمكنك الحصول على إشارة توافقية بطريقة واحدة فقط - أي من خلال التأثير على النظام التذبذب. عندما يحدث تأثير الصدمة (النبضة) على النظام التذبذب رطب الجيوب الأنفية ، والتعرض الدوري أو الضوضاء - الجيوب الأنفية غير المخمد. وبالتالي ، بعد أن رأينا أن خاصية تردد الاتساع لجسم ما تتشابه هندسيًا مع الصورة الطيفية للإشارة التوافقية المثبطة ، لم يعد من الممكن التعامل مع هذا الجسم إلا كنظام تذبذب.

قبل إجراء قياساتي الأولى في منجم ، كنت ، مثل جميع الأشخاص الآخرين الذين يعملون في مجال الصوتيات للوسائط الصلبة والاستكشاف الزلزالي ، مقتنعًا بأنه لا توجد أنظمة تذبذبية في كتلة الصخور ولا يمكن أن تكون كذلك. ومع ذلك ، بعد أن اكتشفت مثل هذه الخاصية من السعة والتردد للتوهين ، لم يكن لدي ببساطة الحق في البقاء مع هذا الرأي.

إن إجراء قياسات مشابهة لتلك الموصوفة أعلاه شاق للغاية ، وتستغرق معالجة نتائج هذه القياسات وقتًا طويلاً. لذلك ، عندما رأيت أن طبيعة التوصيل الصوتي لكتلة الصخور هي نظام تذبذب ، أدركت أنه يجب استخدام مخطط قياس آخر ، والذي يستخدم في دراسة الأنظمة التذبذبية ، والذي نستخدمه حتى يومنا هذا. وفقًا لهذا المخطط ، فإن مصدر إشارة الفحص هو تأثير نبضي (تأثير) على كتلة الصخور ، والمستقبل هو جهاز استقبال زلزالي ، مصمم خصيصًا للقياسات الزلزالية الطيفية. إن مخطط الإشارة ومعالجتها يجعل من الممكن ملاحظتها في كل من الشكل الزمني والطيفي.

بتطبيق مخطط القياس هذا في نفس نقطة العمل تحت الأرض كما في قياسنا الأول ، تأكدنا من أنه عندما تتأثر الكتلة الصخرية للسقف ، فإن الإشارة التي تحدث في هذه الحالة لها شكل الجيب المخمد ، على غرار التي تظهر في الشكل 1-3 أ، وصورته الطيفية مماثلة للرسم البياني الموضح في الشكل 1-3 ب.

غالبًا ما يحدث أن الإشارة الزلزالية لا تحتوي على عنصر واحد ، بل العديد من المكونات التوافقية. ومع ذلك ، بغض النظر عن عدد المكونات التوافقية ، فإنها تنشأ جميعها فقط بسبب وجود عدد مناسب من الأنظمة التذبذبية.

أظهرت الدراسات المتعددة للإشارات الزلزالية التي تم الحصول عليها في مجموعة متنوعة من الظروف - في كل من الأعمال تحت الأرض ، وعلى سطح الأرض ، وفي ظروف الغطاء الرسوبي ، وفي دراسة الصخور القاعدية البلورية - ذلك في جميع الحالات الممكنةلا توجد إشارات مستلمة ليس نتيجة وجود أنظمة تذبذبية ، ولكن نتيجة لعمليات التداخل.

  1. بالمعنى الدقيق للكلمة ، فإن شكل الطيف الخاص بالإشارة التوافقية المخففة ليس على شكل جرس تمامًا ، ولكن بالنسبة لنا الآن ، لا يهم هذا عدم الدقة.

صور فورييه - معاملات معقدة لسلسلة فورييه F(يث ك) إشارة دورية (1) والكثافة الطيفية F(يث) إشارة غير دورية (2) - لديها عدد من الخصائص المشتركة.

1. الخطية . تكاملات (1) و (2) تنفيذ التحول الخطيالمهام F(ر). لذلك ، فإن صورة فورييه لمجموعة خطية من الوظائف تساوي تركيبة خطية مماثلة من صورها. لو F(ر) = أ 1 F 1 (ر) + أ 2 F 2 (ر)، الذي - التي F(يث) = أ 1 F 1 (يث) + أ 2 F 2 (يث) ، أين F 1 (يث) و F 2 (يث) - صور فورييه للإشارات F 1 (ر) و F 2 (ر)، على التوالى.

2. تأخير (تغيير أصل الوقت للوظائف الدورية) . ضع في اعتبارك الإشارة F 2 (ر) ، تأخرت لفترة من الوقت ر 0 نسبة إلى الإشارة F 1 (ر) والتي لها نفس الشكل: F 2 (ر) = F 1 (ر – ر 0). إذا كانت الإشارة F 1 لديه صورة F 1 (يث) ، ثم صورة فورييه للإشارة F 2 يساوي F 2 (يث) == . الضرب والقسمة على ، نقوم بتجميع المصطلحات على النحو التالي:

منذ التكامل الأخير هو F 1 (يث) ، إذن F 2 (يث) = ه -يث ر 0 F 1 (يث) . وهكذا ، عندما تتأخر الإشارة لبعض الوقت ر 0 (تغيير أصل الوقت) ، لا يتغير معامل الكثافة الطيفية ، وتقل الحجة بمقدار w ر 0 يتناسب مع وقت التأخير. لذلك ، لا تعتمد اتساعات طيف الإشارة على الأصل ، والمراحل الأولية مع تأخير ر 0 إنقاص بمقدار w ر 0 .

3. تناظر . صالح F(ر) صورة F(يث) لديه تناظر مترافق: F(– يث) = . لو F(ر) هي دالة زوجية ، ثم Im F(يث) = 0 ؛ للوظيفة الفردية Re F(يث) = 0. الوحدة النمطية | F(يث) | والجزء الحقيقي من Re F(يث) - حتى دوال التردد ، وسيطة F(يث) و Im F(يث) - غريب.

4. التفاضل . من صيغة التحويل المباشر ، التكامل بالأجزاء ، نحصل على اتصال صورة مشتق الإشارة F(ر) مع صورة الإشارة نفسها

من أجل وظيفة قابلة للتكامل تمامًا F(ر) المصطلح غير المتكامل يساوي صفرًا ، وبالتالي عند ، ويمثل آخر متكامل صورة فورييه للإشارة الأصلية F(يث) . لذلك ، صورة فورييه للمشتق مدافع/ديرتبط بصورة الإشارة نفسها بالعلاقة يث F(يث) - عند التفريق بين إشارة ، تتضاعف صورتها فورييه يث. نفس العلاقة صالحة للمعاملات F(يث ك) ، والتي يتم تحديدها بالتكامل ضمن حدود محدودة من - تي/ 2 إلى + تي/2. في الواقع ، المنتج ضمن الحدود المناسبة

منذ ذلك الحين ، بسبب تواتر الوظيفة F(تي/2) = F(– تي/ 2) ، أ = = = (- 1) ك، ثم في هذه الحالة يختفي المصطلح خارج التكامل والصيغة

حيث يشير السهم رمزياً إلى تشغيل تحويل فورييه المباشر. يمكن أيضًا تعميم هذه العلاقة على تمايز متعدد: for ن- المشتق الثالث لدينا: د ن و/دت (يث) ن و(يث).

تسمح لنا الصيغ التي تم الحصول عليها بالعثور على صورة فورييه لمشتقات دالة من طيفها المعروف. من الملائم أيضًا استخدام هذه الصيغ في الحالات التي نصل فيها ، نتيجة التمايز ، إلى وظيفة يتم حساب صورتها فورييه بشكل أكثر بساطة. حتى إذا F(ر) هي دالة خطية متعددة التعريف ، ثم مشتقها مدافع/دهو ثابت متعدد التعريف ، وبالتالي يمكن إيجاد تكامل التحويل المباشر بشكل أساسي. للحصول على الخصائص الطيفية لتكامل الوظيفة F(ر) يجب تقسيم صورتها إلى يث.

5. ازدواجية الوقت والتردد . تؤدي المقارنة بين تكاملات تحويل فورييه المباشر والمعكوس إلى استنتاج حول تناظرها الغريب ، والذي يصبح أكثر وضوحًا إذا تمت إعادة كتابة صيغة التحويل العكسي ، ونقل العامل 2p إلى الجانب الأيسر من المعادلة:

للإشارة F(ر) ، وهي دالة زمنية زوجية F(– ر) = F(ر) عندما تكون الكثافة الطيفية F(يث) - القيمة الحقيقية F(يث) = F(ث) ، يمكن إعادة كتابة كلا التكاملات في الشكل المثلثي لتحويل فورييه لجيب التمام:

مع الاستبدال المتبادل رو w تتحول تكاملات التحولات المباشرة والعكسية إلى بعضها البعض. من هذا يتبع ذلك إذا F(ث) يمثل الكثافة الطيفية لدالة زمنية زوجية F(ر) ، ثم الوظيفة 2p F(ث) هي الكثافة الطيفية للإشارة F(ر). للوظائف الفردية F(ر) [F(ر) = – F(ر)] الكثافة الطيفية F(يث) وهمي بحت [ F(يث) = جي(ث)]. يتم تقليل تكاملات فورييه في هذه الحالة إلى شكل تحويلات جيبية ، والتي يتبعها إذا كانت الكثافة الطيفية جي(ث) يتوافق مع دالة فردية F(ر) ، ثم القيمة ي 2 ص F(ث) يمثل الكثافة الطيفية للإشارة F(ر). وهكذا ، فإن الرسوم البيانية لاعتماد الوقت لإشارات هذه الفئات وكثافتها الطيفية ثنائية مع بعضها البعض.

أساسي (1)

أساسي (2)

في الهندسة الراديوية ، يستخدم التمثيل الطيفي والزمني للإشارات على نطاق واسع. على الرغم من أن الإشارات هي عمليات عشوائية بطبيعتها ، إلا أن التطبيقات الفردية لعملية عشوائية وبعض الإشارات الخاصة (على سبيل المثال ، القياس) يمكن اعتبارها وظائف حتمية (أي معروفة). عادة ما يتم تقسيم الأخيرة إلى دورية وغير دورية ، على الرغم من عدم وجود إشارات دورية صارمة. تسمى الإشارة الدورية إذا كانت تفي بالشرط

في فترة زمنية ، حيث T هي قيمة ثابتة ، تسمى فترة ، و k هي أي عدد صحيح.

أبسط مثال على إشارة دورية هو التذبذب التوافقي (أو التوافقي للاختصار).

أين السعة ، = التردد ، التردد الدائري ، هي المرحلة الأولية من التوافقي.

تفسر أهمية مفهوم التوافقيات لنظرية وممارسة الهندسة الراديوية بعدد من الأسباب:

  1. تحتفظ الإشارات التوافقية بشكلها وترددها عند المرور عبر خطي ثابت الدوائر الكهربائية(على سبيل المثال ، المرشحات) ، وتغيير فقط السعة والمرحلة ؛
  2. يتم إنشاء الإشارات التوافقية بكل بساطة (على سبيل المثال ، باستخدام مذبذبات LC).

الإشارة غير الدورية هي إشارة غير صفرية خلال فترة زمنية محدودة. يمكن اعتبار الإشارة غير الدورية بمثابة إشارة دورية ، ولكن ذات فترة زمنية كبيرة بشكل لا نهائي. الطيف هو إحدى الخصائص الرئيسية للإشارة غير الدورية. طيف الإشارة هو وظيفة توضح اعتماد شدة التوافقيات المختلفة في تكوين الإشارة على تردد هذه التوافقيات. طيف الإشارة الدورية هو اعتماد معاملات سلسلة فورييه على تردد التوافقيات التي تتوافق معها هذه المعاملات. بالنسبة للإشارة غير الدورية ، يكون الطيف هو تحويل فورييه المباشر للإشارة. لذلك ، فإن طيف الإشارة الدورية هو طيف منفصل (وظيفة منفصلة للتردد) ، بينما تتميز الإشارة غير الدورية بطيف مستمر (مستمر).

دعونا ننتبه إلى حقيقة أن الأطياف المنفصلة والمستمرة لها أبعاد مختلفة. يحتوي الطيف المنفصل على نفس بُعد الإشارة ، في حين أن بُعد الطيف المستمر يساوي نسبة بُعد الإشارة إلى بُعد التردد. على سبيل المثال ، إذا تم تمثيل الإشارة بجهد كهربائي ، فسيتم قياس الطيف المنفصل بالفولت [V] والطيف المستمر بالفولت لكل هرتز [V / Hz]. لذلك ، يستخدم مصطلح "الكثافة الطيفية" أيضًا للطيف المستمر.

لننظر أولاً في التمثيل الطيفي للإشارات الدورية. من المعروف من مسار الرياضيات أن أي وظيفة دورية تفي بشروط ديريتشليت (أحد الشروط الضرورية هو شرط أن تكون الطاقة محدودة) يمكن تمثيلها بسلسلة فورييه في شكل مثلثي:

حيث يحدد متوسط ​​قيمة الإشارة خلال الفترة ويسمى المكون الثابت. التردد يسمى التردد الأساسي للإشارة (تردد التوافقي الأول) ، ومضاعفاته تسمى التوافقيات الأعلى. يمكن تمثيل التعبير (3) على النحو التالي:

العلاقات العكسية للمعاملات a و b لها الشكل

يوضح الشكل 1 عرضًا نموذجيًا للرسم البياني لطيف السعة لإشارة دورية للشكل المثلثي للسلسلة (6):

استخدام تعبير (صيغة أويلر).

بدلاً من (6) ، يمكننا كتابة الصيغة المعقدة لسلسلة فورييه:

حيث يُطلق على المعامل الاستطالات المعقدة للتوافقيات ، ويتم تحديد قيمها ، على النحو التالي من (4) وصيغة أويلر ، من خلال التعبير:

بمقارنة (6) و (9) ، نلاحظ أنه عند استخدام الشكل المعقد لسلسلة فورييه ، تسمح لنا القيم السالبة لـ k بالحديث عن مكونات ذات "ترددات سالبة". ومع ذلك ، فإن مظهر الترددات السالبة له طبيعة رسمية ويرتبط باستخدام تدوين معقد لتمثيل إشارة حقيقية.

ثم بدلاً من (9) نحصل على:

له البعد [السعة / هرتز] ويظهر اتساع الإشارة لكل نطاق من 1 هرتز. لذلك ، تسمى دالة التردد المستمر S (jw) الكثافة الطيفية للسعات المعقدة أو ببساطة الكثافة الطيفية. نلاحظ ظرفًا مهمًا واحدًا. بمقارنة التعبيرات (10) و (11) ، نلاحظ أنهما يختلفان فقط في w = kwo بعامل ثابت ، و

أولئك. يمكن تحديد السعات المعقدة لوظيفة دورية مع الفترة T من الخاصية الطيفية لوظيفة غير دورية من نفس الشكل ، معطاة في الفترة. ما سبق صحيح أيضًا فيما يتعلق بمعامل الكثافة الطيفية:

ويترتب على هذه العلاقة أن غلاف طيف الاتساع المستمر لإشارة غير دورية ومغلف اتساع الطيف الخطي للإشارة الدورية يتطابقان في الشكل ويختلفان فقط في المقياس. دعونا الآن نحسب طاقة الإشارة غير الدورية. بضرب جزئي عدم المساواة (14) في s (t) والدمج في حدود لانهائية ، نحصل على:

حيث S (jw) و S (-jw) كميات مترافقة معقدة. لأن

يسمى هذا التعبير مساواة بارسيفال للإشارة غير الدورية. يحدد الطاقة الإجمالية للإشارة. ويترتب على ذلك أنه لا يوجد أكثر من طاقة الإشارة لكل 1 هرتز من نطاق التردد حول التردد w. لذلك ، تسمى الوظيفة أحيانًا كثافة الطاقة الطيفية للإشارة s (t). نقدم الآن ، بدون دليل ، عدة نظريات حول الأطياف تعبر عن الخصائص الرئيسية لتحويل فورييه.



تحميل...
قمة