ฟังก์ชันเชิงเส้นของตัวแปรเชิงซ้อน z เป็นฟังก์ชันของรูปแบบโดยที่ a และ 6 จะได้รับจำนวนเชิงซ้อน และ a Ф 0 ฟังก์ชันเชิงเส้นถูกกำหนดไว้สำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรอิสระ r ซึ่งเป็นค่าเดียวและ เนื่องจากฟังก์ชันผกผันยังเป็นค่าเดียว จึงไม่มีวาเลนต์ในระนาบ z ทั้งหมด ฟังก์ชันเชิงเส้นตรงคือการวิเคราะห์ในระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด และอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้จึงสอดคล้องกับการทำแผนที่ที่ทำในระนาบทั้งหมด ฟังก์ชันเชิงเส้นเศษส่วนเป็นฟังก์ชันของรูปแบบ - กำหนดจำนวนเชิงซ้อน และฟังก์ชันเชิงเส้นเศษส่วนถูกกำหนดสำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรอิสระ zy ยกเว้น z = -| เป็นค่าเดียวและเนื่องจากผกผัน ฟังก์ชัน ฟังก์ชันเบื้องต้นของตัวแปรเชิงซ้อน ฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ ฟังก์ชันกำลัง ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันลอการิทึม ฟังก์ชันตรีโกณมิติและไฮเพอร์โบลิกมีค่าเดียว ไม่มีวาเลนต์ในระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด ยกเว้นจุด z = - ในพื้นที่นี้ ฟังก์ชัน (3) เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ และอนุพันธ์ของมันจึงเป็นไปตามการทำแผนที่ ให้เราขยายฟังก์ชัน (3) ที่จุด z = - \, การตั้งค่า t) = oo และวางจุดที่อนันต์ w = oo ให้สัมพันธ์กับจุด z(oo) = จากนั้นฟังก์ชันเศษส่วนเชิงเส้นจะเป็นเอกพจน์ ในระนาบเชิงซ้อนขยาย z ตัวอย่างที่ 1 พิจารณาฟังก์ชันเชิงเส้น-เศษส่วน จากความเท่าเทียมกัน มอดูลีของจำนวนเชิงซ้อน r และ u มีความสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์ และตัวเลขเหล่านี้เองตั้งอยู่บนรังสีที่เปล่งออกมาจากจุด O และสมมาตรเกี่ยวกับแกนจริง โดยเฉพาะจุดวงกลมหน่วย |z| = 1 ไปที่จุดของวงกลมหนึ่งหน่วย N = 1 ในกรณีนี้ หมายเลขคอนจูเกตถูกกำหนดให้กับจำนวนเชิงซ้อน (รูปที่ 11) โปรดทราบด้วยว่าฟังก์ชัน r0 = -g จับคู่จุดที่อินฟินิตี้ r - oo ถึงศูนย์ r0 - 0 2.2 ฟังก์ชันกำลัง ฟังก์ชันกำลังโดยที่ n เป็นจำนวนธรรมชาติ จะถูกวิเคราะห์ในระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด อนุพันธ์ของมัน = nzn~] สำหรับ η > 1 ไม่เป็นศูนย์ในทุกจุด ยกเว้น z = 0 การเขียน w และ z ในสูตร (4) ในรูปแบบเลขชี้กำลัง เราได้มาจากสูตร (5) จะเห็นได้ว่าจำนวนเชิงซ้อน Z \ และ z2 โดยที่ k เป็นจำนวนเต็มไปที่จุดหนึ่ง w ดังนั้น สำหรับการแมป n > 1 (4) จึงไม่เหมือนกันบนระนาบ z ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของโดเมนที่การทำแผนที่ ri = zn เป็นเอกพจน์คือเซกเตอร์ที่ a เป็นจำนวนจริงใดๆ ในภูมิภาค (7) การทำแผนที่ (4) เป็นไปตามมาตรฐาน - มีค่าหลายค่า เพราะสำหรับแต่ละจำนวนเชิงซ้อน z = r1v Φ 0 เราสามารถระบุจำนวนเชิงซ้อนที่แตกต่างกันได้ n จำนวน ดังนั้น องศาที่ nเท่ากับ z: โปรดทราบว่าพหุนามของดีกรี n ของตัวแปรเชิงซ้อน z เป็นฟังก์ชันที่ให้จำนวนเชิงซ้อน และ ao Ф 0 พหุนามของดีกรีใดๆ เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด 2.3. ฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ ฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะเป็นฟังก์ชันของรูปแบบโดยที่) เป็นพหุนามของตัวแปรเชิงซ้อน z ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนจะวิเคราะห์ในระนาบทั้งหมด ยกเว้นจุดที่ตัวส่วน Q(z) หายไป ตัวอย่างที่ 3 ฟังก์ชัน Zhukovsky เป็นการวิเคราะห์ในระนาบทั้งหมด z ยกเว้นจุด z = 0 ให้เราค้นหาเงื่อนไขในพื้นที่ของระนาบเชิงซ้อนซึ่งฟังก์ชัน Zhukovsky ที่พิจารณาในภูมิภาคนี้จะเป็นแบบเอกพจน์ M ให้จุด Z) และ zj ถูกถ่ายโอนโดยฟังก์ชัน (8) เป็นหนึ่งจุด ดังนั้นสำหรับความไม่สมดุลของฟังก์ชัน Zhukovsky จึงมีความจำเป็นและเพียงพอที่เงื่อนไขจะเป็นไปตามนั้น ตัวอย่างของโดเมนที่ตรงตามเงื่อนไขเอกภาพ (9) คือด้านนอกของวงกลม |z| > 1 เนื่องจากอนุพันธ์ของฟังก์ชัน Zhukovsky ฟังก์ชันเบื้องต้นของตัวแปรที่ซับซ้อน ฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ ฟังก์ชันกำลัง ฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล ฟังก์ชันลอการิทึม ฟังก์ชันตรีโกณมิติและไฮเพอร์โบลิกไม่เป็นศูนย์ทุกที่ ยกเว้นที่จุด จากนั้นการแมปของพื้นที่ที่ฟังก์ชันนี้ดำเนินการจะเป็น สอดคล้อง (รูปที่ 13) โปรดทราบว่าภายในของ unit disk |I ยังเป็นโดเมนของ univalence ของฟังก์ชัน Zhukovsky ด้วย ข้าว. 13 2.4. ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เรากำหนดฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ez สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z = x + y โดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้ สำหรับ x = 0 เราได้สูตรออยเลอร์: ให้เราอธิบายคุณสมบัติหลักของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง: 1. สำหรับ z จริง นิยามนี้ ตรงกับปกติ สิ่งนี้สามารถตรวจสอบได้โดยตรงโดยการตั้งค่า y = 0 ในสูตร (10) 2. ฟังก์ชัน ez คือการวิเคราะห์บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดและสูตรการสร้างความแตกต่างปกติจะถูกเก็บรักษาไว้ 3. ทฤษฎีบทการบวกถูกสงวนไว้สำหรับฟังก์ชัน ez . ให้ 4. ฟังก์ชัน ez เป็นคาบที่มีคาบหลักจินตภาพ 2xi อันที่จริง สำหรับจำนวนเต็ม k ใดๆ ในทางกลับกัน ถ้าจากนิยาม (10) มันเป็นไปตามนั้น มาจากไหน หรือโดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม แถบนี้ไม่มีจุดคู่เดียวที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ (12) ดังนั้นจึงติดตามจากการศึกษาว่าการทำแผนที่ w = e" เป็นเอกพจน์ในแถบ (รูปที่ 14) เนื่องจากเป็นอนุพันธ์ การทำแผนที่นี้จึงเป็น Conformal หมายเหตุ niv ฟังก์ชัน rg เป็นเอกพจน์ในแถบใดๆ 2.5 ฟังก์ชันลอการิทึม จากสมการที่กำหนด ค่าที่ไม่รู้จัก เราได้รับ ดังนั้น ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันจึงถูกกำหนดสำหรับใดๆ และแสดงโดยสูตรที่ ฟังก์ชันค่าเรียกว่าลอการิทึมและเขียนแทนด้วย จากนั้นสำหรับ Ln z เราจะได้สูตร 2.6 ฟังก์ชันตรีโกณมิติและไฮเพอร์โบลิก จากสูตรของออยเลอร์ (11) จริง y เราได้รับ มาจากไหน เรากำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติ sin z และ cos z สำหรับความซับซ้อนใดๆ หมายเลข z โดยใช้สูตรต่อไปนี้: ไซน์และโคไซน์ของอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนมีคุณสมบัติที่น่าสนใจ เราแสดงรายการคุณสมบัติหลัก: ฟังก์ชัน sinz และ cos z: 1) ของจริง x z -x ตรงกับไซน์และโคไซน์ปกติ 2) มีการวิเคราะห์บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด 3) ปฏิบัติตามสูตรการสร้างความแตกต่างตามปกติ: 4) เป็นงวดที่มีระยะเวลา 2n; 5) บาป z - ฟังก์ชันคี่ a cos z - คู่; 6) ความสัมพันธ์ทางตรีโกณมิติตามปกติจะถูกรักษาไว้ คุณสมบัติที่ระบุไว้ทั้งหมดสามารถหาได้ง่ายจากสูตร (15) ฟังก์ชัน tgz และ ctgz ในโดเมนที่ซับซ้อนถูกกำหนดโดยสูตร และฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกถูกกำหนดโดยสูตร "ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ ความสัมพันธ์นี้แสดงโดยความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: ไซน์และโคไซน์ของอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนมี คุณสมบัติที่สำคัญอีกประการหนึ่ง: บนระนาบเชิงซ้อน | \ หาค่าบวกโดยพลการ โดยใช้คุณสมบัติ 6 และสูตร (18) เราได้รับฟังก์ชันเบื้องต้นของตัวแปรเชิงซ้อน ฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ ฟังก์ชันกำลัง ฟังก์ชันกำลัง ฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล ฟังก์ชันลอการิทึม ฟังก์ชันตรีโกณมิติและไฮเพอร์โบลิก ตัวอย่างที่ 4 เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่า -4 ,
, หน้า 611 ฟังก์ชันพื้นฐานของตัวแปรเชิงซ้อน
จำนิยามของเลขชี้กำลังเชิงซ้อน - . แล้ว
การขยายซีรีย์ Maclaurin รัศมีของการบรรจบกันของอนุกรมนี้คือ +∞ ซึ่งหมายความว่าเลขชี้กำลังเชิงซ้อนถูกวิเคราะห์บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดและ
(exp z)"=exp z; exp 0=1. (2)
ความเท่าเทียมกันประการแรกต่อไปนี้ ตัวอย่างเช่น จากทฤษฎีบทเกี่ยวกับการสร้างความแตกต่างแบบเทอมต่อเทอมของอนุกรมกำลัง
11.1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติและไฮเพอร์โบลิก
ค่าไซน์ของตัวแปรเชิงซ้อนเรียกว่าฟังก์ชัน
โคไซน์ของตัวแปรเชิงซ้อนมีฟังก์ชั่น
ไฮเปอร์โบลิกไซน์ของตัวแปรเชิงซ้อนถูกกำหนดดังนี้:
โคไซน์ไฮเปอร์โบลิกของตัวแปรเชิงซ้อน-- เป็นฟังก์ชัน
เราสังเกตคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชันที่เพิ่งเปิดตัว
ก.ถ้า x∈ ℝ แล้ว cos x, sin x, ch x, sh x∈ ℝ .
ข.มีการเชื่อมต่อระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติและไฮเปอร์โบลิกดังต่อไปนี้:
cos iz=ch z; บาป iz=ish z, ch iz=cos z; ชิซ=ไอซินซ์
B. เอกลักษณ์ตรีโกณมิติและไฮเปอร์โบลิกพื้นฐาน:
cos 2 z+บาป 2 z=1; ch 2 z-sh 2 z=1.
การพิสูจน์เอกลักษณ์ไฮเปอร์โบลิกพื้นฐาน
เอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลักตามมาจากเอกลักษณ์ไฮเปอร์โบลิก Ononian เมื่อคำนึงถึงการเชื่อมต่อระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติและไฮเปอร์โบลิก (ดูคุณสมบัติ B)
จี สูตรเสริม:
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,
ง.ในการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติและไฮเพอร์โบลิก เราควรนำทฤษฎีบทนี้ไปใช้ในการหาอนุพันธ์แบบเทอมต่อเทอมของอนุกรมกำลัง เราได้รับ:
(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)"=ch z.
อีฟังก์ชัน cos z, ch z เป็นจำนวนคู่ ในขณะที่ฟังก์ชัน sin z, sh z เป็นเลขคี่
ก. (รอบระยะเวลา)ฟังก์ชัน e z เป็นคาบโดยมีคาบ 2π i ฟังก์ชัน cos z, sin z เป็นคาบที่มีคาบ 2π และฟังก์ชัน ch z, sh z เป็นคาบที่มีคาบ 2πi นอกจากนี้,
ใช้สูตรผลรวมเราจะได้
W. การสลายตัวเป็นส่วนจริงและส่วนจินตภาพ:
ถ้าฟังก์ชันวิเคราะห์ค่าเดียว f(z) แมปโดเมน D กับโดเมน G แบบสองทางแยกกัน ดังนั้น D จะถูกเรียกว่าโดเมนของความเป็นเอกภาพ
และ.โดเมน D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .
การพิสูจน์. ความสัมพันธ์ (5) บอกเป็นนัยว่า exp การทำแผนที่:D k → ℂ เป็นคำบุพบท ให้ w เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ แล้วแก้สมการ e x =|w| และ e iy =w/|w| ด้วยตัวแปรจริง x และ y (เราเลือก y จาก half-interval )
กำลังโหลด...