Складні інтеграли

Ця стаття завершує тему невизначених інтегралів, і до неї включені інтеграли, які вважаю досить складними. Урок створено на неодноразові прохання відвідувачів, які висловлювали побажання, щоб на сайті були розібрані і складніші приклади.

Передбачається, що читач цього тексту добре підготовлений та вміє застосовувати основні прийоми інтегрування. Чайникам і людям, які не дуже впевнено розуміються на інтегралах, слід звернутися до першого уроку – Невизначений інтеграл. Приклади рішеньде можна освоїти тему практично з нуля. Більш досвідчені студенти можуть ознайомитися з прийомами та методами інтегрування, які у моїх статтях ще не зустрічалися.

Які інтеграли будуть розглянуті?

Спочатку ми розглянемо інтеграли з корінням, для вирішення яких послідовно використовується заміна змінноїі інтегрування частинами. Тобто, в одному прикладі комбінуються одразу два прийоми. І навіть більше.

Потім ми познайомимося з цікавим та оригінальним шляхом зведення інтеграла до себе. Цим способом вирішується не так вже й мало інтегралів.

Третім номером програми підуть інтеграли від складних дробів, які пролетіли повз касу в попередніх статтях.

По-четверте, буде розібрано додаткові інтеграли від тригонометричних функцій. Зокрема, існують методи, які дозволяють уникнути трудомісткої універсальної тригонометричної підстановки.

(2) У підінтегральній функції почленно ділимо чисельник на знаменник.

(3) Використовуємо якість лінійності невизначеного інтеграла. В останньому інтегралі відразу підводимо функцію під знак диференціалу.

(4) Беремо інтеграли, що залишилися. Зверніть увагу, що в логарифмі можна використовувати дужки, а не модуль, тому що .

(5) Проводимо зворотну заміну, висловивши із прямої заміни «те»:

Студенти-мазохісти можуть продиференціювати відповідь і отримати вихідну підінтегральну функцію, як це зробив я. Ні-ні, я в правильному сенсі виконав перевірку =)

Як бачите, у ході рішення довелося використати навіть більше двох прийомів рішення, таким чином, для розправи з подібними інтегралами потрібні впевнені навички інтегрування та не найменший досвід.

На практиці, звичайно, частіше зустрічається квадратний корінь, ось три приклади для самостійного вирішення:

Приклад 2

Знайти невизначений інтеграл

Приклад 3

Знайти невизначений інтеграл

Приклад 4

Знайти невизначений інтеграл

Ці приклади однотипні, тому повне рішення наприкінці статті буде лише для Прикладу 2, у Прикладах 3-4 – одні відповіді. Яку заміну застосовувати на початку рішень, гадаю, очевидно. Чому я підібрав однотипні приклади? Часто зустрічаються у своєму амплуа. Частіше, мабуть, тільки щось на зразок .

Не завжди, коли під арктангенсом, синусом, косинусом, експонентою та інших. функціями перебуває корінь з лінійної функції, доводиться застосовувати відразу кілька методів. У ряді випадків вдається "легко відбутися", тобто відразу після заміни виходить простий інтеграл, який елементарно береться. Найлегшим із запропонованих вище завдань є Приклад 4, у ньому після заміни виходить відносно нескладний інтеграл.

Методом зведення інтеграла до себе

Дотепний та красивий метод. Негайно розглянемо класику жанру:

Приклад 5

Знайти невизначений інтеграл

Під коренем знаходиться квадратний двочлен, і при спробі проінтегрувати цей приклад чайник може страждати годинами. Такий інтеграл береться частинами і зводиться до себе. У принципі, не складно. Якщо знаєш як.

Позначимо аналізований інтеграл латинською літерою і почнемо рішення:

Інтегруємо частинами:

(1) Готуємо підінтегральну функцію почленного поділу.

(2) Членно ділимо підінтегральну функцію. Можливо, не всім зрозуміло, розпишу докладніше:

(3) Використовуємо якість лінійності невизначеного інтеграла.

(4) Беремо останній інтеграл («довгий» логарифм).

Тепер дивимося на початок рішення:

І наприкінці:

Що сталося? Внаслідок наших маніпуляцій інтеграл звівся до самого себе!

Прирівнюємо початок та кінець:

Переносимо до лівої частини зі зміною знака:

А двійку зносимо у праву частину. В результаті:

Константу, строго кажучи, треба було додати раніше, але приписав її наприкінці. Наполегливо рекомендую прочитати, у чому тут строгість:

Примітка: Суворіше завершальний етап рішення виглядає так:

Таким чином:

Константу можна позначити через . Чому можна перепозначити? Тому що все одно приймає будь-якізначення, і в цьому сенсі між константами немає жодної різниці.
В результаті:

Подібний трюк з перепозначенням константи широко використовується в диференціальних рівняннях. І там я буду суворий. А тут така вільність допускається мною тільки для того, щоб не плутати вас зайвими речами та акцентувати увагу саме на методі інтегрування.

Приклад 6

Знайти невизначений інтеграл

Ще один типовий інтеграл для самостійного вирішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку. Різниця із відповіддю попереднього прикладу буде!

Якщо під квадратним коренем знаходиться квадратний тричлен, то рішення у будь-якому випадку зводиться до двох розібраних прикладів.

Наприклад, розглянемо інтеграл . Все, що потрібно зробити – попередньо виділити повний квадрат:
.
Далі проводиться лінійна заміна, яка обходиться «без жодних наслідків»:
, у результаті виходить інтеграл . Щось знайоме, правда?

Або такий приклад, із квадратним двочленом:
Виділяємо повний квадрат:
І, після лінійної заміни, отримуємо інтеграл, який також вирішується за вже розглянутим алгоритмом.

Розглянемо ще два типові приклади на прийом відомості інтеграла до самого себе:
- Інтеграл від експоненти, помноженої на синус;
- Інтеграл від експоненти, помноженої на косинус.

У перелічених інтегралах частинами доведеться інтегрувати вже двічі:

Приклад 7

Знайти невизначений інтеграл

Підінтегральна функція – експонента, помножена на синус.

Двічі інтегруємо частинами і зводимо інтеграл до себе:

В результаті дворазового інтегрування частинами інтеграл звівся до самого себе. Прирівнюємо початок та закінчення рішення:

Переносимо в ліву частину зі зміною знака та виражаємо наш інтеграл:

Готово. Принагідно бажано причесати праву частину, тобто. винести експоненту за дужки, а в дужках розташувати синус із косинусом у «красивому» порядку.

Тепер повернемося до початку прикладу, а точніше – до інтегрування частинами:

За ми окреслили експоненту. Виникає питання, чи саме експоненту завжди потрібно позначати за ? Не обов'язково. Насправді у розглянутому інтегралі важливо без різниці, Що позначати за , можна було піти іншим шляхом:

Чому таке можливе? Тому що експонента перетворюється сама на себе (і при диференціюванні, і при інтегруванні), синус з косинусом взаємно перетворюються один на одного (знову ж таки – і при диференціюванні, і при інтегруванні).

Тобто, можна позначити і тригонометричну функцію. Але, у розглянутому прикладі це менш раціонально, оскільки з'являться дроби. За бажання можете спробувати вирішити цей приклад другим способом, відповіді обов'язково повинні збігтися.

Приклад 8

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад самостійного рішення. Перед тим як вирішувати, подумайте, що вигідніше в даному випадку позначити за експоненту, або тригонометричну функцію? Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

І, звичайно, не забувайте, що більшість відповідей цього уроку досить легко перевірити диференціюванням!

Приклади були розглянуті не найскладніші. Насправді частіше зустрічаються інтеграли, де константа є й у показнику експоненти й у аргументі тригонометричної функції, например: . Поплутатися в подібному інтегралі доведеться багатьом, часто плутаюсь і я сам. Справа в тому, що у рішенні велика ймовірність появи дробів, і дуже просто що-небудь через неуважність втратити. Крім того, велика ймовірність помилки у знаках, зверніть увагу, що у показнику експоненти є знак «мінус», і це вносить додаткову складність.

На завершальному етапі часто виходить приблизно таке:

Навіть наприкінці рішення слід бути дуже уважним і грамотно розібратися з дробами:

Інтегрування складних дробів

Потроху підбираємось до екватора уроку і починаємо розглядати інтеграли від дробів. Знову ж таки, не всі вони суперскладні, просто з тих чи інших причин приклади були трохи «не в тему» ​​в інших статтях.

Продовжуємо тему коріння

Приклад 9

Знайти невизначений інтеграл

У знаменнику під коренем знаходиться квадратний тричлен плюс за межами кореня доважок у вигляді ікса. Інтеграл такого виду вирішується за допомогою стандартної заміни.

Вирішуємо:

Заміна тут проста:

Дивимося на життя після заміни:

(1) Після підстановки приводимо до спільного знаменника доданки під коренем.
(2) Виносимо з-під кореня.
(3) Чисельник і знаменник скорочуємо на . Заодно під корінням я переставив доданки у зручному порядку. При певному досвіді кроки (1) (2) можна пропускати, виконуючи прокоментовані дії усно.
(4) Отриманий інтеграл, як ви пам'ятаєте з уроку Інтегрування деяких дробів, вирішується методом виділення повного квадрата. Виділяємо повний квадрат.
(5) Інтегруванням отримуємо пересічний «довгий» логарифм.
(6) Проводимо зворотну заміну. Якщо спочатку , то назад: .
(7) Заключна дія спрямована на зачіску результату: під коренем знову наводимо доданки до спільного знаменника і виносимо з-під кореня.

Приклад 10

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад самостійного рішення. Тут до одинокого «ікса» додано константу, і заміна майже така сама:

Єдине, що потрібно додатково зробити – висловити «ікс» із заміни, що проводиться:

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Іноді в такому інтегралі під коренем може бути квадратний двочлен, це не змінює спосіб вирішення, воно буде навіть простіше. Відчуйте різницю:

Приклад 11

Знайти невизначений інтеграл

Приклад 12

Знайти невизначений інтеграл

Короткі рішення та відповіді наприкінці уроку. Слід зазначити, що приклад 11 є в точності біномним інтегралом, метод вирішення якого розглядався на уроці Інтеграли від ірраціональних функцій.

Інтеграл від нерозкладного багаточлена 2-го ступеня

(багаточлен у знаменнику)

Рідкіший, проте, що зустрічає в практичних прикладах вид інтеграла.

Приклад 13

Знайти невизначений інтеграл

Але повернемося, наприклад, зі щасливим номером 13 (чесне слово, не підгадав). Цей інтеграл теж із розряду тих, з якими можна неабияк промучитися, якщо не знаєш, як вирішувати.

Рішення починається зі штучного перетворення:

Як почленно розділити чисельник на знаменник, гадаю, вже всі розуміють.

Отриманий інтеграл береться частинами:

Для інтеграла виду ( – натуральне число) виведено рекурентнаформула зниження ступеня:
, де - Інтеграл ступенем нижче.

Переконаємося у справедливості цієї формули для вирішеного інтеграла.
В даному випадку: , , використовуємо формулу:

Як бачите, відповіді збігаються.

Приклад 14

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад самостійного рішення. У зразку рішення двічі послідовно використано вищезгадану формулу.

Якщо під ступенем знаходиться нерозкладний на множникиквадратний тричлен, то рішення зводиться до двочлена шляхом виділення повного квадрата, наприклад:

Що робити, якщо додатково в чисельнику є багаточлен? У цьому випадку використовується метод невизначених коефіцієнтів, і підінтегральна функція розкладається на суму дробів. Але у моїй практиці такого прикладу не зустрічалося жодного разутому я пропустив цей випадок у статті Інтеграли від дробово-раціональної функції, пропущу і зараз. Якщо такий інтеграл таки зустрінеться, дивіться підручник – там усе просто. Не вважаю за доцільне включати матеріал (навіть нескладний), ймовірність зустрічі з яким прагне нуля.

Інтегрування складних тригонометричних функцій

Прикметник «складний» для більшості прикладів знову має багато в чому умовний характер. Почнемо з тангенсів та котангенсів у високих ступенях. З погляду використовуваних методів вирішення тангенс і котангенс – майже одне й теж, тому я більше говоритиму про тангенс, маючи на увазі, що продемонстрований прийом рішення інтеграла справедливий і для котангенсу теж.

На вищезгаданому уроці ми розглядали універсальну тригонометричну підстановкуна вирішення певного виду інтегралів від тригонометричних функцій. Недолік універсальної тригонометричної підстановки у тому, що з її застосуванні часто виникають громіздкі інтеграли з важкими обчисленнями. І в ряді випадків універсальної тригонометричної підстановки можна уникнути!

Розглянемо ще один канонічний приклад, інтеграл від одиниці, поділеної на синус:

Приклад 17

Знайти невизначений інтеграл

Тут можна використовувати універсальну тригонометричну підстановку та отримати відповідь, але існує раціональніший шлях. Я наведу повне рішення з коментами до кожного кроку:

(1) Використовуємо тригонометричну формулу синуса подвійного кута.
(2) Проводимо штучне перетворення: У знаменнику ділимо та множимо на .
(3) За відомою формулою у знаменнику перетворюємо дріб на тангенс.
(4) Підбиваємо функцію під знак диференціала.
(5) Беремо інтеграл.

Пара простих прикладівдля самостійного вирішення:

Приклад 18

Знайти невизначений інтеграл

Вказівка: Найпершою дією слід використовувати формулу приведення та акуратно провести аналогічні попередньому прикладу дії.

Приклад 19

Знайти невизначений інтеграл

Ну, це дуже простий приклад.

Повні рішення та відповіді наприкінці уроку.

Думаю, тепер ні в кого не виникне проблем із інтегралами:
і т.п.

У чому полягає ідея методу? Ідея полягає в тому, щоб за допомогою перетворень, тригонометричних формул організувати в підінтегральній функції тільки тангенси та похідну тангенсу. Тобто йдеться про заміну: . У Прикладах 17-19 ми фактично й застосовували цю заміну, але інтеграли були настільки прості, що обійшлося еквівалентним дією – підведенням функції під знак диференціала .

Аналогічні міркування, як я вже обговорювався, можна провести для котангенсу.

Існує і формальна передумова для застосування вищезгаданої заміни:

Сума ступенів косинуса та синуса – ціле негативне ЧЕТНЕ число, наприклад:

для інтеграла – ціле негативне ЧЕТНЕ число.

! Примітка Якщо підінтегральна функція містить ТІЛЬКИ синус або ТІЛЬКИ косинус, то інтеграл береться і при негативному непарному ступені (найпростіші випадки – у Прикладах №№17, 18).

Розглянемо пару більш змістовних завдань на це правило:

Приклад 20

Знайти невизначений інтеграл

Сума ступенів синуса та косинуса : 2 – 6 = –4 – ціле негативне ЧЕТНЕ число, отже, інтеграл можна звести до тангенсів та його похідної:

(1) Перетворимо знаменник.
(2) За відомою формулою отримуємо .
(3) Перетворимо знаменник.
(4) Використовуємо формулу .
(5) Підбиваємо функцію під знак диференціала.
(6) Проводимо заміну. Досвідченіші студенти заміну можуть і не проводити, але все-таки краще замінити тангенс однією літерою - менше ризик заплутатися.

Приклад 21

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад самостійного рішення.

Тримайтеся, починаються чемпіонські раунди =)

Найчастіше в підінтегральній функції знаходиться «солянка»:

Приклад 22

Знайти невизначений інтеграл

У цьому інтегралі спочатку присутній тангенс, що відразу наштовхує на вже знайому думку:

Штучне перетворення на самому початку та інші кроки залишу без коментарів, оскільки про все вже говорилося вище.

Пара творчих прикладів для самостійного вирішення:

Приклад 23

Знайти невизначений інтеграл

Приклад 24

Знайти невизначений інтеграл

Так, у них, звичайно, можна знизити ступеня синуса, косинуса, використовувати універсальну тригонометричну підстановку, але рішення буде набагато ефективнішим і коротшим, якщо його провести через тангенси. Повне рішення та відповіді наприкінці уроку

Головні інтеграли, які має знати кожен студент

Перелічені інтеграли – це базис, основа основ. Ці формули, безумовно, слід запам'ятати. При обчисленні складніших інтегралів вам доведеться постійно користуватися ними.

Зверніть особливу увагуна формули (5), (7), (9), (12), (13), (17) та (19). Не забувайте при інтегруванні додавати до відповіді будь-яку постійну С!

Інтеграл від константи

∫ A d x = A x + C (1)

Інтегрування статечної функції

Насправді, можна було обмежитися лише формулами (5) і (7), але решта інтегралів із цієї групи зустрічається настільки часто, що варто приділити їм трохи уваги.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | + C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Інтеграли від показової функції та від гіперболічних функцій

Зрозуміло, формулу (8) (мабуть, найзручнішу для запам'ятовування) можна як окремий випадок формули (9). Формули (10) та (11) для інтегралів від гіперболічного синуса та гіперболічного косинуса легко виводяться з формули (8), але краще просто запам'ятати ці співвідношення.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Базові інтеграли від тригонометричних функцій

Помилка, яку часто роблять студенти: плутають знаки у формулах (12) та (13). Запам'ятавши, що похідна синуса дорівнює косинусу, багато хто чомусь вважає, що інтеграл від функції sinx дорівнює сosx. Це не вірно! Інтеграл від синуса дорівнює "мінус косинусу", а ось інтеграл від cosx дорівнює "просто синусу":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Інтеграли, що зводяться до зворотних тригонометричних функцій

Формула (16), що призводить до арктангенсу, природно, є окремим випадком формули (17) при a=1. Аналогічно, (18) – окремий випадок (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = r c t g x + C = − a r c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Більш складні інтеграли

Ці формули теж бажано запам'ятати. Вони також використовуються досить часто, які висновок досить стомлюючий.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 – a 2 | + C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 – a 2 | + C (a > 0) (24)

Загальні правила інтегрування

1) Інтеграл від суми двох функцій дорівнює сумі відповідних інтегралів: ∫(f(x) + g(x)) d x = ∫ f(x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Інтеграл від різниці двох функцій дорівнює різниці відповідних інтегралів: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Константу можна виносити за знак інтеграла: ∫ C f(x) d x = C ∫ f(x) d x (27)

Легко помітити, що властивість (26) – це просто комбінація властивостей (25) та (27).

4) Інтеграл від складної функції, якщо внутрішня функція є лінійною: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Тут F(x) - первісна для функції f(x). Зверніть увагу: ця формула підходить тільки для випадку, коли внутрішня функція має вигляд Ax+B.

Важливо: немає універсальної формули для інтеграла від добутку двох функцій, а також для інтеграла від дробу:

∫ f(x) g(x) d x = ? ∫ f(x) g(x) d x = ? (30)

Не означає, звісно, ​​що дріб чи твір не можна проінтегрувати. Просто щоразу, побачивши інтеграл типу (30), вам доведеться винаходити спосіб боротьби з ним. У якихось випадках вам допоможе інтегрування частинами, десь доведеться зробити заміну змінною, а іноді допомогу можуть надати навіть "шкільні" формули алгебри або тригонометрії.

Простий приклад обчислення невизначеного інтеграла

Приклад 1. Знайти інтеграл: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Скористаємося формулами (25) і (26) (інтеграл від суми або різниці функцій дорівнює сумі або різниці відповідних інтегралів. Отримуємо: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Згадаймо, що константу можна виносити знак інтеграла (формула (27)). Вираз перетворюється на вид

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

А тепер просто скористаємось таблицею основних інтегралів. Нам потрібно застосувати формули (3), (12), (8) та (1). Проінтегруємо статечну функцію, синус, експоненту та константу 1. Не забудемо додати в кінці довільну постійну С:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Після елементарних перетворень отримуємо остаточну відповідь:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Перевірте себе диференціюванням: візьміть похідну від отриманої функції та переконайтеся, що вона дорівнює вихідному підінтегральному виразу.

Зведена таблиця інтегралів

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | + C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 – a 2 | + C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 – a 2 | + C (a > 0)

Завантажте таблицю інтегралів (частина II) за цим посиланням

Якщо Ви навчаєтесь у ВНЗ, якщо у Вас виникли складнощі з вищою математикою (математичний аналіз, лінійна алгебра, теорія ймовірностей, статистика), якщо Вам потрібні кваліфіковані викладачі, зайдіть на сторінку репетитора з вищої математики . Вирішуватимемо Ваші проблеми разом!

Можливо, вас зацікавлять також