АЧХ фільтра Баттерворт описується рівнянням
Особливості фільтра Баттерворт: нелінійна ФЧХ; частота зрізу не залежить від кількості полюсів; коливальний характер перехідної характеристики при ступінчастому вхідному сигналі Зі збільшенням порядку фільтра коливальний характер посилюється.
Фільтр Чебишева
АЧХ фільтра Чебишева описується рівнянням
,
де T n 2 (ω/ω н ) – поліном Чебишева n-го порядку.
Поліном Чебишева обчислюється за рекурентною формулою
Особливості фільтра Чебишева: - підвищена нерівномірність ФЧХ; хвилеподібна характеристика смуги пропускання. Чим вище коефіцієнт нерівномірності АЧХ фільтра у смузі пропускання, тим паче різкий спад у перехідній області при тому самому порядку. Коливання перехідного процесу при ступінчастому вхідний сигналсильніше, ніж у фільтра Баттерворт. Добротність полюсів фільтра Чебишева вища, ніж у фільтра Баттерворта.
Фільтр Бесселя
АЧХ фільтра Бесселя описується рівнянням
,
де 
;B n 2
(ω/ω
cp з )
– поліном Бесселя n-го порядку.
Поліном Бесселя обчислюється за рекурентною формулою
Особливості фільтра Бесселя: досить рівномірні АЧХ та ФЧХ, що апроксимуються функцією Гауса; фазовий зсув фільтра пропорційний частоті, тобто. фільтр має частотно-незалежний груповий час затримки. Частота зрізу змінюється за зміни кількості полюсів фільтра. Спад АЧХ фільтра зазвичай більш пологий, ніж у Баттерворта та Чебишева. Особливо добре цей фільтр підходить для імпульсних ланцюгів та фазочутливої обробки сигналу.
Фільтр Кауера (еліптичний фільтр)
Загальний вигляд функції фільтра Кауера
.
Особливості фільтра Кауера: нерівномірна АЧХ у смузі пропускання та у смузі затримування; найрізкіший спад АЧХ із усіх наведених фільтрів; реалізує необхідні передавальні функції при меншому порядку фільтра, ніж під час використання фільтрів інших типів.
Визначення порядку фільтра
Необхідний порядок фільтра визначається за наведеними нижче формулами і округляється у бік цілого найближчого значення. Порядок фільтра Баттерворта
.
Порядку фільтра Чебишева
.
Для фільтра Бесселя немає формули розрахунку порядку, натомість наводяться таблиці відповідності порядку фільтра мінімально необхідним на заданої частоті відхилення часу затримки від одиничної величини і рівню втрат в дБ).
При розрахунку порядку фільтра Бесселя задаються такі параметри:
Допустиме відсоткове відхилення групового часу затримки на заданій частоті ω ω cp з ;
Може бути заданий рівень ослаблення коефіцієнта передачі фільтра у дБ на частоті ω , нормованої щодо ω cp з .
З цих даних визначається необхідний порядок фільтра Бесселя.
Схеми каскадів фнч 1-го та 2-го порядку
На рис. 12.4, 12.5 наведено типові схеми каскадів ФНЧ.
а) б)
Мал. 12.4. Каскади ФНЧ Баттерворта, Чебишева та Бесселя: а – 1-го порядку; б - 2-го порядку
а) б)
Мал. 12.5. Каскади ФНЧ Кауера: а – 1-го порядку; б - 2-го порядку
Загальний вид передавальних функцій ФНЧ Баттерворта, Чебишева та Бесселя 1-го та 2-го порядку
,
.
Загальний вид передавальних функцій ФНЧ Кауера 1-го та 2-го порядку
, 
.
Ключовою відмінністю фільтра Кауера 2-го порядку від фільтра, що загороджує, є те, що в передавальній функції фільтра Кауера відношення частот Ω s ≠ 1.
Методика розрахунку ФНЧ Баттерворта, Чебишева та Бесселя
Ця методика побудована на основі коефіцієнтів, наведених у таблицях і справедлива для фільтрів Баттерворта, Чебишева та Бесселя. Методика розрахунку фільтрів Кауера наводиться окремо. Розрахунок ФНЧ Баттерворта, Чебишева та Бесселя починається з визначення їхнього порядку. Для всіх фільтрів задаються параметри мінімального та максимального ослаблення та частота зрізу. Для фільтрів Чебишева додатково визначається коефіцієнт нерівномірності АЧХ у смузі пропускання, а фільтрів Бесселя – груповий часзатримки. Далі визначається передатна функція фільтра, яка може бути взята з таблиць, і розраховуються його каскади 1-го та 2-го порядку, дотримується наступний порядок розрахунку:
Залежно від порядку та типу фільтра вибираються схеми його каскадів, при цьому фільтр парного порядку складається з n/2 каскадів 2-го порядку, а фільтр непарного порядку - з одного каскаду 1-го порядку і ( n– 1)/2 каскадів 2-го порядку;
Для розрахунку каскаду 1-го порядку:
За вибраним типом і порядком фільтра визначається значення b 1 каскаду 1-го порядку;
Зменшуючи площу, вибирається номінал ємності C та розраховується Rза формулою (можна вибрати і R, але рекомендується вибирати C, з міркування точності)
;
Обчислюється коефіцієнт посилення До у U 1 каскаду 1-го порядку, що визначається із співвідношення
,
де До у U- Коефіцієнт посилення фільтра в цілому; До у U 2 , …, До у Un- Коефіцієнти посилення каскадів 2-го порядку;
Для реалізації посилення До у U 1 необхідно задати резистори, виходячи з наступного співвідношення
R B = R A ּ (До у U1 –1) .
Для розрахунку каскаду 2-го порядку:
Зменшуючи площу, що займає, вибираються номінали ємностей C 1 = C 2 = C;
Вибираються за таблицями коефіцієнти b 1 iі Q piдля каскадів 2-го порядку;
За заданим номіналом конденсаторів C розраховуються резистори Rза формулою
;
Для вибраного типу фільтра необхідно задати відповідний коефіцієнт посилення До у Ui = 3 – (1/Q pi) кожного каскаду 2-го порядку, за допомогою завдання резисторів, виходячи з наступного співвідношення
R B = R A ּ (До у Ui –1) ;
Для фільтрів Бесселя необхідно помножити номінали всіх ємностей на потрібний час затримки.
АЧХ фільтра Баттерворт описується рівнянням
Особливості фільтра Баттерворт: нелінійна ФЧХ; частота зрізу не залежить від кількості полюсів; коливальний характер перехідної характеристики при ступінчастому вхідному сигналі Зі збільшенням порядку фільтра коливальний характер посилюється.
Фільтр Чебишева
АЧХ фільтра Чебишева описується рівнянням
,
де T n 2 (ω/ω н ) – поліном Чебишева n-го порядку.
Поліном Чебишева обчислюється за рекурентною формулою
Особливості фільтра Чебишева: - підвищена нерівномірність ФЧХ; хвилеподібна характеристика смуги пропускання. Чим вище коефіцієнт нерівномірності АЧХ фільтра у смузі пропускання, тим паче різкий спад у перехідній області при тому самому порядку. Коливання перехідного процесу при ступінчастому вхідному сигналі сильніше, ніж фільтр Баттерворта. Добротність полюсів фільтра Чебишева вища, ніж у фільтра Баттерворта.
Фільтр Бесселя
АЧХ фільтра Бесселя описується рівнянням
,
де 
;B n 2
(ω/ω
cp з )
– поліном Бесселя n-го порядку.
Поліном Бесселя обчислюється за рекурентною формулою
Особливості фільтра Бесселя: досить рівномірні АЧХ та ФЧХ, що апроксимуються функцією Гауса; фазовий зсув фільтра пропорційний частоті, тобто. фільтр має частотно-незалежний груповий час затримки. Частота зрізу змінюється за зміни кількості полюсів фільтра. Спад АЧХ фільтра зазвичай більш пологий, ніж у Баттерворта та Чебишева. Особливо добре цей фільтр підходить для імпульсних ланцюгів та фазочутливої обробки сигналу.
Фільтр Кауера (еліптичний фільтр)
Загальний вигляд функції фільтра Кауера
.
Особливості фільтра Кауера: нерівномірна АЧХ у смузі пропускання та у смузі затримування; найрізкіший спад АЧХ із усіх наведених фільтрів; реалізує необхідні передавальні функції при меншому порядку фільтра, ніж під час використання фільтрів інших типів.
Визначення порядку фільтра
Необхідний порядок фільтра визначається за наведеними нижче формулами і округляється у бік цілого найближчого значення. Порядок фільтра Баттерворта
.
Порядку фільтра Чебишева
.
Для фільтра Бесселя немає формули розрахунку порядку, натомість наводяться таблиці відповідності порядку фільтра мінімально необхідним на заданої частоті відхилення часу затримки від одиничної величини і рівню втрат в дБ).
При розрахунку порядку фільтра Бесселя задаються такі параметри:
Допустиме відсоткове відхилення групового часу затримки на заданій частоті ω ω cp з ;
Може бути заданий рівень ослаблення коефіцієнта передачі фільтра у дБ на частоті ω , нормованої щодо ω cp з .
З цих даних визначається необхідний порядок фільтра Бесселя.
Схеми каскадів фнч 1-го та 2-го порядку
На рис. 12.4, 12.5 наведено типові схеми каскадів ФНЧ.
а) б)
Мал. 12.4. Каскади ФНЧ Баттерворта, Чебишева та Бесселя: а – 1-го порядку; б - 2-го порядку
а) б)
Мал. 12.5. Каскади ФНЧ Кауера: а – 1-го порядку; б - 2-го порядку
Загальний вид передавальних функцій ФНЧ Баттерворта, Чебишева та Бесселя 1-го та 2-го порядку
,
.
Загальний вид передавальних функцій ФНЧ Кауера 1-го та 2-го порядку
, 
.
Ключовою відмінністю фільтра Кауера 2-го порядку від фільтра, що загороджує, є те, що в передавальній функції фільтра Кауера відношення частот Ω s ≠ 1.
Методика розрахунку ФНЧ Баттерворта, Чебишева та Бесселя
Ця методика побудована на основі коефіцієнтів, наведених у таблицях і справедлива для фільтрів Баттерворта, Чебишева та Бесселя. Методика розрахунку фільтрів Кауера наводиться окремо. Розрахунок ФНЧ Баттерворта, Чебишева та Бесселя починається з визначення їхнього порядку. Для всіх фільтрів задаються параметри мінімального та максимального ослаблення та частота зрізу. Для фільтрів Чебишева додатково визначається коефіцієнт нерівномірності АЧХ у смузі пропускання, а фільтрів Бесселя – груповий час затримки. Далі визначається передатна функція фільтра, яка може бути взята з таблиць, і розраховуються його каскади 1-го та 2-го порядку, дотримується наступний порядок розрахунку:
Залежно від порядку та типу фільтра вибираються схеми його каскадів, при цьому фільтр парного порядку складається з n/2 каскадів 2-го порядку, а фільтр непарного порядку - з одного каскаду 1-го порядку і ( n– 1)/2 каскадів 2-го порядку;
Для розрахунку каскаду 1-го порядку:
За вибраним типом і порядком фільтра визначається значення b 1 каскаду 1-го порядку;
Зменшуючи площу, вибирається номінал ємності C та розраховується Rза формулою (можна вибрати і R, але рекомендується вибирати C, з міркування точності)
;
Обчислюється коефіцієнт посилення До у U 1 каскаду 1-го порядку, що визначається із співвідношення
,
де До у U- Коефіцієнт посилення фільтра в цілому; До у U 2 , …, До у Un- Коефіцієнти посилення каскадів 2-го порядку;
Для реалізації посилення До у U 1 необхідно задати резистори, виходячи з наступного співвідношення
R B = R A ּ (До у U1 –1) .
Для розрахунку каскаду 2-го порядку:
Зменшуючи площу, що займає, вибираються номінали ємностей C 1 = C 2 = C;
Вибираються за таблицями коефіцієнти b 1 iі Q piдля каскадів 2-го порядку;
За заданим номіналом конденсаторів C розраховуються резистори Rза формулою
;
Для вибраного типу фільтра необхідно задати відповідний коефіцієнт посилення До у Ui = 3 – (1/Q pi) кожного каскаду 2-го порядку, за допомогою завдання резисторів, виходячи з наступного співвідношення
R B = R A ּ (До у Ui –1) ;
Для фільтрів Бесселя необхідно помножити номінали всіх ємностей на потрібний час затримки.
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> РФ)
Фільтр Баттерворта 4 порядку
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> РФ)
Фільтр Чебишева 3 порядку
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> РФ)
Фільтр Чебишева 4 порядки
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> РФ)
Фільтр Бесселя 3 порядку
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> РФ)
Фільтр Бесселя 4 порядку
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)
ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> РФ)
Здійснити аналіз впливу помилок завдання коефіцієнтів цифрового ФНЧ на АЧХ (змінюючи один з коефіцієнтів b j). Описати характер зміни ЧХ. Зробити висновок вплив зміни одного з коефіцієнтів на поведінку фільтра.
Аналіз впливу помилок завдання коефіцієнтів цифрового ФНЧ на АЧХ проведемо з прикладу фільтра Бесселя 4 порядку.
Виберемо величину відхилення коефіцієнтів ε, що дорівнює -1,5%, щоб максимальне відхилення АЧХ склало близько 10%.
АЧХ "ідеального" фільтра та фільтрів зі зміненими коефіцієнтами на величину ε показана на малюнку:
І 
з малюнка видно, що найбільший вплив на АЧХ має зміна коефіцієнтів b 1 і b 2 (їх величина перевищує величину інших коефіцієнтів). Використовуючи негативну величину, відзначаємо, що позитивні коефіцієнти зменшують амплітуду в нижній частині спектру, а негативні - збільшують. За позитивної величини ε, все відбувається навпаки.
Проквантувати коефіцієнти цифрового фільтра таке число двійкових розрядів, щоб максимальне відхилення АЧХ від вихідної становило близько 10 - 20%. Замалювати АЧХ та описати характер її зміни.
Змінюючи кількість розрядів дробової частини коефіцієнтів b jвідзначимо, що максимальне відхилення АЧХ від вихідної не перевищує 20% виходить при ≥3.
Вид АЧХ при різних nнаведено на малюнках:
n =3, максимальне відхилення АЧХ=19,7%
n =4, максимальне відхилення АЧХ=13,2%
n =5, максимальне відхилення АЧХ=5,8%
n =6, максимальне відхилення АЧХ=1,7%
Таким чином, можна відзначити, що збільшення розрядності при квантуванні коефіцієнтів фільтра призводить до того, що фільтр АЧХ все більше прагне до вихідної. Однак необхідно зазначити, що це ускладнює фізичну реалізацію фільтра.
Квантування за різних nможна простежити за малюнком:
План:
- Вступ
- 1 Огляд
- 1.1 Нормовані поліноми Баттерворта
- 1.2 Максимальна гладкість
- 1.3 Спад характеристики на високих частотах
- 2
Проектування фільтра
- 2.1 Топологія Кауера
- 2.2 Топологія Саллена-Кея
- 3 Порівняння з іншими лінійними фільтрами
- 4 Приклад Література
Вступ
Фільтр Баттерворта- один із типів електронних фільтрів. Фільтри цього класу відрізняються від інших методом проектування. Фільтр Баттерворт проектується так, щоб його амплітудно-частотна характеристика була максимально гладкою на частотах смуги пропускання.
Подібні фільтри були вперше описані британським інженером Стефаном Баттервортом у статті «Про теорію фільтруючих підсилювачів» (англ. На Theory of Filter Amplifiers ), в журналі Wireless Engineer 1930 року.
1. Огляд
АЧХ фільтра Баттерворта є максимально гладкою на частотах смуги пропускання і знижується практично до нуля на частотах смуги придушення. При відображенні частотного відгуку фільтра Баттерворта на логарифмічній АФЧХ амплітуда знижується до мінус нескінченності на частотах смуги придушення. У разі фільтра першого порядку АЧХ загасає зі швидкістю -6 децибел на октаву (-20 децибел на декаду) (насправді всі фільтри першого порядку незалежно від типу ідентичні і мають однаковий частотний відгук). Для фільтра Баттерворта другого порядку АЧХ загасає на -12 дБ на октаву, для фільтра третього порядку - на -18 дБ і так далі. АЧХ фільтра Баттерворта - монотонно спадна функція частоти. Фільтр Баттерворта - єдиний з фільтрів, що зберігає форму АЧХ для більш високих порядків (за винятком більш крутого спаду характеристики на смузі придушення) тоді як багато інших різновидів фільтрів (фільтр Бесселя, Чебишева фільтр, еліптичний фільтр) мають різні форми АЧХ при різних порядках.
У порівнянні з фільтрами Чебишева I і II типів або еліптичним фільтром, фільтр Баттерворта має більш пологий спад характеристики і тому повинен мати більший порядок(що важче у реалізації) у тому, щоб забезпечити необхідні показники на частотах лінії придушення. Однак фільтр Баттерворта має більш лінійну фазочастотну характеристику на частотах смуги пропускання.
АЧХ для фільтрів Баттерворта нижніх частот від 1 до 5. Нахил характеристики - 20 nдБ/декаду, де n- Порядок фільтра.
Як і для всіх фільтрів під час розгляду частотних характеристиквикористовують фільтр нижніх частот, з якого легко можна отримати фільтр високих частот, а, увімкнувши кілька таких фільтрів послідовно, - смуговий фільтр або режекторний фільтр.
Амплітудно-частотна характеристика фільтра Баттерворта-го порядку може бути отримана з передавальної функції:
Легко помітити, що для нескінченних значень АЧХ стає прямокутною функцією, і частоти нижче частоти зрізу пропускатимуться з коефіцієнтом посилення , а частоти вище частоти зрізу будуть повністю пригнічуватися. Для кінцевих значень спад показника буде пологим.
За допомогою формальної заміни представимо вираз у вигляді:
Полюси передавальної функції розташовані на колі радіуса рівновіддалено один від одного в лівій напівплощині. Тобто передавальну функцію фільтра Баттерворта можна визначити лише визначенням полюсів його передавальної функції у лівій напівплощині s-площини. -й полюс визначається з наступного виразу:
Передачу функцію можна записати у вигляді:
Аналогічні міркування застосовні і до цифрових фільтрів Баттерворта, з тією різницею, що співвідношення записуються не для s-площини, а для z-площини.
Знаменник цієї передавальної функції називається поліномом Баттерворт.
1.1. Нормовані поліноми Баттерворта
Поліноми Баттерворта можуть записуватись у комплексній формі, як показано вище, проте зазвичай вони записуються у вигляді співвідношень з речовими коефіцієнтами (комплексно-пов'язані пари об'єднуються за допомогою множення). Нормуються поліноми за частотою зрізу: . Нормовані поліноми Баттерворта, таким чином, мають таку канонічну форму:
, - парно , - непарноНижче наведені коефіцієнти поліномів Баттерворта для перших восьми порядків:
|
1.2. Максимальна гладкість
Прийнявши і похідна амплітудної характеристики по частоті буде виглядати наступним чином:
Вона монотонно зменшується всім оскільки коефіцієнт посилення завжди позитивний. Таким чином, АЧХ фільтра Баттерворт не має пульсацій. При розкладанні амплітудної характеристики в ряд, отримаємо:
Іншими словами, всі похідні амплітудно-частотної характеристики по частоті до 2 n-ї рівні нулю, з чого випливає «максимальна гладкість».
1.3. Спад характеристики на високих частотах
Прийнявши , знайдемо нахил логарифму АЧХ на високих частотах:
У децибелах високочастотна асимптота має нахил -20 nдБ/декаду.
2. Проектування фільтра
Існує низка різних топологій фільтра, за допомогою яких реалізуються лінійні аналогові фільтри. Ці схеми відрізняються лише значеннями елементів, структура залишається незмінною.
2.1. Топологія Кауера
Топологія Кауера використовує пасивні елементи (ємності та індуктивності). Фільтр Баттеворта із заданою функцією передачі може бути побудований у формі Кауера 1 типу. k-й елементфільтра задається співвідношенням:
; k непарно; k парно2.2. Топологія Саллена-Кея
Топологія Саллена-Кея використовує крім пасивних також активні елементи ( операційні підсилювачіта ємності). Кожен каскад схеми Саллена-Кея є частиною фільтра, що математично описується парою комплексно-сполучених полюсів. Весь фільтр виходить послідовним з'єднанням каскадів. У випадку, якщо трапляється дійсний полюс, він повинен бути реалізований окремо, зазвичай у вигляді RC-ланцюжка, і включений до загальної схеми.
Передатна функціякожного каскаду у схемі Саллена-Кея має вигляд:
Потрібно, щоб знаменник був одним із множників полінома Баттерворта. Прийнявши , отримаємо:
Останнє співвідношення дає дві невідомі, які можуть бути обрані довільно.
3. Порівняння з іншими лінійними фільтрами
Малюнок нижче показує АЧХ фільтра Баттерворта порівняно з іншими популярними лінійними фільтрами однакового (п'ятого) порядку:
З малюнка видно, що спад АЧХ фільтра Баттерворта найповільніший із чотирьох, однак він має і найгладшу АЧХ на частотах смуги пропускання.
4. Приклад
Аналоговий фільтр Баттерворта нижніх частот (топологія Кауера) з частотою зрізу з наступними номіналами елементів: фарад, ом та генрі.
Логарифмічний графік густини передавальної функції H(s) на площині комплексного аргументу для фільтра Баттерворта третього порядку з частотою зрізу. Три полюси лежать на колі одиничного радіусу у лівій напівплощині.
Розглянемо аналоговий низькочастотний фільтр Баттерворта третього порядку з фарадом, ом, і генрі. Позначивши повний опірємностей Cяк 1/Csта повний опір індуктивностей Lяк Ls, де - комплексна змінна, та використовуючи рівняння для розрахунку електричних схем, отримаємо наступну передатну функцію для такого фільтра:
АЧХ задається рівнянням:
а ФЧХ задається рівнянням:
Групова затримка визначається як мінус похідна фази кругової частоти і є мірою спотворень сигналу по фазі на різних частотах. Логарифмічна АЧХ такого фільтра немає пульсацій ні смузі пропускання, ні смузі придушення.
Графік модуля передавальної функції на комплексної площиниясно вказує на три полюси у лівій напівплощині. Передатна функція повністю визначається розташуванням цих полюсів на одиничному колі симетрично щодо дійсної осі.
Замінивши кожну індуктивність ємністю, а ємності індуктивностями, отримаємо високочастотний фільтр Баттерворта.
І групова затримка фільтра Баттерворта третього порядку із частотою зрізу
Література
- В.А. ЛукасТеорія автоматичного керування. - M.: Надра, 1990.
- Б.Х. КривицькийДовідник з теоретичним основамрадіоелектроніки. – М.: Енергія, 1977.
- Miroslav D. Lutovac Filter Design for Signal Processing using MATLAB© and Mathematica©. - New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2
- Richard W. Daniels Approximation Methods for Electronic Filter Design. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6
- Steven W. Smith The Scientist and Engineer's Guide до Digital Signal Processing. - Second Edition. - San-Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1
- Britton C. Rorabaugh Approximation Methods for Electronic Filter Design. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7
- B. Widrow, S.D. Stearns Adaptive Signal Processing. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0
- S. Haykin Adaptive Filter Theory. - 4rd Edition. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1
- Michael L. Honig, David G. Messerschmitt Adaptive Filters - Structures, Algorithms, і Applications. - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0
- J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Linear Prediction of Speech. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1
- L.R. Rabiner, R.W. Schafer Digital Processing of Speech Signals. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1
- Richard J. Higgins Digital Signal Processing в VLSI. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X
- A. V. Oppenheim, R. W. Schafer Digital Signal Processing. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5
- L. R. Rabiner, B. Gold Theory and Application of Digital Signal Processing. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4
- John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis Introduction to Digital Signal Processing. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X
Завантаження...