Лекція №10
"Цифрові фільтри з кінцевою імпульсною характеристикою"
Передатна функціяфізично реалізованого цифрового фільтра з кінцевою імпульсною характеристикою (КІХ-фільтра) може бути представлена у вигляді
(10.1).
При заміні у виразі (10.1) отримаємо частотну характеристику КІХ-фільтра у вигляді
(10.2),
де 
- амплітудно-частотна характеристика (АЧХ)фільтра,
- фазо-частотна характеристика (ФЧХ)фільтра.
Фазова затримкафільтра визначається як
(10.3).
Групова затримкафільтра визначається як
(10.4).
Відмінною особливістю КІХ-фільтрів є можливість реалізації у них постійних фазової та групової затримок, тобто. лінійної ФЧХ
(10.5),
де a - Константа. При дотриманні цієї умови сигнал, що проходить через фільтр, не спотворює свою форму.
Для виведення умов, що забезпечують лінійну ФЧХ, запишемо частотну характеристику КІХ-фільтра з урахуванням (10.5)
(10.6).
Прирівнюючи дійсні та уявні частини цієї рівності, отримаємо
(10.7).
Розділивши друге рівняння на перше, отримаємо
(10.8).
Остаточно можна записати
(10.9).
Це рівняння має два рішення. Перше при a =0 відповідає рівнянню
(10.10).
Це рівняння має єдине рішення, що відповідає довільному h (0) (sin (0) = 0), і h (n) = 0 при n >0. Це рішення відповідає фільтру, імпульсна характеристика якого має єдиний ненульовий відлік у початковий час. Такий фільтр представляє практичного інтересу.
Інше рішення знайдемо для . При цьому перехресно перемноживши чисельники та знаменники в (10.8) отримаємо
(10.11).
Звідси маємо
(10.12).
Оскільки це рівняння має вигляд ряду Фур'є, його рішення, якщо воно існує, є єдиним.
Легко помітити, що рішення цього рівняння має відповідати умовам
(10.13),
(10.14).
З умови (10.13) випливає, що для кожного порядку фільтра N існує лише одна фазова затримка a , коли він може досягатися строга лінійність ФЧХ. З умови (10.14) слід, що імпульсна характеристика фільтра має бути симетричною щодо точки для непарного N , та щодо середньої точки інтервалу (рис.10.1).
 |
Частотну характеристику такого фільтра (для непарного N ) можна записати у вигляді
(10.15).
Роблячи в другій сумі заміну m = N -1- n , отримаємо
(10.16).
Оскільки h (n) = h (N -1 - n ), то дві суми можна об'єднати
(10.17).
Підставивши , отримаємо
(10.18).
Якщо позначити
(10.19),
то остаточно можна записати
(10.20).
Таким чином, для фільтра з лінійною ФЧХ маємо
(10.21).
Для випадку парного N аналогічно будемо мати
(10.22).
Роблячи заміну в другій сумі, отримаємо
(10.23).
Роблячи заміну, отримаємо
(10.24).
Позначивши
(10.25),
будемо остаточно мати
(10.26).
Таким чином, для КІХ-фільтра з лінійною ФЧХ та парним порядком N можна записати
(10.27).
Надалі, для простоти розглядатимемо лише фільтри з непарним порядком.
При синтезі передавальної функції фільтра вихідними параметрами зазвичай є вимоги до частотної характеристики. Існує багато методик синтезу КІХ-фільтрів. Розглянемо деякі з них.
Оскільки частотна характеристика будь-якого цифрового фільтра є періодичною функцією частоти, її можна представити у вигляді ряду Фур'є
(10.28),
де коефіцієнти ряду Фур'є дорівнюють
(10.29).
Видно, що коефіцієнти ряду Фур'є h (n ) збігаються з коефіцієнтами імпульсної характеристикифільтра. Тому, якщо відомий аналітичний опис необхідної частотної характеристики фільтра, то ним можна легко визначити коефіцієнти імпульсної характеристики, а за ними – передатну функцію фільтра. Однак на практиці це не реалізується, оскільки імпульсна характеристика такого фільтра має нескінченну довжину. Крім того, такий фільтр фізично не реалізуємо, оскільки імпульсна характеристика починається в -¥ , і жодна кінцева затримка не зробить це фільтр фізично реалізованим.
Одним з можливих методів отримання КІХ-фільтра, що апроксимує задану частотну характеристику полягає у усіченні нескінченного ряду Фур'є та імпульсної характеристики фільтра, вважаючи що h (n) = 0 при . Тоді
(10.30).
Фізична реалізованість передавальної функції H (z ) може бути досягнута шляхом множення H (z) на .
(10.31),
де
(10.32).
За такої модифікації передавальної функції амплітудна характеристика фільтра не змінюється, а групова затримка збільшується на постійну величину.
Як приклад розрахуємо КІХ-фільтр низьких частот із частотною характеристикою виду
(10.33).
Відповідно до (10.29) коефіцієнти імпульсної характеристики фільтра описуються виразом
(10.34).
Тепер з (10.31) можна отримати вираз для передавальної функції
(10.35),
де
(10.36).
Амплітудні характеристики розрахованого фільтра для різних N представлені на рис.10.2.
Рис.10.2
Пульсації у смугах пропускання та затримування відбуваються внаслідок повільної збіжності ряду Фур'є, яка, у свою чергу, обумовлена наявністю розриву функції на частоті зрізу смуги пропускання. Ці пульсації відомі як пульсації Гіббса.
З рис.10.2 видно, що зі збільшенням N частота пульсацій зростає, а амплітуда зменшується як на нижніх, так і на верхніх частотах. Однак амплітуда останньої пульсації у смузі пропускання та першої пульсації у смузі затримування залишаються практично незмінними. Насправді такі ефекти часто небажані, що вимагає відшукання шляхів зниження пульсацій Гіббса.
Усічену імпульсну характеристику h (n ) можна подати у вигляді твору необхідної нескінченної імпульсної характеристики та деякої функції вікна w (n) Довжини n (рис.10.3).
(10.37).
 |
У розглянутому випадку простого усічення ряду Фур'є використовується прямокутне вікно
(10.38).
У цьому випадку частотну характеристику фільтра можна подати у вигляді комплексного згортки
(10.39).
Це означає, що буде «розмитою» версією необхідної характеристики.
Завдання зводиться до пошуку функцій вікон, що дозволяють зменшити пульсації Гіббса за тієї ж вибірковості фільтра. Для цього необхідно спочатку вивчити властивості функції вікна з прикладу прямокутного вікна.
Спектр функції прямокутного вікна можна записати як
(10.40).
Спектр функції прямокутного вікна подано на рис.10.4.
Рис.10.4
Оскільки при, то ширина головної пелюстки спектра виявляється рівною.
Наявність бічних пелюсток у діапазоні функції вікна призводить до збільшення пульсацій Гіббса в АЧХ фільтра. Для отримання малих пульсацій у смузі пропускання і великого згасання в смузі затримування необхідно, щоб площа, обмежена бічними пелюстками, становила малу частку площі, обмеженої головним пелюстком.
У свою чергу, ширина головної пелюстки визначає ширину перехідної зони результуючого фільтра. Для високої вибірковості фільтра ширина головної пелюстки має бути по можливості малою. Як видно з вищевикладеного, ширина головної пелюстки зменшується зі збільшенням порядку фільтра.
Таким чином, властивості відповідних функцій вікна можна сформулювати так:
- функція вікна має бути обмежена у часі;
- Спектр функції вікна повинен якнайкраще апроксимувати функцію, обмежену за частотою, тобто. мати мінімум енергії за межами основної пелюстки;
- ширина основного пелюстки спектра функції вікна повинна по можливості малої.
Найчастіше використовують такі функції вікон:
1. Прямокутне вікно. Розглянуто вище.
2. Вікно Хеммінга (Hamming).
(10.41),
де.
При цьому вікно називається вікном Хенна ( hanning).
3. Вікно Блекмана (Blackman).
(10.42).
4. Вікно Бартлета (Bartlett).
(10.43).
Показники фільтрів, побудованих із застосуванням зазначених функцій вікон, зведено таблицю 10.1.
|
Вікно |
Ширина головної пелюстки |
Коефіцієнт пульсацій, % |
||
N=11 |
N=21 |
N=31 |
||
|
Прямокутне |
22.34 |
21.89 |
21.80 |
|
|
Хеннінга |
2.62 |
2.67 |
2.67 |
|
|
Хеммінга |
1.47 |
0.93 |
0.82 |
|
|
Блекмана |
0.08 |
0.12 |
0.12 |
|
Коефіцієнт пульсації визначається як відношення максимальної амплітуди бічної пелюстки до амплітуди головної пелюстки у спектрі функції вікна.
Для вибору необхідного порядку фільтра та найбільш підходящої функції вікна під час розрахунку реальних фільтрів можна використовувати дані таблиці 10.2.
|
перехідний |
Нерівномірність пропускання (дБ) |
Згасання в загородження (дБ) |
|
|
Прямокутне |
|||
|
Хеннінга |
|||
|
Хеммінга |
|||
|
Блекмана |
Як видно з таблиці 10.1, існує певна залежність між коефіцієнтом пульсацій та шириною головної пелюстки у спектрі функції вікна. Чим менший коефіцієнт пульсацій, тим більша ширина головної пелюстки, а значить і перехідної зони в АЧХ фільтра. Для забезпечення малої пульсації у смузі пропускання доводиться вибирати вікно з відповідним коефіцієнтом пульсацій, а необхідну ширину перехідної зони забезпечувати підвищеним порядком фільтра N .
Цю проблему можна вирішити за допомогою вікна, запропонованого Кайзером (Kaiser). Функція вікна Кайзера має вигляд
(10.44),
де a - незалежний параметр, 
, I 0 – функція Бесселя першого роду нульового порядку, яка визначається виразом
(10.45).
Привабливою властивістю вікна Кайзера є можливість плавної зміни коефіцієнта пульсацій від малих значень до великих при зміні лише одного параметра a. При цьому, як і для інших функцій вікон, ширина головної пелюстки може регулюватися порядком фільтра N .
Основними параметрами, що задаються при розробці реального фільтра є:
Смуга пропускання - w p;
Смуга загородження - w a;
Максимально допустима пульсація у смузі пропускання - A p;
Мінімальне згасання у смузі затримування – A a ;
-частота дискретизації - ws.
Ці параметри ілюструються на рис.10.5. При цьому максимальна пульсація у смузі пропускання визначається як
(10.46),
а мінімальне згасання в смузі затримування як
Порівняно проста процедура розрахунку фільтра з вікном Кайзера включає наступні етапи:
1.Визначається імпульсна характеристика фільтра h (n ) за умови, частотна характеристика є ідеальною
(10.48),
де (10:49).
2. Вибирається параметр d як
(10.50),
де 
(10.51).
3.Обчислюється справжнє значення A a і A p за формулами (10.46), (10.47).
4.Вибирається параметр a як
(10.52).
5.Вибирається параметр D як
(10.53).
6.Вибирається найменше непарне значення порядку фільтра з умови
(10.54),
(10.57)
випливає, що
Оскільки відліки імпульсної характеристики фільтра є коефіцієнтами його передавальної функції, то умова (10.59) означає, що коди всіх коефіцієнтів фільтра містять лише дробову частину та знаковий розряд і містять цілої частини.
Кількість розрядів дробової частини коефіцієнтів фільтра визначається за умови задоволення передавальної функції фільтра з квантованими коефіцієнтами, заданих вимог щодо наближення до еталонної передавальної функції з точними значеннями коефіцієнтів.
Абсолютні величини відліків вхідних сигналів фільтра зазвичай нормовані так, що
Якщо аналіз проводиться для КІХ-фільтра з лінійною ФЧХ, то алгоритм обчислення його вихідного сигналу може бути наступним
де - Округлені до s k коефіцієнти фільтра.
Цьому алгоритму відповідає структурна схемафільтра, подана на рис.10.5.
 |
Існують два способи реалізації цього алгоритму. У першому випадку всі операції множення виконуються точно і округлення творів відсутнє. У цьому випадку розрядність творів дорівнює s in + s k , де s in – розрядність вхідного сигналу, а s k - Розрядність коефіцієнтів фільтра. У цьому випадку структурна схема фільтра, представлена на рис.10.5, точно відповідає реальному фільтру.
При другому методі реалізації алгоритму (10.61) кожен результат операції множення округляється, тобто. твори обчислюються з певною похибкою. У цьому випадку необхідно змінити алгоритм (10.61) так, щоб врахувати похибку, що вноситься, заокругленням творів
Якщо значення відліків вихідного сигналу фільтра обчислюються за першим способом (з точними значеннями творів), то дисперсія вихідного шуму визначається як
(10.66),
тобто. залежить від дисперсії шуму округлення вхідного сигналу та значень коефіцієнтів фільтра. Звідси можна знайти необхідну кількість розрядів вхідного сигналу як
(10.67).
За відомими значеннями s in і s k можна визначити кількість розрядів, необхідну для дробової частини коду вихідного сигналу як
Якщо значення відліків вихідного сигналу обчислюються за другим способом, коли кожен добуток округляється до д розрядів, то дисперсію шуму округлення, створюваного кожним з помножувачів можна виразити через розрядність твору як
DR in та відношення сигнал-шум на виході фільтра SNR out . Значення динамічного діапазону вхідного сигналу децибелах визначається як
(10.74),
де A max та A min – максимальна та мінімальна амплітуди вхідного сигналу фільтра.
Відношення сигнал-шум на виході фільтра, виражене в децибелах, визначається як
(10.75),
визначає середньоквадратичне значення потужності вихідного синусоїдального сигналу фільтра з амплітудою A min а
(10.77)
визначає потужність шуму на виході фільтра З (10.75) і (10.76) при A max =1 отримуємо вираз дисперсії вихідного шуму фільтра
(10.78).
Це значення дисперсії вихідного шуму фільтра можна використовувати для обчислення розрядностей вхідного і вихідного сигналів фільтра.
Розглянемо найпростіші з цифрових фільтрів – фільтри з постійними параметрами.
На вхід цифрового фільтра подається вхідний сигнал як послідовності числових значень, наступних з інтервалом (рис. 4.1, а). При надходженні кожного чергового значення сигналу цифровому фільтрі проводиться розрахунок чергового значення вихідного сигналу Алгоритми розрахунку можуть бути найрізноманітнішими; в процесі розрахунку крім останнього значення вхідного сигналу можуть використовуватися
Попередні значення вхідного та вихідного сигналів: Сигнал на виході цифрового фільтра також є послідовністю числових значень, наступних з інтервалом . Цей інтервал є єдиним для пристрою цифрової обробки сигналів.
Мал. 4.1. Сигнал на вході та на виході цифрового фільтра
Тому якщо на вхід цифрового фільтра подати найпростіший сигнал у вигляді одиничного імпульсу (рис. 4.2 а)
то на виході отримаємо сигнал у вигляді дискретної послідовності числових значень, що йдуть з інтервалом
За аналогією зі звичайними аналоговими ланцюгами назвемо цей сигнал у відповідь імпульсною характеристикою фільтра (рис. 4.2, б). На відміну від імпульсної характеристики аналогового ланцюга, функція є безрозмірною.
Мал. 4.2. Одиничний імпульс та імпульсна характеристика цифрового фільтра
Подамо на вхід фільтра довільний дискретний сигналМал. 4.1 а), що являє собою набір дискретних значень
Під дією першого елемента на виході фільтра формується послідовність помножена на при дії послідовність помножена на і зсунута вправо на величину і т. д. В результаті на виході отримаємо послідовність причому
Таким чином, вихідний сигнал визначається як дискретна згортка вхідного сигналу та імпульсної характеристики. У цьому відношенні цифрові фільтри аналогічні звичайним ланцюгам, де вихідний сигнал дорівнює згортці вхідного сигналу та імпульсної характеристики.
Формула (4.1) є алгоритмом цифрової фільтрації. Якщо імпульсна характеристика фільтра описується послідовністю з кінцевим числом членів, фільтр може бути реалізований у вигляді схеми, зображеної на рис. 4.3. Тут буквою позначені елементи затримки сигналу на якийсь час (на одну комірку); -Елементи, що множать сигнал на відповідний коефіцієнт
Схема, зображена на рис. 4.3 не є електричною схемою цифрового фільтра; ця схема є графічне зображенняалгоритм цифрової фільтрації і показує послідовність арифметичних операцій, що виконуються при обробці сигналу.
Мал. 4.3. Схема нерекурсивного цифрового фільтра
Для цифрових фільтрів, які обробляють сигнали як абстрактних числових послідовностей, поняття «затримка тимчасово » не зовсім коректним. Тому елементи, що затримують сигнал на одну комірку, на схемах цифрових фільтрів зазвичай позначають символом, що позначає затримку сигналу мовою -перетворень. Надалі дотримуватимемося цього позначення.
Повернемося до схеми цифрового фільтра, що зображена на рис. 4.3 Такі фільтри, де для розрахунку використовуються лише значення вхідного сигналу, називають простими або нерекурсивними.
Алгоритм нерекурсивного фільтра легко записати, якщо відома імпульсна характеристика фільтра. Для практичної реалізаціїалгоритму необхідно, щоб імпульсна характеристика містила кінцеве число членів. Якщо імпульсна характеристика містить нескінченну кількість членів, але вони швидко зменшуються за величиною, можна обмежитися кінцевим числом членів, відкинувши ті, значення яких малі. Якщо елементи імпульсної характеристики не спадають за величиною, алгоритм нерекурсивного фільтра виявляється нереалізованим.
Мал. 4.4. -ланцюг
Як приклад розглянемо найпростіший цифровий фільтр, аналогічний ланцюга (рис. 4.4). Імпульсна характеристика ланцюга має вигляд
Щоб записати імпульсну характеристику відповідного цифрового фільтра, у виразі слід замінити на Однак імпульсна характеристика ланцюга має розмірність а імпульсна характеристика цифрового фільтра повинна бути безрозмірною. Тому опустимо множник у виразі (4.2) та запишемо імпульсну характеристику цифрового фільтра у вигляді
Така імпульсна характеристика містить нескінченно багато членів, але їхня величина зменшується за експоненційним законом, і можна обмежитися членами, вибираючи таким, щоб
Тепер можна записати вираз сигналу на виході фільтра
Це є одночасно алгоритмом цифрового фільтра. Схема цього фільтра представлена рис. 4.5.
Другий підхід до аналізу процесів у цифрових фільтрах аналогічний операторному методу аналізу звичайних аналогових ланцюгів, тільки замість перетворення Лапласа використовують перетворення.
Мал. 4.5. Схема нерекурсивного цифрового фільтра, аналогічного ланцюга
Визначимо параметр цифрового фільтра, аналогічний до передавальної функції. електричного ланцюга. Для цього застосуємо -перетворення до імпульсної характеристики цифрового фільтра:
Функцію називають системною функцією фільтра.
Відповідно до виразу (4.1) сигнал на виході цифрового фільтра дорівнює дискретному згортку вхідного сигналу та імпульсної характеристики фільтра. Застосовуючи до цього виразу теорему про перетворення згортки, отримаємо, що перетворення вихідного сигналу дорівнює перетворення вхідного сигналу, помноженому на системну функцію фільтра:
Таким чином, системна функція відіграє роль функції передачі цифрового фільтра.
Як приклад знайдемо системну функцію цифрового фільтра першого порядку, аналогічного ланцюга:
Третій метод аналізу проходження сигналів через цифрові фільтри аналогічний до класичного методу диференціальних рівнянь. Розглянемо цей спосіб з прикладу ланцюгів порядку.
Найпростішим аналоговим ланцюгом 1-го порядку є -ланцюг (див. рис. 4.4), проходження сигналів через яку описується диференціальним рівнянням
Для дискретного ланцюга замість диференціального рівняння (4.8) має бути записане різницеве рівняння, де вхідний і вихідний сигнали задаються для дискретних моментів часу, а замість похідної повинна фігурувати різниця сусідніх значень сигналу . Для дискретного ланцюга 1-го порядку різницеве рівняння може бути записано у загальному вигляді
Застосуємо до рівняння -перетворення
звідки знайдемо системну функцію фільтра
Формула (4.10) є досить загальним виразом для системної функціїцифрового фільтра 1-го порядку. При цьому вона збігається з отриманим раніше виразом (4.7) для системної функції цифрового фільтра, еквівалентного ланцюга.
Знайдемо алгоритм цифрової фільтрації, який відповідає системній функції (4.10). Для цього розв'яжемо рівняння (4.9) щодо
Еквівалентна схема цього алгоритму наведено на рис. 4.6. У порівнянні з нерекурсивним фільтром (див. рис. 4.5) тут додалася своєрідна «ланцюг зворотного зв'язку», яка означає, що значення вихідного сигналу використовуються в наступних
Мал. 4.6. Схема рекурсивного цифрового фільтра, аналогічного ланцюга
розрахунках. Фільтри такого типу називають рекурсивними.
Алгоритм (4.11) відповідає фільтру, який повністю еквівалентний розглянутому раніше нерекурсивному фільтру. Але визначення одного значення вихідного сигналу з допомогою алгоритму нерекурсивного фільтра (4.4) потрібно виконати операцій, а за використанні алгоритму рекурсивного фільтра (4.11) - лише дві операції. У цьому полягає основна перевага рекурсивних фільтрів. Крім того, рекурсивні фільтри дозволяють проводити обробку сигналу з більш високою точністю, тому що вони дозволяють правильніше реалізувати імпульсну характеристику без відкидання її «хвоста». Рекурсивні фільтри дозволяють реалізувати алгоритми, які взагалі не реалізуються за допомогою нерекурсивних фільтрів. Наприклад, при фільтрі, що працює за схемою рис. 4.6 є по суті ідеальним накопичувачем-інтегратором і має імпульсну характеристику виду Фільтр з такою характеристикою за нерекурсивною схемою не може бути реалізований.
Розглянуті приклади показують, що немає сенсу застосовувати нерекурсивні алгоритми створення цифрових фільтрів з імпульсною характеристикою великої протяжності. У таких випадках доцільніше використовувати рекурсивні фільтри.
Область застосування нерекурсивних алгоритмів – це реалізація цифрових фільтрів з імпульсною характеристикою, що містить невелику кількість членів. Прикладом може бути найпростіший диференціатор, сигнал на виході якого дорівнює приросту вхідного сигналу:
Схему такого цифрового фільтра зображено на рис. 4.7.
Мал. 4.7. Схема найпростішого цифрового диференціатора
Розглянемо тепер цифровий фільтр загального вигляду, який описується рівнянням
Це рівняння можна розглядати і як різницеве рівняння порядку та як алгоритм цифрової фільтрації, якщо його переписати інакше, а саме
Мал. 4.8. Схема цифрового рекурсивного фільтра порядку
Алгоритму (4.13) відповідає схема, зображена на рис. 4.8. Знайдемо системну функцію такого фільтра. Для цього застосуємо до рівняння -перетворення:
Вираз (4.14) дозволяє встановити зв'язок між хитаннями елементів схеми фільтра та системною функцією. Коефіцієнти в чисельнику системної функції визначають значення коефіцієнтів при
(у нерекурсивній частині фільтра), а коефіцієнти знаменника визначають рекурсивну частину фільтра.
Фільтр із кінцевою імпульсною характеристикою (Нерекурсивний фільтр, КІХ-фільтр) або FIR-фільтр (FIR скор. від finite impulse response - кінцева імпульсна характеристика) - один з видів лінійних цифрових фільтрів, характерною особливістю якого є обмеженість за часом його імпульсної характеристики (з якогось моменту часу вона стає точно рівною нулю). Такий фільтр називають ще нерекурсивним через відсутність зворотного зв'язку. Знаменник передавальної функції такого фільтра – якась константа.
Динамічні характеристики
де - Дельта-функція . Тоді імпульсна характеристика КІХ-фільтра може бути записана як:
#define N 100 // Порядок фільтра float h [N] = ( #include "f1.h"); //Вставка файлу з відомими коефіцієнтами фільтра float x [N]; float y [N]; short my_FIR(short sample_data) ( float result = 0 ; for ( int i = N - 2 ; i >= 0 ; i-- ) ( x [ i + 1 ] = x [ i] ; y [ i + 1 ] = y[i];) x[0] = (float) sample_data;for (int k = 0; k< N; k++ ) { result = result + x[ k] * h[ k] ; } y[ 0 ] = result; return ((short ) result) ; }
Див. також
Посилання
- Розрахунок КІХ фільтра з лінійною фазочастотною характеристикою методом частотної вибірки
Wikimedia Foundation. 2010 .
- Ромодін, Володимир Олександрович
- Вохма (річка)
Дивитись що таке "Фільтр з кінцевою імпульсною характеристикою" в інших словниках:
Фільтр - отримати на Академіці діючий промокод BeTechno або вигідно купити фільтр зі знижкою на розпродажі в BeTechno
фільтр із кінцевою імпульсною характеристикою- - Тематики електрозв'язок, основні поняття EN finite impulse response (filter) FIR ... Довідник технічного перекладача
Фільтр із нескінченною імпульсною характеристикою- (Рекурсивний фільтр, БІХ фільтр) або IIR фільтр (IIR скор.
КІХ-фільтр
Нерекурсивний фільтр- Фільтр з кінцевою імпульсною характеристикою (нерекурсивний фільтр, КІХ фільтр, FIR фільтр) один із видів лінійних електронних фільтрів, характерною особливістю якого є обмеженість за часом його імпульсної характеристики (з якого … Вікіпедія
Рекурсивний фільтр- Фільтр з нескінченною імпульсною характеристикою (Рекурсивний фільтр, БІХ фільтр) лінійний електронний фільтр, що використовує один або більше своїх виходів як вход, тобто утворює Зворотній зв'язок. Основною властивістю таких фільтрів є … Вікіпедія
Цифровий фільтр- Цифровий фільтр в електроніці будь-який фільтр, що обробляє цифровий сигнал для виділення та/або придушення певних частот цього сигналу. На відміну від цифрового, аналоговий фільтр має справу з аналоговим сигналом, його властивості.
Дискретний фільтр- Цифровий фільтр в електроніці будь-який фільтр, що обробляє цифровий сигнал для виділення та/або придушення певних частот цього сигналу. На відміну від цифрового аналоговий фільтр має справу з аналоговим сигналом, його властивості недискретні, ... Вікіпедія
Лінійний фільтр- Лінійний фільтр динамічна система, що застосовує якийсь лінійний оператордо вхідного сигналу для виділення або придушення певних частот сигналу та інших функцій обробки вхідного сигналу. Лінійні фільтри широко застосовуються в ... Вікіпедія
Ковзна середня (фільтр)- У цього терміна існують інші значення, див. Ковзна середня (значення). Блок схема простого КІХ фільтра другого порядку, що реалізує ковзне середнє Ковзаючий середній, ковзний середній різновид цифрового фільтра з … Вікіпедія
Ковзна середня (значення)- Ковзна середня, ковзна середнє (англ. moving average): Ковзна середня сімейство функцій, значення яких у кожній точці визначення дорівнює середньому значенню вихідної функції за попередній період. Ковзна середня ... ... Вікіпедія
48 Цифрові фільтри з кінцевою імпульсною характеристикою. Розрахунок кіх-фільтрів.
Фільтр із кінцевою імпульсною характеристикою (Нерекурсивний фільтр, КІХ-фільтр) або FIR-фільтр (FIR скор. від finite impulse response - кінцева імпульсна характеристика) - один із видів лінійних цифрових фільтрів, характерною особливістю якого є обмеженість за часом його імпульсної характеристики (з якогось моменту часу вона стає точно рівною нулю). Такий фільтр називають ще нерекурсивним через відсутність зворотного зв'язку. Знаменник передавальної функції такого фільтра – якась константа.
Різнинне рівняння, що описує зв'язок між вхідним і вихідним сигналами фільтра: де P- Порядок фільтра, x(n) - вхідний сигнал, y(n) - вихідний сигнал, а b i- Коефіцієнти фільтра. Іншими словами, значення будь-якого відліку вихідного сигналу визначається сумою масштабованих значень Pпопередніх відліків. Можна сказати інакше: значення виходу фільтра в будь-який момент часу є значення відгуку на миттєве значення входу та сума всіх відгуків, що поступово згасають Pпопередніх відліків сигналу, які все ще впливають на вихід (після P-відліків імпульсна перехідна функція стає рівною нулю, як уже було сказано, тому всі члени після P-го теж стануть рівними нулю). Запишемо попереднє рівняння у більш ємному вигляді:
Для того, щоб знайти ядро фільтра покладемо
x(n) = δ( n)
де δ( n) - Дельта-функція. Тоді імпульсна характеристика КІХ-фільтра може бути записана як:
Z-перетворення імпульсної характеристики дає нам передатну функцію КІХ-фільтра:
]Властивості
КІХ-фільтр має ряд корисних властивостей, через які він іноді більш кращий у використанні, ніж БІХ-фільтр. Ось деякі з них:
КІХ-фільтри стійкі.
КІХ-фільтри при реалізації не вимагають наявності зворотного зв'язку.
Фаза КІХ-фільтрів може бути зроблена лінійною
Пряма форма КІХ фільтра
КІХ фільтри можуть бути реалізовані з використанням трьох елементів: помножувач, суматор та блок затримки. Варіант, показаний малюнку є пряма реалізація КІХ-фільтрів типу 1.
Реалізація прямої форми КІХ фільтра
Приклад програми
Нижче наведено приклад програми КІХ-фільтра, написаний на C:
/* КІХ Фільтр на 128 відводів */
float fir_filter(float input)
static float sample;
acc = 0.0f; /* Акумулятор */
/* Множення з накопиченням */
for (i = 0; i< 128; i++) {
acc + = (h [i] * sample [i]);
/* Вихід */
/* Зміщуємо затриманий сигнал */
for (i = 127; i > 0; i--)
sample[i] = sample;
49 Згладжування даних. Ковзне усереднення.
50 Згладжування даних. Згладжування параболами.
51 Згладжування даних. Згладжування Спенсера.
52 Згладжування даних. Медіанна фільтрація.
Ковзне усереднення, згладжування пораболами, згладжування Спенсера, медіанна фільтрація
При розробці способів визначення параметрів фізичних процесів, що повільно змінюються в часі, важливим завданням є усунення впливу шумових ефектів або випадкових перешкод, які накладаються на сигнал, що обробляється, одержуваний на виході первинного перетворювача.
Для усунення такого ефекту можна застосувати згладжування даних. Одним із найпростіших способів такого згладжування є арифметичне усереднення. При його застосуванні кожне значення дискретної функції (оброблюваного масиву даних) обчислюється відповідно до виразу:
де - кількість точок для арифметичного усереднення (непарне ціле число);
значення функції до обробки;
Відомі й інші, досить ефективні способи згладжування, наприклад, параболами другого ступеня по п'яти, семи, дев'яти та одинадцяти точках відповідно до виразів:
або параболами четвертого ступеня по семи, дев'яти, одинадцяти та тринадцяти точках:
У практичних застосуваннях дають хороші результати інші ефективні способи, наприклад, 15-точкове згладжування Спенсера:
Підставивши в ці вирази комплексну експоненту, де можна визначити передатну функцію відповідного перетворення.
Для арифметичного усереднення
Вираз у дужках є геометричною прогресією зі знаменником, отже цей вираз можна представити у вигляді:
.
Ця формула є передатною характеристикою фільтра низьких частот і з неї видно, що чим більше доданків задіяні при усередненні, тим більше придушення високочастотних шумових складових у сигналі (див. малюнок 6.1).
Проте значеннєве поняття частоти при обробці часових трендів відрізняється від аналогічного поняття при обробці сигналів. Це тим, що з дослідженні часових трендів інтерес представляє їх частотний склад, а вид зміни (збільшення, зменшення, сталість, циклічність тощо.).
Також досить ефективно для згладжування даних застосування так званих евристичних алгоритмів.
Одним із них є медіанна фільтрація. У ході її реалізації в ковзному часовому вікні розмірністю , де ціле непарне число, центральний елемент замінюється середнім елементом послідовності, що являють собою упорядковані, в порядку зростання значень, елементи масиву даних сигналу, що згладжується, що потрапили в тимчасове вікно. Перевагою медіанної фільтрації є здатність видаляти імпульсні перешкоди, тривалість яких не перевищує, практично без спотворення сигналів, що плавно змінюються. Даний спосіб придушення шумів не має суворого математичного обґрунтування, проте простота обчислень та ефективність одержуваних результатів зумовили широке поширення.
Малюнок 6.1 - Графіки передавальної характеристики
операції арифметичного усереднення для m=5, 7, 9, 11
Іншим цікавим алгоритмом згладжування є медіанне усереднення. Його сутність полягає у наступному. У ковзному часовому вікні, розмірності (- ціле непарне число), елементи масиву даних упорядковуються в порядку зростання, а потім з упорядкованої послідовності видаляється перших та останніх елементів (<). Центральный элемент временного окна из последовательности сглаживаемых данных заменяется значением, вычисляемым как
Цей спосіб дозволяє придушити імпульсні та радіочастотні перешкоди, а також досягти гарного згладжування сигналів.
| " |
Все почалося з того, що другові мого друга була потрібна допомога з цими самими фільтрами. Джедайськими шляхами чутки про це дійшли до мене, я відписався в коментарях до посту на засланні. Начебто допомогло. Ну, я сподіваюсь.
Ця історія сколихнула в мені спогади про третій курс, коли я сам здавав ЦГЗ, і спонукала написати статтю для всіх тих, кому цікаво, як же працюють цифрові фільтри, але кого закономірно лякають забористі формули і психоделічні малюнки в (я вже не говорю про підручники).
Взагалі, на мій досвід, ситуація з підручниками описується відомою фразою про те, що за деревами буває не видно лісу. І то сказати, коли тебе відразу починають лякати Z-перетворенням і формулами з поділом поліномів, які часто бувають довшими за дві дошки, інтерес до теми вичерпується вкрай швидко. Ми ж почнемо з простого, благо для розуміння того, що відбувається, зовсім необов'язково розписувати довгі комплексні висловлювання.
Отже, спершу кілька простих базових понять.
1. Імпульсна характеристика.
Припустимо, у нас є коробка із чотирма висновками. Ми без поняття, що там усередині, зате точно знаємо, що два ліві висновки — вхід, а два праві — вихід. Спробуймо подати на неї дуже короткий імпульс дуже великої амплітуди і подивимося, що буде на виході. Ну а чого, все одно, що всередині цього чотириполюсника — неясно, бо його описувати — незрозуміло, а так хоч щось побачимо.
Тут треба сказати, що короткий (власне кажучи, нескінченно короткий) імпульс великий (власне кажучи, нескінченної) амплітуди теоретично називається дельта-функцией. До речі, найсмішніше, що інтеграл від цієї нескінченноюфункції дорівнює одиниці. Таке ось нормування.
Так ось, те, що ми побачили на виході чотириполюсника, подавши на вхід дельта-функцію, називається імпульсною характеристикоюцього чотириполюсника. Поки щоправда незрозуміло, чим вона нам допоможе, але давайте зараз просто запам'ятаємо отриманий результат і перейдемо до наступного цікавого поняття.
2. Згортка.
Якщо говорити коротко, то згортка — це математична операція, яка зводиться до інтегрування функцій:
Позначається, як видно, зірочкою. Також видно, що з пакунку одна функція береться у своєму «прямому» порядку, а другу ми проходимо «задом наперед». Зрозуміло, у більш цінному для людства дискретному випадку згортка, як і всякий інтеграл, переходить у підсумовування:
Здавалося б, якась сумна математична абстракція. Однак насправді пакунок — мабуть найчарівніше явище цього світу, що дивно поступається хіба тільки появі людини на світ, з тією лише різницею, що звідки беруться діти більшість людей дізнається в крайньому випадку років до вісімнадцяти, тоді як про те, що таке згортка і чим вона корисна і дивовижна, більшість населення Землі зовсім не здогадується все своє життя.
Так от, міць цієї операції полягає в тому, що якщо f - будь-який довільний вхідний сигнал, а g - імпульсна характеристика чотириполюсника, то результат згортки цих двох функцій буде аналогічним тому, що ми отримали б, пропустивши сигнал f через цей чотириполюсник.
Тобто, імпульсна характеристика являє собою повний зліпок всіх властивостей чотириполюсника по відношенню до вхідного впливу, і згортка вхідного сигналу з ним дозволяє відновити відповідний вихідний сигнал. Як на мене, це просто чудово!
3. Фільтри.
З імпульсною характеристикою та пакунком можна творити багато цікавого. Наприклад, якщо звуковий сигнал, можна організовувати реверберацію, луна, хорус, фленджер і багато, багато іншого; можна диференціювати та інтегрувати… Загалом, творити будь-що. Для нас же зараз важливіше те, що, зрозуміло, за допомогою згортки так само легко виходять і фільтри.
Власне цифровий фільтр є згортка вхідного сигналу з імпульсною характеристикою, що відповідає бажаному фільтру.
Але, зрозуміло, імпульсну характеристику треба отримати. Ми, звичайно, вище вже розібралися як її поміряти, але в такому завданні користі в цьому небагато — якщо ми вже зібрали фільтр, навіщо ще щось міряти, можна використовувати його як є. Та й, крім того, найголовніша цінність цифрових фільтрів у тому, що можуть мати характеристики, недосяжні (чи дуже важко досяжні) насправді — наприклад, лінійну фазу . Тож тут проміряти взагалі ніяк, треба просто рахувати.
4. Отримання імпульсної характеристики.
У цьому місці у більшості публікацій на тему автори починають вивалювати на читача гори Z-перетворень та дробів із поліномів, заплутуючи його остаточно. Я не робитиму цього, просто коротко поясню, до чого все це і чому на практиці для прогресивної громадськості воно не дуже потрібне.
Припустимо, ми визначилися, чого хочемо від фільтра, і склали рівняння, що його описує. Далі, щоб знайти імпульсну характеристику, можна підставити виведене рівняння дельта-функцію і отримати шукане. Єдина проблема полягає в тому, як це зробити, бо дельта-функція в часі прой області задається хитрою системою, і взагалі там усілякі нескінченності. Так що на цьому етапі все виявляється дуже непросто.
Ось тут, буває, і згадують, що є така штука як перетворення Лапласа. Саме собою воно не фунт родзинок. Єдиною причиною того, що його терплять у радіотехніці, якраз і є той факт, що у просторі того аргументу, переходом до якого є це перетворення, деякі речі справді стають простішими. Зокрема, дуже легко виражається та сама дельта-функція, яка завдавала нам стільки клопоту у тимчасовій області — там це просто одиниця!
Z-перетворення (aka перетворення Лорана) - версія перетворення Лапласа для дискретних систем.
Тобто, застосувавши перетворення Лапласа (або Z-перетворення, за потребою) до функції, що описує бажаний фільтр, підставивши отриману одиницю і перетворивши назад, ми отримаємо імпульсну характеристику. Звучить легко, охочі можуть спробувати. Я не ризикну, бо, як було сказано, перетворення Лапласа — сувора річ, особливо протилежне. Залишимо його на крайній випадок, а самі пошукаємо якісь простіші способи отримання шуканого. Їх є кілька.
По-перше, можна згадати про ще один дивовижний факт природи — амплітудно-частотна та імпульсна характеристики пов'язані між собою добрим та знайомим перетворенням Фур'є. Це означає, що ми можемо намалювати будь-яку АЧХ на свій смак, взяти від неї зворотне перетворення Фур'є (хоч безперервне, хоч дискретне) і отримати імпульсну характеристику системи, що її реалізує. Це просто приголомшливо!
Тут, щоправда, не обійдеться без проблем. По-перше, імпульсна характеристика, яку ми отримаємо, швидше за все буде нескінченною (не буду пускатись у пояснення чому; так влаштований світ), так що нам доведеться вольовим рішенням обрізати її в якійсь точці (поклавши нуль далі далі цієї точки). Але це не пройде просто так – наслідком цього, як і слід очікувати, будуть спотворення АЧХ розрахованого фільтра – вона стане хвилястою, а частотний зріз розмиється.
Для того, щоб мінімізувати ці ефекти, до скороченої імпульсної характеристики застосовуються різні віконні функції, що згладжують. В результаті АЧХ зазвичай розмивається ще більше, зате зникають неприємні (особливо смуги пропускання) осциляції. 
Власне після такої обробки ми отримуємо робочу імпульсну характеристику і можемо будувати цифровий фільтр.
Другий метод розрахунку ще простіше – імпульсні характеристики найпопулярніших фільтрів давно виражені в аналітичному вигляді за нас. Залишається тільки підставити свої значення та застосувати до результату віконну функцію до смаку. Тож можна навіть не рахувати жодних перетворень.
Ну і, звичайно, якщо має на меті емулювати поведінку якоїсь конкретної схеми, можна отримати її імпульсну характеристику в симуляторі:
Тут я подав на вхід RC-ланцюга імпульс напругою 100 500 вольт (так, 100.5 кВ) тривалістю 1 мкс і отримав її імпульсну характеристику. Зрозуміло, що насправді такого не зробити, але в симуляторі цей метод, як видно, чудово працює.
5. Примітки.
Вищесказане щодо укорочення імпульсної характеристики ставилося, звісно, до т.зв. фільтрів з кінцевою імпульсною характеристикою (FIR/КИХ-фільтрів). Вони мають купу цінних властивостей, включаючи лінійну фазу (за певних умов побудови імпульсної характеристики), яка дає відсутність спотворень сигналу при фільтрації, а також абсолютну стабільність. Є й фільтри з нескінченною імпульсною характеристикою (IIR/БІХ-фільтри). Вони менш ресурсомісткі у сенсі розрахунків, але не мають перелічених переваг.
У наступній статті сподіваюся розібрати простий приклад практичної реалізації цифрового фільтра.
Завантаження...