Для спрощення методів вирішення завдань аналізу ланцюгів сигнали представляють у вигляді суми певних функцій.
Цей процес обґрунтовується поняттям узагальненого ряду Фур'є. У математиці доведено, що будь-яка функція, що задовольняє умовам Діріхле, може бути представлена у вигляді ряду:
Для визначення помножимо ліву та праву частини ряду на та візьмемо інтеграл від лівої та правої частини:
для інтервалу, в якому виконуються умови ортогональності.
Отримали вираз для узагальненого ряду Фур'є:
Виділимо конкретний вид функції для розкладання в ряд сигналу. Як таку функцію виберемо ортогональну систему функцій:
Для визначення ряду обчислимо значення:
Таким чином, отримаємо:
Графічно цей ряд представляється як двох графіків амплітудних гармонійних складових.
Отриманий вираз можна подати у вигляді:
Набули другу форму запису тригонометричного ряду Фур'є. Графічно цей ряд представляється як двох графіків - амплітудного і фазового спектрів.
Знайдемо комплексну форму ряду Фур'є, для цього скористаємося формулами Ейлера:
Графічно спектр у цій формі представлений на осі частот у діапазоні.
Очевидно, що спектр періодичного сигналу, виражений у комплексній чи амплітудній формі – дискретний. Це означає, що у спектрі є складові із частотами
Спектральні характеристики неперіодичного сигналу
Так як неперіодичного сигналу в радіотехніці розглядають одиночний сигнал, то для знаходження його спектру представимо сигнал як періодичний з періодом. Скористаємося перетворення низки Фур'є для цього періоду. Отримаємо для:
Аналіз отриманого виразу показує, що з амплітуди складових стають нескінченно малими і осі частот вони розташовані безперервно. Тоді, щоб вийти з цього положення скористаємося поняттям спектральної щільності:
Підставимо отриманий вираз у комплексний ряд Фур'є, отримаємо:
Остаточно отримаємо:
Тут – спектральна щільність, а сам вираз – пряме перетворення Фур'є. Для визначення сигналу за його спектром використовують зворотне перетворення Фур'є:
Властивості перетворення Фур'є
З формул прямого та зворотного перетвореньФур'є очевидно, що якщо зміниться сигнал, то зміниться і його спектр. Наступні властивості встановлюють залежність спектра зміненого сигналу від спектру сигналу до змін.
1) Властивість лінійності перетворення Фур'є
Отримали, що спектр суми сигналів дорівнює сумі спектрів.
2) Спектр сигналу зрушеного у часі
Отримали, що зсуву сигналу амплітудний спектр не змінюється, а змінюється лише фазовий спектр на величину
3) Зміна масштабу часу
тобто при розширенні (звуження) сигналу в кілька разів спектр цього сигналу звужується (розширюється).
4) Спектр усунення
5) Спектр похідної від сигналу
Візьмемо похідну від лівої та правої частини зворотного перетворення Фур'є.
Бачимо, що спектр похідної від сигналу дорівнює спектру вихідного сигналу помноженого на, тобто змінюється амплітудний спектр і змінюється фазовий.
6) Спектр інтеграла сигналу
Візьмемо інтеграл від лівої та правої частини зворотного перетворення Фур'є.
Бачимо, що спектр похідної від сигналу дорівнює спектру вихідного сигналу поділеного на,
7) Спектр добутку двох сигналів
Таким чином, спектр твору двох сигналів дорівнює згортанню їх спектрів помноженої на коефіцієнт
8) Властивість дуальності
Таким чином, якщо до якогось сигналу відповідає спектр, то сигналу формою збігається з вищевказаним спектром відповідає спектр формою збігається з вищевказаним сигналом.
Загальні зауваження
Серед різноманітних систем ортогональних функцій, які можуть використовуватися як базиси для представлення радіотехнічних сигналів, Виняткове місце займають гармонійні (синусоїдальні та косинусоїдальні) функції. Значення гармонійних сигналів для радіотехніки обумовлено низкою причин.
У радіотехніці доводиться мати справу з електричними сигналами, які пов'язані з повідомленнями, що передаються прийнятим способомкодування.
Можна сказати, що електричний сигнал є фізичний (електричний) процес, що несе в собі інформацію. Кількість інформації, яку можна передати за допомогою деякого сигналу, залежить від основних параметрів: тривалості, смуги частот, потужності та деяких інших характеристик. Важливе значеннямає також рівень перешкод у каналі зв'язку: що менше цей рівень, то більше інформації можна передати з допомогою сигналу із заданою потужністю. Перш ніж говорити про інформаційні можливості сигналу, необхідно ознайомитись з його основними характеристиками. Доцільно розглянути окремо детерміновані та випадкові сигнали.
Детермінованим називають будь-який сигнал, миттєве значення якого будь-якої миті часу можна передбачити з ймовірністю одиниця.
Прикладами детермінованих сигналів можуть бути імпульси або пачки імпульсів, форма, величина і положення в часі яких відомі, а також безперервний сигнал із заданими амплітудними та фазовими співвідношеннями всередині його спектра. Детерміновані сигнали можна поділити на періодичні та неперіодичні.
Періодичним називається будь-який сигнал, для якого виконується умова
де період Т є кінцевим відрізком, а k – будь-яке ціле число.
Найпростішим періодичним детермінованим сигналом є гармонійне коливання. Суворо гармонійне коливання називають монохроматичним. Цей запозичений з оптики термін наголошує, що спектр гармонійного коливання складається з однієї спектральної лінії. У реальних сигналів, що мають початок і кінець, спектр неминуче розмивається. Тому суворо монохроматичного коливання у природі немає. Надалі під гармонійним та монохроматичним сигналом умовно буде матися на увазі коливання. Будь-який складний періодичний сигнал, як відомо, можна у вигляді суми гармонійних коливань з частотами, кратними основний частоті w = 2*Pi/T. Основною характеристикою складного періодичного сигналу є його спектральна функція, що містить інформацію про амплітуди і фази окремих гармонік.
Неперіодичним детермінованим сигналом називається будь-який детермінований сигнал, для якого виконується умова s(t)s(t+kT).
Як правило, неперіодичний сигнал обмежений у часі. Прикладами таких сигналів можуть бути імпульси, пачки імпульсів, «уривки» гармонійних коливань і т.д. Неперіодичні сигнали становлять основний інтерес, оскільки вони переважно використовуються у практиці.
Основною характеристикою неперіодичного, як і періодичного сигналу є його спектральна функція;
До випадкових сигналів відносять сигнали, значення яких наперед невідомі і можуть бути передбачені лише з деякою ймовірністю меншої одиниці. Такими функціями є, наприклад, електрична напруга, що відповідає мовленню, музиці, послідовності знаків телеграфного коду при передачі неповторного тексту. До випадкових сигналів відноситься також послідовність радіоімпульсів на вході радіолокаційного приймача, коли амплітуди імпульсів і фази їх високочастотного заповнення флуктують через зміни умов поширення, положення мети та деяких інших причин. Можна навести велику кількість інших прикладів випадкових сигналів. По суті, будь-який сигнал, що несе у собі інформацію, повинен розглядатися як випадковий. Перелічені детерміновані сигнали, «відомі», інформації вже не містять. Надалі такі сигнали часто позначатимуться терміном «коливання».
Для характеристики та аналізу випадкових сигналів застосовується статистичний підхід. Як основні характеристики випадкових сигналів приймають:
а) закон розподілу ймовірностей.
б) спектральне розподілення потужності сигналу.
На основі першої характеристики можна знайти відносний час перебування величини сигналу у певному інтервалі рівнів, відношення максимальних значень до середньоквадратичного та ряд інших важливих параметрівсигналу. Друга характеристика дає лише розподіл за частотами середньої потужностісигналу. Більше детальної інформаціїщодо окремих складових спектру - про їх амплітуди та фази - спектральна характеристика випадкового процесу не дає.
Поряд з корисними випадковими сигналамитеоретично і практиці доводиться мати справу з випадковими перешкодами - шумами. Як згадувалося вище, рівень шумів є основним чинником, що обмежує швидкість передачі при заданому сигналі.
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ФІЗИЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ
НАПРЯМОК
«ПРИКЛАДНІ МАТЕМАТИКА ТА ФІЗИКА»
Методи визначення
спектральних характеристик
електричних сигналів
Санкт-Петербург
Вступ................................................. .................................................. ..................................... 3
Речова форма ряду Фур'є.............................................. .................................................. 3
Комплексна форма ряду Фур'є.............................................. .................................................. .. 4
Спектр періодичної функції............................................... .................................................. 5
Перетворення Фур'є................................................ .................................................. ............... 6
Властивості перетворення Фур'є............................................... .................................................. 7
Спектр дискретного сигналу............................................... .................................................. ...... 9
Дискретне перетворення Фур'є............................................... ............................................ 12
Розтікання спектра................................................ .................................................. ................... 14
Лабораторна установка та виконання вимірювань............................................. ................... 15
Завдання................................................. .................................................. ...................................... 17
Додаток 1. Відрізок синусоїди............................................. ............................................. 18
Література................................................. .................................................. ................................ 19
Вступ
Ця робота є першою в циклі лабораторних робіту навчальній лабораторії «Методів обробки та передачі інформації» (МОПД) фізичного факультету СПбГУ. Лабораторія виконується на другому курсі та підтримує курс лекцій "Фізичні засади методів обробки та передачі інформації". До цього часу курс вже прослуханий студентами, лабораторія призначена для закріплення та розширення знань у цій галузі.
Уявлення про спектр сигналу необхідне розробки пристроїв передачі, воно знаходить застосування для непрямого виміру інших фізичних величин, і легко розрахунку електричної ланцюга. Знання спектра сигналу дозволяє краще зрозуміти його природу і невипадково цикл лабораторних робіт починається саме з цієї роботи.
Робота матиме і розрахунковий, і експериментальний характер. Експериментальна частина роботи містить важливий інноваційний елемент застосування цифрової обробки сигналу, оцифрованого за допомогою системи збору даних. Крім того, вся розрахункова частина роботи, а також опрацювання результатів експериментів виконується на базі сучасного математичного пакету МАТЛАБ та його додаткової бібліотеки – Signal Processing Toolbox. Використовуються закладені у яких можливості математичного моделювання різноманітних типів сигналів, обробки даних.
Передбачається, що читач знайомий з основними прийомами роботи у цьому пакеті. Програми розрахунків та різні доповнення будуть віднесені до Додатку до роботи.
Речова форма ряду Фур'є
Розглянемо періодичну функцію з періодом, рівним: 
де – будь-яке ціле число. При виконанні певних умов ця функція може бути представлена у вигляді суми, кінцевої чи нескінченної, гармонійних функцій виду 
, період яких збігається з періодом вихідної функції , де - константа..gif "with" width="15" height="17 src=">. Таким чином, ми вирішуватимемо завдання про розкладання періодичної функції в тригонометричний ряд:
(1)
Окремий доданок цієї суми Наше завдання полягає в тому, щоб підібрати такі коефіцієнти і , при яких ряд (1) буде сходитися до заданої функції width="301 height=53" (2)
де нові коефіцієнти виражаються як https://pandia.ru/text/78/330/images/image015_16.gif" width="105" height="24 src=">.gif" width="273" height="117 "> (3)
Можна довести, що тригонометричний ряд буде сходитися рівномірно до функції. "28" може бути наближена з певною точністю тригонометричним поліномом порядку N, тобто кінцевим числом доданків.
Комплексна форма ряду Фур'є
Інша, комплексна форма тригонометричного ряду, виходить, якщо записати синуси та косинуси в (2) через комплексні експоненти:
(4)
Коефіцієнти речовинної та комплексної форми пов'язані між собою співвідношеннями:
(5)
Використовуючи формули (5), з (3) отримаємо вирази для коефіцієнтів комплексної форми тригонометричного ряду. Ці коефіцієнти можуть бути записані для будь-якого номера kнаступним чином
(6)
Тригонометричний ряд у комплексній формі рівномірно сходить до функції, якщо сходяться ряди і. Це буде виконано, якщо вихідна функція відповідає умовам Диріхле.
Спектр періодичної функції
Введемо поняття спектра періодичної функції. Воно ґрунтується на можливості подання сигналу або у вигляді речового ряду Фур'є (1), або у вигляді комплексного ряду (4). Це означає, що речові коефіцієнти та , або комплексні коефіцієнти несуть повну інформаціюпро періодичну з відомим періодом і називається речовим спектром сигналу..gif" width="69" height="41 src=">). Тому набір називається амплітудним спектром..gif" width="20" height="24">. На відміну від речовинного спектру, комплексний спектр визначений як для позитивних, так і для негативних частот. Нижче ми покажемо, що модулі цих коефіцієнтів визначають амплітуди гармонік і тому можуть називатися амплітудним спектром, а аргументи (фазовий спектр) визначають початкові фази гармонік. gif. З цього співвідношення випливає властивість парності для комплексного амплітудного спектру і непарність для фазового.
Подивимося, як пов'язані між собою речовий та комплексний спектри. Запишемо ряд (4) у вигляді
Доданки з негативними номерами можуть бути виражені через доданки з позитивними номерами, так як 
. Тоді залишиться лише сума із позитивними номерами
Після підсумовування експонент з однаковими номерами width="237" height="53"> (9)
Порівнюючи ряди (1) і (9), отримаємо шуканий зв'язок речовинного та комплексного спектрів: і .
Оскільки спектр періодичного сигналу складається з окремих гармонік, його називають дискретним або лінійним. Частоти гармонік обернено пропорційні періоду - безперервно диференційована абсолютно інтегрована на всій осі функція: . Неперіодичний сигнал може бути розглянутий як періодичний, але з нескінченно великим періодом, зробивши граничний перехід від кінцевого до нескінченно великого періоду сигналу у формулах (6) і (4), отримаємо формули для прямого перетворення Фур'є:
(10)
та зворотного:
(11)
Функцію https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" Таким чином, спектр неперіодичного сигналу - суцільний (на відміну від лінійного спектру періодичного) сигналу), він визначений по всій осі частот.
Властивості перетворення Фур'є
Розглянемо основні властивості перетворення Фур'є.
Лінійність. Розглянемо функції та , що мають спектри та :
Тоді спектр їхньої лінійної комбінації буде:
Затримка у часі..gif" width="28" height="23 src=">
(14)
Розрахуємо спектр сигналу, зсунутого в часі: тоді і тоді і тоді
Отримали, що затримка сигналу тимчасово.
Зміна масштабу.Вважаємо, що відомий спектр https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" ">. Вводимо нову змінну, робимо заміну змінної інтегрування https://pandia.ru/text/78/330/images/image059_1.gif" width="312" height="61"> (16)
Розмноження на https://pandia.ru/text/78/330/images/image041_3.gif" width="40 height=23" height="23"> .
Таким чином, множення сигналу на https://pandia.ru/text/78/330/images/image062_1.gif".
Спектр похідної.У разі ключовим моментом є абсолютна інтегрованість функції. З того, що інтеграл від модуля функції має бути обмежений, випливає, що на нескінченності функція повинна прагнути нуля. Інтеграл від похідної функції береться вроздріб, вийшли внеинтегральные доданки рівні нулю, оскільки у нескінченності функція прагне нулю.
(18)
Спектр інтегралу.Знайдемо спектр сигналу, тобто у сигналу відсутня постійна складова. Ця вимога необхідна, щоб позаінтегральні доданки дорівнювали нулю, коли інтеграл береться частинами.
(19)
Теорема про згортку.Відомо, що спектри функцій і спектри функцій і спектри функцій і функцій /330/images/image069_1.gif" width="153" height="57"> через і . Для цього в інтегралі Фур'є від згортки в однієї з функцій виконаємо заміну зміною, тоді в показнику експоненти можна зробити заміну. 181"> (20)
Перетворення Фур'є згортки двох сигналів дає добуток спектрів цих сигналів.
Добуток сигналів.Відомо, що https://pandia.ru/text/78/330/images/image067_1.gif" - спектри функцій і https://pandia.ru/text/ 78/330/images/image073_1.gif" width="53" height="23"> через спектри та ..gif" width="409" height="123"> (21)
Спектр добутку сигналів є згортка спектрів цих сигналів.
Спектр дискретного сигналу
Особливу увагуварто приділити дискретним сигналам, оскільки саме такі сигнали використовують у цифрової обробці. Дискретний сигнална відміну від безперервного є послідовністю чисел, що відповідають значенням безперервного сигналу певні моменти часу. Умовно дискретний сигнал можна розглядати як безперервний сигнал, який у певні моменти часу приймає якісь значення, а в решту часу дорівнює нулю. (Рис.1).
https://pandia.ru/text/78/330/images/image078_1.gif" width="87" height="24"> (22)
Прямокутні імпульси мають тривалість: width="19
(23)
Амплітуда імпульсу обрана таким чином, щоб інтеграл імпульсу за періодом дорівнював . При цьому тактуючі імпульси безрозмірні. Розкладемо послідовність таких імпульсів у тригонометричний ряд:
(24)
Щоб отримати миттєві відліки сигналу. Такий тактуючий сигнал назвемо ідеальним. При цьому коефіцієнти розкладання в ряд Фур'є всі дорівнюватимуть 1.
(25)
Такий самий вид має розкладання в ряд Фур'є функції:
(26)
Коефіцієнти розкладання в тригонометричний ряд тактуючого сигналу:
(27)
Тоді дискретний сигнал матиме вигляд:
При обчисленні перетворення Фур'є дискретного сигналу міняємо місцями операцію підсумовування та інтегрування, а потім використовуємо властивість δ -функції:
Спектр дискретного сигналу є періодичною функцією. Розглянемо експоненту в готельному доданку як функцію частоти., і це, відповідно, буде періодом повторення всього спектра. спектр дискретного сигналу має період повторення, що дорівнює частоті квантування. 
.
Отримаємо ще одне уявлення. В силу того, що є добутком функцій і спектр дискретного сигналу обчислюється як згортка спектрів безперервного сигналу width="37" .
(30)
Обчислимо , використовуючи (25). Оскільки періодична функція, її діапазон дискретний.
Таким чином, згортка (30)
https://pandia.ru/text/78/330/images/image099_1.gif" width="39" height="23 src=">.
Сам факт того, що в результаті дискретизації в спектрі сигналу відбуваються якісні зміни, говорить про те, що вихідний сигнал може бути спотворений, оскільки він повністю визначається своїм спектром. Однак з іншого боку періодичне повторення одного й того самого спектру саме по собі не вносить нічого нового в спектр, тому за певних умов, знаючи значення сигналу в окремі моменти часу, можна знайти яке значення цей сигнал набував у будь-який інший момент часу, тобто отримати вихідний безперервний сигнал. У цьому полягає сенс теореми Котельникова, яка накладає умову вибір частоти квантування відповідно до максимальної частотою в спектрі сигналу.
Якщо ця умова порушена, то після оцифрування сигналу відбудеться накладення спектру, що періодично повторюється (рис. 2). Спектр, що вийшов в результаті накладання, буде відповідати іншому сигналу.
Мал. 2. Перекриття спектрів.
Дискретне перетворення Фур'є
У попередньому розділі було сказано, що при виконанні умови теореми Котельникова відліки дискретного сигналу зберігають всю інформацію про безперервний вихідний сигнал, а значить і про його спектр. Тому спектр сигналу може бути знайдено і за його дискретними відрахунками, що дає широкі можливості для аналізу сигналів у цифровій обробці. Раніше було показано, що спектр періодичного сигналу дискретний, тобто сигнал може бути розкладений за певними гармоніками. Дискретний сигнал має періодичний спектр. Дискретний періодичний сигнал матиме дискретний періодичний спектр. Дискретний сигнал представляється у вигляді послідовності значень сигналу у фіксовані моменти часу ..gif" width="19" height="19 src=">, тобто для будь-якого виконується . обчислюється за такою формулою:
(33)
Зворотне перетворення Фур'є за формулою:
(34)
Порівнюючи (33) з (4) отримуємо, що комплексна амплітуда гармоніки з номером і відповідає частоті 
або, що те саме 
, де частота квантування в герцях: - період квантування, період вважається рівним тривалості записаного фрагмента сигналу.
У MATLAB дискретне перетворення Фур'є виконується за допомогою команди fft (Fast Fourier Transform), яка здійснює обчислення за спеціальним алгоритмом швидкого перетворення. Синтаксис команди:
y = fft (x, n, dim)
x – вектор із відліками сигналу;
y – вектор із результатом перетворення ;
n – необов'язковий параметр, що визначає кількість відліків сигналу, що використовується для перетворення. В цьому випадку вектор y складатиметься з n елементів;
dim – необов'язковий параметр, що визначає номер розмірності, через яку виконується перетворення. Використовується, коли змінної x міститься кілька сигналів, кожен у стовпці чи рядку, потім вказує змінна dim.
Аналогічний інтерфейс має команда, за допомогою якої виконується зворотне перетворення:
x = ifft(н, n, dim)
Команда fft повертає масив, в якому амплітуди гармонік відповідають частотам гармонік в діапазоні, більш звичним. для сприйняття.Взагалі, якщо всі значення вектора x речові, що характерно для будь-якої вимірюваної фізичної величини, то, як було показано вище (9), значення мають лише гармоніки в діапазоні частот https://pandia.ru/text/78/330 /images/image104_1.gif" width="20" height="24 src="> - це рівно один період сигналу. Тобто в даному випадку зареєстрований відрізок періодичного сигналу має бути періодично продовжений, при цьому періодом повторення має бути тривалість запису сигналу. Якщо тривалість запису відмінна від періоду сигналу, який записували, то при періодичному повторенні запису сигналу відбудеться спотворення форми сигналу, відповідно, і його спектра.
Наприклад, реєструвався синусоїдальний сигнал із періодом , а тривалість запису дорівнює , причому , де – ціле число. Тоді при періодичному повторенні запису сигналу (рис. 3) з'являться розриви першого роду, оскільки значення сигналу на початку та наприкінці запису різні.
https://pandia.ru/text/78/330/images/image054_1.gif" Відрізок записаного сигналу можна також інтерпретувати як вихідний сигнал, згорнутий з прямокутним імпульсом, що визначає відрізок часу , в який було зроблено запис, тоді згідно з властивостями перетворення Фур'є спектр записаного сигналу буде твором вихідного спектра зі спектром прямокутного імпульсу (рис. 4).
https://pandia.ru/text/78/330/images/image123.jpg" width="562" height="229 src=">
Мал. 5. Лабораторна установка.
Розглянь кожний блок цієї схеми докладніше.
1. Джерелом аналогових модельних сигналів є генератор модельних сигналів. Як нього можуть використовуватися такі прилади (на вибір викладача):
· Стандартний лабораторний генератор сигналів різної форми (синусоїдальні та прямокутні імпульси);
· Цифровий генератор, зібраний на цифро-аналоговому перетворювачі (ЦАП) пристрою L-Card ;
· За допомогою MATLAB сигнали можуть бути відтворені на звуковій карті комп'ютера.
З використанням MATLAB стало можливо відтворювати сигнали практично будь-якої форми, спектр яких знаходиться в звуковому діапазоні, можливості обмежені лише характеристиками звукової карти, а саме частотою квантування, частотною характеристикою та максимально можливим значенням напруги. Звукові карти, призначені насамперед для відтворення звуку, мають частотну характеристику, що дозволяє відтворювати сигнал діапазоні частот приблизно від 100Гц до 20кГц. Ці межі визначаються внутрішнім пристроєм звукової карти, зазвичай там використовуються фільтри, що обмежують спектр сигналу в цьому діапазоні. Інша особливість звукової карти полягає в тому, що більшість з них можуть працювати тільки з певними частотами квантування: 8000Гц, 11025Гц, 22050Гц та 44100Гц. Вихідна напругадля різних звукових картможе відрізнятися, але, як правило, максимально можливе значення близько 1В. Перевага звукової карти:
Вони є практично у будь-якому комп'ютері;
Підтримуються багатьма програмами, у тому числі MATLAB та Simulink.
Недоліки:
Для різних плат характеристики можуть відрізнятися;
Як вимірювальний пристрійвони мають класу точності;
Відсутність внутрішніх схем захисту (гальванічних чи оптичних розв'язок), що може призвести до виходу з експлуатації.
2. Аналогові сигнали, що знімаються з виходу якогось із перерахованих вище генераторів, візуально контролюються на екрані електронно-променевого осцилографа. Такий контроль необхідний щоб поспостерігати форму сигналів, що генеруються, і встановити їх параметри - амплітуду, тривалість, період повторення і т.д.
3. Наступним елементом експериментальної установки є фільтр нижніх частот (ФНЧ). Це аналоговий пристрій, який зазвичай використовується у таких схемах. Його призначення – обмежити спектр досліджуваних сигналів зверху, щоб задовольнити умови теореми Котельникова. Максимальна частота квантування L-Card становить 125 кГц, тоді з теореми Котельникова для відновлення сигналу без спотворень спектр сигналу не повинен перевищувати fгр:
За вказівкою викладача слід спаяти найпростіший фільтр нижніх частот. Його схема наведено на рис. 6.
https://pandia.ru/text/78/330/images/image126_0.gif" width="85" height="41"> (36)
4. Аналого-цифровий перетворювач (АЦП) - пристрій для перетворення аналогових сигналіву цифрові реалізації, доступні для обробки на комп'ютері. У нашій лабораторії використовуються АЦП фірми L-Card типу L-761 та L-783, розміщеної безпосередньо в системному блоцікомп'ютера.
Завдання
1. Аналітично розрахувати спектральні функції заданих викладачем періодичних сигналів простої форми (прямокутний відеоімпульс, трикутний імпульс, експоненційний імпульс та ін.). Побудувати графіки амплітудного та фазового спектра цих сигналів.
2. Виконати Фур'є-аналіз перерахованих сигналів у MATLAB, використовуючи швидке перетворення Фур'є (FFT). Побудувати відповідні графіки амплітудних та фазових спектрів у галузі позитивних та негативних частот (використовуючи функції fft, fftshift, stem, попередньо подивившись їх у документації). Амплітуди гармонік та їх частоти на графіках повинні відповідати їх значенням у заданому сигналі. Особливу увагу звернути увагу на вплив співвідношення тривалості імпульсів і часу запису сигналу на спектр сигналу, пояснити результат. Для кожного типу сигналу в тих самих координатах побудувати графіки амплітудних спектрів, знайдених аналітично (завдання 1) і чисельно розрахованих.
3. За допомогою команди FFT знайти та порівняти спектри відрізків синусоїди, що складаються з цілого та не цілого числа періодів.
4. Провести спектральний аналіз відрізка синусоїди, що складається з кількох періодів. Простежити, як змінюється діапазон залежно від кількості періодів.
5. За допомогою цифрового осцилографа L-Graph спостерігатиме спотворення сигналу внаслідок порушення теореми Котельникова. Для цього підключити аналоговий генератор гармонійного сигналу до L-Card, задати частоту квантування, наприклад, 20кГц, і, плавно змінюючи частоту генератора в діапазоні від 1кГц до 20кГц, спостерігати за частотою оцифрованого сигналу, пояснити ефекти, що спостерігаються.
6. Встановити частоту квантування 100кГц, частоту генератора гармонійного сигналу 10кГц, амплітуду 1В. Записати відрізок гармонійного сигналу тривалістю 0,01с та побудувати в MATLAB його амплітудний спектр. При цьому частоти та амплітуди на графіку повинні відповідати тим, які є насправді.
7. Використовуючи результати, отримані у першому завданні, апроксимувати прямокутний імпульс кінцевим числом доданків тригонометричного ряду. Порівняти на одному графіку вихідний імпульс і апроксимований двома першими гармоніками, десятьма першими гармоніками.
Додаток 1. Відрізок синусоїди
Для виконання одного із завдань потрібно написати програму для обчислення спектру синусоїди, нижче наведено приклад такої програми. На початку програми визначаються параметри, що задають тривалість сигналу у періодах та кількість періодів. Змінюючи ці параметри можна отримати різні варіантивідрізка синусоїди.
clear, clc, close all
f0 = 1000; % Частота синуса
N1 = 20; % тривалість всього трізка у періодах
N2 = 10; % кількість відліків на період
N3 = 2; % кількість періодів
N = N1 * N2; % кількість відліків у всьому записі
fs = f0 * N2; % Частота квантування
% створюємо сигнал
t = (0:(N-1))/fs; % час
x(1:N2*N3) = sin(2*pi*(0:(N2*N3-1))/N2);
% обчислюємо спетр
X = fftshift(abs(fft(x))/N);
f = (ceil(N/2)-N:ceil(N/2)-1)*fs/N;
subplot(2,1,1), plot(t, x, "k"), xlabel("t, с"), ylabel("x(t)")
subplot(2,1,2), stem(f, X,"k."), xlabel("f, Гц"), ylabel("|X|")
Література
1. Будилін та інтеграли Фур'є. СПбГУ. 2002.
2. Ромаданів перетворення в MATLAB. СПб. 2007
3. Смирнов вищої математики (тому
Форма амплітудно-частотної характеристики є не що інше як спектральне зображення загасаючого синусоїдальногосигналу. Крім того, як відомо, подібну форму має амплітудно-частотна прохідна характеристика одиночного електричного. коливального контуру.
Залежність між формою амплітудно-частотної характеристики тих чи інших пристроїв та властивостями сигналу вивчають в основах теоретичної електротехніки та теоретичної радіотехніки. Коротко те, що нас зараз має цікавити з цього, полягає в наступному.
Амплітудно-частотна характеристика коливального контуру обрисів збігається із зображенням частотного спектрусигналу, що виникає при ударному збудженні цього коливального контуру. Для ілюстрації цього моменту наведено рис.1-3, на якому зображена затухаюча синусоїда, що виникає при ударному впливі на коливальний контур. Цей сигнал наведено в часі пром ( а) та спектральному ( b) Зображення.
Мал. 1-3
Відповідно до розділу математики, званому спектрально-часовыми перетвореннями, спектральне і тимчасове зображення однієї й тієї ж змінюється у часі процесу є хіба що синонімами, вони еквівалентні і ідентичні одне одному. Це можна порівняти з перекладом однієї й тієї ж поняття з однієї мови іншою. Будь-яка людина, знайома з цим розділом математики, скаже, що малюнки 1-3 ата 1-3 bеквівалентні один одному. Крім того, спектральне зображення цього сигналу, отриманого при ударному збудженні коливальної системи (коливального контуру) одночасно є геометрично подібним амплітудно-частотної характеристики цього контура.
Неважко помітити, що графік ( b) на рис.1-3 геометрично подібний до графіка 3 на рис.1-1. Тобто, побачивши, що в результаті вимірів було отримано графік 3 , я відразу ставився до нього не просто як до амплітудно-частотної характеристики загасання звуку в породах покрівлі, але і як до свідчення наявності в породній товщі коливальної системи.
З одного боку, наявність коливальних систем у гірських породах, що залягають у покрівлі підземного вироблення, у мене не викликало жодних питань, тому що іншими способами отримати синусоїдальний (або, інакше кажучи, гармонійний) сигнал неможливо. З іншого боку, про наявність коливальних систем у земній товщі ніколи раніше не чув.
Для початку, нагадаємо визначення коливальної системи. Коливальна система - це об'єкт, який на ударний (імпульсний) вплив реагує загасаючим гармонійним сигналом. Або, інакше кажучи, це об'єкт, що має механізм перетворення імпульсу (удару) в синусоїду.
Параметри загасаючого синусоїдального сигналу - це частота f 0 і добротність Q , величина якої обернено пропорційна коефіцієнту згасання. Як видно з рис.1-3, обидва ці параметри можуть бути визначені як з часового, так і спектрального зображення цього сигналу.
Спектрально-часові перетворення - самостійний розділ математики, і один із висновків, який ми повинні зробити зі знання цього розділу, а також із форми амплітудно-частотної характеристики звукопровідності породного масиву, зображеної на рис.1-1 (крива 3), полягає в тому , що з акустичних властивостей досліджуваний породний масив виявив властивість коливальної системи.
Цей висновок є цілком очевидним для будь-кого, хто знайомий із спектрально-часовими перетвореннями, але категорично неприйнятний для тих, хто професійно займається акустикою твердих середовищ, сейсморозвідкою або геофізикою. Так склалося, що у курсі навчання студентів цих спеціальностей цей матеріал не дають.
Як відомо, в сейсморозвідці прийнято вважати, що єдиним механізмом, що зумовлює форму сейсмосигналу, є поширення поля пружних коливань за законами геометричної оптики, відображення його від кордонів, що залягають у земній товщі, і інтерференція між окремими складовими сигналу. Вважається, що форма сейсмосигналів обумовлена характером інтерференції між безліччю дрібних ехо-сигналів, тобто відбитків від безлічі дрібних, що залягають у гірському масиві кордонів. Крім того, вважається, що за допомогою інтерференції можна отримати сигнал будь-якої форми.
Так, це все так, але в тому й річ, що гармонійний (у тому числі, і гармонійний загасаючий) сигнал є винятком. Його інтерференцією одержати неможливо.
Синусоїда - це елементарна інформаційна цегла, що не підлягає розкладанню на простіші складові, тому що простіше, ніж синусоїда, сигналу в природі не існує. Саме тому, до речі, ряд Фур'є – це сукупність саме синусоїдальних членів. Будучи елементарним, неподільним інформаційним елементом, синусоїда не може бути отримана шляхом додавання (інтерференції) будь-яких інших, ще більш простих складових.
Отримати гармонійний сигнал можна одним-єдиним шляхом – а саме, впливом на коливальну систему. При ударному (імпульсному) впливі на коливальну систему виникає загасаюча синусоїда, а при періодичному або шумовому впливі - синусоїда, що не згасає. Отже, побачивши, що амплітудно-частотна характеристика якогось об'єкта геометрично подібна до спектрального зображення гармонійного загасаючого сигналу, вже не можна ставитися до цього об'єкта інакше, як до коливальної системи.
Перед тим, як проводити перші свої вимірювання в шахті, я, як і всі інші люди, що функціонують в галузі акустики твердих середовищ і сейсморозвідки, був переконаний, що жодних коливальних систем у породному масиві немає і не може бути. Однак, виявивши таку амплітудно-частотну характеристику згасання, я вже просто не мав права залишатися при цій думці.
Проведення вимірювань, аналогічних описаним вище, дуже трудомістке, і обробка результатів цих вимірювань займає багато часу. Тому, побачивши, що за характером звукопровідності порідний масив є коливальною системою, я зрозумів, що слід використовувати іншу схему вимірювань, яку застосовують при дослідженні коливальних систем, і яку ми використовуємо й донині. За цією схемою джерелом зондуючого сигналу служить імпульсний (ударний) вплив на гірський масив, а приймачем - сейсмоприймач, спеціально призначений для проведення спектрально-сейсморозвідувальних вимірювань. Схема індикації та обробки сейсмосигналу дозволяє спостерігати його як у часовому, так і спектральному вигляді.
Застосувавши цю схему вимірювань у тій же точці підземного вироблення, що і при першому нашому вимірі, ми переконалися в тому, що при ударному впливі на породний масив покрівлі, сигнал, що виникає при цьому, дійсно має вигляд синусоїди, що затухає, подібний показаному на рис.1 -3 a, А спектральне зображення її подібно до графіка, показаному на рис.1-3 b.
Найчастіше буває, що сейсмосигнал містить не одну, а кілька гармонійних складових. Однак скільки б не було гармонійних складових, всі вони виникають виключно внаслідок наявності відповідної кількості коливальних систем.
Багаторазові дослідження сейсмосигналів, отриманих в різних умовах - і в підземних виробках, і на земній поверхні, і в умовах осадового чохла, і при дослідженні порід кристалічного фундаменту - показали, що в усіх можливих випадкахсигналів, отриманих над результаті наявності коливальних систем, а результаті інтерференційних процесів, немає.
Фур'є-зображення - комплексні коефіцієнти ряду Фур'є F(j w k) періодичного сигналу (1) та спектральна щільність F(j w) неперіодичного сигналу (2) - мають низку загальних властивостей.
1. Лінійність . Інтеграли (1) і (2) здійснюють лінійне перетворенняфункції f(t). Тому Фур'є-зображення лінійної комбінації функцій дорівнює аналогічної лінійної комбінації їх зображень. Якщо f(t) = a 1 f 1 (t) + a 2 f 2 (t), то F(j w) = a 1 F 1 (j w) + a 2 F 2 (j w), де F 1 (j w) та F 2 (j w) - Фур'є-зображення сигналів f 1 (t) та f 2 (t), відповідно.
2. Затримка (Зміна початку відліку часу для періодичних функцій) . Розглянемо сигнал f 2 (t), затриманий на час t 0 щодо сигналу f 1 (t), що має таку ж форму: f 2 (t) = f 1 (t – t 0). Якщо сигнал f 1 має зображення F 1 (j w), то Фур'є-зображення сигналу f 2 рівно F 2 (j w) = = . Домноживши і розділивши на , згрупуємо члени так:
Оскільки останній інтеграл дорівнює F 1 (j w), то F 2 (j w) = e -j w t 0 F 1 (j w) . Таким чином, при затримці сигналу на час t 0 (зміна початку відліку часу) модуль його спектральної щільності не змінюється, а аргумент зменшується на величину w t 0 , пропорційну часу затримки. Тому амплітуди спектра сигналу не залежать від початку відліку, а початкові фази при затримці t 0 зменшуються на w t 0 .
3. Симетрія . Для дійсного f(t) зображення F(j w) має сполучену симетрію: F(– j w) = . Якщо f(t) - парна функція, то Im F(j w) = 0; для непарної функції Re F(j w) = 0. Модуль | F(j w) | та речова частина Re F(j w) - парні функції частоти, аргумент arg F(j w) та Im F(j w) - непарні.
4. Диференціювання . З формули прямого перетворення, інтегруючи частинами, отримаємо зв'язок зображення похідної сигналу f(t) із зображенням самого сигналу
Для абсолютно інтегрованої функції f(t) позаінтегральний член дорівнює нулю, і, отже, при , а останній інтеграл представляє Фур'є-зображення вихідного сигналу F(j w) . Тому Фур'є-зображення похідної df/dtпов'язане із зображенням самого сигналу співвідношенням j w F(j w) - при диференціюванні сигналу його Фур'є-зображення множиться на j w. Це ж співвідношення справедливе і для коефіцієнтів F(j w k), які визначаються інтегруванням у кінцевих межах від – T/2 до + T/2. Дійсно, твір у відповідних межах
Оскільки внаслідок періодичності функції f(T/2) = f(– T/2), а = = = (-1) k, то й у цьому випадку позаінтегральний член зникає, і справедлива формула
де стрілкою символічно позначено операцію прямого перетворення Фур'є. Це співвідношення узагальнюється і багаторазове диференціювання: для n-ї похідної маємо: d n f/dt n (j w) n F(j w).
Отримані формули дозволяють знайти Фур'є-зображення похідних функції за її відомим спектром. Ці формули зручно застосовувати також у випадках, коли в результаті диференціювання приходимо до функції, Фур'є-зображення якої обчислюється більш просто. Так, якщо f(t) - шматково-лінійна функція, то її похідна df/dt- кусочно-постійна, й у неї інтеграл прямого перетворення перебуває елементарно. Для отримання спектральних характеристик інтегралу функції f(t) її зображення слід розділити на j w.
5. Дуальність часу та частоти . Зіставлення інтегралів прямого та зворотного перетворень Фур'є призводить до висновку про їхню своєрідну симетрію, яка стає більш очевидною, якщо формулу зворотного перетворення переписати, переносячи множник 2p у ліву частину рівності:
Для сигналу f(t), що є парною функцією часу f(– t) = f(t), коли спектральна щільність F(j w) - речова величина F(j w) = F(w), обидва інтеграли можна переписати в тригонометричній формі косинус-перетворення Фур'є:
При взаємній заміні tі w інтеграли прямого та зворотного перетворень переходять один в одного. Звідси випливає, що якщо F(w) представляє спектральну щільність парної функції часу f(t), то функція 2p f(w) є спектральною щільністю сигналу F(t). Для непарних функцій f(t) [f(t) = – f(t)] спектральна щільність F(j w) чисто уявна [ F(j w) = jF(w)]. Інтеграли Фур'є в цьому випадку наводяться до виду синус-перетворень, з яких випливає, що якщо спектральна щільність jF(w) відповідає непарної функції f(t), то величина j 2p f(w) представляє спектральну щільність сигналу F(t). Таким чином, графіки тимчасової залежності сигналів зазначених класів та його спектральної густини дуальні один одному.
Інтеграл (1)
Інтеграл (2)
У радіотехніці широко використовується спектральне та тимчасове подання сигналів. Хоча сигнали за своєю природою є випадковими процесами, однак, окремі реалізації випадкового процесу та деякі спеціальні (наприклад, вимірювальні) сигнали можна вважати детермінованими (тобто відомими) функціями. Останні прийнято поділяти на періодичні та неперіодичні, хоча строго періодичних сигналів не існує. Сигнал називається періодичним, якщо він задовольняє умову
на інтервалі часу ,де Т - стала величина, звана періодом, а k-будь-яке ціле число.
Найпростішим прикладом періодичного сигналу є гармонійне коливання (або коротко гармоніка).
де – амплітуда, = – частота, – кругова частота, – початкова фаза гармоніки.
Важливе значення поняття гармоніки для теорії та практики радіотехніки пояснюється низкою причин:
- гармонійні сигнали зберігають свою форму та частоту при проходженні через стаціонарні лінійні електричні ланцюги(наприклад, фільтри), змінюючи лише амплітуду та фазу;
- гармонійні сигнали досить легко виробляються (наприклад, з допомогою автогенераторів LC).
Неперіодичним сигналом називається сигнал, який відрізняється від нуля на кінцевому інтервалі часу. Неперіодичний сигнал можна як періодичний, але з нескінченно великим періодом. Однією з основних характеристик неперіодичного сигналу є спектр. p align="justify"> Спектром сигналу називають функцію, що показує залежність інтенсивності різних гармонік у складі сигналу, від частоти цих гармонік. Спектр періодичного сигналу – це залежність коефіцієнтів низки Фур'є від частоти гармонік, яким ці коефіцієнти відповідають. Для неперіодичного сигналу спектр - це пряме перетворення сигналу Фур'є. Отже, спектр періодичного сигналу - це дискретний спектр (дискретна функція частоти), тоді як непериодического сигналу характерний суцільний спектр (безперервний) спектр.
Звернемо увагу на те, що дискретний та безперервний спектри мають різні розмірності. Дискретний спектр має таку ж розмірність, як і сигнал, тоді як розмірність безперервного спектра дорівнює відношенню розмірності сигналу до розмірності частоти. Якщо, наприклад, сигнал представлений електричною напругою, то дискретний спектр буде вимірюватися у вольтах [B], а безперервний - вольт на герц [B/Гц]. Тому для безперервного діапазону використовують також термін "спектральна щільність".
Розглянемо спочатку спектральне уявлення періодичних сигналів. З курсу математики відомо, що будь-яку періодичну функцію, що задовольняє умовам Диріхле (одним із необхідних є умова, щоб енергія була кінцевою), можна уявити поряд Фур'є у тригонометричній формі:
де визначає середнє значення сигналу за період і називається постійною складовою. Частота називається основною частотою сигналу (частота першої гармоніки), а кратні частоти - вищими гармоніками. Вираз (3) можна подати у вигляді:
Зворотні залежності для коефіцієнтів а та b мають вигляд
На малюнку 1 наведено типовий вид графіка спектра амплітуд періодичного сигналу для тригонометричної форми ряду (6):
З використанням виразу (формула Ейлера).
замість (6) можна записати комплексну форму ряду Фур'є:
де коефіцієнт називаються комплексними амплітудами гармонік, значення яких, як випливає з (4) та формули Ейлера, визначається виразом:
Порівнюючи (6) і (9), зауважуємо, що при використанні комплексної форми запису ряду Фур'є негативні значення k дозволяють говорити про складові з "негативними частотами". Проте, поява негативних частот має формальний характері і пов'язані з використанням комплексної форми записи подання дійсного сигналу.
Тоді замість (9) отримаємо:
має розмірність [амплітуда/герц] і показує амплітуду сигналу, що припадає на смугу 1 Герц. Тому ця безперервна функція частоти S(jw) називається спектральною густиною комплексних амплітуд або просто спектральною густиною. Зазначимо одну важливу обставину. Порівнюючи вирази (10) і (11) помічаємо, що при w=kwo вони відрізняються лише постійним множником, а
тобто. комплексні амплітуди періодичної функції з періодом Т можна визначити за спектральною характеристикою неперіодичної функції такої форми, заданої в інтервалі . Сказане справедливо і по відношенню до спектрального модуля щільності:
З цього співвідношення випливає, що загальна суцільного амплітудного спектру неперіодичного сигналу і амплітуд, що огинає, лінійного спектру періодичного сигналу збігаються за формою і відрізняються лише масштабом. Обчислимо тепер енергію неперіодичного сигналу. Помножуючи обидві частини нерівності (14) на s(t) та інтегруючи в нескінченних межах, отримаємо:
де S(jw) та S(-jw) - комплексно-сполучені величини. Так як
Цей вираз називається рівністю Парсеваля для неперіодичного сигналу. Воно визначає повну енергію сигналу. Звідси випливає, що не що інше, як енергія сигналу, що припадає на 1 Гц смуги частот близько частоти w. Тому функцію іноді називають спектральною густиною енергії сигналу s(t). Наведемо тепер без доказу кілька теорем про спектри, що виражають основні властивості перетворення Фур'є.
Завантаження...